Lagrangian

Ve fyzice se Lagrangián z dynamického systému je funkce z dynamických proměnných, což umožňuje, aby pohybové rovnice systému , které mají být napsán stručně . Jeho název pochází od Josepha-Louise Lagrangee , který stanovil principy procesu (od roku 1788 ).

Pohybové rovnice

Vezměme si dynamický systém identifikovaný polohovými parametry $q i$ (nazývané také zobecněné souřadnice ). V průběhu času se tyto parametry mění a jejich rychlost změny je v průběhu času . Sada parametrů systému se skládá z $q$ $i$ , des a času t . Ve velkém počtu situací je možné definovat funkci tak, že pokud nastavíme: ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d} q_ {i}} {\ mathrm {d} t}}}$ $\ varphi _ {i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i}]}$

pi=∂L∂q˙i{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ tečka {q}} _ {i}}}} ${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ tečka {q}} _ {i}}}}$

(částečná derivace se počítá, jako by mezi nimi byly parametry nezávislé), pak jsou pohybové rovnice dány vztahem:

dpidt=∂L∂qi.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný q_ {i}}} .} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný q_ {i}}} .}$

Formálně si všimneme, že tyto rovnice jsou získány použitím principu nejmenší akce (nebo principu extrémní akce), který je napsán:

δSδφi=0{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0}$

s akcí . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (s)] {} \, \ mathrm {d} ^ {n} s}}$

Získané pohybové rovnice jsou poté ekvivalentní Euler-Lagrangeovým rovnicím vyplývajícím z předchozího principu. Dynamický systém, jehož pohybové rovnice lze získat z Lagrangeova, je Lagrangeův dynamický systém . To je případ klasické verze standardního modelu , Newtonových rovnic , rovnic obecné relativity a čistě matematických úloh, jako jsou geodetické rovnice nebo plató .

Lagrangian v klasické mechanice

Lagrangian mechanika byla historicky přeformulování klasické mechaniky pomocí konceptu Lagrangian. V této souvislosti je Lagrangeova obecně definována rozdílem mezi kinetickou energií E c = T a potenciální energií E p = V :

L=Evs.-Ep=T-PROTI.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = televize.} ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = televize.}$

S tímto formalismem je napsána Lagrangeova rovnice:

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné q_ {k}}}.} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné q_ {k}}}.}$ Demonstrace

Uvažujme systém složený z hmotných bodů o hmotnosti $m i$ . Polohy těchto bodů jsou funkcí parametrů pozice $q$ $k$ , druhé Proměnlivý v průběhu času. Tyto body jsou vystaveny vazebným silám , které jsou výsledkem ostatních sil . Pokud nedochází k tření, je virtuální práce vazebných sil během virtuálního posunutí nulová. Rychlost každé částice je dána vztahem: ${\ vec r} _ {i}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i}}$ $\ vec F_i$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} _ {i}}$

ri→˙=dr→idt=∑j∂r→i∂qjdqjdt=∑j∂r→i∂qjq˙j.{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ součet _ {j} {\ frac {\ částečný {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečný q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ parciální {\ vec {r}} _ {i}} {\ parciální q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} .}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ součet _ {j} {\ frac {\ částečný {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečný q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ parciální {\ vec {r}} _ {i}} {\ parciální q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} .}

Je to funkce t ,

q j

a .

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j}}

Kinetická energie systému je dána vztahem:

T=12∑imir˙→i2.{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ součet _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ součet _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

Máme, s přihlédnutím k předchozímu vyjádření :

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}}

∂T∂q˙k=∑imi⟨r→˙i,∂r→˙i∂q˙k⟩=∑imi⟨r→˙i,∂r→i∂qk⟩{\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} = \ součet _ {i} m_ {i} \ levá \ langle {\ dot {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ částečný {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ částečný {\ dot {q}} _ {k}}} \ pravý \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} { \ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} = \ součet _ {i} m_ {i} \ levá \ langle {\ dot {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ částečný {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ částečný {\ dot {q}} _ {k}}} \ pravý \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} { \ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle}

kde jsme zaznamenali ⟨,⟩ skalární součin mezi vektory. Takže máme: ddt∂T∂q˙k=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∑imi⟨r→˙i,ddt∂r→i∂qk⟩=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∑imi⟨r→˙i,∑j∂2r→i∂qk∂qjq˙j⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} = \ součet _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle = \ součet _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ vpravo \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k} \ částečné q_ {j}}} {\ tečka {q}} _ {j} \ pravé \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} = \ součet _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle = \ součet _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ vpravo \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k} \ částečné q_ {j}}} {\ tečka {q}} _ {j} \ pravé \ rangle.}

Ale není nic jiného než . Proto:

