Kvadratické celé číslo

V matematiky , je kvadratický celé číslo je komplexní číslo je kořen z jednotné kvadratické polynomem s celočíselnými koeficienty . Pojem algebraického počtu stupňů menší nebo rovný 2 je obecnější. Rovněž odpovídá komplexnímu číslu, kořenu polynomu druhého stupně s racionálními koeficienty .

Tato konkrétní čísla mají algebraické vlastnosti . Jestliže α je kvadratická celé číslo, množina ℤ [α] počtů tvaru A + b α, kde a b označují dva relativní celá čísla, je subring z pole ℂ komplexních čísel (tj. - řekněme, že je stabilní sčítáním, odčítáním a násobením a že obsahuje 1). Pokud je β algebraické číslo stupně 2, je množina čísel tvaru a + b β, kde a a b označují dvě racionální čísla , vždy jednotným prstencem a dokonce i polem (jakýkoli nenulový prvek je invertovatelný), nazývá se kvadratické pole a zaznamená se ℚ (β).

Kvadratické číslo, celé číslo nebo pouze algebraické, je tedy především prvkem množiny, strukturované dvěma operacemi. Tento přístup je jádrem algebraické teorie čísel . Místo studia konkrétního čísla, například zlatého řezu, je plodnější analýza struktury sdruženého prstenu, zde celé struktury pole ℚ ( √ 5 ) . Tento přístup je starý, ze VI tého století se indičtí matematici objevil se násobení na sadě tohoto druhu, který řeší některé zvláštní případy na rovnici Pell . V XIX th století, Gauss předznamenává moderní přístup a pevná slovní zásobu se studiem celého nyní nese jeho jméno . Zjistil, že tento kruh je euklidovský , což umožňuje vyvinout aritmetiku analogickou s relativními celými čísly , s jeho verzí základní věty o aritmetice a jejích prvočísel .

Tyto struktury někdy podléhají obtížím, které se označují jako překážky. Jeden se týká invertibilních prvků, kterých je někdy nekonečné množství. Druhá překážka existuje, pokud prsten například není euklidovský nebo dokonce principál . Jedinečnost rozkladu na „hlavní faktory“ již neplatí a obvyklé techniky aritmetiky se ukázaly jako nefunkční. Hlubší analýza struktury prstenu umožňuje toto napravit pomocí konceptu ideálu prstenu.

Kruhy kvadratických celých čísel obecně tvoří první třídu příkladů, ve kterých se snažíme v obecné práci s případy učinit teorie nepřístupnými (viz například Kronecker-Weberova věta v teorii pole třídy ). Studium kvadratických celých čísel připouští algebraičtější verzi: studium binárních kvadratických forem a jejich gaussovské redukce, které odráží aritmetické vlastnosti kvadratických polí (zejména skupina ideálních tříd ). Neexistuje žádný analogický této interpretaci v číselných polích obecně.

Preambule

Číslo $d$ označuje ve zbytku článku celé číslo bez čtvercového faktoru a odlišné od 1, písmeno ℤ označuje kruh relativních celých čísel, ℚ pole racionálních a ℂ pole komplexů.

Motivace

První historickou motivací je řešení diofantických rovnic druhého stupně. Tyto rovnice mají celočíselné koeficienty a hledaná řešení jsou celá čísla. Slavným příkladem je x 2 - 61 y 2 = 1, který zpracoval indický matematik Brahmagupta a kterého se Fermat chopil ve výzvě předložené evropskému společenství v roce 1657.

Abychom tuto rovnici vyřešili, je rozumné studovat čísla ve tvaru a + b √ 61 , zde a a b označují dvě relativní celá čísla. Všimli jsme si, že pokud α a β jsou této formy, pak je také jejich součet a jejich součin. Navíc, jestliže α a β odpovídají dvěma párům celočíselných řešení rovnice, pak je tomu tak i v případě αβ. Řešení rovnice se ve skutečnosti rovná určení určité podmnožiny jednotného kruhu kvadratických celých čísel ve tvaru a + b √ 61 . Tato sada odpovídá podskupiny na skupiny jednotek , multiplikativní skupiny prvků, které mají inverzní v kruhu (pokud 2 - 61 b 2 = 1, inverzní a + b √ 61 je a - b √ 61 ).

