Schläfliho symbol

V matematice je Schläfliho symbol zápisem tvaru {p, q, r,…}, který umožňuje definovat pravidelné mnohostěny a obklady . Tato notace poskytuje souhrn některých důležitých vlastností konkrétního regulárního polytopu .

Symbolem Schläfli byl pojmenován na počest matematika z XIX -tého století Ludwig Schläfli kdo dělal důležité příspěvky v geometrii a v jiných oblastech.

Pravidelné mnohoúhelníky (rovina)

Symbol Schläfli pro konvexní pravidelný mnohoúhelník s n stranami je { n }. Například pravidelný pětiúhelník je reprezentován {5}.

K reprezentaci hvězdných polygonů se používají zlomky. Tak pentagram , který je hvězda pětiúhelník, je reprezentován {5/2}, což znamená, že tento mnohoúhelník s 5 hrany a že každá z těchto hran spojuje vrcholy počet S a S + 2. Tím se první hrana spojuje první a třetí vrchol, druhý třetí a pátý ...

Pravidelný mnohostěn (3 mezery)

Symbol Schläfli z pravidelného mnohostěnu je { p , q }, pokud jeho stěny jsou p -gones, a každý vrchol je obklopen q plochami (dále jen číslo vrcholu je q -gone).

Například {5.3} je pravidelný dvanáctistěn . Má pětiúhelníkové tváře a tři pětiúhelníky kolem každého vrcholu.

Podívejte se na 5 těles Platóna , 4 tělesa Kepler-Poinsot .

Schläfliho symboly lze podobným způsobem definovat také pro pravidelné náklony euklidovských nebo hyperbolických prostorů .

Například hexagonální mozaikování je reprezentováno {6.3}. Skutečně je tvořen šestiúhelníky a každý z vrcholů je obklopen třemi dalšími.

Pravidelné polychory (4 mezery)

Symbol Schläfli pro běžný polychorus má tvar { p , q , r }. Má pravidelné polygonální plochy { p }, buňky { p , q }, pravidelné polyhedrální postavy vrcholů { q , r } a pravidelné polygonální hranové postavy { r }.

Podívejte se na šest pravidelných konvexních polychori a deset nekonvexních .

Například 120 buněk je reprezentováno {5,3,3}. Je postaven dodekahedrálními {5,3} buňkami a má 3 buňky kolem každého okraje.

K dispozici je také pravidelná mozaikování euklidovského 3 prostoru: kubický plástev (en) se Schläfliho symbolem {4,3,4}, vyrobený z kubických buněk, a 4 kostky kolem každého okraje.

Existují také čtyři pravidelné tilings včetně hyperbolického {5,3,4}, voštinové dodekahedrály řádu 4 (en) , která vyplňuje prostor buňkami dodekahedrální .

Vyšší rozměry

Pro Polytopes vyšších rozměrů, symbol Schläfli je definována rekurzivně jako: v případě, že plošky mají symbol Schläfli a horní čísel : . $\ {p_1, p_2, ..., p_ {n-1} \}$ $\ {p_1, p_2, ..., p_ {n-2} \}$ $\ {p_2, p_3, ..., p_ {n-1} \}$

Existují pouze 3 běžné polytopy v 5 rozměrech a výše: simplex , {3, 3, 3,…, 3}; hyperoctahedron , {3, 3, ..., 3, 4}; a hyperkrychle , {4, 3, 3, ..., 3}. Neexistují žádné pravidelné nekonvexní polytopy nad 4 rozměry.

U dimenze 2 nebo vyšší má každý mnohostěn duální .

Pokud má mnohostěn Schläfliho symbol, pak jeho duální má Schläfliho symbol . $\ {p_1, p_2, p_3, ..., p_ {n-1} \}$ $\ {p_ {n-1}, ..., p_3, p_2, p_1 \}$

V případě, že sekvence je stejný vlevo a vpravo, polytope je self-dvojí . Každý pravidelný 2-dimenzionální polytop (polygon) je sebe-duální, každý simplex je autoduální, každá 3-dimenzionální pyramida je autoduální a 24 buněk je autoduální.

Hranolové tvary

Prizmatické polytopy lze definovat a pojmenovat jako kartézský součin polytopů menších rozměrů:

P -gonal hranol , s vrcholem obr p.4.4 jako . $\ begin {Bmatrix} \ \ end {Bmatrix} \ times \ begin {Bmatrix} p \ end {Bmatrix}$
Hyperprisme jednotný {p, q} -èdrique podobně . $\ begin {Bmatrix} \ \ end {Bmatrix} \ times \ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$
Jednotný duoprism pq podobně . $\ begin {Bmatrix} p \ end {Bmatrix} \ times \ begin {Bmatrix} q \ end {Bmatrix}$

Hranol může být také reprezentován jako zkrácení jednoho hosoedron (v) jako . $t \ begin {Bmatrix} 2, p \ end {Bmatrix}$

Tyto jednotné polytopes (en) , postavený z konstrukce Wythoff jsou reprezentovány hodnocení zkrácení rozsah od pravidelného tvaru {p, q, ...}. Existuje celá řada symbolických paralelních tvarů, které odkazují na prvky Schläfliho symbolu , o nichž pojednávají níže uvedené rozměry.

