n- koule

V geometrii je hypersphere je zobecněním koule na euklidovském prostoru z jakéhokoli rozměru . To je jedním z nejjednodušších příkladů potrubí a sféra rozměr n , nebo N -sphere , je přesněji nadplochy z euklidovském prostoru , je uvedeno v obecně . Rne+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}Sne{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}

Definice

Nechť E být Euclidean prostor dimenze n + 1, bod E a R je ryze kladné reálné číslo . Hypersphere tzv centrum a poloměrem R množinu bodů M , jehož vzdálenost A je R .

Vzhledem k afinnímu ortonormálnímu souřadnicovému systému , i když to znamená provést překlad , který nic nezmění na geometrických vlastnostech, je možné redukovat na hypersféru soustředěnou na počátek, jehož rovnice je poté zapsána

∑i=1ne+1Xi2=R2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}.

Například :

• pro případ n = 0 se hypersféra skládá ze dvou příslušných úseček R a - R  ;
• pro případ n = 1 je hypersféra kruh  ;
• pro případ n = 2 je hypersféra sféra v obvyklém smyslu.

(Pro parametrizaci takto definované hyperplochy viz „  Hypersférické souřadnice  “.)

Vlastnosti

Objem

Objem (nebo přesněji Lebesgueova míra ) prostoru vymezeného hypersférou dimenze n - 1 a poloměrem R , což je euklidovská koule dimenze n , se rovná:

PROTIne=πne/2RneΓ(ne/2+1){\ displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ nad \ gama (n / 2 + 1)}},

kde označuje funkci gama . Zejména máme: Γ{\ displaystyle \ Gamma}

	n dokonce	n zvláštní
PROTIne{\ displaystyle V_ {n}}	πne2Rne(ne2)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ vlevo ({\ frac {n} {2}} \ vpravo)!}}}	2(ne+1)/2πne-12Rne1⋅3⋅⋯⋅ne{\ displaystyle 2 ^ {(n + 1) / 2} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot ne}}}

Následující tabulka uvádí hodnoty objemu prvních 8 koulí o rozměru n a poloměru 1:

ne	Hodnota objemu
	přesný	přiblížil
1	2{\ displaystyle 2}	2{\ displaystyle 2}
2	π{\ displaystyle \ pi}	3.14159{\ displaystyle 3 {,} 14159}
3	43π{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi}	4,18879{\ displaystyle 4 {,} 18879}
4	12π2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2}}	4,93480{\ displaystyle 4 {,} 93480}
5	815π2{\ displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2}}	5,26379{\ displaystyle 5 {,} 26379}
6	16π3{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3}}	5,16771{\ displaystyle 5 {,} 16771}
7	16105π3{\ displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3}}	4,72478{\ displaystyle 4 {,} 72478}
8	124π4{\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4}}	4,05871{\ displaystyle 4 {,} 05871}

Objem takové koule je maximální pro n = 5. Pro n > 5 se objem zmenšuje s rostoucím n a jeho limit v nekonečnu je nula:

limne→∞PROTIne=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} V_ {n} = 0}.

Hypercube ohraničený k jednotce hypersphere má okraje délky 2 a objemu 2 n  ; poměr mezi objemy míče a vepsané hyperkrychle (do strany ) se zvyšuje jako funkce n . 2/ne{\ displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}

Plocha

Plocha o hypersphere dimenze n -1 a poloměru R se může stanovit tím, že se derivát vzhledem k poloměru R objemového V n  :

Sne-1=dPROTInedR=nePROTIneR=2πne2Rne-1Γ(ne2){\ displaystyle S_ {n-1} = {\ frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}}. Sne=2πne+12RneΓ(ne+12){\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}} )}}}.

	n dokonce	n zvláštní
Sne{\ displaystyle S_ {n}}	2ne2+1πne2Rne1⋅3⋯(ne-1){\ displaystyle 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + 1} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}}	πne+12Rne12(ne-12)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {{\ frac {1} {2}} \, \ vlevo ({\ frac {n- 1} {2}} \ vpravo)!}}}

N- koule jednotky je tedy pro oblast: Sne{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}

2πne+12Γ(ne+12) .{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})}} ~.}

Následující tabulka uvádí hodnoty oblasti prvních 7 n- koulí o poloměru 1:

ne	Plocha Sne{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
	přesný	přiblížil
1	2π{\ displaystyle 2 \ pi}	6,18318{\ displaystyle 6 {,} 28318}
2	4π{\ displaystyle 4 \ pi}	12,56637{\ displaystyle 12 {,} 56637}
3	2π2{\ displaystyle 2 \ pi ^ {2}}	19,73920{\ displaystyle 19 {,} 73920}
4	83π2{\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2}}	26,31894{\ displaystyle 26 {,} 31894}
5	π3{\ displaystyle \ pi ^ {3}}	31.00627{\ displaystyle 31 {,} 00627}
6	1615π3{\ displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3}}	33 07336{\ displaystyle 33 {,} 07336}
7	13π4{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4}}	32 46969{\ displaystyle 32 {,} 46969}

Plocha koule n- jednotky je maximální pro n = 6. Pro n > 6 se plocha zmenšuje, jak se n zvyšuje, a její limit v nekonečnu je nula:

limne→∞Sne=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} = 0}.

Související články

• Simplexní
• Hyperpyramid
• 3 koule
• Válcový kubický , sférický válec
• Homotopické skupiny koulí

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">