V matematiky , konkrétně v topologii a algebraické topologii , je povlak z topologického prostoru B podle topologický prostor E je použití kontinuální a surjektivní p : E → B tak, že každý bod B patří do otevřeného U jako reciproční obraz o U o p je disjunktní spojení otvorů E , každý homeomorfní s U od p .
Jedná se tedy o samostatný svazek vláken . Krytiny hrají roli při výpočtu základní skupiny a homotopy skupin prostoru. Výsledkem teorie povlaků je, že pokud B je cesta spojeny a lokálně jednoduše připojen , je jedna korespondence mezi spojenými povlaky oblouky B , až do izomorfismu, a podskupiny ze základní skupiny B .
Nechť X a B jsou dva topologické prostory.
Místní homeomorphism je mapa π : X → B , nazvaný projekce , tak, že pro každý bod x o X , existuje otevřeného U a X , který obsahuje X a otevřenou V z B, tak, že omezení na n k U je homeomorfismus o v .
Prostor X s místním homeomorphism n : X → B se říká, že šíření přes B . Příletový prostor B projekce se nazývá základna místního homeomorfismu.
Pro každý bod b ∈ B , tzv vlákno z X, která leží nad bodem B a je označen X ( b ) sub-prostoru π -1 ( b ) ⊂ X .
Called část (kontinuální) o n , nebo X výše B , aplikace pokračuje å : B → X tak, že π ∘ σ = Id B .
Krytina z topologického prostoru B je prostor X , vybaven místním homeomorphism n : X → B surjektivní , tak, že pro každý bod B o B , existuje otevřené V , který obsahuje B , diskrétní prostor F a homeomorphism cp: π −1 ( V ) → V × F, které dojíždí s projekcemi do prostoru B , tj. pokud Φ ( x ) = ( c , f ), pak π ( x ) = c .
Jinými slovy: krytina je samostatný svazek vláken, s poznámkou, že pokud není základna B připojena, vlákno F závisí na základním bodě b a je identifikováno vláknem π −1 ( b ).
Jednodušeji: π : X → B je povlak, pokud jakýkoli bod B patří do otevřené V, jako n -1 ( V ) je disjunktní sjednocení otevřené aplikovaného homéomorphiquement o n o V .
Věta : Nechť n je nenulové přirozené celé číslo, X samostatný prostor a π : X → B lokální homeomorfismus, ve kterém všechna vlákna mají n prvků, pak π je krytina.Jestliže F je diskrétní místa, aplikace definuje povlak přes B . Obecněji se říká, že krytina je triviální, pokud můžeme v definici vzít V = B , tj. Pokud existuje diskrétní prostor F a homeomorfismus, který dojíždí s projekcemi na prostor B , to znamená, že pokud , pak . Homeomorfismus je příkladem triviálního pokrytí.
Nechť S 1 je kružnice v rovině ℝ 2 = ℂ. Skutečná čára ℝ je pak krytí S 1 definované aplikací:
Každé vlákno je nekonečná spočetná : .
Konstrukce je zobecněna na exponenciální povlak torusu:
Vláknina je počitatelné: .
Aplikace p komplexního plánu zbaveného původu ℂ *
definuje povlak.Každé vlákno je zde konečné a má n prvků.
Uplatnění komplexního plánu ℂ
definuje povlak.Každé vlákno je nekonečná spočetná: .
Válec (nebo kruh) je dvouvrstvé překrytí Möbius pás.
Möbiovo pásmo je neorientovatelné topologické potrubí, zatímco jeho krytí je orientovatelné. Obecněji se ukazuje, že jakýkoli neorientovatelný související potrubí má související dvoulistý orientovatelný povlak. To platí zejména u projektivní roviny, jejíž potah je koule (viz níže), a Kleinovy láhve, jejíž potah je torus .
Pro n > 1 je kanonická mapa pokrytím projektivního (reálného) prostoru; vlákno má dva prvky.
