Set teorie Zermelo je teorie množin představen v roce 1908 Ernst Zermelo v zakladatele axiomatization článku teorie moderních souprav , ale i moderní prezentaci o tom, kde jsou axiomy zahrnuty v jazyce prvního objednávat logiku , a kde axiom nekonečna je upraven tak, aby umožnil výstavbu a von Neumann přirozených čísel .
Tato část představuje původní axiomy článku Zermela publikovaného v roce 1908, číslovaného jako v tomto článku.
Zermeloovy axiomy jsou vyjádřeny pro doménu ? (německy Bereich ), která je souborem „věcí“ nazývaných objekty ; některé z těchto objektů, ale ne nutně všechny, se nazývají množiny (pozdější verze teorie množin nejčastěji předpokládají, že všechny objekty jsou množiny). Zermelo zavádí členský vztah , který označuje písmenem epsilon: a ε b ; tento vztah zní: a je prvek b , nebo b obsahuje a jako prvek ; Zermelo píše o = b znamenat, že a b označují stejný předmět domény. S jedinou výjimkou (prázdné množiny Axiom II níže), objekt b z domény ? se nazývá spolu jen tehdy, pokud obsahuje alespoň jeden předmět A jako element, to znamená, když existuje objekt A domény tak, že a ε b . Množina M se nazývá podmnožina z množiny N , kdy všechny prvky M jsou také prvky z N .
Zde je seznam sedmi axiomů, které musí doména satisfy splňovat. Zápisy článku Zermela z roku 1908 byly v maximální možné míře respektovány.
Mezi axiomy má Zermelo první důsledky: existuje „menší“ množina Z 0, která splňuje vlastnosti uvedené v axiomu VII nekonečna, v tom smyslu, že Z 0 je podmnožinou jakékoli množiny Z, která splňuje axiom VII ; tato množina Z 0 bude hrát roli množiny přirozených čísel ; v tomto pohledu je celé číslo 0 prázdná množina 0 , celé číslo 1 je singleton {0} a obecněji nástupce celého čísla představovaného množinou n je singletonová sada { n }; například celé číslo 3 je reprezentováno množinou {{{0}}} , množinou, jejíž jediný prvek je množina {{0}}, která představuje celé číslo 2 .
Další přímý důsledek axiomů: jsou-li M a N dvě množiny, vytváří axiom unie aplikované na sudou množinu { M , N } obvyklou jednotu M ∪ N těchto dvou množin. V novějších pracích jsme upřednostňovali definovat nástupce celého čísla n (což je již množina) jako sjednocení n ∪ { n } množiny n a singletonu { n }; axiom nekonečna je poté odpovídajícím způsobem upraven .
V úvodu svého článku Zermelo píše, že samotná existence disciplíny teorie množin „se zdá být ohrožena určitými rozpory nebo protiklady , které lze odvodit z jejích principů - principů, které nutně řídí náš způsob dělání věcí.“ zdá se - a na které dosud nebylo nalezeno zcela uspokojivé řešení “ . Zermelo samozřejmě odkazuje na Russellův paradox . Již se nemůžeme držet původní Cantorovy definice .
Zermelo chce ukázat, jak lze původní teorii Georga Cantora a Richarda Dedekinda zredukovat na několik definic a sedm principů nebo axiomů. Poukazuje na to, že on ani nebyl schopen prokázat, že axiomy jsou navzájem konzistentní, to znamená, že nevedou k rozporu typu 0 = 1, d 'jiné podmínky, než je jeho systém axiomů je neodporující si . Zermelo vysvětluje, že axiom III jeho systému umožňuje eliminaci antinomií:
"S pomocí tohoto axiomu nikdy nebudeme mít sady definované nezávisle , ale naopak budou získány jako podmnožiny vytvořené z tříděných prvků [ ausgesondert : tříděné, oddělené] v již vytvořených sadách." Tímto způsobem budou odstraněny protichůdné pojmy jako množina všech množin nebo množina všech řadových čísel . "Zermelo se zbavuje Russellova paradoxu pomocí následující věty: „Každá sada má alespoň jednu podmnožinu, která není prvkem “ .
V aktuální notaci nechť je podmnožina, která je „oddělena“ vlastností (tj. Definována jako podmnožina Axiom III). Sada nemůže být prvkem , jinak by obsahovala prvek, jako je , a to sama, což je absurdní podle definice, z níž vyplývá, že žádný z jejích prvků nemá tuto vlastnost.
Pak vidíme, že nemůže být prvek : jinak, protože jsme viděli, že se sada bude prvek z nichž splňuje podmínku bychom tedy mít co je rozpor.
Proto nemůže být prvkem , který dokazuje teorém.
Z toho vyplývá, že všechny objekty univerzální domény B nemohou být prvky jedné a stejné sady : doména B sama o sobě není sada. Doména B je jiný matematický charakter, který se odkazuje na pojem třídy .