Druhým příkladem je studium aritmetických vlastností spojených se zlatým řezem φ = (1 + √ 5 ) / 2. Čísla tvaru a + b φ opět vytvářejí stabilní strukturu pro sčítání a množení, která se nazývá kruh. Je to zejména v tom smyslu, že připouští euklidovské rozdělení . Toto euklidovské dělení nabízí strukturu dostatečně blízkou struktuře relativních celých čísel, aby mohl být výraz integer použit k zápisu prvku množiny. Techniky řešení jsou naprosto analogické s metodami elementární aritmetiky.

Přidáním prvků do ℤ, abychom získali pole, vytvoříme ℚ, jeho pole zlomků . Když použijeme stejnou techniku na kruh kvadratických celých čísel, získáme kvadratické pole . Tato stavba je „prvním krokem“ věže kvadratických nástavců , jednoho ze základů porozumění konstruovatelných postav pomocí pravítka a kompasu .

Euklidovské prsteny

K algebraická celá čísla o a kvadratické pole ℚ ( $\sqrt d$ ), tvoří kruh s proměnnými vlastnostmi v závislosti na hodnotě d . Jeho skupina jednotek je známá pro každou hodnotu d . Je konečné, pokud d <0.

Tento prsten je euklidovský pro níže definovanou normu (nebo její absolutní hodnotu , pokud d > 0) právě tehdy, je-li d jedna z následujících 21 hodnot:

–11, –7, –3, –2, –1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 .

Pokud d = –1, jedná se o kruh Gaussových celých čísel . Je tvořen z komplexních čísel z formy a + $i$ b s a b dvou relativních celá čísla a $i$ na imaginární jednotku .

Pokud d = –3, jedná se o kruh Eisensteinových celých čísel .

Když je prsten euklidovský, je to zásadní faktoriál .

Skupina jednotek

Pokud je d kladné ( například pokud d = 5 ), nastane první obtížnost: skupina jednotek prstence celých čísel ℚ ( $\sqrt d$ ) (tj. Množina invertibilních prvků opatřená násobením) je nekonečná. Pro rozlišení diofantických rovnic, jako je „Fermatova poslední věta“ pro „malé“ exponenty , i když jen pro n = 5, se řešení stávají akrobatickými. Dirichlet nazývá tuto obtíž „obstrukcí“.

Nefaktoriální prsteny

Když je prsten primární , jsou úspěšně použity nástroje elementární aritmetiky . Lemma Euclid , o totožnosti Bézout nebo primární faktor rozkladu prakticky přeložit beze změny s výjimkou identifikace nad skupiny jednotek. Jsou také zobecněny ty sofistikovanější modulární aritmetiky, jako je přechod na kvocient , malá Fermatova věta nebo zákon kvadratické reciprocity .

Tyto věta Stark-Heegner určuje, pro kterou záporná čísla z kruhu je hlavní:

Kruh celých čísel o ℚ ( $\sqrt d$ ), pro $d$ záporné celé číslo bez čtvercové faktoru, je hlavní tehdy a jen tehdy, když $d$ je jedna z následujících devíti hodnot:

−1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67 a −163.

V případě čísel z pozitivních, klíčenky jsou mnohem početnější, ale Gaussian domněnka, že existuje nekonečně mnoho reálných kvadratické oborů, jejichž kruh celých čísel je hlavní stále není vyřešen.

Když je prsten hlavní, je to faktoriál. Tyto dva pojmy jsou ve skutečnosti ekvivalentní pro kruh celých čísel kvadratického pole nebo obecněji číselného pole , protože je to Dedekind .