{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k} \ částečné q_ {j}}} {\ tečka { q}} _ {j}}

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {}} {\ částečné q_ {k}}} \ součet _ {j} {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ { j}}} {\ dot {q}} _ {j} = {\ frac {\ částečné {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}}}

ddt∂T∂q˙k=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∑imi⟨r→˙i,∂r→˙i∂qk⟩=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∂T∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} = \ součet _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle = \ součet _ {i} m_ {i} \ levé \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle + {\ frac {\ částečné T} {\ částečné q_ { k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} = \ součet _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle = \ součet _ {i} m_ {i} \ levé \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle + {\ frac {\ částečné T} {\ částečné q_ { k}}}}

proto: ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ částečné T} {\ částečné q_ {k}}} = \ součet _ {i} m_ {i} \ levá \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečný {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečný q_ {k}}} \ pravý \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ částečné T} {\ částečné q_ {k}}} = \ součet _ {i} m_ {i} \ levá \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ částečný {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečný q_ {k}}} \ pravý \ rangle.}

Uplatnění základního principu dynamiky je s přihlédnutím k tomu, že pokud jde o síly spojení :

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {f}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle = 0}

ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑i⟨F→i,∂r→i∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ částečné T} {\ částečné q_ {k}}} = \ součet _ {i} \ levé \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ částečné T} {\ částečné q_ {k}}} = \ součet _ {i} \ levé \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle.}

Předpokládejme, že každá síla pochází z potenciální funkce

U

i

, takže (kde označuje gradient). Pak máme:

\ vec F_i

{\ vec r} _ {i}

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i} = - {\ vec {\ nabla}} U_ {i}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}

⟨F→i,∂r→i∂qk⟩=-⟨∇→Ui,∂r→i∂qk⟩=-∂Ui∂qk{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle = - \ left \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle = - {\ frac {\ částečné U_ {i}} {\ částečné q_ {k}}}}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle = - \ left \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ částečné {\ vec {r}} _ {i}} {\ částečné q_ {k}}} \ pravé \ rangle = - {\ frac {\ částečné U_ {i}} {\ částečné q_ {k}}}}

a tak: ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=-∑i∂Ui∂qk=-∂PROTI∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ částečné T} {\ částečné q_ {k}}} = - \ součet _ {i} {\ frac {\ částečné U_ {i}} {\ částečné q_ {k}}} = - {\ frac {\ částečné V} {\ částečné q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ částečné T} {\ částečné q_ {k}}} = - \ součet _ {i} {\ frac {\ částečné U_ {i}} {\ částečné q_ {k}}} = - {\ frac {\ částečné V} {\ částečné q_ {k}}}}

tím, že vezmeme pro

V

součet

U i

. Funkce

V

závisí pouze na

q k,

takže pokud nastavíme , dostaneme:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný q_ {k}}}}

což je skutečně oznámená Lagrangeova rovnice.

Neunikátnost Lagrangeovy

Pokud je u daného Lagrangeova jazyka možné jej přepsat tak, že kde $F$ je jakákoli spojitá a diferencovatelná funkce zobecněných souřadnic systému, pak také splňuje Euler-Lagrangeovy rovnice. ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F (q_ {i}, t)} {\ mathrm {d} t}}}$ $The$

Demonstrace

Pojďme být Lagrangian . Domníváme se, že můžeme přepsat jako kde je nějaká funkce systému všeobecných souřadnic a času (takové funkce může vzniknout provedením transformace souřadnic systému pro příklad). V tomto případě máme: ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle F = F (q_ {i}, t)}$

0=ddt(∂L∂q˙i)-∂L∂qi=ddt(∂L′∂q˙i)-∂L′∂qi+ddt(∂∂q˙idFdt)-∂∂qidFdt.{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ dot {q }} _ {i}}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné L} {\ částečné q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ částečné L '} {\ částečné {\ dot {q}} _ {i}}} \ pravé) - {\ frac {\ částečné L'} {\ částečné q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné} {\ částečné q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {zarovnáno}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ dot {q }} _ {i}}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné L} {\ částečné q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ částečné L '} {\ částečné {\ dot {q}} _ {i}}} \ pravé) - {\ frac {\ částečné L'} {\ částečné q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné} {\ částečné q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {zarovnáno}}}$