Článek Zermelo představuje pod názvem Cantorova věta ( Satz von Cantor ) výsledek druhé, z čehož je možná první zmínka pod tímto názvem. Zermelo definuje „ M má slabší mohutnost než N “, v přísně slabším smyslu, označeném M < N , to znamená: množina M je ekvipotentní ( ekvivalentní ) k podmnožině N , ale N není k podmnožině na M ; toto je v podstatě definice přísné subpotence (existuje injekce M do N, ale žádná injekce N do M ). Označíme zde P ( M ) , stejně jako dnes, množinu částí množiny M , množinu poskytovanou axiomem IV.
" Cantorova věta : Pokud M je nějaká množina, pak vždy máme M <P ( M )." Jakákoli sada má nižší mohutnost než sada jejích podmnožin “ .
Zermelo si nejprve všimne, že M je ekvipotentní množině singletonů vytvořených na jejích prvcích. Poté ukazuje, že P ( M ) nemůže být ekvipotentní k podmnožině M 0 z M (to znamená, že neexistuje žádná injekce P ( M ) do M ). Zermelo to ukazuje přímo, ale je to také důsledek skutečnosti, že neexistuje surjekce z P ( M ) do M (viz Cantorova věta ). Demonstrace je v zásadě stejná.
Zermeloův text z roku 1908 nenavrhuje množinu , objekt domény ? , který překládá pojem uspořádaného páru ( a , b ). Uspořádaný pár (nebo pár ) lze použít k reprezentaci funkce f prostřednictvím jejího grafu , vytvořeného z uspořádaných párů formy ( a , f ( a )). Uspořádaný pár se jeví jako množina v Hausdorffovi v roce 1914, což umožňuje zahrnout pojem funkce do pojmu množiny asimilací funkce a grafu funkcí .
V roce 1922 Abraham Fraenkel potvrzuje, že Zermelova teorie představuje mezery, které nám neumožňují definovat určité množiny, jejichž existence by byla přirozená. Navrhuje nový axiom, na náhradní axiom ( Ersetzungsaxiom ), jehož duch je následující: v případě, že korespondence F je dobře definován na ? domény a přidružených s každým objektem domény druhého jednoznačně určen objektu, pak pro nějaký soubor existuje nová sada b jehož elementy d jsou přesně obrazy d = F ( c ) z prvků C, z podle korespondence F. stejný rok, Thoralf Skolem přijde k podobným závěrům; navíc Skolem ve svém článku jasně specifikuje pojem dobře definovaného tvrzení, který byl v Zermelovi ve vyjádření axiomu III „separace“ stále vágní.
V roce 1923 von Neumann navrhuje nový design pro pořadovými čísly z Cantor, druhý byl definován od abstrakci druhu zakázky z dobře uspořádaných množin . Von Neumann považuje ordinály za specifické množiny zavedené díky axiómům teorie množin. Začíná to prázdnou množinou 0 , poté singleton {0} pro ordinální 1 , následovaný dvojicí {0, {0}} pro 2 : ordinální 2 tedy obsahuje 0 a 1 jako prvky; za každým pořadovým číslem n (což je množina) přichází jeho nástupce, definovaný jako unie n ∪ { n }. Aniž bychom v popisu šli dále, můžeme dodat, že ordinální ω je nejmenší ordinál, který obsahuje všechny konečné ordinály, je to první nekonečný ordinál, za nímž následuje ω + 1 = ω ∪ { ω } atd. Von Neumann následně vyvinut s použitím náhradního axiomu, mocné metody definování množin řadovou indukcí , což je metoda, která stále zaujímá dobré místo v současných knihách teorie množin.
V roce 1930 navrhl Zermelo nový systém axiomů, který označil ZF ve vztahu k sobě a Fraenkelovi. Tento systém obsahuje náhradní axiom a základní axiom . Na rozdíl od Skolema se však Zermelo neomezuje na rámec logiky prvního řádu. Stejně jako v roce 1908 umožňuje Zermelo existenci Urelements , doménových objektů, které nejsou množinami a neobsahují prvky; tyto objekty jsou nyní z teorií množin obvykle vynechány.
Systém axiomů GB (nebo BG), pro Gödel a Bernays , se objevil před rokem 1940, je rozšířením ZF. Jazyk GB zahrnuje proměnné sady a proměnné třídy (můžeme si myslet, že proměnné třídy představují určité rodiny sad); výroky, které se týkají pouze množin a které lze prokázat v GB, lze také prokázat v ZF.
V roce 1966 kniha Paula Cohena věnovaná důkazu nezávislosti hypotézy kontinua představuje teorii ZF tak, jak je tomu dnes.
Moderní verze Zermeloovy teorie množin zahrnuje následující axiomy:
Axiom výběru není jedním z nich. Jelikož je však velmi obtížné dělat matematiku bez minimální formy výběru, často přidáváme spočetnou formu výběru, axiom závislé volby .
