Moment hybnosti (kvantová mechanika)
V kvantové mechanice je moment hybnosti definován jako vektorový operátor (označený ) se třemi složkami, z nichž každá odpovídá různým rozměrům prostoru („skalární“ operátoři). Ti se řídí určitými komutačními vztahy. Zatímco v klasické mechanice lze současně měřit tři složky momentu hybnosti, v kvantové soustavě je to nemožné. Ve skutečnosti lze určit pouze vlastní stavy společné operátorovi, který dává součet čtverců různých složek na jedné straně, a dané konkrétní složce (například ).
J→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {J}}}}J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}
Kvantová definice momentu hybnosti navíc zobecňuje „obyčejnou“ představu momentu hybnosti na situace, které nemají klasický ekvivalent. To nás ve skutečnosti vede k tomu, abychom odlišili moment hybnosti definovaný klasickou analogií, jako funkci různých složek operátorů polohy a hybnosti částice (pojem orbitální moment hybnosti , známý ), od vnitřní moment hybnosti , bez klasického ekvivalentu nebo točit (uvedeno ).
L→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {L}}}}S→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {S}}}}
Navíc v kvantové mechanice vlastní stavy společné a mají „kvantifikované“ vlastní hodnoty. To vyplývá přímo z definice momentu hybnosti z komutačních vztahů mezi jeho složkami, a nikoli z konkrétní situace studovaného systému, jak to může být případ hamiltoniánu systému. U soustav několika částic se tyto různé úhlové momenty kombinují podle konkrétních pravidel.
J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}
A konečně, stejně jako v klasické mechanice, kvantová momentová hybnost úzce souvisí s rotacemi v běžném prostoru (pro orbitální moment hybnosti) nebo v abstraktnějším prostoru (pro spin moment hybnosti). Ve skutečnosti je možné ukázat, že komutační vztahy mezi různými složkami kvantového momentu hybnosti vyplývají přímo z vztahů mezi generátory elementárních rotací v uvažovaných prostorech. Stejně jako v klasické mechanice zájem o využití kvantové momentu hybnosti vychází ze situací, kdy je „konzervativní“, ale v kvantovém smyslu termínu, jinými slovy, kde dojíždí (alespoň u některých jeho složek) s Hamiltonian systému. Samotná tato situace souvisí s existencí určitých symetrií v hamiltoniánu . V tomto případě jsou vlastní stavy hamiltoniánu běžné s vlastními stavy operátorů a . Zejména kvantová momentová hybnost hraje zásadní roli v atomové a molekulární fyzice při klasifikaci elektronických termínů.
J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}
Jednotkou tohoto pozorovatelného je Js (joulová sekunda), pokud jde o klasický moment hybnosti.
Operátor momentu hybnosti
Kinetický moment v klasické mechanice
Pro hmotný bod s polohovým vektorem a hybností je moment hybnosti vzhledem k počátku definován:r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}L→=r→∧p→.{\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ klín {\ vec {p}}.}
V kartézských souřadnicích má tento axiální vektor jako komponenty:
{LX=ypz-zpyLy=zpX-XpzLz=Xpy-ypX.{\ displaystyle {\ begin {cases} L_ {x} = yp_ {z} -zp_ {y} \\ L_ {y} = zp_ {x} -xp_ {z} \\ L_ {z} = xp_ {y} -yp_ {x} \ end {cases}}.}V klasické mechanice je zachování momentu hybnosti úzce spjato s rotační invariantností Hamiltonian systému.
První přístup: orbitální moment hybnosti
Analogicky s klasickou definicí momentu hybnosti je možné definovat odpovídající kvantitu v kvantové mechanice. Je však třeba vzít v úvahu, že klasické veličiny polohy a hybnosti odpovídají „vektorovým“ operátorům polohy a hybnosti . Každý z těchto zápisů odpovídá množinám tří skalárních operátorů a udává různé složky polohy a hybnosti. Tito poslouchají kanonické komutační vztahy :
r→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {r}}}}p→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {p}}}}(X^,y^,z^){\ displaystyle ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}(p^X,p^y,p^z){\ displaystyle ({\ hat {p}} _ {x}, {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {z})}
[X^i,p^j]=iℏδij,∀i,j∈{X,y,z},{\ displaystyle \ displaystyle \ left [{\ hat {x}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j} \ right] = {\ rm {i}} \ hbar \ delta _ {ij} , \ quad \ forall i, j \ in \ {x, y, z \},}kde je Kroneckerův symbol , je specifikováno, že různé složky nebo dojíždějí navzájem.
