Univerzální algebra

Univerzální algebry je odvětví algebry , který je určen k léčbě obecně a současně různé struktury algebraické  : skupiny , Monoids , kroužky , vektorové prostory atd Umožňuje jednotným způsobem definovat morfismy , podstruktury ( podskupiny , pod monoidy , podokruhy , vektorové podprostory atd.), Kvocienty, produkty a volné objekty pro tyto struktury.

V matematice mnoho typů algebraických struktur uspokojuje různé axiomy (skupiny, prstence, vektorové prostory, mřížka , Booleova algebra , Lieova algebra ). Pro tyto různé typy struktur definujeme pojem morfismu a konstrukcí struktur, které jsou analogické nebo mají analogické vlastnosti (substruktury, kvocienty, produkty, koprodukty, volné objekty, projektivní a indukční limity atd.). Tyto morfismy a konstrukce mají velké množství vlastností, které jsou podobné (průsečík podskupin, podokruhů atd. Je jeden, obraz podskupiny, podokruhu atd., Morfismem je také jeden). Poté jsme obecně a abstraktně definovali algebraické struktury, abychom mohli zacházet s těmito konstrukcemi a jejich vlastnostmi jednotně, a následně jsme se mohli soustředit na vlastnosti specifické pro každou z těchto struktur.

Více než zobecnění obvyklých algebraických struktur, které by byly užitečné pouze v algebře, má univerzální algebra také aplikace v logice a ve vědě o počítačích. Ještě širší zobecnění těchto pojmů poskytuje teorie kategorií .

Algebry

Předběžný příklad

Může být užitečné prozkoumat příklad k identifikaci sjednocujícího pojmu algebraické struktury . Někdy se při definici algebraické struktury omezujeme na data zákonů interního a externího složení na množině, ale data těchto zákonů neumožňují vždy definovat homomorfismy jako aplikace, které zachovávají tyto zákony a sub - struktury ( podskupiny , dílčí kroužky atd.) jako stabilní součásti zákonů. Zde je příklad:

Nechť je skupina , φ jeho právem složení, jeho neutrální prvek , γ aplikace, která na prvek přidružených jeho inverzní . Buď část . Nestačí, že obsahuje sloučeninu kteréhokoliv ze dvou prvků , takže je podskupina z , jak je znázorněno v případě sady z přirozených čísel ve skupině z relativních celých čísel . Aby to byla vlastně podskupina , je nutné a také dostačující, aby byla stabilní pro zákon složení, aby obsahovala neutrální prvek a aby obsahovala inverzní hodnotu každého z jeho prvků. Jinými slovy, je podskupinou právě tehdy, když φ ( S × S ) ⊆ S , γ ( S ) ⊆ S a e ∈ S. Skupinová struktura není tedy úplná bez γ a . Podobné výsledky máme pro monoidy, prsteny, vektorové prostory, booleovské algebry atd. G{\ displaystyle G}E{\ displaystyle e}G{\ displaystyle G}S{\ displaystyle S}G{\ displaystyle G}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}G{\ displaystyle G}NE{\ displaystyle {} \ mathbb {N}}Z{\ displaystyle {} \ mathbb {Z}}S{\ displaystyle S}G{\ displaystyle G}S{\ displaystyle S}G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}E{\ displaystyle e}

Pokud chceme, aby algebraická struktura určovala substruktury (části stabilní podle různých zákonů), musíme obohatit obvyklé struktury (skupiny, prstence atd.) O další zákony.

Algebry

Mezi obvyklé konstrukce jsou určena nejen zákony, ale axiomy ( associativity , commutativity , distributivity , neutrální prvek, atd.), Které se řídí zákony: identitu. Obecná definice identit bude uvedena níže. Pokud algebraické struktury ověřují určité společné identity, pak je ověřuje většina obvyklých konstrukcí (substruktur, kvocientů, produktů) odvozených z těchto struktur. Nejprve se zaměříme na konstrukce struktur definovaných zákony, které neověřují žádnou konkrétní identitu. Stabilita identit těmito konstrukcemi zajistí, že takto získané výsledky budou platit slovo za slovem Ve strukturách definovaných údaji zákonů ověřujících určité identity.

Algebry je sada opatřena algebraická struktura , ze kterých se dá přesnou definici. Mezi algebrami najdeme skupiny, monoidy , moduly na daném prstenci (zejména vektorové prostory na daném poli), mřížky a booleovské algebry .

Definice. Nechť E je množina a n přirozené číslo (nula nebo ne). Nazvaný operace n ary na E jakékoliv aplikace E n v E .

• Jestliže n = 2, pak je to zákon složení interně E .
• Jestliže n = 1, pak se jedná o aplikaci na E v E , tzv provoz unární v E .
• Pokud n = 0, mluvíme o provozu nullaire na E . Nullary operace na E jsou identifikovány s prvky E , protože E 0 = {∅} a mapy {∅} v E jsou identifikovány s jedinečným prvkem jejich obrazu.
• Nazýváme konečnou operaci na E mapu, která je p -ary operace na E pro přirozené číslo p .

Definice. Nechť A je množina. I když zákon kompozitní vnější nebo vnější právo z A na E je podle definice o aplikaci A x E (nebo ekvivalentně z E x A ) v E . Externí složení právo A na E je identifikována s mapou A v sadě map z E až E , tedy unární operace E  : na prvek z A je spojen částečného mapu definovanou této vnější právo. Tak všechny vnější složení zákony A na E identifikuje se všechny aplikace A v , a proto se všechny skupiny unární operací E indexovaný A . EE{\ displaystyle E ^ {E}}EE{\ displaystyle E ^ {E}}

Definice. Univerzální algebry nebo prostě algebry (nezaměňovat s algebry na komutativního prstenu , které se vyskytují v lineární algebře ) je sada s rodinou (prázdný nebo ne) z finitary operací na A . Říkáme, že množina A je základem dané algebry.

Aby bylo možné současně zpracovat několik algeber, může být užitečné určit, zda mají stejný podpis, tj. Zda jsou to například všechny prsteny nebo všechny mřížky. K tomu musíme parametrizovat konečné operace algeber určitými množinami, přičemž n -ary operace se stejným parametrem si navzájem odpovídají. Například v datech zákonů prstenu obvykle přidání nastává před násobením, a tedy víme, že přidání prstenu odpovídá přidání dalšího prstenu, a nikoli jeho násobení.

Definice. Říkáme podpis nebo typ algebry nebo doménu operátorů libovolná množina Ω obdařená mapou σ Ω v množině N přirozených celých čísel, a pak pro každé přirozené číslo n označíme Ω n l 'inverzní obraz n od σ. Algebra nebo univerzální algebra s podpisem Q je množina za předpokladu, pro každé přirozené celé číslo n a pro každý prvek w s n -ary operace na A , který budeme značit , nebo aucune pokud nedojde k záměně. Výsledky. Pak řekneme, že data těchto konečných operací definují na množině algebraickou strukturu s podpisem Ω. Ωne{\ displaystyle \ Omega _ {n}}ωNA{\ displaystyle \ omega _ {A}}

Někteří autoři předpokládají, že veškerá algebra je neprázdná (pokud neexistuje operace s nulou), ale uvažování o prázdných algebrách je užitečné z hlediska teorie kategorií.

Úmluva . V následujícím textu si jednou a navždy dáme algebraový podpis Ω = (Ω n ) n ∈ N a předpokládá se, že všechny algebry jsou tohoto podpisu, pokud není uvedeno jinak.

Pokud je algebry, nazýváme konstantní nebo rozlišující prvek z A prvky A , které identifikují nullary operace definované prvky . Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}

Příklady algeber

Uveďme několik příkladů algeber.

• Set je algebra opatřen žádným konečným provozu (nevylučujeme, že podpis algebra je prázdná).
• Špičatý sada je sada E opatřena prvkem E , to znamená, že s nullary operaci.
• Magma je soubor opatřen právem složení, to znamená, že binární operaci.
• Monoid je asociativní magma opatřen neutrálního prvku. Proto je poskytována s binární operací a operací s nulou.
• Skupina je monoid tak, že každý prvek připouští inverzní a je proto opatřena unární operaci, která spojuje jeho inverzní s prvkem. Proto je poskytována s binární operací, operací s nulou a unární operací.
• Pokud M je monoid (například skupina), sada E obdařen působení z M na E je algebry, s ohledem na E dotovaný, u součásti A z M , s unární operace x → ax z E v E .
• (Jednotkový) kruh je jak skupina pro sčítání a monoid pro násobení. Je proto vybaven dvěma binárními operacemi, dvěma nullovými operacemi (0 a 1) a unární operací (průchod opačně).
• Modul na kruhu A je komutativní skupina opatřen vnějším právem A ověřovacího určité vlastnosti. Je proto obdařen binární operací (sčítání), operací s nullary (0), unární operací (kterou x přidruží - x ) a pro jakýkoli prvek A unární operace (odpovídající homothety).
• Algebry přes daný komutativní kruhu A je modul E přes se násobení přes E , který je bilineární. Při použití výrazu „algebra“ může docházet k nejasnostem. Často se implicitně předpokládá, že E je asociativní algebra , tj. Multiplikace je asociativní, ale existují neasociativní algebry (například Lieovy algebry ).
• Jednotková algebra nad daným komutativním prstencem A je algebra nad A, jejíž násobení připouští jednotkový prvek.
• Mříž je sada vybavena dvěma složení zákony, které ověřují určité vlastnosti (horní hranici a dolní mezní).
• Boolean algebra je mříž a je opatřena svým nejmenším prvkem, jeho největší prvek a mapy, které na prvek sdružuje její komplement. Je tedy vybaven dvěma binárními operacemi, dvěma nullovými operacemi (0 a 1) a unární operací.
• Buď X afinní prostor přes pole K . Pak pro jakékoli nenulové přirozené celé číslo n a pro jakoukoli konečnou posloupnost n prvků K, jejichž součet se rovná 1, máme operaci n -ary, která k posloupnosti n- bodů sdružuje barycentrum těchto bodů ovlivněných těmito prvky K . Proto definujeme algebraické struktury na X . Jakýkoli afinní prostor na K lze tedy považovat za obdařený algebraickou strukturou. Aby se zabránilo výjimkám, je prázdná sada považována za afinní prostor připojený k vektorovému prostoru sníženému na 0.

