Moment síly

I když se váhy liší, je rovnováha zajištěna, pokud je součet momentů vzhledem k ose otáčení nulový. Klíčové údaje

SI jednotky	N m joulů na radián
Dimenze	${\ displaystyle {\ mathsf {L}} ^ {2} {\ mathsf {M}} {\ mathsf {T}} ^ {- 2}}$
SI základna	kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 ⋅ rad −1
Příroda	Vektor velikosti (pseudovektor) rozsáhlý
Obvyklý symbol	${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {\ mathrm {O}} ({\ vec {F}})}$
Odkaz na jiné velikosti	${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {\ mathrm {O}} ({\ vec {F}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {OP}}} \ klín {\ vec {F}}}$

Moment z síly s ohledem na daný bod je fyzický vektor množství odráží schopnost této síly, aby mechanický systém otočit tento bod, často nazýván otočný. Obvykle se vyjadřuje v N m ( newtonech metrech ) a lze jej vyjádřit ekvivalentním způsobem v joulech na radián . Okamžik množiny sil, a zejména dvojice , je (geometrický) součet momentů těchto sil.

Projekce momentu (síly vzhledem k bodu) na osu Δ (orientovanou) obsahující bod se nazývá moment síly vzhledem k ose Δ: je to algebraická skalární veličina vyjádřená ve stejné jednotce , a také překládání schopnosti síly působící na otáčení mechanického systému kolem osy A, znaménka momentu vzhledem k ose překládajícího směr otáčení vzhledem k zvolené orientaci osy.

Základní přístup: páka

Koncept momentu síly s ohledem na bod se liší od síly aplikované v bodě, zpět ve své formulaci ke studiu Archimeda na pákách . Ve statické mechanice je to studium rovnováhy momentů, které umožňuje předvídat rovnováhu ramen rovnováhy nebo pákový efekt kloubu. V polovodičové dynamice je to nerovnováha stejných momentů, která uvede tělo, které je vystaveno do rotace.

K vyvážení desky v rovnováze na okraji stěny lze na konzolovou část nad prázdnotou umístit zátěž. Schopnost tohoto nákladu převrátit desku není stejná v závislosti na tom, zda je umístěna blízko zdi nebo na konci desky. Podobně lze na stejné místo umístit těžší náklad a lze pozorovat rozdíl v naklonění.

„Naklápěcí síla“ proto závisí na intenzitě síly, ale také na relativní poloze bodu působení síly a uvažovaného skutečného nebo virtuálního bodu otáčení. Jeden integruje tyto tři složky problému pomocí modelu momentu síly , který představuje schopnost síly, aby se otočil mechanický systém kolem daného bodu, který bude nazýván pivot.

Schopnost uvést těleso do pohybu vzhledem k ose rotace také odpovídá mobilizaci určité energie, kterou zde poskytuje síla, kterou studujeme pákový efekt. Pod účinkem elementární rotace d θ se bod P působení síly pohybuje o vzdálenost r · d θ , pokud r je „pákové rameno“, to znamená vzdálenost od bodu P k ose rotace . Energie dodávaná do pevné látky bude záviset na produktu této vzdálenosti r · d θ složkou síly rovnoběžné s tímto posunem. „Naklápěcí síla“ síly bude tedy přesněji produktem ramene páky tangenciální složkou síly.

Roman stupnice ilustruje dokonale co rovnost momentů. Během vážení jsou dvě zavěšená závaží v podstatě kolmá na paprsek, a proto bude „nakláněcí síla“ obou závaží vyvážena, pokud je součin hmotnosti o vzdálenost v obou případech stejný. Na jedné straně je vzdálenost pevná, ale váha není známa, na druhé straně je váha pevná, ale vzdálenost je proměnlivá, a měřítko proto umožňuje číst neznámou váhu na délkové gradaci nesené paprskem.