δij{\ displaystyle \ delta _ {ij}}r→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {r}}}}p→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {p}}}}
Operátor orbitální momentu hybnosti částice lze potom definovat jako vektorový operátor , tj. Skupinu tří skalárních operátorů odpovídajících složkám momentu hybnosti:
L→^=r→^∧p→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {L}}} = {\ hat {\ vec {r}}} \ klín {\ hat {\ vec {p}}}}
{L^X=y^p^z-z^p^yL^y=z^p^X-X^p^zL^z=X^p^y-y^p^X.{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {L}} _ {x} = {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y} \\ {\ hat {L}} _ {y} = {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ klobouk {p}} _ {z} \\ {\ hat {L}} _ {z} = {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {y}} { \ hat {p}} _ {x} \ end {cases}}.}Vezmeme-li v úvahu spínací vztahy mezi operátory, různé složky orbitálního momentu hybnosti se navzájem nepřepínají . Například vzhledem k předchozí definici a kanonickým přepínacím vztahům je přepínání mezi a dáno:
L^X{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {x}}L^y{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {y}}
[L^X,L^y]=[y^p^z-z^p^y,z^p^X-X^p^z]=[y^p^z,z^p^X]-[y^p^z,X^p^z]-[z^p^y,z^p^X]+[z^p^y,X^p^z]=y^p^X[p^z,z^]-0-0+X^p^y[z^,p^z]{\ displaystyle \ left [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y} \ right] = \ left [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z} \ right] = \ left [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} {\ hat {p} } _ {x} \ right] - \ left [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z} \ right] - \ left [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} \ right] + \ left [ {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z} \ right] = {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {x} \ left [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} \ right] -0-0 + {\ hat {x}} {\ hat { p}} _ {y} \ left [{\ hat {z}}, {\ hat {p}} _ {z} \ right]}nebo konečně:
[L^X,L^y]=iℏL^z{\ displaystyle \ left [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y} \ right] = {\ rm {i}} \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}.
Obecně lze snadno ověřit, že různé složky orbitálního momentu hybnosti dodržují komutační vztahy:
[L^i,L^j]=εijkiℏL^k,∀i,j,k∈{X,y,z},{\ displaystyle \ left [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {L}} _ {j} \ right] = \ varepsilon _ {ijk} {\ rm {i}} \ hbar {\ hat {L}} _ {k}, \ quad \ forall i, j, k \ in \ {x, y, z \},}ε ijk je symbolem Levi-Civita .
Tyto komutační vztahy jsou blíže Poissonově závorce mezi kartézskými složkami klasického momentu hybnosti: ve skutečnosti to byla formální korespondence , která připomíná existující vztah pro kanonické komutační vztahy .
{Li,Lj}=εijkLk{\ displaystyle \ {L_ {i}, L_ {j} \} = \ varepsilon _ {ijk} L_ {k}}iℏ{Li,Lj}→[L^i,L^j]{\ displaystyle {\ rm {i}} \ hbar \ {L_ {i}, L_ {j} \} \ rightarrow \ left [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {L}} _ {j} \ vpravo]}iℏ{Xi,pi}→[X^i,p^j]{\ displaystyle {\ rm {i}} \ hbar \ {x_ {i}, p_ {i} \} \ rightarrow \ left [{\ hat {x}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j} \ vpravo]}
Existence v kvantové spinové mechanice , pozorovatelná bez klasického ekvivalentu, ale jejíž vlastnosti jsou podobné orbitální momentu hybnosti, ve skutečnosti vede k zobecnění tohoto pojmu bez přímého odkazu na klasickou definici z těchto jediných komutačních vztahů.
