V geometrii, je bod symetrie skupina je podskupina z ortogonální skupiny : to je složeno z isometries , to znamená, že z lineárních map opouštějí vzdálenosti a úhly neměnný. Skupina bodů symetrie molekuly se skládá z izometrií, které opouštějí molekulu jako geometrický tvar, neměnný.
V krystalografii , skupina bod obsahuje operace symetrie, které zanechávají neměnný na morfologii jednoho krystalu a jeho fyzikální vlastnosti (symetrie atomové struktury krystalu je popsána v prostoru skupinami ). Jsou rozděleny do skupin holohedra a meridra podle toho, zda popisují úplnou symetrii mřížky nebo zda jsou jejich podskupinami. Existence periodické mřížky má omezení v pořadí rotací, které jsou ve dvou a třech rozměrech omezeny na hodnoty 1, 2, 3, 4 a 6, zatímco tato omezení se nevztahují na objekty, které nejsou periodické jako molekuly .
Tato otázka je součástí obecnějšího matematického problému, použité pojmy jsou trochu jiné. To odpovídá analýze ortogonální skupiny části sítě . Mřížka je ekvivalentem vektorového prostoru , s tím rozdílem, že skaláry jsou celá čísla a ne prvky tělesa . Ortogonální skupina je skupina lineárních map udržujících vzdálenosti a úhly.
V matematice je vysvětlení ortogonální skupiny široce studovanou otázkou. Síť je kvazi vektorový prostor , pouze s tím rozdílem, že skaláry jsou celá čísla. Tato analogie nám umožňuje stanovit společné věty. Například jako její vektorový analog síť připouští základnu a jakýkoli bod sítě lze identifikovat pomocí sady souřadnic, tentokrát s celočíselnými hodnotami.
Bod v síti je identifikován vektorem a obraz dvou vektorů pomocí izometrie je tvořen dvěma vektory stejné délky, přičemž úhel definovaný dvěma počátečními vektory je stejný jako úhel dvou obrazových vektorů. Ve vektorovém prostoru dimenze 2 jsou jedinou možnou izometrií rotace kolem středu a odrazy (ortogonální symetrie vzhledem k přímce). V dimenzi 3 najdeme rotace kolem osy, odrazy (ortogonální symetrie vzhledem k rovině, jako by to dalo zrcadlo umístěné v počátečním bodě) a jejich sloučeniny . Tato definice je platná pro vektorové prostory i pro sítě.
Ortogonální skupiny jsou v obou případech zcela odlišné. V rovině jsou rotace stejně početné jako body kruhu, jsou v nekonečném počtu. Ale obraz bodu sítě pomocí izometrie je bodem sítě umístěným ve stejné vzdálenosti od středu nebo od osy otáčení. Existuje pouze konečný počet bodů této povahy. Ortogonální skupina sítě, bez ohledu na její rozměr, je vždy konečná.
V případě dimenze 2 je stanovení všech možných ortogonálních skupin dostatečně jednoduché, aby bylo možné provést základní nástroje z lineární algebry . K dispozici jsou pouze 4 možné konfigurace a největší je popsána skupinou 12 prvků. V dimenzi 3 se otázka stává trochu obtížnější, největší skupina již obsahuje 48 prvků. Pokud je to možné překonat obtíže se základními nástroji, jako dílo Auguste Bravais v polovině XIX th století , jiný přístup zjednodušuje.
Ortogonální skupina má algebraické vlastnosti . Sloučenina dvou izometrií, konkrétně aplikace první aplikované na druhou, je stále izometrií. Je to stejné pro reciproční bijekci izometrie a nakonec je zákon složení lineárních map asociativní . Taková struktura, nazývaná skupina , je původem obrovské matematické teorie. Jedna z jejích větví, nazývaná teorie reprezentací konečné skupiny, je obzvláště účinná při zodpovídání otázek o povaze těch, jimiž se zde zabýváme. Podrobný článek využívá elementární techniky lineární algebry k vysvětlení struktury ortogonální skupiny v dimenzi 2 a struktur reprezentace skupin pro dimenzi 3.
Jednorázové operace jsou dvou typů:
S každou operací prvního druhu můžeme spojit operaci druhého druhu, která transformuje barycentrum objektu jako operace prvního druhu s ním spojená. Pokud objekt není chirální, je výsledek použití těchto dvou operací symetrie stejný.
Poznámka: v prostorech s více než 3 rozměry (nepoužívá se v krystalografii) se objevují nové druhy, kde je chiralita zachována v jedné části rozměrů, ale obrácena v jiné části: jedná se o „částečné“ symetrie vzhledem k rovině nebo jakémukoli podprostoru mají alespoň o 2 rozměry méně ve srovnání s původním prostorem, přičemž tyto dílčí symetrie jsou schopné kombinovat, aniž by nutně obnovovaly původní chirality, ale poskytovaly operace jiným druhům. Jejich pořadí kombinací je pak důležité, operace nemusí být nutně symetrické (ani ne nutně asociativní v neeuklidovských prostorech).
Otáčení úhlu 2π / n je indikováno n v notaci Hermann-Mauguin nebo C n v notaci Schoenflies .
Roto inverze složená z rotace řádu n a inverze je označena n .