Můžeme přepsat celkovou derivaci $F$ jako:

dFdt=∑k∂F∂qkdqkdt+∂F∂t=∑k∂F∂qkq˙k+∂F∂t{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ parciální F} {\ parciální q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ částečný F} {\ částečný t}} \\ & = \ součet _ { k} {\ frac {\ částečné F} {\ částečné q_ {k}}} {\ tečka {q}} _ {k} + {\ frac {\ částečné F} {\ částečné t}} \\\ konec { zarovnaný}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ parciální F} {\ parciální q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ částečný F} {\ částečný t}} \\ & = \ součet _ { k} {\ frac {\ částečné F} {\ částečné q_ {k}}} {\ tečka {q}} _ {k} + {\ frac {\ částečné F} {\ částečné t}} \\\ konec { zarovnaný}}}$

Takže . Vložíme to do Euler-Lagrangeovy rovnice výše: ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ částečné F} {\ částečné q_ {i}}}}$

0=ddt(∂L′∂q˙i)-∂L′∂qi+ddt∂F∂qi-∂∂qidFdt=ddt(∂L′∂q˙i)-∂L′∂qi{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ částečné L '} {\ částečné {\ dot { q}} _ {i}}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné L '} {\ částečné q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ částečné F} {\ částečné q_ {i}}} - {\ frac {\ částečné} {\ částečné q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné L '} {\ částečné {\ tečka {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ částečné L '} {\ částečné q_ {i}}} \ end {zarovnáno}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ částečné L '} {\ částečné {\ dot { q}} _ {i}}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné L '} {\ částečné q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ částečné F} {\ částečné q_ {i}}} - {\ frac {\ částečné} {\ částečné q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné L '} {\ částečné {\ tečka {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ částečné L '} {\ částečné q_ {i}}} \ end {zarovnáno}}}$

a tedy vidíme, že Lagrangian splňuje také Euler-Lagrangeovy rovnice. $The$

Tato vlastnost transformace Lagrangian ukazuje, že Lagrangian systému není nikdy jedinečný, protože jeden může vždy přidat termín formuláře do Lagrangian při zachování pohybových rovnic. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$

Příklad v kartézských souřadnicích

Čas derivát proměnné je indikován místě nad ním. Pokud je tedy poloha, označuje rychlost a zrychlení. $\ vec {x}$ ${\ displaystyle {\ vec {vb}} = {\ dot {\ vec {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ vec {v}}} = {\ ddot {\ vec {x}}}}$

Lagrangián z non relativistické částice o hmotnosti m v trojrozměrném euklidovském prostoru , který byl podroben potenciální $E$ $p je$ psáno:

L(X→,X→˙) = Evs.-Ep = 12 m proti→2 - PROTI(X→) = 12 m X→˙2 - PROTI(X→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})} ${\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})}$

nebo

L(X→,X→˙) = p→22m - PROTI(X→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

{\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

kde p je hybnost: p→ = m proti→ = m X→˙{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ tečka {\ vec {x}}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ tečka {\ vec {x}}}}

Aplikujme Euler-Lagrangeovy rovnice v kartézských souřadnicích :

d dt (∂L∂X˙i) - ∂L∂Xi = 0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ vlevo (\, {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ tečka {x}} _ {i }}} \, \ vpravo) \ - \ {\ frac {\ částečné L} {\ částečné x_ {i}}} \ = \ 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ vlevo (\, {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ tečka {x}} _ {i }}} \, \ vpravo) \ - \ {\ frac {\ částečné L} {\ částečné x_ {i}}} \ = \ 0}

kde index i označuje jednu ze 3 prostorových proměnných:

x 1 = x

x 2 = y

x 3 = z

. Příslušné deriváty pak dávají:

L (\ vec {x}, \ dot {\ vec {x}})

∂L∂Xi = - ∂PROTI∂Xi{\ displaystyle {\ frac {\ částečné L} {\ částečné x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x_ {i}}}} ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné L} {\ částečné x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x_ {i}}}}$

∂L∂X˙i = ∂ ∂X˙i(12 m X→˙2) = mX˙i{\ displaystyle {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ dot {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ částečné ~} {\ částečné {\ dot {x}} _ { i}}} \, \ left (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ dot {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ částečné ~} {\ částečné {\ dot {x}} _ { i}}} \, \ left (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}}$

d dt (∂L∂X˙i) = mX¨i{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ vlevo (\, {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ tečka {x}} _ {i }}} \, \ right) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ vlevo (\, {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ tečka {x}} _ {i }}} \, \ right) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}}$

takže pro každou prostorovou osu dostaneme explicitně i :

mX¨i + ∂PROTI∂Xi = 0{\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x_ {i}}} \ = \ 0} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x_ {i}}} \ = \ 0}$

V galileovském referenčním rámci a když síla pochází z potenciálu V

F→výsledný = - ∇→PROTI(X){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)} ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)}$ najdeme Newtonův druhý zákon :

m na→ =m X→¨ = F→výsledný.{\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.} ${\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.}$