Obecná definice momentu hybnosti v kvantové mechanice
Podle definice, kterou nazýváme kvantovou moment hybnosti jakýkoliv soubor tří rozpoznatelnosti , si všiml , a , což představuje vektorový operátor , který ověřit vztahy záměny mezi nimi:
J→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {J}}}}J^X{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x}}J^y{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}J→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {J}}}}
[J^i,J^j]=iℏεijkJ^k.{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {J}} _ {j}] = {\ rm {i}} \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J} } _ {k}.}
Tato abstraktní definice zobecňuje definici orbitálního momentu hybnosti definovaného z klasické představy. Tyto komutační vztahy ukazují, že operátory tvoří generátory Lieovy algebry s konstantami struktur . Spojená Lie skupina je ve skutečnosti skupina rotací SO (3) (nebo, v důsledku existence morfismu skupin mezi nimi, speciální unitární skupina SU (2)), což vysvětluje úzký vztah mezi Operátoři momentu hybnosti a rotace - srov. níže .
J^X,J^y,J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {J}} _ {z}}iℏεijk{\ displaystyle {\ rm {i}} \ hbar \ varepsilon _ {ijk}}
Nepřepínání mezi složkami momentu hybnosti znamená, že není možné měřit různé složky současně. Je však možné zavést operátor ( čtverec momentu hybnosti ), který dojíždí se všemi složkami :
J^2=J^X2+J^y2+J^z2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2}}J→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {J}}}}
[J^2,J^i]=0,i=X,y,z.{\ displaystyle [{\ hat {J}} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {i}] = 0, \ quad i = x, y, z.}
Tyto komutační vztahy ukazují, že jde o Casimirův invariant lžířské algebry podřízený operátory . Není proto součástí této algebry.
J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^X,J^y,J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {J}} _ {z}}
V důsledku toho je možné měřit současně pouze v kvantové mechanice pouze druhou mocninu momentu hybnosti a konkrétní složku, obecně známou . K reprezentaci této situace je běžné uchýlit se k poloklasickému obrazu „rotujícího vektoru“. V tomto modelu je moment hybnosti reprezentován vektorem konstantní normy rovným druhé odmocnině vlastního čísla , jehož projekce na ose Oz je stejná jako projekce , která se „otáčí“ kolem této osy, což odpovídá nejistotě na vlastních hodnotách a souvisejících s nekomutací mezi různými složkami (srov. obrázek naproti).
J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}J→{\ displaystyle {\ vec {J}}}J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}J^X{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x}}J^y{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y}}
Provozovatelé měřítka
U dalších dvou komponent je užitečné definovat operátory měřítka , které jsou navzájem připojeny :
J^+=J^X+iJ^y a J^-=J^X-iJ^y.{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+} = {\ hat {J}} _ {x} + {\ rm {i}} {\ hat {J}} _ {y} {\ text {a }} {\ hat {J}} _ {-} = {\ hat {J}} _ {x} - {\ rm {i}} {\ hat {J}} _ {y}.}Tyto vztahy jsou obráceny:
J^X=(J^++J^-)/2 a J^y=(J^+-J^-)/2i).{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x} = ({\ hat {J}} _ {+} + {\ hat {J}} _ {-}) / 2 {\ text {and}} { \ hat {J}} _ {y} = ({\ hat {J}} _ {+} - {\ hat {J}} _ {-}) / 2 {\ rm {i}}).}Okamžitě přijde:
J^±J^∓=(J^X±iJ^y)(J^X∓iJ^y)=J^X2+J^y2∓i[J^X,J^y]=J^2-J^z2±ℏJ^z.{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} {\ hat {J}} _ {\ mp} = ({\ hat {J}} _ {x} \ pm {\ rm {i}} { \ hat {J}} _ {y}) ({\ hat {J}} _ {x} \ mp {\ rm {i}} {\ hat {J}} _ {y}) = {\ hat {J }} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} \ mp i [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}] = {\ hat {J}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ pm \ hbar {\ hat {J}} _ {z}.}
Podle součtu a rozdílu je možné odvodit výraz :
J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}
J^2=12(J^+J^-+J^-J^+)+J^z2 a [J^+,J^-]=2ℏJ^z.{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ hat {J}} _ {+} {\ hat {J}} _ {-} + {\ hat {J}} _ {-} {\ hat {J}} _ {+} \ right) + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} {\ text {and}} \ left [{\ hat {J}} _ {+}, {\ hat {J}} _ {-} \ right] = 2 \ hbar {\ hat {J}} _ {z}.}Navíc s přihlédnutím k vlastnostem přepínání mezi různými složkami momentu hybnosti přichází:
- [J^z,J^±]=±ℏJ^±,{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = \ pm \ hbar {\ hat {J}} _ {\ pm},}
- [J^2,J^±]=0.{\ displaystyle [{\ hat {J}} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = 0.}
Tyto různé vztahy proto umožňují určit konkrétní stavy společné operátorům a .