V případě projektivní roviny , jejíž znázornění v ℝ 3 je dáno povrchem Boy , je možné transformovat kouli ponořením do dvouvrstvého pokrytí této plochy Boy. Pokud tyto dva listy překročíme, přistoupíme k inverzi koule .
Stejným způsobem postupujeme při inverzi torusu poté, co jsme tento spojili v povlaku se dvěma listy Kleinovy láhve .
Nechť X , Y a Z být tři topologické prostory a a dvě morphisms (spojité mapy). Nazýváme vláknový produkt X a Y nad Z , topologický prostor, označený a dvojice morfismů, a tak , že pro jakýkoli topologický prostor A a jakýkoli pár morfismů a uspokojující existuje morfismus takový a .
Nechť Γ je diskrétní skupina fungující správně a volně na místně kompaktním prostoru E , projekce E → E / Γ definuje obal vlákna Γ.
Zejména pokud Γ je diskrétní podskupina topologické skupiny G , projekce G → G / Γ je pokryv vláken Γ.
Morfismus připouštění nad B je kontinuální mapa (kde X a X ' jsou krytiny), který dojíždí s výstupky a , to znamená tak, že:
. Aplikace identity Id X představuje morphism připouštění. Sloučenina dvou krycích morfismů je morfismus.Proto tvoří základní nátěry B s jejich morfismem kategorii .
Věta - Jakékoli pokrytí kompaktního intervalu ℝ je triviální.
Obecněji :
Věta - Jakékoli zakrytí jednoduše spojeného a místně spojeného prostoru je triviální.
Věta - Jakýkoli svazek na kontraktilním CW komplexu je triviální.
Tvrzení - Nechť ( X , π ) je krytí B , b bodem B a x ∈ X ( b ). Pro jakoukoli cestu f v B počátku b existuje cesta a pouze jedno g v X původu x takové, že f = π ∘ g .
Běžným zvláštní případ je dán potahování kruh jednotky B v komplexní rovině o reálné osy X . Předchozí výsledek se pak nazývá zdvihací teorém .
Základní skupina báze, n 1 ( B , b ) , pracuje tak, že se působením skupina na pravé straně na vlákna X ( b ) = π -1 ( b ) , a to způsobem kompatibilním s účinkem na levé straně skupina automorfismů povlaku.
Nechť Z je prostor spojený oblouky a místně spojený oblouky , f : ( Z , z ) → ( B , b ) spojitá mapa a x ∈ X ( b ). Nutnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby f mělo ložisko g : ( Z , z ) → ( X , x ) je, že indukované morfismy, f # : π 1 ( Z , z ) → π 1 ( B , b ) a π # : π 1 ( X , x ) → π 1 ( B , b ), ověřte:
Navíc je ložisko g jedinečné.
Pokrytí se říká, že je Galois (nebo normální nebo normální ), pokud je spojeno oblouky a skupina automorfismů působí přechodně na vlákno každého bodu. Říká se, že je abelian, pokud je navíc skupina abelian .
Univerzální krytina z prostoru B je Galoisovo pokrývající E tak, že pro každou zahrnující D z B , existuje morphism z E na D.
Dva univerzální potahy jsou izomorfní a jakýkoli potah jednoho univerzálního potahu je triviální .Věta - Jakákoli jednoduše související krytina je univerzální krytí.
Věta - Prostor ( propojený oblouky ) připouští jednoduše připojenou pokrývku tehdy a jen tehdy, když je částečně lokálně jednoduše propojená .
Zejména jakýkoli graf, jakákoli topologická odrůda připouští jednoduše spojené pokrytí.
Pokud je B spojeno obloukem, pak máme izomorfismus mezi homotopickými skupinami , důsledek dlouhé přesné sekvence fibrace :
.Například, reálná osa ℝ je krycí S 1 proto .
Nielsen-Schreier věta - Jakákoliv podskupina z volné skupiny je volný skupina.