Laplaceova rovnice
V vektorové analýzy je Laplaceova rovnice je druhého řádu eliptické parciální diferenciální rovnice , jehož název je výsledek matematický fyzik Pierre-Simon de Laplaceova .
Laplaceova rovnice, představená pro účely newtonovské mechaniky , se objevuje v mnoha dalších oborech teoretické fyziky: astronomie , elektrostatika , mechanika tekutin , šíření tepla , difúze , Brownův pohyb , kvantová mechanika .
Funkce řešení Laplaceovy rovnice se nazývají harmonické funkce .
Trojrozměrná Laplaceova rovnice
Na kartézských souřadnicích v euklidovském prostoru dimenze 3 spočívá problém v nalezení všech funkcí se třemi reálnými proměnnými, které splňují parciální diferenciální rovnici druhého řádu:
ψ(X,y,z){\ displaystyle \ psi (x, y, z)}
∂2ψ∂X2+∂2ψ∂y2+∂2ψ∂z2=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} \ psi} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} \ psi} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} \ psi} {\ částečné z ^ {2}}} = 0}.
Pro zjednodušení psaní zavedeme diferenciální operátor, který je známý a nazývá se Laplaceův operátor , nebo jednoduše Laplacian , takže předchozí parciální diferenciální rovnice je napsána kompaktním způsobem:
Δ{\ displaystyle \ Delta}
Δψ=0{\ displaystyle \ Delta \ psi = 0}.
Ve sférických souřadnicích v konvenci radius-colatitude-longitude je obecné řešení Laplaceovy rovnice
ψ(r,θ,ϕ)=∑l=0∞∑m=-ll[NAlmrl+Blmrl+1][VSlmPlm(cosθ)+DlmQlm(cosθ)]Eimϕ{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ součet _ {l = 0} ^ {\ infty} \ součet _ {m = -l} ^ {l} \ left [A_ {lm} r ^ {l} + {\ frac {B_ {lm}} {r ^ {l + 1}}} \ doprava] \ doleva [C_ {lm} P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) + D_ { lm} Q_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ vpravo] e ^ {im \ phi}}
kde a jsou související Legendrovy polynomy prvního a druhého typu. Protože ty druhého typu mají nesrovnalosti, obvykle se na ně při fyzických problémech nepřihlíží. Je také běžnější kombinovat související Legendrovy polynomy a fáze ve formě sférických harmonických .
Plm(cosθ){\ displaystyle P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta)}Qlm(cosθ){\ displaystyle Q_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta)}Eimϕ{\ displaystyle e ^ {im \ phi}} Ylm(θ,ϕ){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi)}
Ve válcových souřadnicích existují dvě možnosti v závislosti na okrajových podmínkách požadovaného řešení. Pokud řešení musí oscilovat mezi dvěma hodnotami , zejména válcem o poloměru a výšce, jehož konce jsou nastaveny na nulu, bude mít obecné řešení tvar
z{\ displaystyle z}na{\ displaystyle a}h{\ displaystyle h}
ψ(r,θ,z)=∑m=-∞∞∑ne=0∞[NAmneJám(neπrh)+BmneK.m(neπrh)][VSmnehřích(neπzh)+Dmnecos(neπzh)]Eimθ{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, z) = \ součet _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [A_ {mn} I_ {m} \ left ({\ frac {n \ pi r} {h}} \ right) + B_ {mn} K_ {m} \ left ({\ frac {n \ pi r} {h}} \ right) \ right] \ left [C_ {mn} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi z} {h}} \ right) + D_ {mn} \ cos \ left ({\ frac {n \ pi z} {h}} \ right) \ right] e ^ {im \ theta}}
kde a jsou upravené Besselovy funkce prvního a druhého typu.
Jám{\ displaystyle I_ {m}}K.m{\ displaystyle K_ {m}}
Pokud požadované řešení musí být na boční ploše válce nulové, pak bude mít obecné řešení tvar
ψ(r,θ,z)=∑ne=0∞∑m=-∞∞[NAmneJm(αmnerna)+BmneNEm(αmnerna)][VSmnesinh(αmnezna)+Dmnehovadina(αmnezna)]Eimθ{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, z) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ součet _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ vlevo [A_ {mn} J_ {m} \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {r} {a}} \ right) + B_ {mn} N_ {m} \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {r} { a}} \ right) \ right] \ left [C_ {mn} \ sinh \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {z} {a}} \ right) + D_ {mn} \ cosh \ left ( \ alpha _ {mn} {\ frac {z} {a}} \ right) \ right] e ^ {im \ theta}}
kde a jsou Besselovy a Neumannovy funkce a kde je n- ta nula m- té Besselovy funkce.
Jm{\ displaystyle J_ {m}}NEm{\ displaystyle N_ {m}}αmne{\ displaystyle \ alpha _ {mn}}
Dvojrozměrná Laplaceova rovnice
Na kartézských souřadnicích v euklidovském prostoru dimenze 2 spočívá problém v nalezení všech funkcí se dvěma reálnými proměnnými, které splňují:
PROTI(X,y){\ displaystyle V (x, y)}
∂2PROTI∂X2+∂2PROTI∂y2=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} V} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} V} {\ částečné y ^ {2}}} = 0 }.
Ukážeme, že jakákoli holomorfní funkce poskytuje řešení dvojrozměrné Laplaceovy rovnice její skutečnou částí a její imaginární částí; navíc jsou tato řešení ve všech bodech ortogonální.