J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}
Stanovení stavů a vlastních čísel operátorů J 2 a J z
Je možné ukázat pomocí vlastností komutace mezi různými komponentami operátorů měřítka a předcházejícími výrazy, že pro vlastní čísla a jsou možné pouze určité hodnoty . I zde se jedná o vnitřní vlastnosti momentu hybnosti, přímé důsledky jeho kvantové definice.
J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}
V první řadě, to je jasné, že vlastní čísla ze jsou skutečné pozitivní . V důsledku toho, že je možné je označení s j priori skutečně pozitivní, protože j ↦ j ( j + 1) je bijection z ℝ + do sebe.
J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}} ℏ2j(j+1){\ displaystyle \ hbar ^ {2} j (j + 1)}
Podobně je stále možné zapsat vlastní hodnoty ve tvaru s m real. Ve všech případech jsou j a m bezrozměrná čísla.
J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}ℏm{\ displaystyle \ hbar m}
V důsledku toho eigenstate společné (pro vlastní hodnoty ) a (pro vlastní hodnoty může být uvedeno) .
J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}ℏ2j(j+1){\ displaystyle \ hbar ^ {2} j (j + 1)}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}ℏm{\ displaystyle \ hbar m}|j,m⟩{\ displaystyle | j, m \ rangle}
Jinými slovy :
J^2|j,m⟩=ℏ2j(j+1)|j,m⟩ a J^z|j,m⟩=ℏm|j,m⟩.{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2} | j, m \ rangle = \ hbar ^ {2} j (j + 1) | j, m \ rangle {\ text {and}} {\ hat { J}} _ {z} | j, m \ rangle = \ hbar m | j, m \ rangle.}Ve skutečnosti definice momentu hybnosti v kvantové mechanice zavádí přísná omezení možných hodnot dvou „kvantových čísel“ j a m .
Kvantové číslo m je mezi -j a + j
Ve skutečnosti pomocí výrazu operátorů měřítka jako funkce a přichází:
J^±{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm}}J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}
0≤‖J^±|j,m⟩‖2=⟨j,m|J^2-J^z2∓ℏJz|j,m⟩=ℏ2(j(j+1)-m(m±1)){\ displaystyle 0 \ leq \ left \ | {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m \ rangle \ right \ | ^ {2} = \ langle j, m | {\ hat {J}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ mp \ hbar J_ {z} | j, m \ rangle = \ hbar ^ {2} \ vlevo (j (j + 1) -m (m \ pm 1) \ vpravo)},
z čehož vyplývá -j≤m≤j.{\ displaystyle -j \ leq m \ leq j.}
S přihlédnutím k předchozímu výrazu je snadné ověřit, že:
J^±J^∓{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} {\ hat {J}} _ {\ mp}}
J±|j,m⟩=ℏj(j+1)-m(m±1)|j,m±1⟩.{\ displaystyle J _ {\ pm} | j, m \ rangle = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1) -m (m \ pm 1)}} | j, {m \ pm 1} \ rangle. }Tento výraz je platný na jedné straně převzetím konvence nulové fáze a na druhé straně samozřejmě v případě, že m a m ± 1 jsou oba mezi - j a j .
Činností operátorů je tedy zvýšení (+) nebo zmenšení (-) o kvantové číslo m bez úpravy j , proto název operátorů stupnice, které jsou jim dány (přiblížit se operátorům stupnice a definovat pro quantum harmonický oscilátor ).