Jak tyto příklady ukazují, k popisu většiny obvyklých algebraických struktur by se dalo omezit na algebry, které mají pouze binární operace, operace s nullami a unární operace. Ale i pro tyto struktury může být užitečné uvažovat o libovolných konečných operacích, protože se zákonem asociativní kompozice můžeme pro jakékoli nenulové přirozené celé číslo n definovat operaci n -ary, která n prvkům přidruží jejich produkt (nebo jejich součet).

V obvyklých definicích těchto struktur není sada poskytována se všemi těmito konečnými operacemi, ale pouze s některými z nich a axiomy těchto struktur naznačují existenci těchto dalších.

Tyto příklady umožňují určit veškerou strukturu, která je nezbytná pro správné definování homomorfismů a podstruktur ( podskupiny , podokruhy atd.).

Tyto komutativní pole jsou prstence není redukována na prvek, přičemž kterýkoli z nenulové prvek nezvratné. V těle není mapa, která s nenulovým prvkem spojuje jeho inverzní, všude definována (0 není invertibilní), a proto není unární operací na celém těle, ale pouze na skupině jeho vratných prvků. Abychom tuto nevýhodu překonali, musíme vyvinout teorii parciálních algeber , kde finitární operace nejsou všude definovány.

Zde jsou dva triviální příklady, které jsou důležité.

• Pro jakoukoli množinu E je singleton , na E je jedinečný podpis algebraické struktury Ω . O algebře, jejíž základní množina je singleton, se říká, že je triviální .
• Na prázdné množině existuje nanejvýš jedna algebraická struktura s podpisem Ω, a aby jedna existovala, je nutné a dostatečné, aby byla sada parametrů operací s nullou prázdná, to znamená, že „neexistuje žádná operace s nullou. Například neexistuje žádná prázdná skupina, ale existuje jediné prázdné magma a existuje jediná prázdná mřížka.Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}

Definice algebry zajišťuje, že připustíme triviální prstence a triviální booleovské algebry, tj. Redukované na jeden prvek. Někteří autoři tyto kruhy a booleovské algebry vylučují.

Homomorfismy

Uvádíme zde obecnou definici homomorfismů, která zahrnuje homomorfismy skupin, kruhů, modulů ( lineární mapy ) atd.

Definice. Nechť A a B jsou algebry se stejným podpisem Ω. Homomorfizmus nebo morfismus (nebo Ω- homomorphism nebo Ω- morfismus pokud je to nutné) z A do B je mapování z A do B, který zachovává konečné operace odpovídající stejné prvky w. Přesněji řečeno, mapa f z A do B je homomorfismus právě tehdy, když pro každé přirozené číslo n a pro každý prvek ω z , ( f ( ), ..., f ( )) = f ( ( , .. . )), bez ohledu na prvky , ..., od A . Pro n = 0 to znamená, že f ( ) = (například pokud A a B jsou vektorové prostory na poli K , máme f (0) = 0). Ωne{\ displaystyle \ Omega _ {n}}ωB{\ displaystyle \ omega _ {B}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}ωNA{\ displaystyle \ omega _ {A}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}ωNA{\ displaystyle \ omega _ {A}}ωB{\ displaystyle \ omega _ {B}}

Volal endomorphism z algebry A jakékoliv homomorfismu z A na A .

Vidíme zde, že zde definované homomorfismy odpovídají homomorfismům různých algebraických struktur, se kterými se setkáváme v obecné algebře (monoidy, skupiny, prstence, moduly na daném prstenci, uspořádané množiny atd.).

Může se stát, že u některých algeber A a B neexistuje homomorfismus z A do B , přestože A a B jsou neprázdné. Například neexistuje homomorphism kroužků polní z racionálních čísel v kruhu relativních čísel.Q{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Q}}}Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}

Příklad. Nechť K tělo, X a Y afinního prostoru K . X a Y jsou algebry tím, že zvažuje, pro všechny nenulové přirozené celé číslo n a pro každou konečnou posloupnost n prvků K , jejichž součet je roven 1, je n -ary operace , které se sekvencí n -bodů přidruží těžiště z osob postižených body těchto prvků k . Pak homomorfizmus X na Y na algebraických struktur tedy význam, jsou jiné než afinních mapy z X do Y . Jinými slovy, afinní zobrazení X v Y nejsou nic jiného než zobrazení X v Y, která zachovávají barycentra.

Návrh. Nechť A , B a C jsou algebry. Sloučenina homomorfismem A v B a homomorphism B na C je homomorphism z A na C . Identita aplikace algebry A je endomorphism A . Z hlediska teorie kategorií tvoří třída algeber podpisu Ω s homomorfismy kategorii pro složení homomorfismů (jako aplikací).

Definice. Nechť A a B jsou algebry se stejným podpisem. Nazýváme izomorfismus z A do B nebo, pokud A = B , automorfismus z A , jakýkoli homomorfismus z A do B, který je bijektivní . Pro izomorfizmu F z A do B , inverzní bijection z f je izomorfismus B na A . To se shoduje s představou izomorfismu v teorii kategorií.

Návrh. Sada endomorfismů A je monoid pro složení homomorfismů, které označujeme End ( A ). Sada automorfismů A je skupina pro složení homomorfismů, kterou označujeme Aut ( A ). Je to skupina invertibilních prvků monoidního konce ( A ).

Pokud existují, pak prázdné algebra jsou pouze originální zboží z kategorie Q podpisu algebry, to znamená, že pro jakýkoli algebry A existuje homomorphism prázdné množiny v A . Pokud není prázdná algebra, existují také počáteční objekty, které nejsou prázdné. Triviální algebry jsou jedinými konečnými objekty této kategorie, to znamená, že pro jakoukoli algebru A existuje jedinečný homomorfismus A v triviální algebře.

Subalgebry

Definice subalgebry

Definujeme zde pojem subalgebry, který zobecňuje obvyklé pojmy indukovaných struktur (nebo podstruktur) obvyklých algebraických struktur, například podskupin , podokruhů , podmodulů (nebo vektoru podprostorů ) atd.

Dáme si jednou provždy algebru A s podpisem Ω.

Definice. Podalgebry z A (nebo v -Ω- algebry z A, pokud je žádoucí určit) je součástí z A, která je stabilní pro každý finitary operace A . Přesněji řečeno, podmnožina S z A je podalgebry z A, tehdy a jen tehdy, když pro nějaké přirozené číslo n , pro jakýkoli prvek w z a bez ohledu na znaky , ..., z S , ( ,, .., ) patří k S . Jestliže n = 0, znamená to, že prvek z A patří do S . Ωne{\ displaystyle \ Omega _ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}ωNA{\ displaystyle \ omega _ {A}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}ωNA{\ displaystyle \ omega _ {A}}

Pokud je S subalgebra A , pak omezením S operací A získáme algebraickou strukturu s podpisem Ω na množině S , která je indukována strukturou A , a proto je S tedy kanonicky algebra podpis Ω. Při zvažování S jako algebra, to je pro tento algebraické struktury na S .

Můžeme ověřit, že subalgebry odpovídají strukturám indukovaným pro obvyklé algebraické struktury: špičaté podskupiny, pod-magma, podmonoidy, podskupiny, podokruhy, podmodly (nebo vektorové meziprostory), subalgebry o o algebry přes komutativním kruhu , jednotka podalgebry podílového algebry přes komutativní prsten, sub-svazy, Booleovy podalgebry atd Subalgebry polí jsou však jeho podřetězci a ne nutně všechna jejich podpole (inverze není unární operace).

Příklad. Nechť K těla a X afinního prostoru na K . X je algebra tím, že uvažuje pro jakékoli nenulové přirozené celé číslo n a pro jakoukoli konečnou posloupnost n prvků K, jejichž součet se rovná 1, operace n -ary, která k posloupnosti n- bodů spojuje barycentrum těch postižených body těchto prvků k . Pak podalgebry X vybaven algebraické struktury na X jsou nikdo jiný než afinních podprostorů v X . Jinými slovy, afinní podprostory X nejsou nic jiného než části X, které jsou stabilní pro barycentra. Prázdná množina je afinní podprostor X , a tedy sub-algebry X .

Vlastnosti subalgeber

Zde jsou základní vlastnosti subalgeber. Čtenář může být obeznámen s analogickými výroky v případě skupin, kruhů nebo modulů. Označíme A algebrou.

• Je podalgebry . Pokud je prázdná (takže v případě, že nejsou žádné prvky odlišit od A ), pak je prázdná množina je sub-algebry .Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}
• Pro každý podalgebry B z A je kanonický injekce z B do A je homomorphism.
• Křižovatka of non-prázdnou množinou sub-algebry je sub-algebra .
• Jakákoli subalgebra subalgebry A je subalgebra A (dědičnost subalgebry).
• Nechť B algebra, f homomorfismu z A do B . Pak se obraz f podalgebry je podalgebry B a inverzní obraz pod f části podalgebry B je podalgebry . Konkrétně, obraz f je sub-algebry B .
• Nechť B je algebra, f je homomorphism z A do B , C a D se podalgebry z A a B , resp. Pokud je f ( C ) zahrnuto v D , pak mapování z C do D, které se shoduje s f, je homomorfismus. Zejména omezení f až C je homomorphism C v B .
• Množina pevných bodů endomorphism A je sub-algebry .
• Nechť B algebra, f a g homomorfismů z A do B . Potom se množina prvků x z A tak, že f ( x ) = g ( x ) je sub-algebry .
• Unie ze souboru E z podalgebry z A, který je filtrování pro vztah inkluze (tj., Je-li A a B patří do E , potom existuje prvek E , který obsahuje A a B ) je podalgebry z A , nazvaný, filtrování spojení těchto subalgeber. Zejména setkání uspořádané soustavě podalgebry z A je podalgebry .