Fyzická velikost

Skalární moment síly

Moment síly se hodnotí vzhledem k ose, kolem které se těleso bude otáčet. Je to buď osa uložená fyzicky mechanickým spojením, jako při pohybu kola, nebo orientační pohyb tohoto tělesa vzhledem k jeho těžišti, nezávisle na pohybu tohoto středu. V případě fyzické osy lze moment studovat promítnutím do roviny kolmé k ose, protože paralelní složka nezpůsobí rotaci kolem osy. V případě pohybu kolem těžiště lze moment rovněž studovat v rovině definované těžištěm, bodem působení síly a směrem této síly, protože rotace bude nutně probíhat s vzhledem k této rovině pro nedostatek rotační síly v kolmém směru. V jednom případě jako v druhé fyzikální jev může být analyzován v jedné rovině, a je žádoucí, aby stanovení napětí v rotaci kolem bodu O působení síly aplikované na bodu P . $\ vec F$ $\ vec F$

Pokud ve studijním plánu označíme vektor a θ úhel od do , vidíme, že je možné rozložit sílu a její účinek na dvě složky, jednu rovnoběžnou s intenzitou F · Cos θ , druhou kolmou a intenzita F · sin θ . Je zřejmé, že paralelní komponenta nemůže hrát roli v rotaci vzhledem k O , protože tlačí pouze proti ose rotace; a proto může být rotační síla úměrná pouze složce F · sin θ . $\ vec r$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}$ $\ vec r$ $\ vec F$ $\ vec F$ $\ vec r$

Podle definice je norma M O momentu vzhledem k bodu O síly působící v bodě P úměrná této složce F · sin θ a vzdálenosti OP . Ekvivalentně se moment rovná intenzitě síly, vynásobené ramenem páky jeho bodu aplikace, to znamená vzdálenosti mezi bodem O a přímkou procházející P a směru , který je r sin θ : $\ vec F$ $\ vec F$

${\ displaystyle M = r \ cdot F \ cdot \ sin \ theta}$

Vektorové znázornění okamžiku

Konstrukcí tento okamžik způsobí, že se fyzický systém otočí kolem bodu O v rotaci obsažené v rovině obrázku. Při studiu pohybu tělesa ve třech rozměrech způsobí indukovaná rotace rovinu procházející bodem P aplikace síly, středem O , a obsahující směr síly , c, tj. Předchozí studijní plán . Stejná rotace ponechává osu rotace neměnnou, která je kolmá na tuto rovinu procházející středem O. $\ vec F$

Fyzicky tedy moment síly vzhledem k bodu nelze omezit na skalární M = r · F · sin θ , účinek momentu je neodmyslitelně spjat se směrovostí, která zde určí osu otáčení. Asociace normy a směru odpovídá pojmu vektor , úplná definice okamžiku bude mít tedy vektorový znak.

Podle konvence bude znázorněním momentu vektor nesený osou otáčení normy M = r · F · sin θ , jejíž význam je dán pravidlem pravé ruky . Tato konstrukce je podle definice křížovým produktem dvou vektorů a : $\ vec r$ $\ vec F$

{\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {M}} = {\ vec {r}} \ klín {\ vec {F}}}

Mnemotechnika

Pravidlo pravé ruky je obecné pravidlo orientace prostoru, aby bylo možné zjistit, na kterém je směr obvykle představuje součin. Když jsou tři prsty vzaty v pořadí, palec , ukazovák a prostředník , platí pravidlo, že křížový produkt palce ukazováčkem je obvykle ve směru prostředníku.