J^±{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm}}na^{\ displaystyle {\ hat {a}}}na^†{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}
Jediné přípustné hodnoty j jsou celá nebo napůl celá čísla
Ve skutečnosti je možné absurdně uvažovat o tom , že kladný reálný j + m se rovná jeho celočíselné části , označené q . Pokud by j + m byly přísně větší než q , tj. M - q > - j , operátor měřítka , iterovaný q + 1krát z vlastního stavu , by vytvořil podle předchozího výrazu čistého stavu s , což je nemožné. Podobné uvažování pomocí operátoru měřítka ukazuje, že kladný reálný j - m se rovná jeho celočíselné části označené r . V důsledku toho je 2 j kladné celé číslo q + r , což znamená, že:
J^-{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {-}} |j,m⟩{\ displaystyle | j, m \ rangle}J±|j,m⟩{\ displaystyle J _ {\ pm} | j, m \ rangle}|j,m-q-1⟩{\ displaystyle | j, mq-1 \ rangle}m-q-1<-j{\ displaystyle mq-1 <-j}J^+{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}}
Souhrn výsledků
Společné konkrétní státy, a proto jsou tyto:
|j,m⟩{\ displaystyle | j, m \ rangle}J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}
J^2|j,m⟩=ℏ2j(j+1)|j,m⟩ s celým nebo napůl celým j ;J^z|j,m⟩=ℏm|j,m⟩ s -j≤m≤+j skokem o jednu jednotku.{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} {\ hat {J}} ^ {2} | j, m \ rangle & = \ hbar ^ {2} j (j + 1) | j, m \ rangle & {\ text {s celočíselným nebo polovičním číslem}} ~; \\ {\ hat {J}} _ {z} | j, m \ rangle & = \ hbar \; m | j, m \ rangle & {\ text {s }} - j \ leq m \ leq + j {\ text {skokem o jednotku}}. \ end {zarovnáno}}}
Je třeba zdůraznit, že tyto vlastnosti jsou vlastní momentu hybnosti, protože jsou výsledkem pouze komutačních vztahů definujících operátory momentu hybnosti. Případ operátorů momentu hybnosti s celým číslem j odpovídá orbitální momentu hybnosti, který s j půlčíslem otočí operátory momentu hybnosti.
Vlastní stavy odpovídající dané hodnotě j jsou 2 j + 1 zdegenerované. Kromě toho se ukázalo, že činnost operátorů - nebo ekvivalentním způsobem komponent - na vlastním čísle má projít lineární kombinací vlastních čísel odpovídající stejné hodnotě j . Z toho vyplývá, že různé vlastní stavy tvoří základ vlastního prostoru podprostoru dimenze 2 j + 1, invariantní v rámci činnosti operátorů , a .
J^±{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm}}J^X,y{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x, y}}|j,m⟩{\ displaystyle | j, m \ rangle}{|j,-j⟩,|j,-j+1⟩,...,|j,j-1⟩,|j,j⟩}{\ displaystyle \ {| j, -j \ rangle, | j, -j + 1 \ rangle, \ ldots, | j, j-1 \ rangle, | j, j \ rangle \}}E(j){\ displaystyle {\ mathcal {E}} (j)}J^2{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}J^X,y{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x, y}}J^z{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}
Na matematické úrovni to znamená, že maticová reprezentace v základu vlastních stavů těchto operátorů jsou diagonální po blocích , přičemž každý blok má pro dimenzi 2 j + 1.
{|j,m⟩}{\ displaystyle \ {| j, m \ rangle \}}
Aplikace na orbitální moment hybnosti a spin
„Orbitální“ moment hybnosti
Definice, obecné vlastnosti
Tento pojem byl v úvodu definován jako kvantové zobecnění momentu hybnosti částice a je dán třemi operátory:
{L^X=y^p^z-z^p^yL^y=z^p^X-X^p^zL^z=X^p^y-y^p^X.{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {L}} _ {x} = {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y} \\ {\ hat {L}} _ {y} = {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ klobouk {p}} _ {z} \\ {\ hat {L}} _ {z} = {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {y}} { \ hat {p}} _ {x} \ end {cases}}.}Tito operátoři, kteří poslouchají komutační vztahy definující moment hybnosti v kvantové mechanice, vlastní stavy společné a jsou známé , s příslušnými vlastními hodnotami a . Ve skutečnosti však může nabývat pouze celočíselných , kladných nebo nulových hodnot .
L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}|ℓ,m⟩{\ displaystyle | \ ell, m \ rangle}ℏm{\ displaystyle \ hbar m}ℏ2ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1)}ℓ{\ displaystyle \ ell}
Ve skutečnosti je možné vysvětlit ve sférických souřadnicích (uvedeno , které dává:
L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
L^z=-iℏ∂∂ϕ,{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ phi}},}ale rovnice vlastních čísel je poté zapsána do reprezentace polohy:
L^z|ℓ,m⟩=ℏm|ℓ,m⟩{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} | \ ell, m \ rangle = \ hbar m | \ ell, m \ rangle}
-iℏ∂ψ∂ϕ=ℏmψ(r,θ,ϕ){\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ částečný \ psi} {\ částečný \ phi}} = \ hbar m \ psi (r, \ theta, \ phi)}, s .