Připomenutí holomorfních funkcí
Každá funkce polynomial s koeficienty komplex se holomorphic na ; stejně tak trigonometrické funkce a exponenciální funkce (trigonometrické funkce jsou ve skutečnosti relativně blízké exponenciální funkci, protože je lze z ní definovat pomocí Eulerových vzorců ).
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
- Funkce logaritmu je holomorfní na množině komplexních čísel zbavených poloviční čáry záporných reálných hodnot (mluvíme o „řezu“).
- Funkci druhé odmocniny lze definovat pomocí a je tedy holomorfní kdekoli je funkce logaritmu.z=E12lnz{\ displaystyle {\ sqrt {z}} = e ^ {{\ frac {1} {2}} \ ln z}}
- Reciproční trigonometrické funkce mají podobně řezy a jsou holomorfní všude kromě řezů.
- Inverzní funkce je holomorfní .z↦1/z{\ displaystyle z \ mapsto 1 / z}VS∗{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}
Výsledky Laplaceovy rovnice a holomorfních funkcí
První věta
Věta - každá holomorfní funkce je harmonická .
Demonstrace
Pro libovolnou funkci na z třídy C 2 bylo, podle Schwarz věty :
F{\ displaystyle F}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
∂2F∂X∂y=∂2F∂y∂X{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} F} {\ částečné x \ částečné y}} = {\ frac {\ částečné ^ {2} F} {\ částečné y \ částečné x}}},
ze kterých odvodíme:
ΔF=4∂(∂¯F){\ displaystyle \ Delta F = 4 \ částečné ({\ overline {\ částečné}} F)},
kde dva diferenciální operátory a jsou definovány:
∂{\ displaystyle \ částečné}∂¯{\ displaystyle {\ overline {\ částečné}}}
∂=12(∂∂X-i∂∂y),∂¯=12(∂∂X+i∂∂y){\ displaystyle \ částečné = {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} - i {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \ vpravo) , \ qquad {\ overline {\ částečné}} = {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} + i {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \ vpravo)}.
Pokud je holomorfní, dále splňuje Cauchy-Riemannovu rovnici :
F{\ displaystyle F}
∂¯F=0{\ displaystyle {\ overline {\ částečné}} F = 0},
aby:
ΔF=4∂(∂¯F)=4∂0=0{\ displaystyle \ Delta F = 4 \ částečné ({\ overline {\ částečné}} F) = 4 \ částečné 0 = 0}.
Poznámka : (zvláštní případ rozkladu vektoru Laplacian ). Je-li zapsán rozklad komplexní funkce na reálnou část a imaginární část
F{\ displaystyle F}
F=PROTI+iΦ{\ displaystyle F = V + i \ Phi}
pak se píše o jeho Laplacianovi:
ΔF=ΔPROTI+iΔΦ{\ displaystyle \ Delta F = \ Delta V + i \ Delta \ Phi},
proto F je harmonické právě tehdy, když V a je to. Skutečná část a imaginární část holomorfní funkce jsou proto harmonické.
Φ{\ displaystyle \ Phi}
Druhá věta
Věta - reálná část a imaginární část na úrovni řádků funkce holomorphic jsou ortogonální.
Demonstrace
Se stejnými notacemi jako dříve jsou také psány Cauchy-Riemannovy rovnice :
∂PROTI∂X=∂Φ∂ya∂PROTI∂y=-∂Φ∂X{\ displaystyle {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}} = {\ frac {\ částečné \ Phi} {\ částečné y}} \ quad {\ text {a}} \ quad {\ frac {\ částečné V} {\ částečné y}} = - {\ frac {\ částečné \ Phi} {\ částečné x}}}
(což je interpretováno z hlediska konformní transformace ). Okamžitě odvodíme:
∂PROTI∂X⋅∂Φ∂X+∂PROTI∂y⋅∂Φ∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}} \ cdot {\ frac {\ částečné \ Phi} {\ částečné x}} + {\ frac {\ částečné V} {\ částečné y}} \ cdot {\ frac {\ částečné \ Phi} {\ částečné y}} = 0}.
Rozeznáváme tam skalární součin dvou vektorů:
grad→(PROTI)⋅grad→(Φ)=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} (V) \ cdot {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} (\ Phi) = 0}.
Dedukujeme, že křivky s „ konstantní“ a „ konstantní“ jsou kolmé. Jinými slovy, siločáry ze jsou ekvipotenciální čáry z (a naopak).
PROTI(X,y)={\ displaystyle V (x, y) =}Φ(X,y)={\ displaystyle \ Phi (x, y) =}PROTI{\ displaystyle V}Φ{\ displaystyle \ Phi}
Poissonova rovnice
Nahrazením vpravo Bez člen danou funkci f , dostaneme Poissonova rovnice : .
Δφ=F{\ displaystyle \ Delta \ varphi = f}
Poznámky a odkazy
-
Stejně jako u jakékoli parciální diferenciální rovnice je obecně nutné specifikovat okrajové podmínky , aby byl problém matematicky „dobře kladen“. Může se však stát, že problém je špatně kladen, i když podmínky byly opraveny (například okrajové podmínky Neumanna na celém okraji domény). Žádná počáteční podmínka však není nutná.
-
Walter Rudin , Skutečná a komplexní analýza [ detail vydání ].
Související články