Pokud tomu tak není, dvě obvyklé charakterizace v ℤ prvočísel již nejsou ekvivalentní, protože prvek (nenulový a neinvertibilní) je neredukovatelný , tj. Který nemá jiného dělitele než 1 a sebe sama ( kromě produktu invertiblů ) již není nutně prvočíslo ve smyslu Euklidova lemmatu , takže prvek může mít několik různých rozkladů na produkt neredukovatelných. Například v kruhu ℤ [ $i$ √ 5 ] celých čísel ℚ ( $i$ √ 5 ) ,

2 \ times3 = (1+ \ mathrm i \ sqrt 5) (1- \ mathrm i \ sqrt 5).

Podobně ℤ [ $i$ √ 3 ], subring z euklidovském kruhu Eisenstein celá čísla , není faktoriální protože

2 \ times2 = (1+ \ mathrm i \ sqrt3) (1- \ mathrm i \ sqrt3),

(u tohoto lze také namítnout, že není zcela uzavřeno: viz § Úplné uzavření a úplné uzavření ).

Charakterizace

Algebraické číslo stupně 2

Studium kvadratických celých čísel zahrnuje obecnější čísla odpovídající následující definici:

Algebraické číslo se říká, že stupně 2, pokud je jeho minimální polynom je stupně 2.

Minimální polynom algebraického čísla α je jednotkový polynom s racionálními koeficienty nejmenšího stupně, jehož α je kořen. Komplexní číslo je tedy algebraické pro stupeň 2 právě tehdy, je-li neracionální a řešení kvadratické rovnice s racionálními koeficienty.

Zájem o tuto představu pochází z algebraických struktur, které jsou základem takového počtu. Studujeme vlastnosti přidružených struktur více než samotné číslo.

Pokud α je algebraické číslo stupně 2, nejmenší podpole ℂ obsahující α je množina ℚ (α) komplexních čísel tvaru x + y α.

Demonstrace

Tato množina ℚ (α) obsahuje α a je to skutečně podpole ℂ, protože splňuje všechny požadované vlastnosti stability: jediné dva citlivé body jsou stabilita podle produktů a inverzí. Nyní, když α 2 + b α + c = 0 s racionálním b a c a c ne nula, pak α 2 patří k ℚ (α) - což zajišťuje stabilitu ℚ (α) pomocí produktů - a inverzní vůči ne- nulový prvek β = x + y α z ℚ (α) patří do ℚ (α), protože se píše γ / z , kde prvek γ = x + y (- b - α) je také nenulový a kde (nenulový) produkt z = βγ je racionální x 2 - xyb + y 2 c .
Je to nejmenší, protože každé podpole ℂ obsahuje ℚ , takže pokud obsahuje také α, pak obsahuje ℚ (α).

Takové pole je kvadratickým rozšířením ℚ, ale (srov. Další část ) má toto rozšíření vždy tvar ℚ ( $\sqrt d$ ) pro určité celé číslo bez čtvercového součinitele $d$ ≠ 1. Zde platí konvence , že že analytici nemají. Nikde není řečeno, že $d$ je kladné celé číslo , což znamená, že výraz $\sqrt d$ může popisovat druhou odmocninu záporného čísla. Při analýze je tato situace nebezpečná, nevíme, jestli tento kořen označuje $i$ $\sqrt - d$ nebo - $i$ $\sqrt - d$ a není možné přijmout konvenci, díky níž je kořenová funkce spojitá na množině čísel. Následující odstavec ukazuje, že tento problém v kontextu tohoto článku neexistuje. Pro větší pohodlí je v algebraické teorii čísel často používán kořenový radikál pro záporná celá čísla , zde se používá tato konvence.

Pokud je α algebraická pro stupeň 2, ℚ (α) se rovná určitému ℚ ( $\sqrt d$ ) a α patří k ℚ ( $\sqrt d$ ). Naopak prvek a + b $\sqrt d$ z ℚ ( $\sqrt d$ ) je řešením rovnice X 2 - 2 aX + ( a 2 - db 2 ) = 0, proto je buď algebraický stupně 1, tj. Racionální (pokud b = 0) nebo algebraika stupně 2. Dedukujeme následující charakterizaci algebraických čísel stupně 2:

Číslo α je algebraické stupně 2, pokud, a to pouze v případě, že existují dvě nenulové racionály b a a, a celé číslo bez čtvercového faktoru $d$ ≠ 1, takže α se rovná a + b $\sqrt d$ .