Spojení subalgeber není vždy subalgebra. Například dva různé vektorové linky splňují vektorového prostoru E na tělo není lineární podprostor E .

Autoři, kteří vylučují prázdné algebry, obecně vylučují prázdné subalgebry a průsečík subalgeber není nutně subalgebra, pokud není prázdná.

Generované subalgebry

Definice. Nebo X část z algebry A . Průsečík všech podalgebry A , který obsahuje X je podalgebry G na A , což je, že generované pomocí X . (Tento zobecňuje generované podskupiny, na subrings generované generované podmoduly, atd), pokud G = A , pak říkáme, že X je část generující z A a X generuje A . Analogicky definujeme generující rodiny a rodiny generující .

Definice. Pokud existuje konečná generující část algebry A , říkáme, že A je konečného typu . Pokud existuje prvek A, který generuje A , pak říkáme, že A je monogenní . Tím se zobecňují analogické představy nalezené v teorii skupin, kruhů, modulů atd.

Návrh. Pro inkluzní vztah je množina subalgeber algebry A úplnou mřížkou, tj. Jakákoli sada subalgebry připouští dolní a horní hranici vztahu d 'inkluze. Dolní hranice z rodiny podalgebry je jeho průnik a horní hranice je podalgebry generované jejím unie.

Zde jsou některé vlastnosti generovaných subalgeber.

• Nechť A je algebra. Mapa, která se na kterékoli části X části A přidruží podalgebry of A generované X se zvyšuje, pro vztah začleňování, to znamená, pokud X je součástí části Y of A je podalgebry generovaný X je zahrnuta v tom, že v důsledku Y .
• Nechť A a B algebry, X generující část , f a g homomorfizmy z A do B . Pokud jsou omezení f a g až X stejná, pak f a g jsou stejná. Takže homomorfismy mezi dvěma algebrami jsou určeny omezením na generující část.
• Nechť A a B algebry, f homomorfismu z A do B a X části A . Pak obraz f subalgebry A generovaný X je subalgebra B generovaný f ( X ).

Příklady

• Pokud K je pole, vektorové prostory na K, které jsou konečného typu, jsou ty, které mají konečné rozměry, a ty, které jsou monogenní, jsou ty, které jsou nulové, a ty, které jsou dimenze 1.
• Nechť G skupinu a E G podsestavy, to znamená množinu E opatřený podíl z G na E . Aby E byla monogenní, je nutné a dostačující, aby E byla neprázdná a aby působení G na E bylo přechodné.

Výrobky z algeber

Výrobky z algeber

Pojmy přímého součinu skupin , kruhů a modulů jsou zobecněny v obecném rámci univerzální algebry jako konkrétní případ součinu v teorii kategorií .

Dovolit být rodina podpis algebry Ω indexovány sadou (konečných nebo ne) a P kartézský produktu ze souborů podkladových tyto algebry. (NAi)i∈Já{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ v I}}

Definice. Existuje jedinečná algebraická struktura s podpisem Ω na P tak, že každé přirozené číslo n a pro každý prvek ω z , ( , ..., ) = pro každý prvek = z P , s k = 1, ..., n . Říkáme, že algebra, která má P tuto algebraickou strukturu, je přímým součinem nebo součinem nebo vytvořenou algebrou . této rodiny algeber. Bereme to na vědomí . Pokud I = {1, ..., n}, poznámka také × ... × . Ωne{\ displaystyle \ Omega _ {n}}ωNA{\ displaystyle \ omega _ {A}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}(ωNAi(X1i,...,Xnei))i∈Já{\ displaystyle (\ omega _ {A_ {i}} (x_ {1i}, ..., x_ {ni})) _ {i \ v I}}Xk{\ displaystyle x_ {k}}(Xki)i∈Já{\ displaystyle (x_ {ki}) _ {i \ v I}}∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}NA1{\ displaystyle A_ {1}}NAne{\ displaystyle A_ {n}}

Příklad. Vezměte si příklad z obou algebry A a B . Potom se algebry struktura A x B je definována následujícím způsobem: pro nějaké přirozené číslo n , pro jakýkoli prvek Q o , bez ohledu na prvky o a o s i = 1, ..., n , máme (( , ) , ..., ( , )) = ( ( , ..., ), ( ( , ..., ). Ωne{\ displaystyle \ Omega _ {n}}nai{\ displaystyle a_ {i}}NAi{\ displaystyle A_ {i}}bi{\ displaystyle b_ {i}}Bi{\ displaystyle B_ {i}}ωNA×B{\ displaystyle \ omega _ {A \ krát B}}na1{\ displaystyle a_ {1}}b1{\ displaystyle b_ {1}}nane{\ displaystyle a_ {n}}bne{\ displaystyle b_ {n}}ωNA{\ displaystyle \ omega _ {A}}na1{\ displaystyle a_ {1}}nane{\ displaystyle a_ {n}}ωB{\ displaystyle \ omega _ {B}}b1{\ displaystyle b_ {1}}bne{\ displaystyle b_ {n}}

Zde jsou některé základní vlastnosti produktů algebry.

• Kanonické projektory z . (které prvku přiřazují jeho složku daného indexu) jsou surjektivní homomorfismy.∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}
• Algebraická struktura je jedinečná algebraická struktura na množině, pro kterou jsou kanonické projektory homomorfismy.∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}
• Nechť pro všechny i v I , se homomorphism z algebry v algebře . Poté se mapa ze v níž spolupracovník je homomorphism.Fi{\ displaystyle f_ {i}}NAi{\ displaystyle A_ {i}}Bi{\ displaystyle B_ {i}}∏i∈JáFi{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} f_ {i}}∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}∏i∈JáBi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} B_ {i}}(Xi)i∈Já{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ v I}}(Fi(Xi))i∈Já{\ displaystyle (f_ {i} (x_ {i})) _ {i \ v I}}
• Nechť pro všechny i v I , se podalgebry of . Pak je subalgebra .Bi{\ displaystyle B_ {i}}NAi{\ displaystyle A_ {i}}∏i∈JáBi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} B_ {i}}∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}
• Produkt algebry je asociativní a komutativní, v tom smyslu, že čtenář bude schopen určit (analogicky s kartézským součinem množin).
• Graf homomorfismu mezi dvěma algebry A a B je sub-algebry x B .

Zde je základní vlastnost produktů algebry.

Teorém. Nechť pro všechny i v I , být kanonický projektor produktu (s prvkem spojujeme svou součást indexu i ) a nechť B být algebra. Bez ohledu na homomorphisms z B v (pro všechny i v I ), existuje jedinečná homomorphism g z B, v tak, že pro všechny I v I , (to je homomorphism, jehož složky jsou les ). pi{\ displaystyle p_ {i}}∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}Fi{\ displaystyle f_ {i}}NAi{\ displaystyle A_ {i}}∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}pi∘G=Fi{\ displaystyle p_ {i} \ circ g = f_ {i}}Fi{\ displaystyle f_ {i}}

Aplikační algebra

Nechť A je algebra a X množina. Všechny žádosti o X v A je identický s produktem z algebry všichni rovným A . Z toho tedy vyplývá, že na množině aplikací X v A existuje kanonická algebraická struktura . Několik příkladů algebry jsou subalgebry algeber mapování množiny v algebře. NAX{\ displaystyle A ^ {X}}

Příklad. Nechť E je topologický prostor (například interval pole R reálných čísel). Sada funkcí od E do R , nebo v poli C komplexních čísel, je kruh a sada spojitých funkcí od E do R nebo C je podřetězcem tohoto kruhu. Označíme-li V skutečný nebo komplexní vektorový prostor konečné dimenze, sada map od E do V je skutečný nebo komplexní vektorový prostor a sada spojitých map od E do V je vektorový podprostor tohoto vesmírného vektoru. Algebry tohoto typu najdeme v analýze (prstence nebo vektorové prostory spojitých, diferencovatelných, analytických aplikací, vektorový prostor integrovatelných aplikací atd.).

Zde jsou některé vlastnosti aplikační algebry.

• Úhlopříčná mapa A v (která prvku A spojuje odpovídající konstantní mapu) je homomorfismus.NAX{\ displaystyle A ^ {X}}
• Pro jakýkoli prvek x z X je vyhodnocení v x , které s mapou X v A spojuje jeho hodnotu x , homomorfismus v A (jedná se o projektor produktu).NAX{\ displaystyle A ^ {X}}
• Pro jakoukoli podmnožinu Y z X je mapa, ve které s mapou X v A spojuje své omezení s Y, homomorfismus.NAX{\ displaystyle A ^ {X}}NAY{\ displaystyle A ^ {Y}}

Nechť A a B jsou algebry. Množina homomorfismů z A do B, není nutně podalgebry algebry žádostí A až B . To však platí pro komutativní monoidy, komutativní skupiny, moduly na komutativním kruhu, ale ne pro kruhy.

Kvocienty a kongruence

Definice a základní vlastnosti

Je běžné definovat kvocientovou skupinu skupiny rozlišenou podskupinou , kvocientový kruh prstence dvoustranným ideálem nebo kvocientový modul modulu pomocí submodulu. Zobecnění těchto pojmů v rámci univerzální algebry je však méně okamžité. Tyto kvocienty jsou ve skutečnosti kvocienty s ohledem na konkrétní relace ekvivalence a v těchto příkladech jsou třídy ekvivalence neutrálních prvků ( e , 1 respektive 0) rozlišeny podskupiny, oboustranné ideály a submoduly.