ψ(r,θ,ϕ)=⟨r→|ℓ,m⟩{\ displaystyle \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ langle {\ vec {r}} | \ ell, m \ rangle}Operátor působící pouze na úhlovou proměnnou je možné oddělit proměnné pózováním s takovým způsobem, že:
L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}ϕ{\ displaystyle \ phi}ψ(r,θ,ϕ)=F(r,θ)G(ϕ){\ displaystyle \ psi (r, \ theta, \ phi) = f (r, \ theta) g (\ phi)}G(ϕ){\ displaystyle g (\ phi)}
-iℏdGdϕ=ℏmG(ϕ){\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {dg} {d \ phi}} = \ hbar mg (\ phi)},
proto má formu , s výjimkou normalizačního a fázového faktoru.
G(ϕ){\ displaystyle g (\ phi)}G(ϕ)=Eimϕ{\ displaystyle g (\ phi) = e ^ {im \ phi}}
Fyzicky musí být vlnová funkce definována jednoznačně: zejména musí být zjevně také její „axiální“ úhlová část , přičemž úhel je mezi hodnotami 0 a 2π, což znamená, že m je vždy celé číslo, kladné nebo záporné (na nula). Nyní , skokem z jednotky, to znamená, že pro orbitální moment hybnosti je nutně celé číslo.
G(ϕ){\ displaystyle g (\ phi)}ϕ{\ displaystyle \ phi}-ℓ≤m≤+ℓ{\ displaystyle - \ ell \ leq m \ leq + \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell}
Vztahy s operátory rotace
Orbitální moment hybnosti ve skutečnosti přímo souvisí s operátorem prostorové rotace. Ve skutečnosti a tím, že se umístí do reprezentace polohy, elementární rotace úhlu kolem směru Oz , jednotkového vektoru , indukuje variaci vektoru polohy , přičemž je elementárním rotačním vektorem kolem Oz .
δϕ{\ displaystyle \ delta \ phi}E→z{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}}δr→=δϕ→×r→{\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} = \ delta {\ vec {\ phi}} \ krát {\ vec {r}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}δϕ→=(δϕ)E→z{\ displaystyle \ delta {\ vec {\ phi}} = (\ delta \ phi) {\ vec {e}} _ {z}}
Při takové elementární rotaci se vlnová funkce dané částice transformuje následujícím způsobem, v nejnižším pořadí na :
ψ(r→)=⟨r→|Ψ⟩{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}) = \ langle {\ vec {r}} | \ Psi \ rangle}δϕ{\ displaystyle \ delta \ phi}
ψ(r→+δr→)=ψ(r→)+δr→⋅∇→ψ=ψ(r→)+(δϕ→×r→)⋅∇→ψ{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} + \ delta {\ vec {r}}) = \ psi ({\ vec {r}}) + \ delta {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ psi = \ psi ({\ vec {r}}) + \ doleva (\ delta {\ vec {\ phi}} \ krát {\ vec {r}} \ doprava) \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ psi},
buď kvůli vlastnostem smíšeného produktu:
ψ(r→+δr→)=(1+δϕ→⋅(r→×∇→))ψ{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} + \ delta {\ vec {r}}) = \ left (1+ \ delta {\ vec {\ phi}} \ cdot \ left ({\ vec {r }} \ times {\ vec {\ nabla}} \ right) \ right) \ psi},
nebo odpovídá až multiplikativnímu faktoru výrazu v polohové reprezentaci operátoru vektoru orbitální momentu hybnosti . Jak je napsán předchozí výraz udávající transformaci vlnové funkce v důsledku rotace elementárního úhlu :
r→×∇→{\ displaystyle {\ vec {r}} \ krát {\ vec {\ nabla}}}-iℏ{\ displaystyle -i \ hbar}L→^=r→^∧p→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {L}}} = {\ hat {\ vec {r}}} \ klín {\ hat {\ vec {p}}}}δϕ→=(δϕ)E→z{\ displaystyle \ delta {\ vec {\ phi}} = (\ delta \ phi) {\ vec {e}} _ {z}}δϕ{\ displaystyle \ delta \ phi}
ψ(r→+δr→)=(1-i(δϕ)L^zℏ)ψ.{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} + \ delta {\ vec {r}}) = \ left (1-i (\ delta \ phi) {\ frac {{\ hat {L}} _ { z}} {\ hbar}} \ vpravo) \ psi.}Následně je operátor nekonečně malé rotace kolem Oz dán . Pro libovolný směr identifikovaný jednotkovým vektorem se tento výraz zobecňuje na .
