Poissonův součtový vzorec
Součet vzorec Poisson (někdy nazývané resumming Poisson ) je identity mezi dvěma nekonečnými částkami , první postavené s funkcí f , druhá s Fourierovou transformací . Zde je f funkce na reálné ose nebo obecněji na euklidovském prostoru . Vzorec objevil Siméon Denis Poisson .
F^{\ displaystyle {\ hat {f}}}
To a jeho zobecnění jsou důležité v několika oblastech matematiky, včetně teorie čísel , harmonické analýzy a Riemannovy geometrie . Jedním ze způsobů, jak interpretovat jednorozměrný vzorec je vidět v tom vztah mezi spektrem v Laplaceův operátor-Beltrami na kruhu a délek jednotlivých pravidelných geodetik na této křivce. Vzorec stop Selberg , na rozhraní všech oblastech nad a také z uvedených funkční analýzy , stanoví vztah stejného typu, ale mnohem hlubší povahy, mezi Laplaceova spektra a délek geodetik na straně povrchy s konstantním záporným zakřivením (zatímco Poissonovy vzorce v dimenzi n souvisí s laplaciánem a periodickou geodetikou tori , prostory s nulovým zakřivením).
Poissonův součtový vzorec
Konvence
Pro jakoukoliv funkci f s komplexními hodnotami a integrovatelné na ℝ, nazýváme Fourierova transformace z f žádosti definované
F^{\ displaystyle {\ hat {f}}}
∀X∈RF^(X)=∫-∞∞F(t)E-iXt dt.{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad {\ hat {f}} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xt} ~ \ mathrm {d} t.}
Teorém
Nechť a je přísně kladný reálný a ω 0 = 2π / a .
Pokud je f spojitá funkce od ℝ do ℂ a je integrovatelná taková
∃VS>0∃α>1∀X∈R|F(X)|≤VS(1+|X|)α{\ displaystyle \ existuje C> 0 \ quad \ existuje \ alpha> 1 \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad | f (x) | \ leq {\ frac {C} {\ left (1+ | x | \ right) ^ {\ alpha}}}}
a
∑m=-∞∞|F^(mω0)|<∞{\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {f}} (m \ omega _ {0}) | <\ infty},
tak
∑ne=-∞∞F(t+nena)=1na∑m=-∞∞F^(mω0)Eimω0t.{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (t + na) = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} (m \ omega _ {0}) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} m \ omega _ {0} t}.}
Demonstrace
Na levé straně vzorce je součet S řady spojitých funkcí. První ze dvou hypotéz o f znamená, že tato řada konverguje normálně na jakoukoli ohraničenou část ℝ. Proto je jeho součet spojitá funkce. Kromě toho, S je -periodic podle definice. Můžeme tedy vypočítat komplexní koeficienty jeho Fourierovy řady :
vs.m=1na∫0naS(t)E-imω0t dt=1na∑ne∈Z∫0naF(t+nena)E-imω0t dt,{\ displaystyle c_ {m} = {\ frac {1} {a}} \ int _ {0} ^ {a} S (t) {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {i} m \ omega _ {0} t} ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ int _ {0} ^ {a} f (t + na) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} m \ omega _ {0} t} ~ \ mathrm {d} t,}sériově integrální inverze bylo odůvodněno normální konvergence řady definujících S . Můžeme to odvodit
vs.m=1na∑ne∈Z∫0naF(t+nena)E-imω0(t+nena) dt=1na∑ne∈Z∫nena(ne+1)naF(s)E-imω0s ds=1na∫-∞∞F(s)E-imω0s ds=1naF^(mω0).{\ displaystyle c_ {m} = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ int _ {0} ^ {a} f (t + na) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} m \ omega _ {0} (t + na)} ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ int _ {na} ^ {(n + 1) a} f (s) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} m \ omega _ {0 } s} ~ \ mathrm {d} s = {\ frac {1} {a}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (s) {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {i} m \ omega _ {0} s} ~ \ mathrm {d} s = {\ frac {1} {a}} {\ hat {f}} (m \ omega _ {0}).}
Podle druhé hypotézy o f je tedy řada c m naprosto konvergentní . Sečtením Fourierovy řady S získáme
S(t)=∑m∈Zvs.mEimtω0=1na∑m∈ZF^(mω0)Eimtω0.{\ displaystyle S (t) = \ součet _ {m \ in \ mathbb {Z}} c_ {m} {\ rm {e}} ^ {\ mathrm {i} mt \ omega _ {0}} = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (m \ omega _ {0}) {\ rm {e}} ^ {\ mathrm {i } mt \ omega _ {0}}.}
Alternativní konvence
Pokud jsou použity následující konvence:
F(X)=∫-∞∞F~(ν)E-i2πXν dν,{\ displaystyle f (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ tilde {F}} (\ nu) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi x \ nu} ~ \ mathrm {d} \ nu,}
F~(ν)=∫-∞∞F(X)E+i2πXν dX,{\ displaystyle {\ tilde {F}} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) {\ rm {e}} ^ {+ {\ rm {i}} 2 \ pi x \ nu} ~ \ mathrm {d} x,}
pak se přepíše Poissonův součtový vzorec (s t = 0 a a = 1 ):
∑ne∈ZF(ne)=∑m∈ZF~(m).{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} f (n) = \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} {\ tilde {F}} (m).}
O podmínkách konvergence
Praktickým způsobem, jak obejít podmínky pravidelnosti uložené na funkci f, je umístit se do obecnějšího kontextu teorie distribuce . Označíme-li o distribuci Dirac pak pokud bychom představit následující rozdělení:
δ(X){\ displaystyle \ delta (x)}
Δ(X)≡∑ne∈Zδ(X-ne),{\ displaystyle \ Delta (x) \ ekviv \ součet _ {n \ v \ mathbb {Z}} \ delta (xn),}
elegantním způsobem, jak přeformulovat součet, je říci, že jde o jeho vlastní Fourierovu transformaci.
