Involuce (matematika)
V matematiky , An involuce je bijective aplikace, který je jeho vlastní reciproční , to znamená, že tím, který každý prvek je obrazem jeho obrazu. To je například případ změny znaménka v množině reálných čísel nebo symetrií roviny nebo prostoru v euklidovské geometrii . V lineární algebře se evolventní endomorfismy nazývají také symetrie.
Zapojení se objevují v mnoha oblastech matematiky, zejména v kombinatorice a topologii . Involuce může být také spojena s fenoménem duality .
Formální definice
Říkáme, že aplikace je involutivní (nebo že se jedná o involuci E ), pokud pro všechno . Jinými slovy : složený z f se sebou samým je mapa identity of E .
Vlastnosti
Mapa f z E do sebe je involuce tehdy a jen tehdy, je-li bijective a tak, že f -1 = f (obraz a předchůdce jakéhokoli prvku E shodují).
Sloučenina g ∘ f dvou involucema f a g z E je involutive tehdy a jen tehdy, pokud f a g dojíždět , to znamená, že v případě, f ∘ g = g ∘ f .
Nechť f je involuce E :
- jestliže g je bijekce z E na F , s reciproční bijekcí g −1 , pak g ∘ f ∘ g −1 je involuce F ;
- pokud g je zobrazení E v E jako g ∘ f ∘ g = f , pak f ∘ g a g ∘ f jsou involucema z E .
Příklady
V lineární algebře , pokud K je pole a E K -vector plocha:
- že symetrie z E jsou endomorphisms připadající z E .
- zejména na vektorovém prostoru M n ( K ) čtvercových matic řádu n s koeficienty v K je transpozice involutivním endomorfismem.
- když E je konečné dimenze n , můžeme ke každému endomorfismu E přiřadit jeho matici A (prvek M n ( K )) na pevném základě ; tato matice je symetrie právě tehdy, když A × A se rovná matici identity I n .
V algebře je aplikace skupiny sama o sobě, která každému prvku x spojuje její symetrické x −1, involutivní: ( x −1 ) −1 = x .
V analýze platí , že pro všechna reálná čísla b ≠ 0 a a jsou mapy definované na ℝ \ { a } a definované na ℝ involutions.
Komplex konjugace je involuce ℂ . Obecněji :
- na množině čtvercových matic řádu n se složitými koeficienty je mapa, která s jakoukoli maticí spojuje její doplněk, involuce.
- na kvadratické příponě je aplikace, která k jakémukoli prvku spojuje svůj konjugát, involutivní.
V klasické logice je negace involutivní: „not not A“ je ekvivalentní „A“; ale to není případ intuitivní logiky .
Permutace je involuce jestliže a pouze tehdy, když se rozkládá na disjunktní cykly délky menší než nebo roven 2. Je tedy výlučně složené z pevných bodů a předpisy.
Zobecnění
Pojem involuce lze rozšířit i na další matematické objekty: pokud vezmeme v úvahu monoid ( M , ✻, e ), řekneme, že prvek a z M je involuce (pro zákon ✻) nebo je involutivní (v M ) pokud a ✻ a = e .
Pak máme pro každé přirozené číslo k : a 2 k = e k = e tedy a 2 k + 1 = e ✻ a = a .
Neutrální element z monoid je involuce tohoto monoidu.
Častým případem je involuce v kruhu s ohledem na druhý zákon.