Nechť A je podpisová algebra Ω. Říkáme shodu  (en) (nebo co- shodu , chceme-li jaké) z A žádný vztah rovnocennosti R v tak, aby pro nějaké přirozené číslo n , pro každou prvek Q z jakékoliv prvky , ... , ,. .., a, v případě, pro i = 1, ..., n , a jsou ekvivalentní R , pak ( , ..., ) a ( , ..., ), jsou ekvivalentní R . Ωne{\ displaystyle \ Omega _ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}y1{\ displaystyle y_ {1}}yne{\ displaystyle y_ {n}}Xi{\ displaystyle x_ {i}}yi{\ displaystyle y_ {i}}ωNA{\ displaystyle \ omega _ {A}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}ωNA{\ displaystyle \ omega _ {A}}y1{\ displaystyle y_ {1}}yne{\ displaystyle y_ {n}}

Nebo R kongruence A . Pak každá z operací A přechází na následující kvocient R , tj. Produkuje „dobře definovanou“ operaci v množině kvocientů A / R  : sloučenina tříd ekvivalence prvků A pro R je třída ekvivalence sloučeniny prvky A až R . Algebraická struktura je tedy definován v A / R , a algebry takto získaný, se nazývá kvocient algebry  (v) , nebo, jednodušeji, kvocient z A od R . Když uvažujeme množinu A / R jako algebru s podpisem Ω, je to pro tuto algebraickou strukturu.

Kanonické surjekce z A na A / R je homomorphism. Ve skutečnosti je algebraická struktura A / R jedinečnou algebraickou strukturou na množině A / R, pro kterou je toto surjekce homomorfismem.

Vraťme se k případu skupin. Nechť G je skupina. Poté, pro každou podskupinu H z G je ekvivalence v G definován H ( x a y jsou ekvivalentní tehdy a jen tehdy, pokud patří k H ) je Shodnost G . Naopak, pro jakýkoli kongruence R z G , ekvivalence třída neutrálního prvku G je podskupina G . To dává bijection mezi shodnost G a normálních podskupin G . Podobné výsledky jsou získány pro prsteny a moduly nahrazením rozlišujících podskupin dvoustrannými ideály a podmoduly. Xy-1{\ displaystyle xy ^ {- 1}}

Shodnosti A nejsou nic jiného než subalgebry produktové algebry A × A, což jsou ekvivalenční vztahy.

Zde jsou některé vlastnosti kongruencí.

• Totožnost sadě A a sadou × A jsou kongruence .
• Průsečík sadu congruences A je shoda .
• Nechť B je podalgebry A . Pro kongruence R z A je ekvivalence na B indukované R (jeho průnik R ∩ ( B x B ), s B x B ) je shoda v B , které se říká, vyvolané na B pomocí R .
• Pro binární relace R na A , je zde menší shoda z A , který obsahuje, a to je průsečík sady shodností A , které ji obsahují, a říká se generuje pomocí R .
• Sada kongruencí A je úplnou mřížkou pro relaci inkluze, to znamená, že jakákoli sada kongruencí A připouští pro relaci inkluze dolní a horní hranici . V této mřížce je dolní mez rodiny kongruencí její průsečík a horní hranice je kongruence generovaná jejím spojením.

Příklad afinní geometrie. Nechť K tělo a E afinního prostoru K připojena k vektorovém prostoru V o K . Považujeme E jako algebra pro vhodnou podpisu (viz výše). Pro libovolný vektorový podprostor W z V je množina párů ( x , y ) bodů E taková, že x - y patří do V, je kongruence této algebry, a tak získáme bijekci mezi mřížkou kongruencí E je že podprostorů v .

Průchod do kvocientu a věty o izomorfii

Stejně jako v případě skupin, kruhů a modulů existuje pojem přechodu na kvocient homomorfismů a existují věty o izomorfii .

První věta o izomorfii. Nechť A a B algebry, f homomorfismu z A do B . Potom vztah ekvivalence U v A spojený s f ( x je ekvivalentní k y pro U tehdy a jen tehdy, když f ( x ) = f ( y )) je kongruence v A , říká se, že je spojena s f a je uvedeno , a l Mapa g z A / do B odvozená z f předáním kvocientu je injektivní homomorfismus, a proto g definuje izomorfismus z A / do f ( A ). Pokud f je surjekce , pak g je izomorfismus A / na B . RF{\ displaystyle R_ {f}}RF{\ displaystyle R_ {f}}RF{\ displaystyle R_ {f}}RF{\ displaystyle R_ {f}}

Obecněji řečeno, je-li R a S jsou kongruencí A a B, v tomto pořadí, a pokud je, bez ohledu na elementy x a y z A , které jsou ekvivalentní pro R , f ( x ) a f ( y ) jsou ekvivalentní pro S (říkáme, přičemž f je kompatibilní s R a S ), pak přechodem na kvocient definujeme mapu A / R v B / S a tato mapa je homomorfismus.

Návrh. Nebo R je vztah rovnocennosti v algebry A . Pro R být shoda z A , je nezbytné a dostatečné, že existuje homomorphism f na A v algebry B, tak, že R je shodnost A spojeno s f .

Definice. Říkáme, že algebra B je homomorfní obraz algebry A, pokud existuje surjektivní homomorfismus f z A na B , a pak B je izomorfní s algebrou A / R , kde R je kongruence A spojená s f .

Zde je základní vlastnost kvocientových algeber.

Teorém. Nechť A a B algebry, R kongruence A a p kanonické mapy A na A / R . Pro každý homomorphism f z A / R v B , pak f o p je homomorphism z A do B, který je kompatibilní s R . Mapa f f o p množiny homomorfismů z A / R na B do množiny homomorfismů z A do B, které jsou kompatibilní s R je bijekce. Z hlediska teorie kategorie , může být vykládáno tím, že dvojice ( / R , p ) je reprezentativní z funktoru , kategorie podpisu algebry w v kategorii souborů, který má jakýkoliv algebry X a Q podpisu zahrnuje všechny homomorphisms A v X, které jsou kompatibilní s R . ↦{\ displaystyle \ mapsto}

Definice. Nechť být algebry, B dílčí algebry a R kongruence . Říká se, že B je nasycený pro R v případě, že rovnocennost třída pro R jakéhokoli prvku B je zahrnuta v B , znamená, že pokud B je spojení cosets z R . Setkání všech tříd ekvivalence pro R z prvků B je sub-algebry , který je nasycený, aby R , a to se nazývá nasycená z B k R . To se rovná obrazu R ( B ) ze B vztahem R .

Návrh. Nechť A a B jsou algebry takové, že existuje homomorfismus f z A na B a nechť R je kongruence A spojená s f . Potom se mapování souboru podalgebry z A, které jsou nasycené pro R k sadě podalgebry o f ( B ), který se tak podalgebry C z A přidružených f ( C ) je bijekce.

Druhá izomorfní věta. Nechť být algebry, B dílčí algebry , R kongruence A a C nasycené B pro R . Potom se kanonický injekce B na C, je v souladu s ekvivalence S a T indukovaných na B a C o R , a proto se přechází na kvocientu, homomorphism g o B / S v C / T . Je-li více A = C , pak g je izomorfismus B / S na A / R = C / T .

Třetí věta o izomorfii. Nechť být algebra, R a S shodností taková, že R je součástí S . Pak totožnost A je kompatibilní s R a S a pak se relace ekvivalence spojená s mapou h z A / R na A / S odvodit z identity A předáním na podílu se označuje S / R a nazývá kvocient z S o R . Aplikace ( A / R ) / ( S / R ) v A / S odvozená od h přechodem do kvocientu je izomorfismus ( R jsou zjednodušené ).

Návrh. Nechť být algebra a R kongruence A . Pak je mapování množiny kongruencí A, která obsahuje R, na množinu kongruencí A / R, která na jakoukoli kongruenci S z A, která obsahuje R, sdružuje S / R, je bijekce.

Návrh. Dovolit být u rodiny algebra a v případě jakéhokoli prvku i z I , je shoda v . Pak binární vztah R v definovaný R právě tehdy, když R je kongruence v . To je vztah rovnocennosti spojené s homomorphism g o ve kterém na přidružených rodiny rovnocennosti tříd po des . Podle první věty o izomorfii odvodíme z g přechodem na následující kvocient R izomorfismus sur . (NAi)i∈Já{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ v I}}Ri{\ displaystyle R_ {i}}Ri{\ displaystyle R_ {i}} ∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}(Xi)i∈Já{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ v I}} (yi)i∈Já{\ displaystyle (y_ {i}) _ {i \ v I}}Xi{\ displaystyle x_ {i}} yi{\ displaystyle y_ {i}}∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}∏i∈JáNAi{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}∏i∈JáNAi/Ri{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i} / R_ {i}}(Xi)i∈Já{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ v I}}(Ri(Xi))i∈Já{\ displaystyle (R_ {i} (x_ {i})) _ {i \ v I}}Xi{\ displaystyle x_ {i}}Ri{\ displaystyle R_ {i}}∏i∈JáNAi/R{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i} / R}∏i∈Já(NAi/Ri){\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} (A_ {i} / R_ {i})}

Jednoduché algebry

Definice. Říkáme, že algebra A je jednoduchá  (en), pokud množina jejích kongruencí je množina se dvěma prvky, tj. Pokud A není ani prázdná, ani triviální a pokud neexistuje jiná shoda než identita A a shoda A × A .

Tato definice zobecňuje pojem jednoduchých skupin , jednoduchých modulů na daném kruhu. Definice jednoduchých prstenů a jednoduchých algeber (na prstenci) se u jednotlivých autorů liší, tato definice ji někdy zobecňuje. V případě Lieových algeber nad daným komutativním polem se navíc vyžaduje, aby jednoduché Lieovy algebry  (en) nebyly komutativní a měly konečnou dimenzi .