Ve sférických souřadnicích

Uvažujme o trojrozměrném prostoru ve sférických souřadnicích a Lagrangeově: $(r, \ theta, \ varphi)$

L=m2(r˙2+r2θ˙2+r2hřích2⁡(θ)φ˙2)-PROTI(r,θ,φ).{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ vlevo ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).} ${\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ vlevo ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).}$

Euler-Lagrangeovy rovnice se poté zapíší:

ddt(δ(L)δ(r˙))-δ(L)δ(r)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ vpravo) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ vpravo) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(θ˙))-δ(L)δ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ right) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ right) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(φ˙))-δ(L)δ(φ)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ right) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ right) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

Buď zde:

mr¨-mr(θ˙2+hřích2⁡(θ)φ˙2)+PROTIr′=0,{\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ right) + V_ {r} '= 0,} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ right) + V_ {r} '= 0,}$

(mr2θ¨)+2mrr˙θ˙-mr2hřích⁡(θ)cos⁡(θ)φ˙2+PROTIθ′=0,{\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,} ${\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,}$

m(r2hřích2⁡(θ)φ¨+2rr˙hřích2⁡(θ)φ˙+2r2cos⁡(θ)hřích⁡(θ)θ˙φ˙)+PROTIφ′=0.{\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.} ${\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.}$

Zde se sada parametrů redukuje na čas a dynamické proměnné jsou trajektoriemi částic. $li}$ $t$ $\ varphi_i (s)$ $\ vec x (t)$

Lagrangian v teorii pole

Hodnocení

Integrál z Lagrangeovou v průběhu času je akce , poznamenal . V teorii pole někdy rozlišujeme Lagrangian , jehož integrálem v čase je akce: $S$ $L$

S=∫Ldt{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

Lagrangeovy hustoty , kterou integrujeme v celém časoprostoru, abychom získali akci: $\ mathcal {L}$

S[φi]=∫L[φi(X)]d4X.{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

Lagrangian je tedy prostorový integrál Lagrangeovy hustoty. Nicméně, to je často odkazoval se na jednoduše jako Lagrangian, a to zejména v moderním použití. Je to jednodušší v relativistických teoriích, kde je prostor definován lokálně. Tyto dva typy Lagrangianů lze považovat za konkrétní případy obecnějšího vzorce podle toho, zda zavádíme prostorovou proměnnou v indexech nebo v parametrech pro zápis . Kvantová teorie z oblasti fyziky částic, jako jsou kvantové elektrodynamiky , se zpravidla z hlediska Lagrangian hustoty , tyto termíny se snadno transformuje, aby pravidla pro vyhodnocení Feynman diagramy . $\ mathcal {L}$ $\ vec x$ $i$ $s$ $\ varphi_i (s)$ $\ mathcal {L}$

Euler-Lagrangeovy rovnice

Euler-Lagrangeovy rovnice v teorii pole jsou psány : ${\ displaystyle \ forall i}$

0=∂μ(∂L∂(∂μφi))-∂L∂φi.{\ displaystyle 0 = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné \ varphi _ {i}}}.} ${\ displaystyle 0 = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné \ varphi _ {i}}}.}$

Nejedinečnost Lagrangeovy hustoty v klasické teorii pole

Pokud jde o nejedinečnost Lagrangeova, Lagrangeova hustota v teorii pole není jedinečná. Nechme tedy Lagrangeovu hustotu , můžeme-li ji přepsat jako kde je kvadrivektor, který závisí pouze na polích (a ne na jejich derivátech) a na časoprostorovém vektoru, pak uspokojí stejné Euler-Lagrangeovy rovnice . $\ mathcal {L}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} '+ \ částečný _ {\ mu} F ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu} = F ^ {\ mu} [\ varphi, x]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Demonstrace

Počínaje Euler-Lagrangeovými rovnicemi původní Lagrangeovy hustoty máme pro všechno : $i$

0=∂μ(∂L∂(∂μφi))-∂L∂φi=∂μ(∂L′∂(∂μφi))-∂L′∂φi+∂μ[∂∂(∂μφi)∂νFν]-∂∂φi∂νFν{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \\ & = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({ \ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L} } '} {\ částečné \ varphi _ {i}}} + \ částečné _ {\ mu} \ levé [{\ frac {\ částečné} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ částečné _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ pravé] - {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ částečné _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {zarovnáno}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \\ & = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({ \ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L} } '} {\ částečné \ varphi _ {i}}} + \ částečné _ {\ mu} \ levé [{\ frac {\ částečné} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ částečné _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ pravé] - {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ částečné _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {zarovnáno}}}$

