Zápis (matematika)

Používá se v matematice sadu záznamů ke kondenzaci a formalizovat v prohlášení a demonstrace . Tyto notace se postupně objevily v průběhu historie matematiky a vzniku konceptů spojených s těmito notacemi. Nejsou zcela standardizovány.

Pokud jsou uvedeny dva překlady notace, jeden je překlad doslovně a druhý přirozený překlad .

Tento článek se zabývá latinskými matematickými notacemi . Existují i ​​jiné než latinské matematické notace , například Modern Arabic Mathematical Notation  (en) .

Existují také matematické notace určené pro nevidomé.

Úvod

Jako každý formální jazyk , i matematická notace si klade za cíl odstranit nejednoznačnost (zejména jazykovou) výroku rozložením na omezenou sadu symbolů, jejichž uspořádání může mít pouze jeden význam.

Například, říkat, že je , využití: . X{\ displaystyle x}X=1{\ displaystyle x = 1}

Tento vědecký jazyk také v menší míře umožňuje usnadnit komunikaci mezi matematiky, kteří nemluví stejným jazykem. Pokud zcela nenahradí přirozený jazyk , umožňuje vyjádřit nejsložitější matematické pojmy ve formě, která je podle mnoha jazyků a kultur téměř identická, čímž se zabrání nedorozuměním v matematických pojmech tím, že lidé neovládají všechny gramatické pojmy a syntaktické jemnosti použitého komunikačního jazyka.

I v rámci kulturní rodiny používající latinskou matematickou notaci zůstávají určité koncepty formálního jazyka specifické pro daný jazykový fond. Ve francouzsky mluvící matematické literatuře tedy tvrzení znamená „  množina A je podmnožinou B nebo se rovná B  “, zatímco v anglické matematické literatuře to bude spíše znamenat „  množina A je podmnožinou . přísná množina B  “. NA⊂B{\ displaystyle A \ podmnožina B}

Následující seznam symbolů není vyčerpávající. Všechny zde uvedené symboly se však v matematické literatuře ve francouzském jazyce používají univerzálně.

Logické operátory

• ¬{\ displaystyle \ neg}, č .
• ∧{\ displaystyle \ land}, A .
• ∨{\ displaystyle \ lor}, Nebo .
• ⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}, naznačuje .
• ⇔{\ displaystyle \ Leftrightarrow}, je ekvivalentní s .

Sady

Sada představuje kolekci objektů. Předměty kolekce jsou prvky celku.

Definice množiny

Lze definovat sadu:

• v porozumění , to znamená charakteristickou vlastností mezi prvky dané množiny. například{ne∈NE∣ne pnair}{\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid n \ {\ rm {pár \}}}} (množina všech sudých celých čísel);
• jako přímý obraz . Například výše uvedená sada je také zapsána{2m∣m∈NE}.{\ displaystyle \ {2m \ mid m \ in \ mathbb {N} \}.}

Vztahy na množinách

• ∈{\ displaystyle \ in}, členství .
  • n patří do množiny přirozených čísel .
  • n je přirozené číslo.

ne∈NE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}

Členství je vztah, který spojuje prvek a celek.

• ⊂{\ displaystyle \ podmnožina}, inkluze .
  • Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}je součástí .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
  • Relativní celá čísla jsou racionální čísla.

Z⊂Q{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ podmnožina \ mathbb {Q}}

Sada je zahrnuta do jiné, právě když jsou všechny její prvky prvky toho druhého.

Operace na soupravách

• ⋂ , křižovatka .
• ∪, odbor .

Obvyklé sady

• NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}nebo N , množina přirozených čísel .
• Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}nebo Z , množina relativních celých čísel .
• D{\ displaystyle \ mathbb {D}}nebo D , sada desetinných čísel .
• Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}nebo Q , racionální množina .
• R{\ displaystyle \ mathbb {R}}nebo R , množina reálných čísel .
• R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}, sada kladných nebo nulových reálných čísel.
• R-{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-}}, sada záporných nebo nulových reálných čísel.
• VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}nebo C , množina komplexních čísel .
• H{\ displaystyle \ mathbb {H}}nebo H , množina čtveřic .
• P{\ displaystyle \ mathbb {P}}nebo P , sada prvočísel .
• NE∗,Z∗,D∗,Q∗,R∗,R+∗,R-∗,VS∗{\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*}, \ mathbb {Z} ^ {*}, \ mathbb {D} ^ {*}, \ mathbb {Q} ^ {*}, \ mathbb {R} ^ { *}, \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ mathbb {R} _ {-} ^ {*}, \ mathbb {C} ^ {*}}, stejné soukromé sady nuly.
• NA×{\ displaystyle A ^ {\ times}}, Sada invertible prvků jednoho kroužku . Například, a zatímco if je pole (jako , nebo ) ,.NA{\ displaystyle A}Z×={-1,1}{\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ times} = \ {- 1,1 \}}D×={±2na5b∣na,b∈Z}{\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {\ times} = \ {\ pm 2 ^ {a} 5 ^ {b} \ mid a, b \ in \ mathbb {Z} \}}NA{\ displaystyle A}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}NA×=NA∗{\ displaystyle A ^ {\ times} = A ^ {*}}