Algebra pojmů a variet algeber

Algebry výrazů

Algebra podpisových členů Ω na množině je algebra, která umožní definovat pojem identity v algebře, například asociativitu, komutativitu a distributivitu. Intuitivně je tvořen ze všech formálních kombinací prvků této množiny z prvků Ω, interpretovaných jako operátory. Tuto algebru si můžeme představit jako druh algebry polynomů v neurčitých (v konečném nebo nekonečném počtu).

Definice. Nechť jsem set. Existuje nejmenší množina T taková, že I a jsou zahrnuta v T (předpokládáme tyto dvě disjunktní množiny) a taková, že pro jakékoli nenulové přirozené číslo n , pro jakýkoli prvek ω a bez ohledu na n prvků , ..., z T sekvence (ω, ..., ) patří k T . Tam pak existuje unikátní algebraickou strukturu s podpisem Q na T tak, že je množina konstant T a tak, že pro všechny nenulové přirozené číslo n , u součásti w z a bez ohledu na n prvky , ..., z T , ( , ..., ) = (ω ,, ..., ), která umožňuje, aby označení podle W ( , ..., ), je prvek (ω ,, ..., ) z T . Říkáme algebře termínů s podpisem Ω konstruovaných na I a takto získanou algebru označujeme pomocí ( I ) nebo T ( I ). Nazývá se také algebry slov nebo absolutně volná algebra . Prvky T se nazývají termíny nebo slova . Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}Ωne{\ displaystyle \ Omega _ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}Ωne{\ displaystyle \ Omega _ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}ωT{\ displaystyle \ omega _ {T}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xne{\ displaystyle x_ {n}}TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}

Prvek i z T je třeba poznamenat, a jsou nazývány neurčité o T . Xi{\ displaystyle X_ {i}}Xi{\ displaystyle X_ {i}}

Termíny jsou tedy formální výrazy tím, že nechají prvky Ω působit na neurčité ( prvky I ) a konstanty (prvky ), a tím, že prvky Ω působí na takto získané výrazy, a zopakují předchozí, konečný počet opakování. Xi{\ displaystyle X_ {i}}Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}

Věta . Algebra T = ( I ) má univerzální vlastnost  : pro jakoukoli algebru A a pro jakékoli mapování f ze sady I na A existuje jedinečný homomorfismus algebry od T do A, který sahá f , a získáme tak bijekci mezi všechny žádosti I v a všechny homomorphisms T na v . TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}

Nechť A je algebra. Identifikací sady map I v A k množině rodin prvků A indexovaných I máme podle výše uvedeného kanonickou bijekci φ mezi množinou rodin prvků A indexovaných I a všemi homomorfismy T v A . Pro jakýkoliv rodina prvků A indexovány I a pro každý prvek t z T , označíme hodnotu, při t o homomorphism cp ( ) z T na A  : máme tedy říci, že tento prvek A se získá substitucí na aux . Intuitivně, každý výskyt neznámého nahrazuje termínem t u prvku z A a vypočítává expresi získané v A . To je interpretováno stejným způsobem jako substituce neurčitých polynomů prvku jednotné a komutativní asociativní algebry na komutativním kruhu. (nai)i∈Já{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ v I}}t((nai)i∈Já{\ displaystyle t ((a_ {i}) _ {i \ v I}}(nai)i∈Já{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ v I}}nai{\ displaystyle a_ {i}}Xi{\ displaystyle X_ {i}}Xi{\ displaystyle X_ {i}}nai{\ displaystyle a_ {i}}

Pro každý algebry A , je surjektivní homomorphism s hodnotami v A definovaných na algebře podmínek postavených na A .

Totožnosti

Definice. Říkáme identita podpisu Ω konstruovaná na X libovolném páru prvků T = ( X ). Vzhledem k identitě ( u , v ) říkáme, že algebra A splňuje identitu u = v, pokud pro jakoukoli rodinu x = prvků A indexovaných I máme u ( x ) = v ( x ), v ostatních slovy, dosazením za jakýkoli prvek i z I , stejný prvek A za neurčitý v u a v , jsou prvky A takto získané stejné. TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}} (Xi)i∈Já{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ v I}}Xi{\ displaystyle X_ {i}}

Příklady. Uvažujeme magma M , to znamená, že soubor opatřený jediným právem složení.

• Předpokládáme, že I = {1, 2, 3} a uvažujeme T = T ({1, 2, 3}) a identitu ( ) = ( ). Říci, že M uspokojuje tuto identitu, znamená, že M je asociativní.X1{\ displaystyle x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}X3{\ displaystyle x_ {3}}X1{\ displaystyle x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}X3{\ displaystyle x_ {3}}
• Předpokládáme, že I = {1, 2} a uvažujeme T = T ({1, 2}) a identitu = . Říci, že M uspokojuje tuto identitu, znamená říkat, že M je komutativní. Tento příklad platí také pro monoidy, skupiny a kruhy.X1{\ displaystyle x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}X2{\ displaystyle x_ {2}}X1{\ displaystyle x_ {1}}

Příklady. Zde je několik příkladů identit:

• asociativita zákona o složení;
• komutativita zákona o složení;
• idempotence zákona složení (čtverec libovolného prvku x se rovná x ), například zákony mřížky  ;
• distribučnost jednoho zákona složení proti druhému (násobení s ohledem na přidání kruhu);
• distributivita vnějšího zákona složení na zákonu složení (jeden z axiomů například vektorového prostoru;
• „asociativita“ vnějšího zákona (například identity ( ab ) x = a ( bx ) ve vektorovém prostoru pole, kde a a b jsou skaláry a x je vektor);
• skutečnost, že prvek je neutrálním prvkem pro zákon složení (pokud je neutrální prvek součástí podpisu);
• skutečnost, že prvek je pro vnější zákon „neutrální“ (například identita 1. x = x ve vektorovém prostoru na poli, kde 1 je jednotkový prvek pole skalárů);
• skutečnost, že daná aplikace spojuje s jakýmkoli prvkem skupiny svou inverzní funkci (pokud je inverzní funkce součástí podpisu).

Odrůdy algeber

Definice. Různé podpisu algebry Q je třída V podpisu algebry Q tak, že existuje soubor I a podmnožina S o ( I ) x ( I ) tak, že V je skupina všech podpisu algebry w, které splňují každý z identit S . Ve skutečnosti bychom se obecně mohli definovat odrůdy algeber, mohli bychom se omezit na zvážení algebry podmínek nekonečné spočetné množiny pevné jednou provždy (například množina přirozených čísel). TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}

Například monoidy, skupiny, prsteny, moduly na daném prstenci (nebo vektorové prostory na daném poli) tvoří odrůdy algeber.

Odrůdy algeber s daným podpisem tvoří kategorie pro homomorfismy a složení homomorfismů a tyto kategorie mají většinu obvyklých společných vlastností kategorií skupin, monoidů, prstenů, vektorových prostorů na poli atd. : konstrukce indukovaných struktur a kvocientů, existence a konstrukce produktů, existence volných objektů, existence jakýchkoli limitů a kolimit, konstrukce jakýchkoli limitů a filtračních kolimitů. V jistém smyslu můžeme říci, že odrůdy algebry jsou „dobrými“ kategoriemi algeber.

Třída všech algeber, které jsou prázdné nebo triviální, tvoří různé algebry.

Určité operace algebraických struktur, které vedou k řadě algeber, nejsou uvedeny v obvyklé definici. Například, skupina sada opatřen právem kompozice ověřovacího určité vlastnosti, ale pouze existenci z neutrální prvek a existenci inverzní jakéhokoli prvku jsou součástí obvyklé definice, ale skupina n ‚je, v obvyklá definice, opatřená neutrálním prvkem a inverzí. Abychom určili, s jakými operacemi se zabýváme v různých algebrách, můžeme prozkoumat axiomy substruktur (podskupiny, podokruhy atd.).

Nechť V je řada algeber. Máme funktor , o kterém se říká, že zapomínáme , na kategorii V v kategorii množin přidružením k jakékoli algebře A z V její základní množinu.

Příklady odrůd algebry

Jeden zde najde seznam hlavních odrůd algebry, se kterými se setkává v matematice. Pro každý z následujících typů algebraické struktury tvoří třída všech algeber, které jsou tohoto typu, různé algebry:

