Lemma Poincaré je základním výsledek vícerozměrné analýzy a diferenciální geometrie . Jedná se o diferenciální formy (implicitně třídy C 1 ) na diferenciálním potrubí (implicitně hladké ).
Podle Schwarze teorému , každý přesný rozdíl forma je uzavřen . Lemma z Poincaré zajišťuje vzájemné částečné:
Takže na diferenciálním potrubí M je jakýkoli uzavřený p -form přesný, stačí:
Za těchto předpokladů je závěr Poincarého lemmatu přeformulován ve smyslu De Rhamovy kohomologie .
Zejména jakákoli uzavřená diferenciální forma je místně přesná.
Všechny pojmy použité výše jsou podrobně popsány pomocí na vnitřních vazeb , ale Vzpomeňme si i poznámky o těch hlavních.
P -forma ω na potrubí M se říká:
V P -tý prostor z kohomologie z Rham z M je kvocient H p ( M ) v prostoru uzavřených údajů ze strany subprostorových přesných tvarů. Je tedy nulová, právě když je nějaká uzavřená forma přesná.
Topologický prostor M je, že kontrakční pokud homotopically ekvivalent až k bodu, to znamená, že, je-li jeho identita mapa je homotopická s konstantním aplikací z M na M , nebo je-li M je zatažen deformací na bod. Je to stav, silnější než banalitu všech homotopických skupin z M , ale rovnocenné, pokud M je rozdíl potrubí. Navíc v tomto případě lze vyvolat homotopie, a priori pouze spojité , ve skutečnosti zvolit hladké .
Jakýkoli kontraktilní prostor je jednoduše spojen, ale existují jednoduše spojené odrůdy, které nejsou kontraktilní, jako je koule . Navíc kompaktní odrůda bez ohraničení nikdy není kontraktilní.
Každý otevřený U z ℝ n je diferenciální potrubí. Pokud U je stellated pak je stažitelná a tím spíše jednoduše připojen. Ukažme si v tomto konkrétním případě, že jakákoli uzavřená 1 forma ω na U je přesná, tj. Je to rozdíl formy 0 (funkce).
Předpokládejme, že U je hrál kolem , definování funkce f o U o křivočarých integrály na segmenty :
a ukazují, že d f = ω v každém bodě x z U , to znamená (pro x pevné a pro všechna x + V v kouli centra x zahrnuty v U ):
Podle Greenovy věty aplikované na trojúhelník ( a , x , x + v ) máme (protože ω je uzavřený)
Nyní kontinuitou ω v bodě x ,
Proto máme:
(Chcete-li rozšířit tento důkaz na jakékoli jednoduše připojené potrubí, stačí nahradit segmenty cestami a Greenovu větu Stokesovou .)