Kvadratické pole

Pole ℚ ( $\sqrt d$ ) je izomorfní vůči kvocientovému kruhu ℚ [ X ] / ( X 2 - d ) a všechna kvadratická rozšíření ℚ jsou této formy (srov. Podrobný článek), což odůvodňuje následující definici:

Kvadratický pole je subfield ℂ tohoto formuláře ℚ ( $\sqrt d$ ), kde $d$ je non-squared celé číslo jiné než 1.

Jakékoli algebraické číslo α stupně 2 tedy patří do jedinečného kvadratického pole ℚ (α) = ℚ ( $\sqrt d$ ) a všechny prvky kvadratického pole jsou algebraické stupně 1 nebo 2. Je to dokonce charakteristická vlastnost kvadratických polí :

Jakékoli komutativní pole obsahující přísně ℚ a obsahující pouze algebraická čísla stupně 1 nebo 2 je izomorfní s kvadratickým polem.
(Demonstrace je uvedena v podrobném článku.)

Kvadratické celé číslo

Algebraické celé číslo je algebraické číslo, jehož minimální polynom (tedy bráno jako jednotka) má koeficienty v ℤ. Číslo α je algebraické pro stupeň 1 právě tehdy, pokud jde o racionální číslo; jeho minimální polynom je pak X - α. Jedinými algebraickými celými čísly ℚ jsou tedy prvky ℤ. Stejně jako v jakémkoli jiném algebraickém poli lze i v kvadratickém poli zajímat prvky, které jsou celočíselné algebraické:

Kvadratický celé číslo je algebraické celé číslo , které je ze stupně 1 nebo 2, jako algebraické číslo.

Jakékoli kvadratické celé číslo je tedy prvkem kvadratického pole.

Podrobný článek ukazuje, že (jako ℤ v ℚ) si prsten O K celých čísel algebraického pole K , složený z algebraických celých čísel K , zaslouží svůj název prstenu, jako integrální uzávěr v K d ' podkroužku : ℤ. Zejména pro kvadratické pole:

Součet, rozdíl a součin dvou algebraických celých čísel kvadratického pole je algebraické celé číslo.

Můžeme to ověřit přímo tak, že nejprve charakterizujeme prsten celých čísel kvadratického pole:

Prstenec celá čísla ℚ ( $\sqrt d$ ) je ℤ [(1 + $\sqrt d$ ) / 2] v případě, $d$ je shodné s 1 modulo 4 , a ℤ [ $\sqrt d$ ] jinak.

Výraz „ℤ [ω]“ označuje množinu čísel tvaru a 0 + a 1 ω + a 2 ω 2 +… + a n ω n , kde a 0 , a 1 ,…, a n jsou prvky ℤ . Zde je ω 2 vždy psáno jako lineární kombinace s koeficienty v ℤ 1 a ω, je dána minimálním polynomem, pokud ω označuje jednu z hodnot tvrzení výroku, konkrétně (1 + $\sqrt d$ ) / 2 nebo $\sqrt d$ . Ve zbytku článku ω označuje tuto hodnotu. Prvek kruhu ℤ [ω] má tedy tvar a + b ω, kde a a b jsou prvky ℤ.