Pravidlo pravé ruky , je obecné pravidlo o orientaci přímých trojstěn. Chcete-li jej použít, je třeba poznamenat, že v příčném součinu je posun proveden před silou , inverze dvou vektorů by poskytla opačný výsledek (příčný součin je antisymetrický). Abychom si to pamatovali, můžeme si pamatovat, že aby se systém otočil, je to místo aplikace, které je vybráno nejprve s ohledem na bod otáčení, přičemž intenzita aplikované síly je proměnlivá a poté určená a výsledný moment, a v důsledku dvou předešlých se zjevně dostává na třetí místo. Proto máme v pořadí: $\ vec r$ $\ vec F$

{\ displaystyle {\ vec {r}} \ klín {\ vec {F}} = {\ přesahující {\ hookrightarrow} {\ mathcal {M}}}}

Pokud se chceme spoléhat nikoli na obecné pravidlo orientace křížového produktu, ale na smysluplnější mnemotechniku, můžeme obrátit pořadí zařazení a pomocí pravidla levé ruky říci, že „tlačná síla“ je ve směru palec a ukazováček ukazující směr bodu aplikace, orientace točivého momentu je dána prostředníkem levé ruky. Abychom si tento rozdíl zapamatovali, můžeme například říci, že snubní prsten se nosí na levé ruce, právě touto rukou vyhledáme pár .

Aktuální pseudovektorový charakter

Jak je uvedeno výše, moment je fyzická veličina, která má výrazný orientační charakter, protože je nutně spojena se směrem osy otáčení. Okamžik, který je definován normou a směrem, může být reprezentován vektorem. Není to však skutečný vektor ve fyzickém smyslu termínu, jako je posunutí, rychlost nebo elektrické pole, které jsou zcela určeny fyzikou systému.

Zde osa otáčení skutečně udává směr, ale ponechává neurčený směr, ve kterém musí být vektor počítán. Tento význam není dán fyzikou systému, ale konvencí: pravidlem pravé ruky , které určuje směr, kterým je třeba počítat křížový produkt . Z tohoto důvodu nazýváme okamžik pseudovektorem , nikoli skutečným vektorem, a že stejně jako všechny vektorové produkty je někdy označován zakřivenou šipkou , aby si tento částečně umělý znak připomněl (a souvisí s rotačním pohybem). ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathcal {M}}}}$

V praxi se notace (pseudovektor) a (vektor) kombinují a používají se lhostejně k reprezentaci okamžiku. ${\ textstyle {\ overset {\ hookrightarrow} {M}}}$ ${\ textstyle {\ overrightarrow {M}}}$

„Fyzicky neurčený“ charakter pseudovektoru se objeví, pokud je fyzický systém nahrazen jeho zrcadlovým obrazem nebo centrální symetrií. Fyzikální pravidla jsou obvykle nezávislá na výběru referenční značky k jejich vyjádření. Takže pro všechno, co je fyzicky určeno, musíme mít stejný výraz, ať už je měřítko přímé nebo nepřímé. V tuto chvíli tomu tak není: vezmeme-li obraz posunutí a síly středovou symetrií, což znamená změnu jejich znaménka, křížový součin pouze „vidí“ rotaci d. O obrat v rovině . Není transformován do symetrického zvuku, ale zůstává nezměněn, protože podle definice se vždy řídí pravidlem pravé ruky . Nebo ekvivalentním způsobem jeho obraz prochází centrální symetrií fyzického systému, ale navíc mění znaménko kvůli konvenci orientace. V případě zrcadlové symetrie podobně pseudovektor prochází fyzickou symetrií a dále mění znaménko kvůli konvenci orientace. ${\ displaystyle (O, {\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}})}$

Jednotky

V mezinárodním systému jednotek je moment vyjádřen v newtonech metrech ( N m ), a moment má tedy teoreticky rozměr kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 . Měření momentu ( rameno páky × síla ) má skutečně homogenní rozměr s dílem nebo energií (v joulech , posunutí × síla ), ale je lepší, aby nedošlo k záměně, vyjádřit tuto velikost v l jednotce, která připomíná, jak je to definováno. Tyto dvě fyzikální veličiny mají skutečně odlišnou povahu, energie je skalární a v okamžiku pseudovektor .