Můžeme přepsat kvadridivergenci vektoru jako: ${\ displaystyle F ^ {\ nu}}$

∂μFμ[φi,X]=∑i∂Fμ∂φi∂μφi→∂∂(∂μφi)∂νFν=∂Fν∂φi.{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ částečné _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ součet _ {i} {\ frac {\ částečné F ^ {\ mu}} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ pravá šipka {\ frac {\ částečné} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ částečné _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ částečné F ^ {\ nu}} {\ částečné \ varphi _ {i}}}. \ end {zarovnaný}}}

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ částečné _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ součet _ {i} {\ frac {\ částečné F ^ {\ mu}} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ pravá šipka {\ frac {\ částečné} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ částečné _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ částečné F ^ {\ nu}} {\ částečné \ varphi _ {i}}}. \ end {zarovnaný}}}

Vložením této identity do výše uvedené rovnice tedy získáme:

0=∂μ(∂L′∂(∂μφi))-∂L′∂φi+∂μ[∂Fμ∂φi]-∂∂φi∂νFν=∂μ(∂L′∂(∂μφi))-∂L′∂φi{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '} {\ částečné \ varphi _ {i}}} + \ částečné _ {\ mu} \ vlevo [{\ frac {\ částečné F ^ {\ mu}} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ vpravo] - {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ částečné _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ konec {zarovnáno}}}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '} {\ částečné \ varphi _ {i}}} + \ částečné _ {\ mu} \ vlevo [{\ frac {\ částečné F ^ {\ mu}} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ vpravo] - {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ částečné _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}} '} {\ částečné \ varphi _ {i}}} \ konec {zarovnáno}}}

a tedy Lagrangeova hustota splňuje stejné Euler-Lagrangeovy rovnice jako hustota . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Elektromagnetická Lagrangeova

Obecně platí, že v Lagrangeově mechanice má Lagrangeova hodnotu:

L=T-PROTI{\ displaystyle L = TV}

{\ displaystyle L = TV}

kde T je kinetická energie a V je potenciální energie.

Vzhledem k elektricky nabité částice o hmotnosti m a náboji q a rychlosti v elektromagnetickém poli skalárního potenciálu a vektorového potenciálu je kinetická energie částice: ${\ vec {vb}}$ $\ phi$ $\ vec {A}$

T=12mproti→⋅proti→{\ displaystyle T = {1 \ nad 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

{\ displaystyle T = {1 \ nad 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

a jeho potenciální energie je: PROTI=qϕ-qproti→⋅NA→.{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

Elektromagnetický Lagrangian je pak:

L=12mproti→⋅proti→-qϕ+qproti→⋅NA→.{\ displaystyle L = {1 \ nad 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

{\ displaystyle L = {1 \ nad 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

Demonstrace

Elektromagnetický Lagrangian je postaven z vyjádření Lorentzovy síly, která je, připomeňme, nekonzervativní silou. Pokud to není odvozeno od klasického potenciálu, je to odvozeno na druhé straně od potenciálu známého jako generalizovaného ve smyslu Lagrangeových rovnic . Jeho potenciální energie V skutečně splňuje následující rovnici:

F→=ddt∂PROTI(r→,proti→,t)∂proti→-∂PROTI(r→,proti→,t)∂r→(∗).{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ částečné {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ částečné V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ částečné {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ částečné {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ částečné V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ částečné {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

Lorentzova síla je vyjádřena jako:

F→=q(E→+proti→×B→).{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ krát {\ vec {B}}).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ krát {\ vec {B}}).}

Podle Maxwella:

B→=∇→×NA→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec {A}}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec {A}}}

∇→×E→=-∂B→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec {E}} = - {\ frac {\ částečné {\ vec {B}}} {\ částečné t}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec {E}} = - {\ frac {\ částečné {\ vec {B}}} {\ částečné t}}}

Proto: ∇→×E→=-∂∂t(∇→×NA→)=∇→×(-∂NA→∂t){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} ({\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ times \ left (- {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} \ vpravo)}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} ({\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ times \ left (- {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} \ vpravo)}

⇒∇→×(E→+∂NA→∂t)=0{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ krát \ doleva ({\ vec {E}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} \ pravé) = 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ krát \ doleva ({\ vec {E}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} \ pravé) = 0}

takže existuje možnost takové, že $\ phi$ ${\ displaystyle {\ vec {E}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi}$

Z tohoto důvodu: . ${\ displaystyle {\ vec {F}} = q (- {{vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + {\ vec { v}} \ times ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}})}}$

Nyní podle Gibbsova vzorce: $\ vec v \ times (\ vec \ nabla \ times \ vec A) = \ vec \ nabla (\ vec v \ cdot \ vec A) - (\ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A$

⇒F→=q[-∇→ϕ-∂NA→∂t+∇→(proti→⋅NA→)-(proti→⋅∇→)NA→]{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