R^z(δϕ){\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ delta \ phi)}R^z(δϕ)=-i(δϕ)L^zℏ{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ delta \ phi) = - i (\ delta \ phi) {\ frac {{\ hat {L}} _ {z}} {\ hbar}} }u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}R^u→(δϕ)=-iδϕL→^⋅u→ℏ{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {\ vec {u}} (\ delta \ phi) = - i \ delta \ phi {\ frac {{\ hat {\ vec {L}}} \ cdot {\ s {u}}} {\ hbar}}}
V případě konečné rotace libovolného úhlu kolem Oz je snadné ukázat, že operátor je zapsán:
ϕ{\ displaystyle \ phi}
R^z(ϕ)=E-iℏϕL^z{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ phi) = e ^ {- {\ tfrac {i} {\ hbar}} \ phi {\ hat {L}} _ {z}}},
zevšeobecnění na libovolný směr je zřejmé.
Z tohoto důvodu, tři orbitální operátoři hybnosti , a odpovídají ( těsně) do generátorů skupiny rotací v trojrozměrném prostoru, tak (3).L^X{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {x}}L^y{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {y}}L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}-iℏ{\ displaystyle {\ tfrac {-i} {\ hbar}}}
Moment hybnosti a izotropie prostoru
V klasické mechanice je zachování momentu hybnosti úzce spojeno s invariantností rotací hamiltoniánu systému. Stejné je to v kvantové mechanice, kde koncept zachování fyzikální veličiny odpovídá situaci, kdy pozorovatelné představující ji dojíždí s hamiltoniánem systému .
Ó^{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}}}H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}[H^,Ó^]=0{\ displaystyle \ left [{\ hat {H}}, {\ hat {\ mathcal {O}}} \ right] = 0}
Vzhledem k úzkému vztahu mezi operátory rotace a operátory orbitálního momentu hybnosti je jasné, že invariance hamiltoniánu (prostorovou) rotací znamená, že tyto operátory dojíždějí s operátory a (nebo ve skutečnosti a ). V tomto případě budou vlastní stavy energie, řešení Schrödingerovy rovnice , společné s těmito operátory, a proto budou mít stanovené hodnoty a m . Izotropie Hamiltonian, tedy ekvivalence všech směrů vesmíru, bude navíc znamenat, že hodnoty energie nezávisí na kvantovém počtu m , a v důsledku toho jsou různé vlastní stavy někdy degenerovány: tato degenerace se říká být zásadní .
L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}L^X{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {x}}L^y{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {y}}H^|Ψ⟩=E|Ψ⟩{\ displaystyle {\ hat {H}} | \ Psi \ rangle = E | \ Psi \ rangle}ℓ{\ displaystyle \ ell}2ℓ+1{\ displaystyle 2 \ ell +1}
Na druhou stranu v obecném případě bude energie záviset na hodnotě , s výjimkou konkrétního případu zvaného „náhodná degenerace“.
ℓ{\ displaystyle \ ell}
Pokud se použije rovnoměrné a konstantní vnější pole (například magnetické), Hamiltonian už nebude izotropní, ale vždy se přepne se složkou orbitálního momentu hybnosti ve směru tohoto pole a samozřejmě s ním . Energie E však potom bude obecně záviset na m , a to kvůli nerovnocennosti všech směrů prostoru: dojde tedy k (alespoň částečnému) zrušení degenerace. To se děje ve spektroskopii s efekty Zeemana a Starka .