Axiom porozumění lze konstatovat jako v roce 1908, ale formování „výrokové funkce“ P ( x ), kterou obsahuje, je nyní specifikováno následovně: výrok P je tvořen proměnnými x , y , ..., z „atomových“ příkazů x ∈ y a x = y logické spojky „nebo“, „ne“ a kvantifikátory ∃ a ∀; pokud je doména ? (dnes spíše vesmír ) modelem pro systém axiomů, budou proměnné x , y , ... výrazu nahrazeny v aplikaci axiomů pouze prvky a , b ,… domény (kromě částí domény). Přítomnost „vlastnosti“ P ( x ), která může mít nekonečné množství forem, znamená, že axiom porozumění není striktně řečeno jediný axiom, ale schéma axiomů .
Nejčastěji používaná a přijímaná teorie množin je dnes známá jako ZF, je to Zermelo - Fraenkelova teorie množin ; nejčastěji se k ní přidává axiom výběru, aby se získal systém označený ZF + AC nebo ZFC. V teorii ZF již nepotřebujeme axiom pro existenci elementárních množin , který vyplývá z ostatních axiomů, a Zermelov axiom nekonečna (axiom VII) je tam upraven následovně: existuje množina Z, která obsahuje 0, a který s každým ze svých prvků a také obsahuje množinu a ∪ { a }. Ordinály ZF jsou von Neumannovy ordinály; můžeme konstatovat axiom nekonečna ve formě: existuje nedokončený ordinál .
Podstatná novinka systému Zermelo - Fraenkel ve srovnání se systémem Zermelo spočívá v zavedení náhradního axiomu (ve skutečnosti schéma axiomu ), který je silnější než axiom separace Zermelo (axiom III, který tedy může být vynecháno v ZF). Drobným důsledkem náhradního axiomu je existence Zermelových „elementárních množin“, ale především umožňuje rozvoj teorie ordinálů a definic indukcí na kolekci ordinálů. Axiom pravidelnosti (neboli axiom základu ) a axiom nahrazení byly zavedeny po práci Thoralfa Skolema a Abrahama Fraenkela v roce 1922. Axiom základu implikuje zejména to, že člověk nikdy nemá x ∈ x . Stejně jako axiom výběru není ani zakladatelský axiom obecně zahrnut do ZF, mluvíme o ZF + AF, když jej zahrneme.
V moderních systémech Z nebo ZF je výroková funkce určená v separačním axiomu interpretována jako „jakákoli vlastnost definovatelná vzorcem prvního řádu s parametry“ . Pojem „vzorce prvního řádu“ nebyl znám v roce 1908, kdy Zermelo publikoval svůj systém axiomů, a tento výklad později odmítl jako příliš restriktivní. Zermelova teorie množin je obecně považována za teorii prvního řádu, lze ji také považovat za teorii druhého řádu logiky , kde je axiom separace jediný axiom. Zermelova interpretace teorie množin druhého řádu je pravděpodobně bližší Zermelově vlastní koncepci a je silnější než interpretace prvního řádu.
V obvyklé kumulativní hierarchii V α teorie množin ZFC (kde α se mění ve třídě ordinálů), libovolná množina V α pro α limitu ordinálu větší než první nekonečný ordinální ω (jako V ω 2 ) představuje model Zermelovy teorie množin . Konzistence Zermelovy teorie množin je tedy teorémem teorie množin ZFC. Axiomy Zermelo neznamená existenci kardinála or ω nebo větších nekonečných kardinálů, protože model V ω · 2 takového kardinála neobsahuje (kardinálové musí být v teorii množin Zermelo definováni odlišně, protože obvyklá definice kardinálů a ordinálů nefunguje velmi dobře: při obvyklé definici není ani možné prokázat existenci ordinálu ω · 2).
Teorie množin Mac Lane, kterou představil Mac Lane 1986 , je Zermelova teorie množin s separačním axiomem omezeným na vzorce prvního řádu, ve kterých je každý kvantifikátor omezen. Teorie množin Mac Lane má podobnou sílu jako teorie topos s objektem přirozeného čísla nebo se systémem Principia mathematica . Je dostatečně bohatá na to, aby pokryla potřeby téměř všech běžných matematik, těch, které přímo nesouvisejí s teorií množin nebo logikou.
Zermelo a Fraenkel si položili otázku neodporování jejich příslušných systémů axiomů. Druhá Gödelova druhá věta o neúplnosti osvětluje tuto otázku v roce 1931: je nemožné prokázat protiklad Zermelova systému axiomů pouze za použití Zermelových axiomů, a totéž platí pro systém ZF; zůstává možnost důkazu relativní koherence : počínaje (silnějšími) axiomy ZFC prokažte protiklad axiomů Zermelo.
Platný argument v rámci teorie množin Zermelo - Fraenkel probíhá následovně. Definujeme množinu V α , pro α měnící se mezi řadovými čísly 0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω · 2, následovně:
Pak jsou axiomy Zermelovy teorie množin pravdivé v modelu V ω · 2 . Zatímco nekonstruktivista by to mohl brát jako platný argument, konstruktivista by to asi neudělal: ačkoli nejsou žádné problémy se sestavováním sestav do V ω , konstrukce V ω +1 je méně zřejmá, protože nemůžeme každý konstruktivně definovat podmnožina V ω .