Demonstrace

Výpočet množiny algebraických celých čísel ℚ ( √ d ):
Nechť a a b jsou dva racionály a α prvek a + b √ d . Pokud b je nula, α je racionální, proto se jedná o algebraické celé číslo právě tehdy, když a je relativní celé číslo. Jestliže b není nula, α má minimální polynom X 2 - 2 aX + ( 2 - db 2 ), takže se jedná o algebraické celé číslo v případě, a pouze v případě, 2 a a 2 - db 2 jsou (relativní) celá čísla. Nyní, pokud tomu tak je, 4 a 2 a 4 ( a 2 - db 2 ) budou celá čísla, takže 4 db 2 také, takže 2 b taky, protože d je bez čtvercového faktoru. Podmínka pro to, aby α bylo algebraické celé číslo, je proto přepsána:2na∈Z,2b∈Za(2na)2-d(2b)2≡0mod4.{\ displaystyle 2a \ in \ mathbb {Z}, \ quad 2b \ in \ mathbb {Z} \ quad {\ text {a}} \ quad (2a) ^ {2} -d (2b) ^ {2} \ ekviv. 0 \ mod 4.} $2a \ in \ Z, \ quad2b \ in \ Z \ quad \ text {a} \ quad (2a) ^ 2-d (2b) ^ 2 \ equiv0 \ mod4.$ Pokud jsou 2 a a 2 b celá čísla, třídy x a y modulo 4 jejich čtverců jsou rovny 0 nebo 1, proto podmínka x - dy = 0 odpovídá:
- pokud d není kongruentní s 1 modulem 4: x = y = 0, to znamená, že 2 je a 2 b i i, jinými slovy dobu a b celá čísla;
- pokud d je shodné s 1 modulem 4: x = y , to znamená, že 2 A a 2 B se stejné parity.
  V prvním případě je množina algebraických celých čísel ℚ ( $\sqrt d$ ) tedy ℤ + ℤ $\sqrt d$ a ve druhém množina {( n +2 k ) / 2 + ( n / 2) $\sqrt d$ | celá čísla n a k }, která se skutečně rovná ℤ + ℤ (1 + $\sqrt d$ ) / 2.
Ověření, že tato množina tvoří dílčí kroužek pole ℚ ( $\sqrt d$ ): Uvažovaná
množina je zjevně abelianská skupina, takže v obou případech stačí ukázat stabilitu pro násobení. Vyplývá to z následujících dvou vazeb: $\ všechna a, b, a ', b' \ v \ Z \ quad (a + b \ sqrt d) (a '+ b' \ sqrt d) = aa '+ dbb' + (ab '+ ba') \ sqrt d \;$ $\ forall k, n, k ', n' \ in \ Z \ quad \ left (k + n \ frac {1+ \ sqrt d} 2 \ right) \ left (k '+ n' \ frac {1+ \ sqrt d} 2 \ right) = kk '+ \ frac {d-1} 4nn' + (kn '+ nk' + nn ') \ frac {1+ \ sqrt d} 2. ~$

Úplné uzavření a úplné uzavření

Stejně jako dříve u polí a algebraických čísel si můžeme položit otázku v podobě jednotného kruhu složeného pouze z kvadratických celých čísel. Kromě samozřejmě ℤ je každý z nich zahrnut do jediného kvadratického pole: jeho pole zlomků (tj. Až do izomorfismu , nejmenší podpole ℂ, které tento kruh obsahuje). Tento kruh je proto zahrnut do kruhu celých čísel tohoto pole, což umožňuje určit všechny možnosti:

Nechť A je kruh obsahující striktně ℤ a tvořený pouze kvadratickými celými čísly. Pole zlomků A je jedinečné kvadratické pole obsahující A a existuje perfektní celé číslo jiné než čtvercové $f$ , takové, že: buď A = ℤ [ $\sqrt f$ ], nebo $f$ je shodné s 1 modulo 4 a A = ℤ [(1 + $\sqrt f$ ) / 2].

Demonstrace

Každý subfield ℂ obsahující A musí obsahovat všechny ℚ A výrobek racionální od prvku A . Tato množina je tedy polem zlomků A, protože se jedná o pole (inverze jakéhokoli nenulového algebraického čísla α patří k ℚ (α)). Navíc ℚ A není redukováno na ℚ a jakýkoli prvek ℚ A je algebraický pro stupeň 1 nebo 2. Toto pole je tedy kvadratické pole ℚ ( $\sqrt d$ ) a jakékoli kvadratické pole obsahující A obsahuje pole zlomků ℚ ( $\sqrt d$ ), takže je to stejné.