L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}
Vlastní funkce momentu hybnosti - sférické harmonické
Vzhledem k jeho úzkému vztahu s operátory rotací v prostoru je užitečné umístit se do reprezentace polohy do sférického souřadného systému (r, θ, ϕ), aby vyjádřil operátory, a přichází:
L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}
L^z=-iℏ∂∂ϕ,{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ phi}},}
L^2=-ℏ2(1hříchθ∂∂θ[hříchθ∂∂θ]+1hřích2θ∂2∂ϕ2).{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ vlevo ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta }} \ left [\ sin \ theta {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ pravé] + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné \ phi ^ {2}}} \ vpravo).}
Tento poslední výraz až do určité míry odpovídá úhlové části laplaciánského výrazu ve sférických souřadnicích, přesněji:
Δ=1r2∂∂r(r2∂∂r)-L^2ℏ2r2.{\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} \ vlevo (r ^ {2} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} \ vpravo) - {\ frac {{\ hat {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}.}V reprezentaci polohy jsou vlastní stavy společné a jsou sférické harmonické , které mají formu (normalizovaný, jednofázový faktor):
|ℓ,m⟩{\ displaystyle | \ ell, m \ rangle}L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}} Yℓ,m(θ,ϕ)=⟨θ,ϕ|ℓ,m⟩{\ displaystyle Y _ {\ ell, m} \ left (\ theta, \ phi \ right) = \ langle \ theta, \ phi | \ ell, m \ rangle}
Yℓ,m(θ,φ)=2⋅(l-m)!(l+m)!Pℓm(cosθ)Eimφ,{\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta) e ^ {im \ varphi},}kde odpovídají přidruženým Legendrovým polynomům .
Pℓm{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m}}
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Přídavné jméno „orbitální“ se používá k odlišení od vnitřního momentu hybnosti nebo rotace .
-
Tento symbol je nula, pokud jsou libovolné dva z indexů stejné, rovné +1, pokud je triplet ( i , j , k ) odvozen kruhovou permutací triplet ( x , y , z ), jinak -1. Například ε zxy = +1 a ε yxz = –1.
-
Synteticky, s jakoukoli kompaktní Lieovou skupinou G (tj. Jejíž parametry jsou ohraničené) a takovou, že ( je identita ve skupině G ), je možné přiřadit obyčejný vektorový prostor, jehož základ je dán generátory definované . Tyto generátory tvoří Lieovu algebru spojenou s Lieovou skupinou G , s komutačními vztahy formy , přičemž konstanty jsou strukturální konstanty přidružené Lieovy algebry.X1,...,XNE∈R nebo VS{\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {N} \ in \ mathbb {R} {\ text {or}} \ mathbb {C}}∀G∈G,G(0,...,0)=1^{\ displaystyle \ forall g \ v G, g (0, \ ldots, 0) = {\ hat {1}}}1^{\ displaystyle {\ hat {1}}}Xi=∂G∂Xi|Xi=0,i=1,...,NE{\ displaystyle X_ {i} = \ vlevo. {\ frac {\ částečné g} {\ částečné x_ {i}}} \ pravé | _ {x_ {i} = 0, \; i = 1, \ ldots, N }}[Xi,Xj]=vs.ijkXk{\ displaystyle \ left [X_ {i}, X_ {j} \ right] = c_ {ijk} X_ {k}}vs.ijk{\ displaystyle c_ {ijk}}
-
Pojmenovaná stupnice, protože se používají k „vzestupu“ nebo „sestupu“ v kvantových stavech.
-
Přísně vzato , v tomto výrazu bychom měli psát spíše identitu operátoru než číslo „1“, protože druhý člen v závorkách je operátor působící na vlnovou funkciJá^{\ displaystyle {\ hat {I}}}ψ{\ displaystyle \ psi}
-
To platí zejména pro pole Coulomb. Tato degenerace je ve skutečnosti spojena s existencí další symetrie Hamiltonianů.
-
Tyto funkce jsou odvozeny z Legendrových polynomů podle vzorce .Pℓ(X){\ displaystyle P _ {\ ell} (x)}Pℓm(X)=(-1)m (1-X2)m/2 dmdXm(Pℓ(X)){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ left (P _ {\ ell} (x) \ right)}
Reference
-
Srov. Například C. Cohen-Tannoudji , B. Diu a F. Laloë , Kvantová mechanika [ detail vydání ], doplněk B-VI.
-
Srov. Lev Landau a Evgueni Lifchits , Teoretická fyzika , t. 1: Mechanika [ detail vydání ], kapitola II, § 9.
Podívejte se také
Externí odkaz
Doplňky k Angular Moments , z fyziky Phyches
Funguje
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">