Moment 1 N m aplikovaný na osu představuje energetický vstup 1 joule (J) na radián , nebo 2 π J na otáčku. Jednotku SI v okamžiku lze tedy zapsat J rad −1 , což je termín v radiánu , který připomíná, že jde o veličinu patřící do pole rotačního pohybu . Z tohoto pohledu je rozměr momentu v mezinárodním systému jednotek , je ve skutečnosti kg ⋅ m 2 ⋅ s -2 ⋅ rad -1 , kde termín v „rad“ je volitelná.

V historických dokumentech můžeme najít dynový cm rovný 10 −7 N m , kg m rovný 9,806 65 N m , a v dokumentech využívajících imperiální měrné jednotky , unce palce rovné 7,06 × 10 - 3 N m , libra noha rovná se 1,35 N m , libra palce rovná 0,13 N m .

Vidíme také jednotkový dekanewtonový metr (daN m), který je zhruba ekvivalentní kilogramové síle působící ve vzdálenosti jednoho metru.

Moment a kinematika

Vektorové pole definující moment síly v každém bodě je zvláštní případ torsor .

Základní princip dynamiky

Úhlové zrychlení je jednou z proměnných z ostatních druhého Newtonova zákona použita rotační dynamiku . Tak lze stanovit úhlové zrychlení o tuhého tělesa počínaje od součtu momentů sil, které jsou aplikovány na něj a jeho tenzoru setrvačnosti [ J ], nebo jeho momentu setrvačnosti J delta ve srovnání s osou delta. ${\ vec \ alpha}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ tau}} _ {i}}$

Obecně se součet všech momentů síly rovná součinu tenzoru setrvačnosti [ J ] vektorem úhlového zrychlení : ${\ vec \ alpha}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} {\ vec {\ tau}} _ {i} = [J] \, {\ vec {\ alpha}}}$
když může rotace probíhat pouze kolem pevné osy rotace Δ, součet všech momentů síly vzhledem k Δ se rovná součinu momentu setrvačnosti těla (vzhledem k Δ) jeho úhlovým zrychlením α: ${\ displaystyle \ sum _ {i} \ tau _ {\ Delta i} = J _ {\ Delta} \, \ alfa}$ .

Věta o momentu hybnosti

V dynamice se ukazuje, že součet momentů sil ve srovnání s bodem se rovná časové derivaci úhlového momentu ve srovnání se stejným bodem:

{\ displaystyle \ sum _ {i} {\ vec {M}} _ {O} ({\ vec {F}} _ {i}) = {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L }} _ {O}} {{\ rm {d}} t}}}

Tento výsledek, nazývaný věta o momentu hybnosti , je ekvivalentem rotační dynamiky základního principu dynamiky ( Newtonův druhý zákon ).

Je také možné ukázat, že pokud je vektor úhlové rychlosti , tj. Vektor ${\ vec {\ omega}}$

kolineární s pevnou osou otáčení v (R) , $\Delta$
jehož normou je úhlová rychlost
a orientován tak, aby kladná orientace normální roviny odpovídala směru otáčení

tak :

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ rm {O \ in \ Delta}} = J _ {\ Delta} \ cdot {\ vec {\ omega}}}

kde je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení . $J_ \ Delta$ $\Delta$

Moment síly vzhledem k bodu

Definice

Moment na síly vyvíjené v bodě P vzhledem k bodu O , je pseudovector : $\ vec F$

{\ displaystyle {\ vec {M}} _ {O} ({\ vec {F}}) = {\ overrightarrow {OP}} \ klín {\ vec {F}}}

kde označuje vedlejší produkt . $\ klín$

Tento pseudovektor , kolmý na bipoint i na něj , je kolmý k rovině, ve které probíhá rotace, kterou může síla způsobit, a je kolineární s osou této rotace. Směr okamžiku je dán směrem otáčení způsobeného silou. $\ vec F$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}$

Pokud d je ortogonální vzdálenost otočného čepu P od linie působení (přímka definovaná vektorem síly), pak má momentovou normu hodnotu:

{\ displaystyle {\ bigl \ |} {\ vec {M}} _ {P} ({\ vec {F}}) {\ bigr \ |} = {\ bigl \ |} {\ vec {F}} { \ bigr \ |} \ cdot d}

Vzdálenost d se nazývá rameno páky . V dvourozměrném případě je obvyklé asimilovat normu momentu do samotného momentu, který obsahuje pouze jednu nenulovou složku.