• Tyto soupravy (bez konečného provozu).
• Na špičaté soupravy , to znamená, že dokumentů uvedených s prvkem.
• Tyto magmas , to znamená, že dokumentů uvedených s právem složení.
• Asociativní magma, to znamená magma, jejichž zákon je asociativní.
• Komutativní magma, to znamená magma, jehož zákon je komutativní.
• Jednotková magma, to znamená magma mající jednotkový prvek.
• Monoidy, to znamená unitární magma, jejichž zákon je asociativní.
• Komutativní monoidy.
• Skupiny.
• Komutativní skupiny.
• Tyto unární algebry s operátory v dané množině S , to znamená, že sady E obdařené externím právem S na E (tedy unární operátor na E pro každý z prvků S ).
• M -sets, kde M je dána monoid (jedna skupina například), to znamená, že se nastaví E opatřen podílem z G na E .
• Skupiny operátorů v daném set S , to znamená, že skupiny G opatřené vnější právo S na G , které definuje, pro každý z prvků s endomorphism skupin G .
• Komutativní skupiny s operátory v dané množiny S .
• Tyto quasigroups .
• Tyto smyčky . Asociativní smyčky nejsou nic jiného než skupiny.
• Tyto semi-kroužky .
• Tyto prsteny .
• K komutativní prsteny .
• Tyto moduly na daném kruhu A (zejména vektorové prostory přes dané tělesa K ).
• Tyto bimodules na dvě dané kruhů A a B (unární operace pro každý z prvků A a B ).
• Algebry přes komutativní prsten dané (bez předpokladů o jiné než bilinearity násobení).
• Asociativní algebra přes komutativní kruhu dané .
• Jednotkový asociativní algebra přes komutativní kruhu dané .
• Jednotka asociativní komutativní algebry daný komutativní prsten A .
• Alternativní algebry za dané komutativní kruhu A , tj. Algebra přes A , jehož násobení je taková, že ( xx ) y = x ( xy ) a y ( xx ) = ( YX ) x bez ohledu na x a y prvky z A (například, skutečná algebra Cayleyových oktonionů ).
• Jednotka alternativní algebry přes komutativní kruhu dané .
• Tyto involutive kroužky , to znamená, že se prstence A s antiautomorphism kroužkem z A (izomorfismus z A na kruhu naproti na A ). Příklady: pole komplexních čísel poskytované s konjugací komplexních čísel nebo pole čtveřic poskytované s konjugací čtveřic. Používají se v teorii sesquilineárních forem na prstenci.
• Involutive algebry přes komutativní kruhu vzhledem , to znamená, že je asociativní algebry jednotku E na A opatřena involuce A, to znamená, že automorphism A -module x → x * E tak, že ( x *) a * ( xy ) * = y * x * co x a y v E . Zobecňují involutivní kroužky (tím, že pro A vezmou kruh relativních celých čísel). Intuutivní algebry se nacházejí ve funkční analýze ( C * -algebry ).Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}
• Diferenciální moduly v dané komutativní kruhu A , která znamená, že -modules M opatřen endomorfismů D o M tak, že D ( D ( x )) = 0 pro jakýkoli prvek x v M . Intuutivní moduly se nacházejí v homologické algebře (komplex řetězců lze považovat za diferenciální modul).
• Diferenciální prstence, to znamená prstence A , které jsou vybaveny endomorfismem skupiny D z A tak, že bez ohledu na prvky x a y v A máme D ( xy ) = D ( x ). y + x . D ( y ). Příklad: kruh polynomů s jedním neurčitým s koeficienty v kruhu poskytnutém derivací polynomů, nebo kruh neurčitě diferencovatelných reálných funkcí definovaných na R poskytnutý s derivací jeho funkcí.
• Lie algebra přes komutativní kruhu dané .
• Jordán algebry na komutativním K charakteristické odlišný od 2.
• Tyto semi-mříže  (en) nebo návěsy mříže, to znamená, že komutativní asociativní magmas T tak, že u součásti x v T , x ² = x .
• Na mřížoví .
• Ohraničené mříže, tj. Mříže mající menší prvek a větší prvek, přičemž tyto prvky byly považovány za operace s nullou.
• Tyto distributivní svazy .
• Modulární mřížka  (v) .
• Tyto Booleovy algebry .
• Tyto logické kroužky , to znamená, že se prstence tak, že pro jakýkoli prvek x z A , x ² = x . Je ekvivalentní dát si na množině booleovskou algebraovou strukturu a na této množině booleovskou prstencovou strukturu.

Zde algebraické struktury, které netvoří algebraické odrůdy: na semi-skupiny , to znamená Monoids kterém každý element je zrušit, je komutativní pole , na hlavní kroužky , že faktoriál prsteny , že volné moduly na daném netriviální kroužku A , který není pole, kompletní svazy.

Nechť K je pole (komutativní nebo ne). Nechť X je afinní prostor nad polem K , vezmeme-li v úvahu prázdnou množinu jako afinní prostor spojený s nulovým vektorovým prostorem. Pak pro jakékoli nenulové přirozené celé číslo n a pro jakoukoli konečnou posloupnost n prvků K, jejichž součet se rovná 1, máme operaci n -ary, která k posloupnosti n- bodů sdružuje barycentrum těchto bodů ovlivněných těmito prvky K . Proto definujeme algebraické struktury na X . Ve skutečnosti můžeme ukázat, že spojením s každým afinním prostorem na K takto definovaná algebra máme funktor kategorie afinních prostorů na K (morfismy jsou afinní mapy) v různých algebrách, což je ve skutečnosti rovnocennost kategorií . To ukazuje, že kategorické vlastnosti algebraických variet vztahuje na kategorii afinního prostoru nad K. .

Vlastnosti odrůd algebry

Odrůdy algebry jsou stabilní pro většinu obvyklých konstrukcí v algebře. Nechť V je rozmanitost algeber. Máme následující vlastnosti.

• Každý podalgebry z algebry V je algebry V .
• Pro kongruence R z algebry A z V , algebry podíl A od R je algebry V .
• Bez ohledu na algebry a B , v případě, že je surjektivní homomorfismus A nad B, a v případě, je algebry V , pak B je algebry V .
• Každá algebry je izomorfní algebra V je algebry V .
• Algebra produkt z rodiny algebry V je algebra V .
• Vakuum algebry (pokud existuje) je algebry V a jakékoli triviální algebry (to znamená, že, což je Singleton) je algebry V .

Ve skutečnosti máme následující charakterizaci odrůd algebry.

Birkhoff ‚s věta . Aby třída V algeber s podpisem Ω byla různá algebry, je nutné a dostatečné, aby splňovala následující vlastnosti:

• jakákoli subalgebra algebry V je algebra V ;
• ať už jsou algebry A a B jakékoli , pokud A je algebra V a existuje surjektivní homomorfismus od A do B , pak B je algebra V ;
• produktem z rodiny algebry V je algebra V .

Návrh. Nechť V je řada algeber. Poté, ve smyslu teorie kategorií se isomorphisms kategorie V jsou nikdo jiný než homomorfismů z V, které jsou bijekce a monomorphisms z V jsou nikdo jiný než homomorfismů z V, které jsou injekce. Jakýkoli surjektivní homomorfismus V je epimorfismem kategorie V , ale obrácení může být nepravdivé, jak ukazuje kategorie prstenů (nebo monoidů): můžeme ukázat, že v kategorii prstenů existuje injekce kanonická kruh racionálních celých čísel v oblasti racionálních čísel je epimorfismus. Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}Q{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Q}}}

V odrůdách algebry někteří autoři nazývají surjektivní homomorfismy epimorfismy , které lze zaměnit s epimorfismem teorie kategorií.

Návrh. Přímé produkty algeber V nejsou nic jiného než produkty ve smyslu teorie kategorií .

Všechny obecné vlastnosti odrůd algebry se vztahují na všechny algebraické struktury, které tvoří odrůdy algeber uvedené výše, a na mnoho dalších. Můžeme tedy definovat pro jeho struktury homomorfismy, subalgebry a kongruence a můžeme konstruovat přímé produkty a kvocienty jednotným způsobem. Kromě toho, jak uvidíme, můžeme konstruovat libovolné limity a filtrační kolimity funktorů (zejména projektivní a induktivní limity projektivních a indukčních systémů indexovaných uspořádanými filtračními sadami ) stejným způsobem jako v teorii množin . Zejména máme ekvalizéry, ko-ekvalizéry a vláknové produkty, konstruované jako v teorii množin. Můžeme také ukázat, že tyto struktury připouštějí jakékoli kolimity, zejména vedlejší produkty (nebo součty) a vláknové vedlejší produkty (nebo sloučené nebo vláknité částky), ale každá odrůda algeber má svou konstrukci, která se může lišit od konstrukce, kterou jeden najde v teorii množin. Můžeme konstruovat volné algebry generované množinami.

Zdarma algebry

Zdarma algebry

V algebře najdeme různé volné objekty na množině: volné monoidy, volné skupiny , volné moduly na daném prstenci, algebra polynomů s koeficienty ve komutativním kruhu. Všechny tyto příklady jsou poměrně dobře známé (na univerzitní úrovni). Všechny tyto konstrukce mají společné vlastnosti, které ve skutečnosti spadají pod teorii kategorií , a jsou zobecněny v odrůdách algeber.

Nechť V je řada algebry s podpisem Ω, a předpokládejme, že ve V jsou netriviální algebry , tj. Algebry, které mají více než jeden prvek. Máme tedy následující větu:

Teorém. Pro libovolnou množinu I existuje algebra L z V, která obsahuje I jako podmnožinu, takže pro jakoukoli algebru A z V a pro jakoukoli mapu f z I do A existuje jedinečný homomorfismus z L do A, který sahá f . Říká se, že taková algebra L je bez algebry postavený na I v V . Část I z L je pak generátor L .

Jestliže V je rozmanitost veškerého algebry podpisu W, zatímco termín algebra ( I ) je volná algebra postavený na I. . TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}

Návrh. Ať už je volný algebra L a M postavené na I až V , existuje jedinečná izomorfismus L na M , která se rozprostírá identity aplikace sady I. . Volná algebra postavená na I ve V je tedy jedinečná s výjimkou jediného izomorfismu.

Volné algebry postavené na I ve V jsou proto jedinečné až na jediný izomorfismus. Můžeme si je tedy vybrat jednou provždy. Ale je tu kanonické konstrukce, která je kvocient algebra algebry požadavků stavěných na I. . Tato konstrukce je platná pro každou z odrůd algebry, ale v praxi u nejdůležitějších odrůd algebry existuje jednodušší explicitní konstrukce, která skutečně závisí na rozmanitosti uvažovaných algeber. Výstavba explicitní nezáleží, ale my jsme vybudovali moc hovořit o volné algebry , a nikoli volný algebru postavené na I . Tady je jeho konstrukce.