ℤ kroužek [ω] kvadratické celá čísla ℚ ( $\sqrt d$ ) (s d a? Jako výše ), obsahuje A . Jsme snadno ověřit, že = ℤ + G na G rovná A ∩ ℤω, který nemá triviální aditivní podskupiny z nekonečné cyklické skupiny ℤω, tedy rovná ℤ m ω po určitou celé číslo m > 0. Máme tedy = ℤ + ℤ m ω, jinými slovy:

pokud d ≢ 1 mod 4: m ω = m $\sqrt d$ = $\sqrt f$ definováním $f$ jako m 2 d , A = ℤ [ $\sqrt f$ ];
pokud d ≡ 1 mod 4: m ω = m (1 + √ d ) / 2 a nastanou dva nové případy:
- je-li m sudé: m ω = ( m / 2) + ( m / 2) $\sqrt d$ ∈ ℤ + $\sqrt f$ definováním $f$ jako ( m / 2) 2 d , A = ℤ [ $\sqrt f$ ];
- pokud m je liché: m ω = ( m - 1) / 2 + (1 + m $\sqrt d$ ) / 2 ∈ ℤ + (1 + $\sqrt f$ ) / 2 definováním $f$ jako m 2 d a A = ℤ [(1 + $\sqrt f$ ) / 2].

Ve všech třech případech je $f$ non-square a ve třetím je $f$ = m 2 d shodné s 1 modulo 4 (protože d a m 2 jsou).

Zejména :

Libovolné kvadratické pole je polem zlomků prstence jeho celých čísel (stejně jako ℚ je pole zlomků ℤ).
Celé číslo bez kvadratického faktoru d takového, že ℚ ( √ d ) je pole zlomků A, je odvozeno od ne-čtvercového celého čísla f výše: má stejné znaménko jako f a jeho absolutní hodnota je radikálem | f |.
Například :
- kruh celých čísel ℚ ( $\sqrt -2$ ) je ℤ [ $\sqrt -2$ ], z nichž ℤ [ $\sqrt -18$ ] je podřetězec a jejich společné pole zlomků je ℚ ( $\sqrt -2$ );
- kruh celých čísel ℚ ( $\sqrt -3$ ) je kruh ℤ [(1 + $\sqrt -3$ ) / 2] Eisensteinových celých čísel , včetně ℤ [ $\sqrt -3$ ] a ℤ [(1 + $\sqrt -27$ ) / 2] jsou dílčí kroužky a jejich pole zlomků je ℚ ( $\sqrt -3$ ).

Kruh kvadratických celých čísel - nebo obecněji algebraických celých čísel - je plně uzavřen právě tehdy, pokud se rovná prstenci celých čísel v poli zlomků. Ve skutečnosti, v obecném případě, integrální kruh se říká, že se zcela uzavřít, pokud jeho integrální uzávěr je snížena na A , tento integrál uzávěr je definována jako integrální uzávěr z A ve svém těle frakcí K (to znamená, že mezikroužek z prvky K, které jsou celá čísla nad A ); ale pokud A sestává z algebraických celých čísel, jeho integrální uzavření v K se sníží na kruh celých čísel v K (srov. důsledek 2 článku „ Celý prvek “). Proto:

Kruh celých čísel kvadratického pole je, jako ℤ, integrálně uzavřený a žádný mezikruh není.

Kruh celých čísel kvadratického pole tedy není vždy faktoriál , ale vždy splňuje ( slabší ) vlastnost úplného uzavření.

Nástroje a věty

Konjugát a norma

Dvě aplikace mají privilegovanou roli v kvadratických polích.

Automorphism σ tělesné ℚ ( $\sqrt d$ ), které posílá $\sqrt d$ přes - $\sqrt d$ .
(Pokud d <0, σ je omezení na to ( $\sqrt d$ ) konjugace komplexních čísel .) Jediné dva endo morfismy ℚ ( $\sqrt d$ ) jsou také σ a aplikující identitu . Tím omezením , dostaneme:

Involuce σ je automorphism prstencového ℤ [ω] o celá čísla ℚ ( $\sqrt d$ ).