Komponenty a normou moment síly jsou vyjádřeny v Newton - metr ( N m ), v mezinárodním systému jednotek a jejich rozměry jsou M L 2 T -2 ; formálně má tato jednotka rozměr energie, a proto ji lze vyjádřit v hodnotě 1 joule (viz článek Torque (fyzika) ).

Neplatnost okamžiku

Jelikož pak jde o stanovení nulového součtu momentů, lze se přirozeně zajímat o případy individuální neplatnosti momentů síly; podle vlastností křížového produktu:

síla je nula;
bipoint je . Síla se tedy použít v O . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}$ ${\ vec {0}}$
$\ vec {F}$ a jsou kolineární ; pak linie akce prochází O , což zahrnuje i předchozí případ. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}$

Překlad pivot: Varignonův vzorec

Když je moment síly (aplikovaný v P ) známý v bodě O , je možné jej přepočítat v kterémkoli bodě Q v prostoru. Tato operace je nevyhnutelná při manipulaci s mechanicky působícími torzory . To je stejné jako nasazení prodloužení na páku OP . Přichází tedy: . ${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {Q} {\ big (} {\ vec {F}} {\ big)} = {\ overrightarrow {QP}} \ klín {\ vec {F}} = \ vlevo ({\ overrightarrow {QO}} + {\ overrightarrow {OP}} \ vpravo) \ wedge {\ vec {F}} = {\ overrightarrow {OP}} \ wedge {\ vec {F}} + {\ overrightarrow {QO}} \ wedge {\ vec {F}}}$

Z toho vyplývá takzvaný Varignonův vzorec, nazývaný také vzorec přenosu okamžiku:

{\ displaystyle {\ vec {M}} _ {Q} {\ big (} {\ vec {F}} {\ big)} = {\ vec {M}} _ {O} {\ big (} {\ vec {F}} {\ big)} + {\ overrightarrow {QO}} \ klín {\ vec {F}}}

K zapamatování tohoto vzorce existuje mnemotechnická zkratka používající zkratku „BABAR“. Čas B se rovná okamžiku ve vektoru A plus (výslednice sil) . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {BA}}}$ ${\ vec R}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {B} = {\ vec {M}} _ {A} + {\ overrightarrow {BA}} \ klín {\ vec {R}}}$

Tento výsledek ukazuje, že můžeme určit okamžik s ohledem na jakýkoli bod v prostoru z jediného bodu. Relace také ukazuje, že pole momentových vektorů definované vzhledem k jakémukoli bodu v prostoru je ekviprojektivní pole (spojené s antisymetrickým endomorfismem definovaným ). $u$ ${\ displaystyle u ({\ vec {v}}) = {\ vec {v}} \ klín {\ vec {R}}}$

Z Varignonova vzorce vyplývá ekviprojektivní vztah momentů síly:

{\ displaystyle {\ vec {M}} _ {O} {\ big (} {\ vec {F}} {\ big)} \ cdot {\ overrightarrow {OQ}} = {\ vec {M}} _ { Q} {\ big (} {\ vec {F}} {\ big)} \ cdot {\ overrightarrow {OQ}}}

Ve skutečnosti je síla modelována pomocí vektoru (představujícího sílu) a jejího bodu aplikace. Toto mechanické působení je možné reprezentovat dvojicí vektorů sil a momentů v bodě, což jsou redukční prvky torzoru mechanického působení. Rovnovážný vztah spojený se základním principem statiky se stává součtem torzorů. V praxi bude součet sil a součet momentů prováděn paralelně, všechny jsou vyjádřeny ve stejném bodě, proto je zájem vzoru přenosu momentů.