Nechť S je množina párů prvků ( je množina přirozených celých čísel), což jsou identity uspokojené jakoukoli algebrou V a nechť R je kongruence generovaná množinou ( f ( s ), f ( t )) tak, že f je homomorfismus z in a ( s , t ) je členem s . Pak sloučenina kanonické injekce I do a kanonického surjekce na L = / R je injekce a identifikací I na obrázku této injekce je L volná algebra postavená na I ve V , kterou nazýváme je to volná algebra postavená na I ve V a označíme ji ( I ). TΩ(NE){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (\ mathbb {N})}}NE{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {N}}}TΩ(Já){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}TΩ(NE){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (\ mathbb {N})}}TΩ(Já){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}TΩ(Já){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}TΩ(Já){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}TΩ(Já){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}LPROTI{\ displaystyle L_ {V}}

Příklady. Zde jsou varianty algeber, kde je dobře známa explicitní konstrukce volných algeber konstruovaných ze sady I , s uvedením explicitní konstrukce:

• magmas: je to ve skutečnosti algebra pojmů;
• monoidy: monoid slov postavený na I , tj. množina konečných posloupností prvků I , s juxtapozicí jako produktem (a s prázdným slovem jako neutrálním prvkem);
• skupiny: volná skupina postavená na I  ;
• komutativní monoidy: sada konečných podpůrných rodin prvků indexovaných množinou I  ;NE{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {N}}}
• moduly na daném kruhu A  : množina konečných podpůrných rodin prvků A indexovaných množinou I  ;
• unifikátor asociativních algeber na daném komutativním kruhu A  : tenzorová algebra na volném A- modulu postaveném na I  ;
• asociativní a komutativní unital algebry přes komutativní kruhu dané  : algebry polynomů s koeficienty v A s neurčeným každý z prvků I , který je isomorphic k symetrické algebře z A -module postavené na I .

Návrh. Bez ohledu na množiny I a J a mapu f od I do J existuje jedinečný homomorfismus od ( I ) do ( J ), který rozšiřuje f , a označujeme jej ( f ). Tento homomorfismus je injektivní, surjektivní nebo izomorfismus v závislosti na tom, zda je f injektivní, surjektivní a bijektivní. Pokud jde o teorii kategorií , definujeme tedy funktor F kategorie množin ve V , což je ve skutečnosti doplněk nalevo od zapomnětlivého funktoru V v kategorii množin. LPROTI{\ displaystyle L_ {V}}LPROTI{\ displaystyle L_ {V}}LPROTI{\ displaystyle L_ {V}}

Definice. Říkáme, že algebra V je zdarma jako qu'algèbre of V (bez odkazu na sadu neurčitého), pokud je isomorphic k volnému algebře postavené na sadě ve V. . Závisí to na odrůdě V , nejen na Ω. Tím se zobecňuje pojem volného modulu nebo volné skupiny.

Pro algebry A existuje homomorfismus surjektivní hodnoty v A definovaná na volné algebry postavené na podkladové nastaven na A .

Počáteční algebry

Pro účely teorie kategorie, nějaká paleta algebry A připouští vstupní objekty, to znamená, že algebry U tak, že pro každou algebry A z V , existuje jedinečná homomorfismus U v A . Počáteční objekty v potrubí V nejsou nic jiného než volné objekty postavené na prázdné sadě a jsou jedinečné až na jediný izomorfismus.

V kategorii množin je prázdná množina jediným počátečním objektem, ale v různých algebrách počáteční objekty nemají prázdnou množinu jako podkladovou množinu, pokud v podpisu není operace nully (zatímco finální objekty mají singletony jako jejich podkladová množina, konečné objekty v kategorii množin).

Zde je několik příkladů počátečních objektů v odrůdách algebry:

• pro magma nebo asociativní magma je prázdné magma jediným počátečním objektem;
• pro špičaté množiny, monoidy, skupiny a moduly na daném prstenci jsou počáteční objekty triviální algebry;
• pro kroužky je kruh racionálních celých čísel počátečním objektem;Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}
• pro jakýkoli komutativní kruh K , K je počátečním předmětem rozmanitosti asociativních nepůvodních algeber nad K  ;
• prázdná mříž je jediným počátečním předmětem rozmanitosti mřížek;
• booleovská algebra {0, 1} je počátečním objektem řady booleovských algeber.

Zdarma algebry na sadě jednoho prvku

Funktor zapomínání na řadu algeber V v kategorii množin je reprezentovatelný . Jinými slovy, existuje dvojice ( U , c ) tvořená algebrou U z V a prvkem c množiny ležící pod U tak, že pro jakoukoli algebru A z V je mapa f → f ( c ) Hom ( U , A ) v podkladové množině A je bijekce. Zástupci functor identifikovat s volným algebry na sadu postaven v element ( c místa) v V . V kategorii množin je dvojice ({0}, 0) zástupcem funktoru identity kategorie množin.

Zde je několik příkladů odrůd algebry:

• pro kategorii monoidů (a komutativních monoidů) :, kde je aditivní monoid přirozených celých čísel (včetně 0);(NE,1){\ displaystyle {} ^ {(\ mathbb {N}, 1)}}NE{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {N}}}
• pro asociativní magma (a komutativní asociativní magma) :, s ohledem na sčítání;(NE∖{0},1){\ displaystyle {} ^ {(\ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}, 1)}}
• pro skupiny (a komutativních skupin)  :;(Z,1){\ displaystyle {} ^ {(\ mathbb {Z}, 1)}}
• pro A- moduly, kde A je kruh: ( A , 1);
• pro M -sets, kde M je monoid (jedná se o sady E dotovaný působení o M o E ): ( M , 1);
• pro sjednocené (a komutativní) asociativní A -algebry dvojice ( A [ X ], X ), kde A [ X ] označuje A -algebru polynomů s neurčitým X  ;
• pro tečkované sady: (({0, 1}, 0), 1).

Nechť G je skupina. U systému akce z G na nonempty E být jednoduše tranzitivní, je nutné a postačující, že G -Set, že je množina E za předpokladu, v této akci být bez G -Set postaven na prvek E .

Střídání

Nechť jsem set. Pro jakýkoli prvek i v I můžeme potom označit prvek ( I ), se kterým je identifikováno i , a říkáme, že jsou neurčité z ( I ). Interpretací prvků I tímto způsobem máme následující výsledek. Xi{\ displaystyle X_ {i}}LPROTI{\ displaystyle L_ {V}}Xi{\ displaystyle X_ {i}}LPROTI{\ displaystyle L_ {V}}

Buď Na algebry V . Identifikací sady map I v A k množině rodin prvků A indexovaných I máme podle definice volných algeber kanonickou bijekci φ mezi množinou rodin prvků A indexovaných I a všechny homomorphisms L = ( i ) v a . Pro jakýkoliv rodina prvků A indexovány I a pro každý prvek t o L , označíme hodnotu, při t o cp ( ): máme tedy říci, že tento prvek A se získá substitucí na aux . To je interpretováno stejným způsobem jako substituce neurčitých polynomů prvku jednotné a komutativní asociativní algebry na komutativním kruhu. LPROTI{\ displaystyle L_ {V}}(Xi)i∈Já{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ v I}}t((Xi)i∈Já){\ displaystyle t ((x_ {i}) _ {i \ v I})}(Xi)i∈Já{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ v I}}Xi{\ displaystyle x_ {i}}Xi{\ displaystyle X_ {i}}

Nechť A je algebra V , t prvek L = ( I ). Tím, že se spojíme tímto způsobem s jakýmkoli prvkem prvku prvku A , získaného substitucí v t , získáme mapování v A, které je interpretováno, v případě potrubí unifikátoru a komutativních asociativních algeber na kruhovém komutativu K , jako polynomiální mapa spojená s t . LPROTI{\ displaystyle L_ {V}}NAJá{\ displaystyle A ^ {I}}NAJá{\ displaystyle A ^ {I}}

Závislost a základy

Nechť být algebra V , rodina prvků A indexovány souborem I odpovídající a φ v homomorfismem ( I ) v A . (Xi)i∈Já{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ v I}}LPROTI{\ displaystyle L_ {V}}

• Aby tato rodina byla generátorovou rodinou A , je nutné a dostačující, aby φ byla surjekce , která závisí pouze na podpisu algeber, a nikoli na rozmanitosti algeber.
• Říkáme, že tato rodina je volná nebo že její prvky jsou v A nezávislé, pokud φ je injekce , a jinak říkáme, že rodina je příbuzná nebo že její závislé prvky . Tím se zobecňuje pojem lineární závislosti, se kterou se člověk setkává v lineární algebře, a algebraické závislosti, se kterou se člověk setkává ve sjednocujících a komutativních asociativních algebrách na komutativním kruhu (algebra polynomů).
• Říkáme, že rodina prvků A je základem of A pokud se jedná o rodinné generátor a volný rodina, tj. Pokud je φ izomorfismus. Tím se zobecní základy modulů nebo vektorových prostorů.
• Algebra je zdarma V případě, a pouze v případě, že má základ ve vztahu k V .

Pojmy svobodná rodina, nezávislé prvky a základ závisí na rozmanitosti algeber, nejen na podpisu algebry, na rozdíl od případu generování rodin.

Prezentace

Skupinové prezentace najdete v algebře . Tato představa je zobecněna pro případ odrůd algebry.

Definice. Buď algebry Různé algebry V . Říkáme prezentaci z A (relativně k V ) jakoukoli dvojici ( X , S ), tvořené generující části X z A a sadou S dvojic prvků volný algebry L postavených na X tak, že shoda R algebry L generované S je vztah rovnocennosti spojené s unikátní homomorfismu z L na A, která se rozkládá na kanonický injekci X v A . Prvky X se pak nazývají generátory na prezentaci a prvky S jsou vztahy k prezentaci.

Tato představa prezentací v různých algebrách dobře zobecňuje pojmy skupin. V případě skupin si dáme generující část X skupiny G (generátory) a část K volné skupiny L postavené na X (relatory) tak, že rozlišující podskupina L generovaná K je jedinečná homomorfizmus jádro L v G, který se rozprostírá kanonický injekci X v G . Přechod z části K do množiny S dvojic L se provádí následujícím způsobem: Místo toho, aby element x v L (a relator prezentace), považujeme za dvojici ( x , e ), vytvořenou z x a neutrální prvek e o L (a vztah al prezentace).