Kvantifikátory

Viz výpočet predikátů pro teoretičtější pohled na tyto notace.

Za všechno

Hodnocení

∀{\ displaystyle \ forall}, na všechno , na cokoli .

Příklady

• ∀ne(ne∈NE⇒ne≥0){\ displaystyle \ forall n \, (n \ in \ mathbb {N} \ Rightarrow n \ geq 0)} Ať je n jakékoli přirozené číslo, n je větší nebo rovno nule. NE{\ displaystyle \ mathbb {N}} je snížena o nulu.
• ∀ne∈NEne≥0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad n \ geq 0} Zhuštěná forma.
• ∀na∈R((na≤0∧na≥0)⇒na=0){\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {R} \, \ left ((a \ leq 0 \ land a \ geq 0) \ Rightarrow a = 0 \ right)} Pro jakékoli reálné a, je-li a menší nebo rovno nule a pokud a je větší nebo rovno nule, pak a je nula. Jakákoli reálná, větší nebo rovna nule a menší nebo rovna nule, je nula.

To existuje

Hodnocení

∃{\ displaystyle \ existuje}, existuje (alespoň jeden).

Příklady

• ∃nene∈NE{\ displaystyle \ existuje n \ quad n \ in \ mathbb {N}} V prvku je prvekNE{\ displaystyle \ mathbb {N}} . NE{\ displaystyle \ mathbb {N}} není prázdný.
• ∃X(X∈R∧X≥1){\ displaystyle \ existuje x \, \ left (x \ in \ mathbb {R} \ land x \ geq 1 \ right)} Existuje skutečné x takové, že x je větší než nebo rovno jedné . R{\ displaystyle \ mathbb {R}} není zvýšena o 1.
• ∃X∈RX≥1{\ displaystyle \ existuje x \ in \ mathbb {R} \ quad x \ geq 1} Zhuštěná forma.

Obecné příklady

• ∀ne∈NE∃m∈NEm≥ne{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ existuje m \ in \ mathbb {N} \ quad m \ geq n} Pro každé přirozené číslo n existuje další přirozené číslo m, takže m je větší nebo rovno n. Jakékoli přirozené číslo je menší nebo rovno alespoň jednomu dalšímu přirozenému číslu.
• ∃m∈NE∀ne∈NEm≥ne{\ displaystyle \ existuje m \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad m \ geq n} Existuje přirozené číslo m takové, že pro jakékoli přirozené číslo n je m větší nebo rovno n. NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}se zvyšuje .

Proto si všimneme, že pořadí kvantifikátorů je důležité: první tvrzení je pravdivé, druhý je nepravdivý.

• ∀(na,l)∈R2∃F:R→R∀ϵ∈R+∗∃α∈R+∗∀X∈[na-α,na+α]|F(X)-l|≤ϵ{\ displaystyle \ forall (a, l) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ quad \ existuje f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ quad \ forall \ epsilon \ in \ mathbb { R} _ {+} ^ {*} \ quad \ existuje \ alpha \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ forall x \ in [a- \ alpha, a + \ alpha] \ čtyřkolka | f (x) -l | \ leq \ epsilon} Pro všechna reálná čísla a a l existuje mapa f v tak, že f omezuje l v aR{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}} .

Existuje jedinečný

Zápis znamená, že existuje jedinečný ... (nebo existuje jediný a jediný ... ). Tento kvantifikátor je definován z předchozích kvantifikátorů a z rovnosti. Pro P (x) vlastnost x  : ∃!{\ displaystyle \ existuje!}

∃! x P ( x ) je podle definice ekvivalentní ∃ x [P ( x ) ∧ ∀ y (P ( y ) ⇒ y = x )] Existuje jedinečné x, které splňuje P (x) je ekvivalentní Existuje x, které splňuje P (x) a cokoli y splňuje P (y), pak y = x.

nebo ekvivalent:

∃! x P ( x ) odpovídá ∃ x P ( x ) ∧ ∀ x ∀ y [(P ( x ) ∧ P ( y )) ⇒ y = x ].Příklad ∀X∈R∗ ∃!y∈R∗ Xy=1{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ \ existuje! y \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ xy = 1} Pro jakékoli nenulové reálné x existuje jedinečné nenulové skutečné y, takže součin xy se rovná 1. Jinými slovy, x připouští jedinečnou inverzi pro násobení.