Moment vzhledem k ose

Když je těleso animováno pohybem rotace kolem osy, je zajímavé vzít v úvahu pouze užitečnou část momentu síly.

Moment síly vzhledem k ose Δ definujeme pomocí:

{\ displaystyle M _ {\ Delta} {\ big (} {\ vec {F}} {\ big)} = {\ vec {M}} _ {P} {\ big (} {\ vec {F}} {\ big)} \ cdot {\ vec {u}} = \ left ({\ overrightarrow {PA}} \ wedge {\ vec {F}} \ right) \ cdot {\ vec {u}} = \ left [ {\ overrightarrow {PA}}, {\ vec {F}}, {\ vec {u}} \ doprava]}

kde je jednotkový vektor osy Δ, P je libovolný bod na Δ a je to smíšený produkt . $\ vec {u}$ ${\ textstyle \ left [{\ overrightarrow {PA}}, {\ vec {F}}, {\ vec {u}} \ right]}$

V souhrnu se jedná o další složka okamžiku vyvíjen v A . Proto je moment síly vzhledem k ose skalární : skalární součin označuje operaci projekce na osu Δ (jejíž je jednotkový vektor). Z mechanického hlediska je moment vzhledem k ose jedinou „užitečnou“ složkou (schopnou dodávat energii) okamžiku. $\ vec {u}$ $\ vec {F}$ $\ vec {u}$

Moment vzhledem k ose je nulový, pokud:

moment vzhledem k bodu je nulový;
síla je ve směru uvažované osy.

Moment několika sil

Obecně platí, že sada sil (bodů aplikace ) generuje několik sil , je-li výslednice sil nulová , ale se součtem momentů, které nejsou . ${\ vec {F}} _ {i}$ $P_i$ ${\ vec C}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left (\ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i} = {\ vec {0}} \ doprava)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left (\ sum _ {i} {\ vec {M}} _ {P_ {i}} ({\ vec {F}} _ {i}) \, \ neq \, {\ vec {0}} \ vpravo)}$

Nejjednodušším příkladem jsou dvě protichůdné síly ( a ) aplikované ve dvou odlišných bodech stejného systému: jejich součet je zjevně nulový, avšak jejich působení generuje rotaci systému. Tento příklad je původem názvu „pár sil“. $\ vec {F}$ ${\ displaystyle - {\ vec {F}}}$

Moment dvojice sil je nezávislý na uvažovaném bodu otáčení P. Na rozdíl od okamžiku tedy není nutné specifikovat bod otáčení.

Poznámky a odkazy

Poznámky

Moment síly se nikdy nebude rovnat práci síly, s výjimkou čistě numerické shody okolností, jsou to veličiny, které mají ve skutečnosti různé rozměry . Ve skutečnosti by newton metr měl mít symbol m∧N, který by se lišil od m N (= J ).
Pokud osa otáčení není jednou z hlavních os setrvačnosti uvažovaného tělesa, samotná pevná osa vyvíjí moment síly, který je přidán k ostatním.

Reference

Mezinárodní soustava jednotek (SI) , Sèvres, Mezinárodní úřad pro míry a váhy ,2019, 9 th ed. , 216 s. ( ISBN 978-92-822-2272-0 , číst online [PDF] ) , s. 29.
(v) „ Průvodce používáním mezinárodního systému jednotek (SI) “ na adrese fyzics.nist.gov .
Benson 2009 , s. 337-340 (Výraz je platný, když je osa otáčení jednou z hlavních os setrvačnosti uvažovaného tělesa.)

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

(Histoire des sciences) Studie pojmu páru a okamžiku od Poinsota (1803), online a komentovaná na BibNum .