Jakákoli algebra A různých algebry V připouští prezentaci.

Pojem prezentace algeber někdy umožňuje jednodušší provádění určitých výpočtů, zejména když vezmeme v úvahu všechny variátory všech algeber daného podpisu nebo když můžeme výslovně sestavit volné algebry v varietě. například kategorie skupin).

Říkáme, že algebra A z V je konečné prezentace, pokud existuje prezentace ( X , S ) A taková, že množiny X a S jsou konečné.

Pokud má algebra A z V konečnou prezentaci, pak je konečného typu.

Limity a kolimity

Nechť V je řada podpisových algeber Ω. Můžeme ukázat, že kategorie V připouští inverzní limity a přímé limity a ještě obecněji limity a kolimity . Můžeme také ukázat, že funktor zapomínání V v kategorii množin vytváří libovolné limity a vytváří filtrační kolimity (filtrování indukčních limitů).

Teorém. Nechal bych malý kategorie (resp. Objednal filtrování sadu ) a F funktor od I do V a nechat L být limit (resp. Colimit) z F považován za functor v kategorii souborů, prostřednictvím počítačové sítě zapomínající funktor. Pak existuje jedinečná algebraická struktura s podpisem Ω na L, pro kterou je pro jakýkoli prvek i v I kanonická mapa L v (resp. L v ) homomorfismus. Takže pro tento algebraické struktury L , L je pro kanonické aplikací, limit (resp. Colimit a) functor F v kategorii V . Můžeme ukázat, že tato konstrukce je funkční. Fi{\ displaystyle F_ {i}}Fi{\ displaystyle F_ {i}}

Zejména můžeme nahradit I uspořádanou množinou (resp. Uspořádanou filtrační sadou) a F projektivním systémem (resp. Indukčním systémem) algeber V  : získáme projektivní limity (resp. Indukční limity).

Příklady (všechny konstruovány jako v kategorii sad)

• Algebra produktů V .
• Ekvalizér a coégalisateur dva homomorphisms mezi dvěma algebry A a B .
• Vlákno Produkt algebras A a B, z V relativně k homomorfismů U a V z algebry S s hodnotami v A a B, v tomto pořadí.

Kategorie V připouští jakékoli limity a kolimity, a proto je kategorie úplná a úplná. To by selhalo, kdybychom nepřijali algebry (pokud alespoň nějaké byly).

Vláknové vedlejší produkty a vedlejší produkty. To má za následek, že odrůdy algebry připouštějí vedlejší produkty (nebo přímé částky ). Zde je několik příkladů vedlejších produktů:

• pro rodiny skupin (nebo monoidů) jsou vedlejší produkty produkty zdarma  ;
• pro rodiny modulů na stejném kruhu (nebo komutativních skupinách) jsou vedlejšími produkty přímé částky  ;
• pro konečné rodiny unifikátorů a komutativních asociativních algeber na stejném komutativním kruhu jsou vedlejšími produkty tenzorové produkty (stejné pro komutativní kruhy).

Jak vidíme, vedlejší produkty jsou zřídka konstruovány jako v případě množin (pak se jedná o disjunktní shledání).

Odrůdy algebry také připouštějí vedlejší produkty vlákniny (nebo sloučené částky ).

Existence poslanců

Následující výsledek je ten, který dává existenci doplnění určitých funktorů mezi varietami algeber, a tak získáváme nejběžnější případy řešení univerzálních problémů .

Označujeme Ω a Θ podpisy algeber a V a W odrůdami algeber typu Ω a Θ.

Teorém. Domníváme se, že existuje funktor F z kategorie V v kategorii W , který dojíždí do zapomínání functors v kategorii souborů, tj. Tak, že pro každou algebry A z V , sady podle -jacent na A a F ( A ) jsou stejné a bez ohledu na algebry A a B z V a homomorfismus f z A v B jsou mapy f a F ( f ) stejné. Pak je tu zástupce opustil G z F . Zejména pro jakoukoli algebru A z V a pro jakoukoli algebru C z W máme přirozenou kanonickou bijekci mezi množinami homomorfismů Hom ( F ( A ), C ) a Hom ( A , G ( C )).

Konkrétní příklady. Nejdůležitějšími případy funktorů mezi V a W jsou případy inklusních funktorů (s Ω = Θ), zapomenutí funktorů (s in zahrnutých do Ω) nebo funktorů modifikace struktury. Zde jsou nejčastější příklady.

• W je kategorie množin (Θ je prázdné) a F je funktor zapomínání V v kategorii množin. Zástupce z F volná algebra functor z kategorie souborů ve V. .
• Pomocníkem zapomínajícího funktoru kategorie komutativních skupin v kategorii komutativních monoidů je funktor, který každému komutativnímu monoidu M spojuje skupinu zlomků M (tento funktor spojený s aditivním monoidem přirozených celých čísel skupina racionálních celých čísel ).NE{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {N}}}Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}
• Zástupce zahrnutí functor z kategorie komutativních skupin v kategorii skupin je functor, že jakákoliv skupina G spojeno abelianization ní, to znamená, že kvocient G ze strany skupiny odvozené od G .
• Pokud je A komutativní prsten, asistent pomocného funktoru kategorie A- unifikátor asociativních algeber (resp. A- unifikátor a komutativní asociativní algebra) v kategorii A -modulů je funktor, který vůbec A - modul sdružuje jeho tenzorovou algebru (resp. symetrickou algebru ).
• Poradce na zapomínání funktoru z kategorie monoidů v kategorii asociativní magma je funktor pro jakékoliv asociativní magma S přidruží monoid odvozenou od S přídavkem neutrální prvek (přidáme prvek A na S , kde n ‚se nepatří do S a rozšiřujeme násobení S jedinečným způsobem deklarováním, že a je neutrální prvek S ∪ { a }).
• Pokud je A jednotný komutativní kruh, pomocník zapomínajícího funktoru kategorie A- asociativní jednotkové algebry v kategorii A -associativní algebry je funktor, který ke kterékoli A- asociativní algebře E spojuje A -algebru odvozenou z E přidáním elementu jednotky ( A -algebra, jejíž podkladový A -modul je A × E, jehož násobení je dáno ( a , x ) ( b , y ) = ( ab , ay + bx + xy ), ať už a a b v A a x a y v E ).
• Pokud K a L jsou dva kruhy, takže K je podřetězcem L , pomocník funktoru, který ke kterémukoli L- modulu N spojuje podkladový K- modul M, je funktor skalárního rozšíření . Například pokud K je pole R reálných čísel a L je pole C komplexních čísel, pak asistent tohoto funktoru je funkcionátor komplexizace . Pokud jsou K a L komutativní, pak můžeme moduly nahradit unifikovatelnými asociativními algebrami nebo Lieovými algebrami a získáme funktor skalárního rozšíření mezi odpovídajícími kategoriemi.
• Pokud K je komutativní pole (nebo prsten), pomocník funktoru, který ke kterékoli K - asociativní jednotné algebře spojuje svou Lieovu algebru (Lieova závorka je [ x , y ] = xy - yx ), je funktor, který k libovolnému Lie K -algebra spojuje svou obklopující algebru.

Obecné příklady

• Je-li Θ = Ω a je-li V zahrnuto V, má inkluzní funktor z V ve W pomocníka.
• Pokud je Θ zahrnuto do Ω (tj. Je-li zahrnuto do všech n ) a pokud je pro jakoukoli algebru A z V , algebra pod ní A algebra W , pak funktor zapomnění V ve W připouští doplněk .Θne{\ displaystyle \ Theta _ {n}}Ωne{\ displaystyle \ Omega _ {n}}

S výjimkou obklopující algebry Lieových algeber jsou předchozí příklady těchto dvou typů (zahrnutí a zapomenutí). V druhém případě získáme asistenta funktoru „modifikace struktury“.

Příklad afinní geometrie. Nechť K je pole (komutativní nebo ne). Mezi kategorií afinních prostorů na K s afinními mapami a řadou algeber existuje ekvivalentní kategorie (viz výše). Každý vektorový prostor V průběhu K může být považována za afinního prostoru nad K , a získáme funktor beton z kategorie vektorových prostorů přes K v kategorii afinního prostoru na K . Z toho pak vyplývá z předchozí věty, že tento zapomněl functor připouští doplněk, který kteréhokoliv afinního prostoru E na K spojuje jeho obalovou vektorový prostor Ê : je charakterizován, až do izomorfismu, tím, že E jedná o afinní nadrovina z Ê které neprocházel 0. je to druh vektoru verze projektivní dokončení (en) z E (dále projektivní prostor P ( Ê ) je projektivní dokončení E ).  

Dějiny

Poznámky a odkazy

Poznámky

Reference

Bibliografie

• George M. Bergman, Pozvánka na obecnou algebru a univerzální stavby , Henry Helson, 1998 ( ISBN  978-0-9655211-4-7 )
• Stanley N. Burris a HP Sankappanavar, Kurz univerzální algebry , Springer-Verlag, 1981 ( ISBN  978-3-540-90578-3 )
• Paul Cohn , Universal Algebra , Dordrecht, Nizozemsko, D. Reidel Publishing, 1981 ( ISBN  978-9-02771213-4 )
• Pierre Grillet, Algebra , Wiley-Interscience Publication , 1999 ( ISBN  978-0-471-25243-6 )
• Nathan Jacobson , Basic Algebra II , WH Freeman, 1989 ( ISBN  978-0-7167-1933-5 )

Související články

• Algebra
• Obecná algebra
• Struktura (matematika)
• Teorie kategorií
• Algebra Universalis - časopis věnovaný univerzální algebře

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">