Ve skutečnosti jakýkoli automorfismus těla ponechává kruh celých čísel stabilní. Tento endo morfismus σ z ℤ [ω] je jediný, kdo sdílí identitu, protože takový je nutně endomorfní injektiv (posílá všechny nenulové prvky kruhu na konjugát, tedy také nenulový), takže zasahuje do endomorfismu těla zlomky ℚ ( $\sqrt d$ ).

Relativní normou mapa N , z ℚ ( $\sqrt d$ ) v ℚ, což v Element alfa přidružených determinant ℚ-endomorphism x ↦ α x z ℚ ( $\sqrt d$ ). Dokazujeme, že N (α) = ασ (α) , tedy N ( a + b $\sqrt d$ ) = a 2 - db 2 .
Konstrukčně tato aplikace respektuje násobení: $\ forall \ alpha, \ beta \ in \ Q (\ sqrt d) \ quad N (\ alpha \ beta) = N (\ alpha) N (\ beta).$ V případě, že d je záporné, najdeme druhou mocninu obvyklé geometrické normy . Na rozdíl od druhé jsou aritmetickou normou racionální hodnoty. Tato vlastnost je nezbytná pro mnoho použití.
Pokud je d kladné, nemá norma důvod být kladné. Například N (1 + 1 √ 2 ) = –1.

V ℤ-základně (1, ω) O ℚ ( $\sqrt d$ ) = ℤ [ω], v závislosti na tom, zda $d$ je shodné s 1 modulo 4 nebo ne, tedy v závislosti na tom, zda ω je rovno (1 + $\sqrt d$ ) / 2 nebo $\sqrt d$ , normou tuto podobu (pro všechny relativní celá čísla $dobu$ a $b$ ):

N (a + b \ omega) = \ begin {cases} a ^ 2 + ab- \ frac {d-1} 4b ^ 2 & \ text {si} d \ equiv 1 \ text {mod} 4, \\ a ^ 2 - db ^ 2 & \ text {jinak.} \ Konec {případů}

Na prstenci ℤ [ω] je tedy norma s hodnotami v ℤ. Z multiplikativity odvodíme, že v tomto kruhu:

jednotky jsou standardní prvky ± 1;
jakýkoli nenulový prvek je produktem neredukovatelných ;
jakýkoli prvek, jehož norma se rovná, s výjimkou znaménka, prvočíslu, je neredukovatelný;
pro jakýkoli prvek π prvočíslo v ℤ [ω] (to znamená, že není nula, není invertibilní a splňuje Euklidovo lemma ), existuje prvočíslo přirozeného čísla (v obvyklém smyslu), které je spojeno s π, je rovno | N (π) |.

Skupina jednotek celočíselného kruhu

První obtížnost, kterou je třeba vyřešit, abychom porozuměli struktuře prstence kvadratických celých čísel, je jeho skupina jednotek . První poznámka zjednodušuje analýzu: kvadratické celé číslo je invertibilní právě tehdy, pokud je jeho norma rovna ± 1, což vrací otázku zpět ke studiu jedné ze dvou diofantinských rovnic: x 2 - dy 2 = ± 1 nebo, je-li d shodné s 1 modulo 4 a pokud g označuje celé číslo ( d - 1) / 4: x 2 + xy - gy 2 = ± 1.

První rovnice byla studována od Diophanta a nazývá se Pell-Fermatova rovnice . To je řešeno pomocí algoritmu podle Bhaskara II , což je indický matematik části XII th století , a Joseph-Louis Lagrange v roce 1767 teoreticky, s pokračující frakcí kvadratický nerozumný .

Je-li d záporné, skupina je vždy cyklická , a to i řádu 2 (redukovaného na skupinu {1, –1}), s výjimkou dvou případů d = –1 (řád 4, srov. Článek „ Celé číslo Gaussova ”) A d = –3 (řád 6). Pokud je d kladné, skupina je nekonečná, protože je izomorfní s ℤ / 2ℤ × ℤ. Existuje jedinečná jednotka ρ, jejíž dvě souřadnice jsou kladné a takové, že jakákoli jednotka se rovná ρ k nebo –ρ k pro určité relativní celé číslo k . Existují dva slavné a relativně efektivní algoritmy pro nalezení této takzvané základní jednotky .

