Von Mangoldtova funkce
V matematice, funkce von Mangoldt je matematická funkce pojmenovaná po německém matematikovi Hans von Mangoldt .
Definice
Tradičně poznamenal funkce von Mangoldt je definován na aplikace
Λ{\ displaystyle \ Lambda}NE∗{\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*}}
Λ(ne)={lnp-li ne=pk pro prvočíslo p a celé číslo k≥1,0Pokud ne.{\ displaystyle \ Lambda (n) = {\ begin {cases} \ ln p & {\ text {si}} n = p ^ {k} {\ text {pro prvočíslo}} p {\ mbox {a integer}} k \ geq 1, \\ 0 & {\ text {jinak.}} \ end {cases}}}Tato důležitá aritmetická funkce není ani multiplikativní, ani aditivní .
Uspokojuje identitu
lnne=∑d∣neΛ(d){\ displaystyle \ ln n = \ součet _ {d \ mid n} \ lambda (d)}nebo,
co je ekvivalentní , ,
Λ(ne)=-∑d∣neμ(d)ln(d){\ displaystyle \ Lambda (n) = - \ součet _ {d \ mid n} \ mu (d) \ ln (d)}kde součty převezmou všechna přirozená čísla d, která rozdělují n a kde označují Möbiovu funkci .
μ{\ displaystyle \ mu}
Čebyševova funkce
„Sčítací funkce von Mangoldtova“ , známá také jako Čebyševova druhá funkce , je definována jako
ψ{\ displaystyle \ psi}
ψ(X): =∑pk≤Xlnp=∑ne≤XΛ(ne)=∑p≤X⌊logpX⌋lnp{\ displaystyle \ psi (x): = \ součet _ {p ^ {k} \ leq x} \ ln p = \ součet _ {n \ leq x} \ lambda (n) = \ součet _ {p \ leq x } \ lfloor \ log _ {p} x \ rfloor \ ln p}.
Von Mangoldt poskytl přísný důkaz explicitního vzorce (en) pro zahrnující součet nad netriviálními nulami Riemannovy zeta funkce . To byla důležitá součást prvního důkazu věty o prvočísle, která je ekvivalentní .
ψ(X){\ displaystyle \ psi (x) \,} ψ(X)∼X(X→+∞){\ displaystyle \ psi (x) \ sim x \ quad (x \ až + \ infty)}
Dirichletova řada
Funkce von Mangoldtova hraje důležitou roli v teorii Dirichletovy řady , zejména funkce Riemann zeta . Jeho logaritmus je
logζ(s)=∑ne=2∞Λ(ne)lnne1nes{\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ součet _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ ln n}} \, {\ frac {1} {n ^ {s}}}}pro . Jeho logaritmická derivace je tedy:
ℜ(s)>1{\ displaystyle \ Re (s)> 1}
ζ′(s)ζ(s)=-∑ne=1∞Λ(ne)nes{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} = - \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n) } {n ^ {s}}}}.
Obecněji řečeno, v polorovině konvergence Dirichletovy řady máme
F(s)=∑ne=1∞F(ne)nes{\ displaystyle F (s) = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}}}
F′(s)=-∑ne=1∞F(ne)neslnne=-∑ne=1∞F(ne)nes∑d∣neΛ(d){\ displaystyle F '(s) = - \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}} \ ln n = - \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}} \ sum _ {d \ mid n} \ Lambda (d)}a je -li
zcela multiplikativní , odvodíme to
F{\ displaystyle f}
F′(s)=-F(s)∑d=1∞F(d)Λ(d)ds{\ displaystyle F '(s) = - F (s) \ součet _ {d = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (d) \ Lambda (d)} {d ^ {s}}}}.
Mellinova transformace Čebyševovy funkce
Mellin převádí funkce Chebyshevova lze nalézt použitím sumační vzorce Abel :
ζ′(s)ζ(s)=-s∫1∞ψ(X)Xs+1dX{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} = - s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ psi (x)} {x ^ {s + 1}}} \, {\ rm {d}} x}což platí i pro .
ℜ(s)>1{\ displaystyle \ Re (s)> 1}
Exponenciální řada
Ekvivalent ( viz výše ) je přepsána:
ψ(X)∼X{\ displaystyle \ psi (x) \ sim x}
∑ne≤X(Λ(ne)-1)=Ó(X){\ displaystyle \ suma _ {n \ leq x} \ vlevo (\ Lambda (n) -1 \ vpravo) = o (x)}.
