Algebraická logika

V matematické logice je algebraická logika uvažováním získaným manipulací s rovnicemi s volnými proměnnými .

To, co se nyní obecně nazývá klasická algebraická logika, se zaměřuje na identifikaci a algebraický popis modelů vhodných pro studium různých logik (ve formě tříd algebry, které tvoří algebraickou sémantiku těchto deduktivních systémů ) a souvisejících otázek, jako je reprezentace a dualita.

Algebry jako modely logiky

Algebraická logika považuje algebraické struktury a mřížky za modely (interpretace) určitých logik .

V algebraické logice:

Proměnné jsou mlčky univerzálně kvantifikovány ve vesmíru diskurzu . Neexistují žádné existenciálně kvantifikované proměnné ani otevřené vzorce;
Tyto slova jsou postaveny z proměnných s využitím operace primitivy a definovány. Neexistují žádné konektory ;
Tyto vzorce , postavené ze slov, může být léčena, pokud jsou logicky ekvivalentní ;
Tyto Modus ponens je platný, ale je zřídka použitý.

V tabulce níže obsahuje levý sloupec jeden nebo více logických nebo matematických systémů a algebraická struktura je uvedena vpravo od tabulek.

Algebraické formalizmy přesahující logiku prvního řádu zahrnují:

Kombinatorické logiky , které mají výraznou sílu teorie množin ;
Relační algebra , algebraické logiky pravděpodobně paradigmatické, které mohou vyjádřit aritmetické Peanovy a teorie axiomatických soupravy, včetně CFZ kanonický.

Logický systém	Je to Lindenbaumova algebra
Klasický výrokový počet	Booleova algebra
Intuicionistická výroková logika	Heyting Algebra
Logika Łukasiewicze	Algebra-MV
Modální logika K.	Modální algebra
S4	Vnitřní algebra
S5 ; Výpočet monadických predikátů	Monadická booleovská algebra
Logika prvního řádu	Kompletní booleovská algebra Polyadická algebra
Logika prvního řádu s rovností	Válcová algebra
Teorie množin	Kombinatorická logika Relační algebra

Dějiny

Algebraická logika je snad nejstarší přístup k formální logiky , a pravděpodobně se objevily v některých konstatuje, že Leibniz napsal v 1680s, z nichž některé byly publikovány v XIX th století a přeložené do angličtiny Clarence Lewis v roce 1918. Ale téměř všechny známé práce na Leibnizově algebraické logice byly publikovány až v roce 1903 poté, co Louis Couturat objevil Leibnizovu Nachlass .

Brady (2000) zkoumal bohaté historické vazby mezi algebraickou logikou a teorií modelů . Zakladateli teorie modelů, Ernst Schröder a Leopold Löwenheim , byli logici. Alfred Tarski , zakladatel teorie modelů , důležité odvětví současné matematické logiky, ale také:

Spoluobjevili jsme Lindenbaum-Tarski agbre;
Vynalezl válcovou algebru;
Píše článek z roku 1941, který oživil relační algebru, což lze považovat za výchozí bod abstraktní algebraické logiky.

Moderní matematická logika začala v roce 1847, a to dvěma brožurkami, jejichž autory byli Auguste De Morgan a George Boole . Tito a později CS Peirce , Hugh MacColl , Frege , Peano , Bertrand Russell a AN Whitehead sdíleli Leibnizův sen o kombinaci symbolické logiky , matematiky a filozofie . Relační algebra je pravděpodobně vyvrcholením Leibnizova přístupu k logice. S výjimkou několika spisů Leopold Loewenheim a Thoralf Skolem , algebraické logiky spadl do stínu krátce po vydání Principia Mathematica (1910-1913), jen aby byl obnovené v roce 1941 s re-expozicí Tarski relační algebře.

Leibniz neměl žádný vliv na vzestup algebraické logiky, protože jeho logické spisy byly málo studovány před Parkinsonovými a Loemkerovými překlady. Chcete-li vidět, jak se současná logická a metafyzická práce inspirovala Leibnizovým myšlením, viz Zalta (2000) .

Podívejte se také

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ Algebraická logika “ ( viz seznam autorů ) .

JSTOR : 3094793

Další čtení

J. Michael Dunn a Gary M. Hardegree, Algebraické metody ve filozofické logice , Oxford University Press ,2001, 470 str. ( ISBN 978-0-19-853192-0 )Dobrý úvod pro čtenáře, kteří se dříve seznámili s neklasickými logikami, ale bez větších znalostí teorie objednávek a / nebo univerzální algebry; kniha tyto předpoklady podrobně pokrývá. Tato kniha však byla kritizována za špatnou a někdy nesprávnou prezentaci výsledků AAL. Recenze Janusze Czelakowského
Hajnal Andréka, István Németi a Ildikó Sain, Handbook of Philosophical Logic, sv. 2 , Springer,2001( ISBN 978-0-7923-7126-7 ) , „Algebraická logika“ návrh
Willard Quine , 1976, „Algebraická logika a predikátové funktory“ ve filmu Cesty paradoxu . Harvard Univ. Tisk: 283-307.

Historická perspektiva

Burris, Stanley, 2009. Algebra logické tradice . Stanfordská encyklopedie filozofie .
Brady, Geraldine, 2000. Od Peirce ke Skolemu: opomíjená kapitola v historii logiky . North-Holland / Elsevier Science BV: stránka katalogu , Amsterdam, Nizozemsko, 625 stran.
Ivor Grattan-Guinness , 2000. Hledání matematických kořenů . Princeton University Press.
Lenzen, Wolfgang, 2004, „ Leibniz's Logic “ v publikaci Gabbay, D. a Woods, J., ed., Handbook of the History of Logic, sv. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege . Severní Holandsko: 1-84.
Roger Maddux, 1991, „Původ relačních algeber ve vývoji a axiomatizaci počtu vztahů“, Studia Logica 50 : 421-55.
Loemker, Leroy (1969 (1956)), Leibniz: Philosophical Papers and Letters , Reidel. Zkontrolujte hodnoty data v: |date=(nápověda)
Parkinson, GHR, 1966. Leibniz: Logical Papers. Oxford University Press.
Zalta, EN, 2000, „ A (Leibnizian) Theory of Concepts ,“ Philosophiegeschichte und logische Analyse / Logická analýza a dějiny filozofie 3: 137-183.