=-q[∂NA→∂t+(proti→⋅∇→)NA→]+q[-∇→ϕ+∇→(proti→⋅NA→)]=-q[∂NA→∂t+(proti→⋅∇→)NA→]+q∇→[-ϕ+(proti→⋅NA→)]{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ vlevo [{\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ vlevo [{\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

=-q[∂NA→∂t+(proti→⋅∇→)NA→]-∂∂r→q[ϕ-(proti→⋅NA→)].{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ vpravo] - {\ frac {\ částečné} {\ částečné {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ vpravo] - {\ frac {\ částečné} {\ částečné {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

Nechť: . $V '= q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)] \ quad \ Rightarrow \ quad \ vec F = -q \ left [\ frac {\ částečné \ vec A} {\ částečné t} + ( \ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A \ vpravo] - \ frac {\ částečné V '} {\ částečné \ vec r}$

Pojďme určit : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné V '} {\ částečné {\ vec {v}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné V '} {\ částečné {\ vec {v}}}} = - q {\ vec {A}} \ pravá šipka {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} {\ frac {\ částečné V '} {\ částečné {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm { d} t}}}

Zlato: ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}} = {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} \, \ mathrm {d} t + {\ frac {\ částečný {\ vec {A}}} {\ částečný x}} \, \ mathrm {d} x + {\ frac {\ částečný {\ vec {A}}} {\ částečný y}} \, \ mathrm {d } y + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné z}} \, \ mathrm {d} z \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec { A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} { \ částečné x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné y}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné z}} {\ tečka {z}}}$

⇒ddt∂PROTI′∂proti→=-qdNA→dt=-q∂NA→∂t-q[+∂NA→∂XX˙+∂NA→∂yy˙+∂NA→∂zz˙].{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné V '} {\ částečné {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} - q \ vlevo [+ {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné z}} {\ dot {z}} \ vpravo].}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné V '} {\ částečné {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} - q \ vlevo [+ {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné z}} {\ dot {z}} \ vpravo].}

Mimochodem si můžeme všimnout:

∂NA→∂XX˙+∂NA→∂yy˙+∂NA→∂zz˙=(X˙∂NAX∂X+y˙∂NAX∂y+z˙∂NAX∂zX˙∂NAy∂X+y˙∂NAy∂y+z˙∂NAy∂zX˙∂NAz∂X+y˙∂NAz∂y+z˙∂NAz∂z)=(X˙∂∂X+y˙∂∂y+z˙∂∂z)(NAXNAyNAz)=[(X˙y˙z˙)⋅(∂∂X∂∂y∂∂z)](NAXNAyNAz){\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné x}} {\ tečka {x}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ částečné A_ {x}} {\ částečné x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ částečné A_ {x}} {\ částečné y}} + {\ dot {z }} {\ frac {\ částečné A_ {x}} {\ částečné z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ částečné A_ {y}} {\ částečné x}} + {\ dot { y}} {\ frac {\ částečné A_ {y}} {\ částečné y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ částečné A_ {y}} {\ částečné z}} \\ {\ tečka {x}} {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné y}} + {\ tečka {z}} {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné z}} \ konec {pmatrix}} = ({\ dot {x}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}}) {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ left [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné x}} {\ tečka {x}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ částečné A_ {x}} {\ částečné x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ částečné A_ {x}} {\ částečné y}} + {\ dot {z }} {\ frac {\ částečné A_ {x}} {\ částečné z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ částečné A_ {y}} {\ částečné x}} + {\ dot { y}} {\ frac {\ částečné A_ {y}} {\ částečné y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ částečné A_ {y}} {\ částečné z}} \\ {\ tečka {x}} {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné y}} + {\ tečka {z}} {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné z}} \ konec {pmatrix}} = ({\ dot {x}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}}) {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ left [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

Z tohoto důvodu: . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné V '} {\ částečné {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q \ vlevo [{\ frac {\ částečné {\ vec {A}}} {\ částečné t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ doprava] \ Rightarrow {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné {\ vec {v}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} )] - {\ frac {\ částečné} {\ částečné {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}$

PROTI′=q[ϕ-(proti→⋅NA→)]{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

splňuje Lagrangeovu rovnici (*) uvedenou výše. je tedy potenciální energie ve vztahu k Lorentzově síle, kterou je Lagrangian .

V '

\ quad L = \ frac {1} {2} m \ vec {v} ^ 2 - q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)]

Další ukázka

Tato příloha navrhuje ověřit, zda Lagrangeovci

L=12mproti→⋅proti→-qϕ+qproti→⋅NA→{\ displaystyle L = {1 \ nad 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

{\ displaystyle L = {1 \ nad 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

dává základní princip dynamiky pro částice hmotnosti m a elektrického náboje q vystaveného Lorentzově síle. Představuje tedy demonstraci v opačném směru než ta předchozí.