Operace symetrie bodů jsou nakonec klasifikovány takto:
Invariantní body během operace symetrie jsou základní body prvku symetrie, ve vztahu k nimž se tato operace provádí: rovina symetrie, osa otáčení a střed symetrie. Aby bod v prostoru zůstal neměnný pod účinkem všech operací symetrie skupiny bodové symetrie, musí být tento bod umístěn na každém z prvků symetrie. Nachází se tedy v jejich průsečíku: všechny prvky symetrie se protínají v bodě .
V trojrozměrném prostoru se prvky symetrie, kolem nichž se provádějí operace prvního nebo druhého druhu, nazývají přímé osy a reverzní osy. Operace symetrie prováděná kolem inverzní osy je anti-rotace : může být viděna jako rotační inverze (složená z rotace úhlu θ inverzí ) nebo jako rotační reflexe (složená z rotace, protilehlá osa a úhel π-θ, odrazem ). Pouze 10 prvků symetrie je kompatibilní s trojrozměrnou krystalografickou symetrií:
Hermann-Mauguin symbol | Symbol Schoenflies | Popis | Provoz nebo ekvivalentní notace |
---|---|---|---|
1 | C 1 | identita | - |
2 | C 2 | rotace π | - |
3 | C 3 | 2π / 3 rotace | - |
4 | C 4 | π / 2 rotace | - |
6 | C 6 | π / 3 rotace | - |
1 | C i | inverze | - |
2 | C s | odraz | m |
3 | S 6 | 2π / 3 rotace následovaná inverzí | rotace π / 3 následovaná odrazem |
4 | S 4 | rotace π / 2 následovaná inverzí | rotace π / 2 následovaná odrazem |
6 | S 3 | rotace π / 3 následovaná inverzí | 2π / 3 rotace následovaná odrazem |
K dispozici jsou 2, 10 a 32 krystalografických skupin bodů v 1, 2 a 3 dimenzionálních prostorech.
Každá skupina je označena symbolem, symbolem Hermanna-Mauguina, který umožňuje najít všechny operace symetrie tvořící skupinu. Například skupina 2 / m 2 / m 2 / m sestává ze tří os otáčení řádu 2 ve třech směrech krystalografického referenčního rámce a ze tří rovin odrazu m, které jsou na ně kolmé. Hermann-Mauguinovy symboly jsou orientované symboly: orientaci každého prvku symetrie lze číst ze symbolu s vědomím, že v každém retikulárním systému jsou směry symetrie uvedeny v konvenčním pořadí.
Tyto symboly Schoenflies jsou méně používány v krystalografie, protože neumožňují uvést orientaci prvků symetrie s ohledem na krystalografické referenční značce.
Skupiny krystalografických bodů jsou klasifikovány podle rodiny krystalů v následující tabulce.
Rozměry prostoru | Krystalická rodina | Holohedronová skupina | Odpovídající zasloužené skupiny |
---|---|---|---|
1 | triclinic | m (C s ) | 1 (C 1 ) |
2 | monoklinický | 2 (C 2 ) | 1 |
ortorombický | 2 mm (C 2v ) | 2 | |
čtyřúhelníkový | 4 mm (C 4v ) | 4 (C 4 ) | |
šestihranný | 6 mm (C 6v ) | 3 (C 3 ), 3 m (C 3V ), 6 | |
3 | triclinic | 1 (C i ) | 1 |
monoklinický | 2 / m (C 2h ) | 2, m | |
ortorombický | mmm (D 2h ) | 222 (D 2 ), mm2 | |
čtyřúhelníkový | 4 / mmm (D 4h ) | 4, 4 (S 4 ), 422 (D 4 ), 4 mm , 4 2 m (D 2d ), 4 / m (C 4h ) | |
šestihranný | 3 m (D 3d ) | 3, 3 (C 3i ), 3 m (C 3v ), 32 (D 3 ) | |
6 / mmm (D 6h ) | 6, 6 (C 3h ), 622 (D 6 ), 6 mm , 6 2 m (D 3h ), 6 / m (C 6h ) | ||
krychlový | m 3 m (o h ) | 23 (T), m 3 (T h ), 432 (O), 4 3 m (T d ) |
Všimněte si, že v šestihranné krystalové rodině trojrozměrného prostoru existují dvě holohedrové skupiny, 3 ma 6 / mmm, které odpovídají dvěma mřížkám, kosodélníkovým a šestihranným, existujícím v této rodině .
V tetragonálních a hexagonálních retikulárních systémech se některé skupiny, které mají různé prvky symetrie ve směrech obsažených v rovině kolmé k hlavní ose, mohou objevit s odlišnou orientací, která odděluje tyto skupiny do dvou izomorfních skupin , například v následující tabulce.
Původní skupina | Izomorfní skupina |
---|---|
4 2 m | 4 m 2 |
3 m 1 | 3 1 m |
321 | 312 |
3 m 1 | 31 m |
6 2 m | 6 m 2 |
V romboedrickém mřížkovém systému, protože třetí směr symetrie již neexistuje, se tři skupiny dvojic trigonálních nad spojily ve skupinách 3 m , 32 a 3 m .
(en) „ Bodová skupina “ , v online slovníku krystalografie IUCr