Aritmetické symboly

Tyto symboly se používají ke zjednodušení psaní dlouhých sérií (například tím, že se nepoužívají tečkované čáry). V každém z těchto případů používáme proměnnou zvanou fiktivní proměnná, která bude mít hodnoty v přesné sadě. Tato fiktivní proměnná poté umožní popis obecného výrazu umístěného za symbolem.

Součet

∑{\ displaystyle \ sum}(Řecké písmeno: velká písmena sigma )Příklady

• Pokud je přísně kladné celé číslo:ne{\ displaystyle n}

∑k=1nek2=12+22+32+42+...+ne2=ne(ne+1)(2ne+1)6{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + \ ldots + n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}} Zde je fiktivní proměnná, která bere své hodnoty v sadě (sada celých čísel). Obecný termín pro tuto částku je .k{\ displaystyle k}[1,ne]{\ displaystyle [1, n]}k2{\ displaystyle k ^ {2}}

• Ω{\ displaystyle \ Omega} je množina pozitivních sudých celých čísel

∑k∈Ω, k<50k2=∑k=024(2k)2{\ displaystyle \ sum _ {k \ in \ Omega, \ k <50} k ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {24} (2k) ^ {2}} Nalevo od rovnosti patří do množiny definované dvěma podmínkami: její prvky jsou dokonce kladná celá čísla a jsou přísně menší než 50k{\ displaystyle k}

• Příklad nekonečného součtu:

∀X∈R, ∑k=0∞Xkk!=EX{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k!}} = e ^ {x}} Mohli jsme napsat méně zhuštěným způsobem: 1+X+X22!+X33!+⋯+Xkk!+⋯=EX{\ displaystyle 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ dots + {\ frac {x ^ {k }} {k!}} + \ dots = e ^ {x}}

Podle konvence je součet indexovaný prázdnou sadou nula.

Produkt

∏{\ displaystyle \ prod}(Řecké písmeno: velká písmena Pi )

Tento symbol se používá analogicky se symbolem součtu.

Příklad ∏k=1neexp⁡(k2)=exp⁡(∑k=1nek2)=exp⁡(ne(ne+1)(2ne+1)6){\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ exp (k ^ {2}) = \ exp \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} \ right) = \ exp \ left ({\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} \ right)} Mohli jsme napsat méně zhuštěným způsobem: exp⁡(12)⋅exp⁡(22)⋅exp⁡(32)⋅...⋅exp⁡(ne2)=exp⁡(ne(ne+1)(2ne+1)6){\ displaystyle \ exp (1 ^ {2}) \ cdot \ exp (2 ^ {2}) \ cdot \ exp (3 ^ {2}) \ cdot \ ldots \ cdot \ exp (n ^ {2}) = \ exp \ left ({\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} \ right)}

Podle konvence má produkt indexovaný prázdnou sadou hodnotu 1.

Faktoriální

!{\ displaystyle!} (vykřičník)

Jedná se o speciální případ produktu:

ne!=∏1≤k≤nek{\ displaystyle n! = \ prod _ {1 \ leq k \ leq n} k}

(kde n a k jsou implicitně předpokládaná celá čísla ).

Jinými slovy,

pokud je celé číslo n přísně kladné: ne!=1×2×3⋯×ne{\ displaystyle n! = 1 \ krát 2 \ krát 3 \ tečky \ krát n} pokud je záporná nebo nulová, n  ! = 1.

Poznámky a odkazy

1. Složení vědeckých textů - Text předložený národním školstvím (Francie) ke standardizaci zkouškových předmětů, str. 3.
2. S definicí prázdného produktu; ve skutečnosti si raději necháme n ! undefined if n is negative, to keep the Funkční rovnice; viz funkce gama

Podívejte se také

Bibliografie

• (en) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations , Dover Publications ,1993, 820  s. ( ISBN  978-0-486-67766-8 , číst online )

Související články

• Tabulka matematických symbolů
• Seznam zkratek v matematice
• Matematická logika

externí odkazy

• Francouzská pravidla matematické typografie  : jak psát matematický dokument ve francouzštině, který je typograficky správný

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">