Δ(X){\ displaystyle \ Delta (x)}
Aplikace Poissonova resummace
Nejzákladnější příklady tohoto vzorce nám umožňují určit jednoduché součty celých čísel:
S≡∑ne=1∞1ne2=π26{\ displaystyle S \ equiv \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}},
nebo dokonce :
S≡-∑ne=1∞(-1)nene4=7π4720{\ displaystyle S \ equiv - \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {4}}} = {\ frac {7 \ pi ^ {4}} {720}}}.
Ve skutečnosti jsou převedeny do geometrických řad, které lze přesně sečíst.
Obecně je Poissonovo obnovení užitečné, protože řada, která se v přímém prostoru pomalu sbíhá, může být transformována do řady, která se ve Fourierově prostoru sbíhá mnohem rychleji (vezmeme-li příklad Gaussových funkcí , normální rozdělení velké rozptylu v přímém prostoru je převedeno na normální rozdělení malé odchylky ve Fourierově prostoru). Toto je základní myšlenka Ewaldova předvolání .
Geometrická interpretace
Definice
Kruh, nebo jednorozměrný torus T , je kompaktní křivka, kterou lze reprezentovat jako kvocientový prostor euklidovské linie ℝ diskrétní podskupinou a ℤ skupiny izometrií:
T=R/naZ{\ displaystyle T = \ mathbb {R} / a \ mathbb {Z}}.
Periodická geodetika
Periodická geodetika plochého torusu má následující délky:
lne=nena,ne∈NE.{\ displaystyle l_ {n} = na, \ quad n \ in \ mathbb {N}.}
Spektrum operátora Laplace-Beltrami
Zvažte operátora Laplace-Beltrami na T :
Δu(X)=d2u(X)dX2.{\ displaystyle \ Delta u (x) = {\ frac {{\ rm {d}} ^ {2} u (x)} {{\ rm {d}} x ^ {2}}}.}
Podívejme se zejména na jeho vlastní čísla λ n , řešení rovnice vlastních čísel:
-Δune(X)=λneune(X).{\ displaystyle - \ Delta u_ {n} (x) = \ lambda _ {n} u_ {n} (x).}
kde eigenfunctions u n jsou v a splňují podmínku Periodicita:
VS∞(R){\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}
∀p∈Zune(X+pna)=une(X).{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {Z} \ quad u_ {n} (x + pa) = u_ {n} (x).}
Tyto vlastní hodnoty tvoří spočetnou množinu, kterou lze uspořádat v rostoucím pořadí :
0=λ0<λ1≤λ2≤⋯,λne=4π2ne2na2.{\ displaystyle 0 = \ lambda _ {0} <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ cdots, \ quad \ lambda _ {n} = {\ frac {4 \ pi ^ {2 } n ^ {2}} {a ^ {2}}}.}
Zobecnění
Lze snadno formulovat zobecnění tohoto vzorce v dimenzi n . Vzhledem k mřížce pak můžeme definovat duální mřížku (jako tvary v duálním celočíselném vektorovém prostoru na nebo přes Pontryaginovu dualitu ). Potom, pokud vezmeme v úvahu vícerozměrné rozdělení Dirac , že jsme opět vyznačí se můžeme definovat rozdělení
Λ⊂Rne{\ displaystyle \ Lambda \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}} Λ′{\ displaystyle \ Lambda '}Λ{\ displaystyle \ Lambda}δ(X){\ displaystyle \ delta (x)}X∈Rne{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
ΔΛ(X)=∑λ∈Λδ(X-λ).{\ displaystyle \ Delta _ {\ Lambda} (x) = \ součet _ {\ lambda \ v \ Lambda} \ delta (x- \ lambda).}
Tentokrát získáme souhrnný Poissonův vzorec tím, že si všimneme, že Fourierova transformace je (s ohledem na vhodnou normalizaci Fourierovy transformace).
ΔΛ(X){\ displaystyle \ Delta _ {\ Lambda} (x)}ΔΛ′(X){\ displaystyle \ Delta _ {\ Lambda '} (x)}
Tento vzorec se často používá v teorii funkcí theta . V teorii čísel můžeme tento vzorec dále zobecnit na případ lokálně kompaktní abelianské skupiny . V nekomutativní harmonické analýze se tato myšlenka posune ještě dále a má za následek vzorec Selbergových stop a nabývá mnohem hlubšího charakteru.
Specifickým případem jsou případy konečných abelianových skupin, u nichž je Poissonův součtový vzorec okamžitý ( srov. Harmonická analýza na konečné abelianské skupině ) a má mnoho aplikací jak teoretických v aritmetice, tak například v teorii kódu a kryptografii ( srov. Booleovská funkce ).
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v
angličtině s názvem
„ Poissonův součtový vzorec “ ( viz seznam autorů ) .
-
Aby byla tato druhá hypotéza ověřena, stačí například, aby f bylo třídy C 2 a aby f ' a f' ' byly integrovatelné.
-
Hervé Queffélec a Claude Zuily , analýza pro agregaci , Dunod ,2013, 4 th ed. ( číst online ) , s. 95-97.
-
Viz během Noah Snyder (in) .
Bibliografie
(en) Matthew R. Watkins, „ Poznámky D. Bumpa k formuli Poissonova sumarizace “ (osobní stránka)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">