Jednotný polyhedra a obklady

U mnohostěnů se v Enumerativním článku z roku 1954 od Coxetera s názvem Uniform polyhedra používá rozšířený Schläfliho symbol .

Každý pravidelný mnohostěn nebo mozaikování {p, q} má 7 tvarů, včetně pravidelného tvaru a jeho duální, odpovídající pozicím v trojúhelníku základní pravice. Osmý speciální tvar, změkčený , odpovídá střídání (ne) omnitronizované formy.

Například t {3.3} jednoduše znamená zkrácený čtyřstěn .

Druhá obecnější notace, kterou také používá Coxeter, platí pro všechny dimenze a je specifikována znakem t následovaným seznamem indexů odpovídajících konstrukčním zrcadlům Wythoff (odpovídají také uzlům prstencovaným v diagramu Coxeter-Dynkin ).

Například zkrácenou krychli lze reprezentovat t 0,1 {4.3} a lze ji zobrazit jako půli cesty mezi krychlí t 0 {4.3} a krychloměrem t 1 {4.3}.

V každém z nich je nejprve uveden název označující činnost konstrukce Wythoff. Zadruhé, některé mají alternativní terminologii (uvedenou v závorkách), která se vztahuje pouze na danou dimenzi. Přesně, omnitroncature (en) a rozvoj (en) , dvojí vztahy platí v každé dimenzi odlišně.

Chirurgická operace	Rozšířené symboly Schläfli		Wythoffův symbol
Rodič	$\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	t 0 {p, q}	q \| 2 str
Rektifikovaný ( kvazi-pravidelný)	$\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	t 1 {p, q}	2 \| pq
Usměrněný (nebo duální )	$\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	t 2 {p, q}	p \| 2 q
Zkrácený (in)	$t \ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	t 0,1 {p, q}	2 q \| p
Bitronqué ( nebo dvojí zkrácen)	$t \ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	t 1,2 {p, q}	2 p \| q
Zkosený (v) (nebo rozvinutý (v) )	$r \ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	t 0,2 {p, q}	pq \| 2
Zkrácené zúžené (nebo omnitronqué (in) )	$t \ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	t 0,1,2 {p, q}	2 ks \|
Změkčené (v)	$s \ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	s {p, q}	\| 2 ks

Jednotné polychloridy a voštiny

Existuje více než 15 zkrácených tvarů pro polychory a voštiny založených na každém pravidelném tvaru {p, q, r}.

Viz články polychorický a konvexní uniformní plástev (en) .

Zápis s indexem t je rovnoběžný s grafickým Coxeter-Dynkinovým diagramem , jehož každý grafický uzel představuje 4 hyperplány zrcadlových odrazů v základní doméně .

Chirurgická operace	Rozšířené symboly Schläfli	Schéma Coxeter- Dynkin
Rodič	t 0 {p, q, r}
Opraveno (en)	t 1 {p, q, r}
Usměrněný (nebo duální opravený)	t 2 {p, q, r}
Trirectified (nebo dual )	t 3 {p, q, r}

Zkrácený (in)	t 0,1 {p, q, r}
Bitronqué (en)	t 1,2 {p, q, r}
Tritronqué (nebo dvojí zkrácené)	t 2,3 {p, q, r}
Zkosený (v)	t 0,2 {p, q, r}
Bi-beveled (or dual beveled)	t 1,3 {p, q, r}
Vyvinuto (v)	t 0,3 {p, q, r}
Zkosený	t 0,1,2 {p, q, r}
Bi-beveled-truncated (nebo dual beveled-truncated)	t 1,2,3 {p, q, r}
Rozvinutý	t 0,1,3 {p, q, r}
Vyvinutý zkosený (nebo dvojitý zkosený )	t 0,2,3 {p, q, r}
Developed-beveled-truncated (or omnitronqué (en) )	t 0,1,2,3 {p, q, r}

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Schläfliho symbol “ ( viz seznam autorů ) .
(en) Harold Scott MacDonald Coxeter , Krása geometrie: Dvanáct esejí , Dover ,1999, 288 s. ( ISBN 978-0-486-40919-1 , číst online ) , kap. 3 („ Wythoffova konstrukce pro jednotné polytopy “) , s. 3 41-53
(en) Harold Scott MacDonald Coxeter , Regular Polytopes , Methuen and Co.,1948, str. 14, 69, 149
(en) Harold Scott MacDonald Coxeter , Hugh Longuet-Higgins a Jeffrey Charles Percy Miller , „ Uniform polyhedra “ , Philosophical Transaction of the Royal Society A: Physical, Mathematical and Engineering Sciences , London, sv. 246,1954, str. 401-450 Definice rozšířené Schläfliho notace: Tabulka 1 , s. 403
(en) NW Johnson , Uniform Polytopes , Manuscript, 1991
(en) NW Johnson, Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. disertační práce, University of Toronto, 1966