Hardy a Littlewood recenzovali sérii
F(y)=∑ne=2∞(Λ(ne)-1)E-ney{\ displaystyle F (y) = \ součet _ {n = 2} ^ {\ infty} \ left (\ Lambda (n) -1 \ right) \ mathrm {e} ^ {- ny}}.
Prokázali pod Riemann hypotéza , že
F(y)=Ó(1y) (y→0){\ displaystyle F (y) = O \ left ({\ sqrt {\ frac {1} {y}}} \ right) \ (y \ to 0)}a
F(y)=Ω±(1y) (y→0){\ displaystyle F (y) = \ Omega _ {\ pm} \ vlevo ({\ sqrt {\ frac {1} {y}}} \ vpravo) \ (y \ až 0)}.
Tedy (pokud je Riemannova hypotéza pravdivá) je tato funkce oscilační, s odlišnými oscilacemi: existuje hodnota taková, že každá z nerovností
K.>0{\ displaystyle K> 0}
F(y)<-K.y{\ displaystyle F (y) <- {\ frac {K} {\ sqrt {y}}}} a
F(z)>K.z{\ displaystyle F (z)> {\ frac {K} {\ sqrt {z}}}}
je velmi často pravdivé v každém sousedství 0. Graf vpravo ukazuje, že toto chování není snadné ilustrovat: oscilace jsou jasně viditelné pouze tehdy, když bylo sečteno prvních 100 milionů členů řady, a pro .
y<10-5{\ displaystyle y <10 ^ {- 5}}
Riesz je zlý
Riesz Průměrná funkce von Mangoldt je dána vztahem
∑ne≤λ(1-neλ)δΛ(ne){\ displaystyle \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ left (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ right) ^ {\ delta} \ Lambda (n)}=-12πi∫vs.-i∞vs.+i∞Γ(1+δ)Γ(s)Γ(1+δ+s)ζ′(s)ζ(s)λsds{\ displaystyle = - {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (s)} {\ Gamma (1+ \ delta + s)}} {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s) }} \ lambda ^ {s} ds}
=λ1+δ+∑ρΓ(1+δ)Γ(ρ)Γ(1+δ+ρ)+∑nevs.neλ-ne{\ displaystyle = {\ frac {\ lambda} {1+ \ delta}} + \ sum _ {\ rho} {\ frac {\ gama (1+ \ delta) \ gama (\ rho)} {\ gama (1 + \ delta + \ rho)}} + \ sum _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}}.
Tady a jsou čísla charakterizující Rieszův průměr. Musíme vzít . Součet over je součet nad nulami Riemannovy zeta funkce a můžeme ukázat, že řada konverguje k .
λ{\ displaystyle \ lambda}δ{\ displaystyle \ delta}vs.>1{\ displaystyle c> 1}ρ{\ displaystyle \ rho}∑nevs.neλ-ne{\ displaystyle \ sum _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}}λ>1{\ displaystyle \ lambda> 1}
Podívejte se také
Reference
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku
anglické Wikipedie s názvem
„ Von Mangoldtova funkce “ ( viz seznam autorů ) .
-
Pohled (in) Tom M. Apostol , Úvod do teorie analytických čísel , Springer ,1976, 340 s. ( ISBN 978-0-387-90163-3 , číst online ) , s. 32-33, th. 2.10 a 2.11, nebo toto cvičení opraveno z lekce „Úvod do teorie čísel“ na Wikiversity .
-
(in) Allan Gut , „ Některé poznámky k distribuci Riemann zeta “ , Rev. Rumunská matematika. Pures and Appl. , sv. 51,2006, str. 205-217 ( číst online ).
-
Je to spíše touto metodou, že Apostol 1976 , str. 236, vypočítat ζ '/ ζ , poté, co se ujistíte ( str. 228-229 ), že v jeho polorovině konvergence není ζ zrušeno.
-
(in) GH Hardy a JE Littlewood , „ Příspěvky k teorii funkce Riemanna Zeta a teorie distribuce bonusů ,“ Acta , sv. 41, 1916, str. 119-196.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">