Píšeme výslovně do indexovaných kartézských souřadnic $L$ $x_1, x_2, x_3.$

Takže máme:

L=12m∑i=13Xi˙2+q∑i=13Xi˙NAi-qϕ,{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

se složkou číslo i vektorového potenciálu a

A_i = A_i (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t)

\ vec {A}

\ phi = \ phi (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t).

Vyhodnoťme Lagrangeovy rovnice pro složku č. 1:

∂L∂X1=q∑i=13Xi˙∂NAi∂X1-q∂ϕ∂X1addt∂L∂X1˙=ddt(mX1˙+qNA1)=md2X1dt2+qdNA1dt.{\ displaystyle {\ frac {\ částečné L} {\ částečné x_ {1}}} = q \ součet _ {i = 1} ^ {3} {\ tečka {x_ {i}}} {\ frac {\ částečné A_ {i}} {\ částečné x_ {1}}} - q {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x_ {1}}} \ qquad {\ text {a}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ dot {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ right) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné L} {\ částečné x_ {1}}} = q \ součet _ {i = 1} ^ {3} {\ tečka {x_ {i}}} {\ frac {\ částečné A_ {i}} {\ částečné x_ {1}}} - q {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x_ {1}}} \ qquad {\ text {a}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ dot {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ right) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

Celková derivace s ohledem na čas se však rovná její částicové derivaci:

A_1

dNA1dt=∂NA1∂t+∑i=13Xi˙∂NA1∂Xi.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ částečné t}} + \ součet _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ částečné x_ {i}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ částečné t}} + \ součet _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ částečné x_ {i}}}.}

Proto je vyjádření pohybové rovnice pro složku č. 1: md2X1dt2+qdNA1dt=q∑i=13Xi˙∂NAi∂X1-q∂ϕ∂X1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ částečné A_ {i}} {\ částečné x_ { 1}}} - q {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ částečné A_ {i}} {\ částečné x_ { 1}}} - q {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x_ {1}}}}

md2X1dt2+q∂NA1∂t+q∑i=13Xi˙∂NA1∂Xi=q∑i=13Xi˙∂NAi∂X1-q∂ϕ∂X1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ parciální t}} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ parciální A_ {1}} {\ parciální x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ částečné A_ {i}} {\ částečné x_ {1}}} - q {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ parciální t}} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ parciální A_ {1}} {\ parciální x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ částečné A_ {i}} {\ částečné x_ {1}}} - q {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x_ {1}}}}

Zjednodušeně to zůstává: md2X1dt2=-q∂NA1∂t-q∂ϕ∂X1+qX2˙(∂NA2∂X1-∂NA1∂X2)+qX3˙(∂NA3∂X1-∂NA1∂X3).{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ částečné A_ {1}} { \ částečné t}} - q {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x_ {1}}} + q {\ tečka {x_ {2}}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné A_ {2} } {\ částečné x_ {1}}} - {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ částečné x_ {2}}} \ vpravo) + q {\ tečka {x_ {3}}} \ vlevo ({ \ frac {\ částečné A_ {3}} {\ částečné x_ {1}}} - {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ částečné x_ {3}}} \ vpravo).}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ částečné A_ {1}} { \ částečné t}} - q {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x_ {1}}} + q {\ tečka {x_ {2}}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné A_ {2} } {\ částečné x_ {1}}} - {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ částečné x_ {2}}} \ vpravo) + q {\ tečka {x_ {3}}} \ vlevo ({ \ frac {\ částečné A_ {3}} {\ částečné x_ {1}}} - {\ frac {\ částečné A_ {1}} {\ částečné x_ {3}}} \ vpravo).}

S a rozpoznáváme napravo od rovnosti výraz první složky Lorentzovy síly.

\ vec B = \ vec \ nabla \ krát \ vec A

\ vec E = - \ frac {\ částečné \ vec A} {\ částečné t} - \ vec \ nabla \ phi

Příklady Lagrangeovy hustoty v teorii kvantového pole

Lagrangian z Diracu

Lagrangeova hustota pro pole Dirac (v) je:

L=ψ¯(iℏvs.⧸D-mvs.2)ψ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ vlevo (i \, \ hbar \, c \ ne \! Dm \, c ^ {2} \ vpravo) \ psi}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ vlevo (i \, \ hbar \, c \ ne \! Dm \, c ^ {2} \ vpravo) \ psi}

kde je spinor , je jeho Dirac zástupce , je kovariantní derivát měřidla , a je Feynman notace pro .

