Daniellův integrál

V matematice je Daniellův integrál typem integrace, která zevšeobecňuje základní koncept Riemannova integrálu, který je obvykle prvním vyučovaným. Jednou z hlavních obtíží tradiční formulace Lebesgueova integrálu je to, že vyžaduje předběžný vývoj teorie míry před získáním hlavních výsledků tohoto integrálu. Je však možný jiný přístup, který vyvinul Percy John Daniell v článku z roku 1918, který tento problém nepředstavuje, a má skutečné výhody oproti tradiční formulaci, zvláště když chceme zobecnit integrál do prostorů vyšších dimenzí nebo když chceme zavést další zevšeobecnění, jako je Riemann-Stieltjesův integrál . Základní myšlenka zavádí axiomatizaci integrálu.

Daniellovy axiomy

Začneme výběrem sady reálných ohraničených funkcí (nazývaných základní funkce ) definovaných na množině , která splňuje dva axiomy: $H$ $X$

$H$ je vektorový prostor pro obvyklé operace sčítání a násobení skalárem.
Pokud je funkce v , pak je také její absolutní hodnota . $h$ $H$ ${\ displaystyle | h |}$

Kromě toho, každé funkční h v H je přiřazeno reálné číslo , které se nazývá elementární integrál z h , jsou splněna tři axiomy: ${\ displaystyle Ih}$

Linearita. Pokud jsou h a k oba v H a a jsou libovolná dvě reálná čísla, pak . $\ alfa$ $\beta$ ${\ displaystyle I (\ alpha h + \ beta k) = \ alpha Ih + \ beta Ik}$
Pozitivita. Ano , tedy . $h (x) \ geq 0$ ${\ displaystyle Ih \ geq 0}$
Kontinuita. Pokud je klesající posloupnost v širším smyslu (tj. ) Funkcí, ve kterých konverguje k 0 pro all in , pak . ${\ displaystyle h_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle h_ {1} \ geq \ cdots \ geq h_ {k} \ geq \ cdots}$ $H$ $X$ $X$ ${\ displaystyle Ih_ {n} \ až 0}$

Definujeme tedy kladný spojitý lineární tvar v prostoru elementárních funkcí. $Já$

Tyto elementární funkce a jejich elementární integrály mohou být jakoukoli sadou funkcí a definic integrálů pro ty funkce, které splňují tyto axiomy. Rodina všech funkcí schodiště evidentně uspokojuje první dva axiomy. Pokud definujeme elementární integrál pro rodinu schodišťových funkcí jako (orientovanou) oblast domény definovanou funkcí schodiště, jsou také splněny tři axiomy pro elementární integrál. Pokud použijeme konstrukci Daniellova integrálu popsanou níže pomocí schodišťových funkcí jako elementární funkce, definujeme integrál ekvivalentní Lebesgueovu integrálu. Pokud je to topologický prostor a pokud použijeme rodinu všech spojitých funkcí jako elementární funkce a tradiční Riemannův integrál jako elementární integrál, vede to k integrálu, který je stále ekvivalentní s Lebesgueovou definicí. Pokud uděláme totéž, ale použijeme integrál Riemann - Stieltjes s příslušnou funkcí omezené variace , získáme definici integrálu ekvivalentní s definicí Lebesgue - Stieltjes . $X$

Tyto zanedbatelné sady (tj nulové opatření), mohou být definovány, pokud jde o elementární funkce následovně. Sada, která je podmnožinou, je zanedbatelná množina, pokud pro všechny existuje rostoucí posloupnost pozitivních elementárních funkcí v H tak, že a dále . $Z$ $X$ $\ epsilon> 0$ ${\ displaystyle h_ {p} (x)}$ ${\ displaystyle Ih_ {p} <\ epsilon}$ ${\ displaystyle \ sup _ {p} h_ {p} (x) \ geq 1}$ $Z$

Říkáme, že vlastnost platí téměř všude, pokud platí všude, kromě zanedbatelné množiny. $X$

Definice Daniellina integrálu

Můžeme rozšířit pojem integrál na větší třídu funkcí, na základě naší volby elementárních funkcí, třídy , což je rodina všech funkcí, které jsou téměř všude omezeny rostoucí sekvencí elementárních funkcí, jako je množina integrálů je omezená. Integrál funkce v je definován: $L ^ {+}$ $h_ {n}$ ${\ displaystyle Ih_ {n}}$ $F$ $L ^ {+}$

{\ displaystyle If = \ lim _ {n \ to \ infty} Ih_ {n}}

Můžeme ukázat, že tato definice integrálu je dobře definovaná, tj. Že nezávisí na volbě posloupnosti . $h_ {n}$

Třída však obvykle není uzavřena pro odčítání a násobení zápornými čísly, ale můžeme ji rozšířit definováním větší třídy funkcí tak, aby libovolná funkce mohla být téměř všude reprezentována jako rozdíl , podle funkcí a ve třídě . Pak lze integrál funkce definovat: $L ^ {+}$ $L$ $\ phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi = fg}$ $F$ $G$ $L ^ {+}$ $\ phi (x)$

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi (x) dx = If-Ig \,}

Tam opět můžeme ukázat, že integrál je dobře definovaný, tj. Že nezávisí na rozkladu na a . Tím je dokončena konstrukce integrálu Daniell. $\ phi$ $F$ $G$

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Daniellův integrál “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Percy John Daniell , „ Obecná forma integrálu “ , Annals of Mathematics , sv. 19,1918, str. 279–94

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

(en) Percy John Daniell , „ Integrály v nekonečném počtu dimenzí “ , Annals of Mathematics , sv. 20,1919, str. 281–88
(en) Percy John Daniell , „ Funkce omezených variací v nekonečném počtu dimenzí “ , Annals of Mathematics , sv. 21,1919, str. 30-38
(en) Percy John Daniell , „ Další vlastnosti obecného integrálu “ , Annals of Mathematics , sv. 21,1920, str. 203–20
(en) Percy John Daniell , „ Integral products and probability “ , Amer. J. Math. , sv. 43,1921, str. 143–62
(en) HL Royden , Real Analysis , Prentice Hall ,1988, 3 e ed. , 444 s. ( ISBN 978-0-02-946620-9 )
(en) G. E Shilov a BL Gurevich ( překlad Richard A. Silverman), Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Dover Publications ,1978, 233 s. ( ISBN 978-0-486-63519-4 , číst online )
(en) Edgar Asplund a Lutz Bungart , první kurz integrace , Holt, Rinehart a Winston,1966( ISBN 978-0-03-053145-3 )
(en) Angus Ellis Taylor , obecná teorie funkcí a integrace , publikace Courier Dover ,1985, 437 s. ( ISBN 978-0-486-64988-7 , číst online )