\ psi

\ bar \ psi = \ psi ^ \ dýka \ gama ^ 0

D

\ ne \! D

\ gamma ^ \ sigma D_ \ sigma

Lagranián kvantové elektrodynamiky

Lagrangeova hustota v QED je:

LQED=ψ¯(iℏvs.⧸D-mvs.2)ψ-14μ0FμνFμν{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ ne \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ přes 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ ne \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ přes 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

kde je elektromagnetický tenzor .

F ^ {\ mu \ nu}

Lagrangeova kvantová chromodynamika

Lagrangeova hustota v QCD je:

LQVSD=∑neψ¯ne(iℏvs.⧸D-mnevs.2)ψne-14GαμνGαμν{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ součet _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ ne \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ přes 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ součet _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ ne \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ přes 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

kde je kovariantní derivát měřidla v QCD, a je tenzor o síly pole na gluonu .

D

G ^ \ alpha {} _ {\ mu \ nu}

Matematický formalismus

To znamená, že na

různé dimenze , a různé cíle . Dovolit je množina funkcí v in s názvem konfigurace prostor .

M

ne

T

\ mathcal {C}

\ mathcal {C} ^ \ infty

M

T

Nejprve uvedeme několik příkladů:

v klasické mechanice, v Hamiltonově formalismu , je potrubí dimenze 1 , která představuje čas, a cílový prostor je kotangensový

svazek prostoru zobecněných pozic;

M

\ mathbb {R}

v teorii pole je časoprostorové potrubí a cílový prostor je množina možných hodnot polí v každém bodě. Pokud například existují

skutečná skalární pole φ 1 , ..., φ m , pak je cílové potrubí . Máme-li pole reálných vektorů , určení potrubí je isomorphic k . Ve skutečnosti existuje elegantnější způsob použití tangenta svazku, ale této verze zůstaneme.

M

m

\ R ^ m

\ mathbb {R} ^ {n}

Předpokládejme, že nyní existuje funkční akce zvaná fyzická akce. Toto je aplikace pro , nikoli pro , z fyzických důvodů. ${\ displaystyle S: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$

Aby byla akce místní, potřebujeme další omezení. Uložíme - li, že

S [ φ ] je integrál na M funkce φ, jeho derivátů a pozic, které nazýváme Lagrangian . Jinými slovy,

\ varphi \ in \ mathcal {C},

{\ mathcal {L}} (\ varphi, \ částečné \ varphi, \ částečné ^ {2} \ varphi, \ tečky, x)

∀φ∈VS,S[φ]≡∫MdneXL(φ(X),∂φ(X),∂2φ(X),...,X).{\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ částečné \ varphi (x), \ částečné ^ {2} \ varphi (x), \ tečky, x).} ${\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ částečné \ varphi (x), \ částečné ^ {2} \ varphi (x), \ tečky, x).}$

Většinou je možné uvést, že Lagrangeovci závisí pouze na hodnotě polí, nejprve jejich derivátů, nikoli však derivátů vyššího řádu. To je ve skutečnosti pouze pro pohodlí a obecně to není pravda. Předpokládáme však, že ve zbytku tohoto článku.

Opravme okrajové podmínky , v podstatě data φ na hranicích, pokud je M kompaktní , nebo limit pro φ, když x má sklon k nekonečnu (což je praktické při integracích po částech). Podprostor funkcí φ tak, že všechny

funkční derivace akce S v φ jsou 0 a že φ splňuje okrajové podmínky, je prostorem fyzikálních řešení.

\ mathcal {C}

Řešení je dáno Euler-Lagrangeovými rovnicemi (pomocí okrajových podmínek):

δδφS=-∂μ(∂L∂(∂μφ))+∂L∂φ=0.{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ částečný _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný (\ částečný _ {\ mu} \ varphi)}} \ vpravo) + {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný \ varphi}} = 0,} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ částečný _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný (\ částečný _ {\ mu} \ varphi)}} \ vpravo) + {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný \ varphi}} = 0,}$

Funkční derivaci ve srovnání s φ akce najdeme na levé straně.

Poznámky a odkazy

(en) http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html .
(v) [PDF] http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf .
(v) [PDF] „ http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf “ ( archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • co dělat? ) .

Podívejte se také

Bibliografie

Francis Halbwachs a Jean-Marie Souriau , „Mécanique analytique“, Encyclopedia Universalis , 1989, t. 14 , s. 764-767

Související články

Hamiltoniánská mechanika
Noetherova věta (fyzika)
Akce (fyzická)
Zásada nejméně akce
Hamiltonovský operátor : Legendrova transformace Lagrangeova operátora
Hamiltonian v teorii pole