Graficky, pokud reprezentujeme prstenec v rámci (1, ω), který považujeme za ortonormální , jsou body prstence umístěny na pravidelné mřížce obsahující bod 0 a jsou tvořeny čtverci strany 1. Prvky skupiny jednotky se nacházejí na 4 větvích hyperbolas, které se získávají postupnými čtvrtotáčkovými rotacemi.

Analýza skupiny jednotek nevyžaduje úplné uzavření kruhu. V důsledku toho jsou výsledky stále pravdivé pro jakýkoli kruh kvadratických celých čísel.

Rozklad na hlavní ideály

Druhá překážka je důsledkem non-knížectví určitých kruhů kvadratických celých čísel, což implikuje jejich nefaktoriálnost, která, jak jsme viděli, indukuje více rozkladů kvadratického celého čísla na neredukovatelné faktory. Dvě věty nám i přes tuto překážku stále umožňují pracovat, platí pouze pro plně uzavřené prstence, to znamená, že prsten musí obsahovat všechna algebraická celá čísla kvadratického pole.

Způsob, jak analyzovat tuto situaci pro Ernsta Kummera, je vzít v úvahu, že „prvočísla“ „chybí“. Prime ideály jsou pak považovány za chybějící prvočísla. Cílem již není rozkládat číslo, ale ideál, protože máme následující pozoruhodnou vlastnost „faktoriálnosti na ideály“:

V kruhu O K = ℤ [ω] z celých čísel kvadratické pole K , jakékoliv nenulová ideální je produkt z primárních ideálů .

Jinými slovy: O K je prsten Dedekind . Navíc, jako v každém kruhu tohoto typu, je takový rozklad jedinečný až do řádu a jakýkoli nenulový primární ideál je maximální .

(Hlavní ideály ℤ [ω] jsou klasifikovány níže .)

Poté definujeme relaci ekvivalence na množině nenulových ideálů O K : A ~ B právě tehdy, když existují nenulové prvky a , b z O K tak, že aA = bB . Třídy se nazývají ideální třídy a tvoří a priori pouze komutativní monoid (třída ( A ). Třída ( B ): = třída ( AB )), ale ve skutečnosti je to abelianská skupina a dokonce konečná abelianská skupina (viz podrobný článek) ), která se nazývá skupina tříd z K . Kruh O K je hlavní právě tehdy, když je tato skupina triviální , tj. Pokud h = 1, kde počet tříd h je řád skupiny.

Chebotarev teorém aplikována na tělo tříd Hilbertova H až K (u nichž skupina Galois z H / K je izomorfní do skupiny tříd z K ) znamená, že první ideály jsou pravidelně rozděleny v každé třídě. Jinými slovy: jakákoli třída ideálů obsahuje nekonečno prvotřídních ideálů s „hustotou“ 1 / h .

Aplikace

Klasifikace prvočísel

Struktura prstence ℤ [ω] celých čísel kvadratického pole nás vede ke studiu ne dělitelů prvočísla p , ale hlavních faktorů (ve smyslu ideálů) ideálního p ℤ [ω]. Tato analýza je užitečná pro řešení diofantických rovnic.

Existují pouze tři možné případy:

V ℤ [ω] je každý ideál s normou p prvočíslo a jsou 0, 1 nebo 2; p se říká:

inertní, pokud je 0 (v tomto případě je p ℤ [ω] prvočíslo);
rozloženy, pokud jsou 2 (v tomto případě jsou konjugované a p ℤ [ω] je jejich součin);
rozvětvený, pokud je 1 (v tomto případě je to jeho vlastní konjugát a p ℤ [ω] je jeho čtverec).

Podrobnější analýza ( srov. Podrobný článek) pak specifikuje v každém ze tří případů strukturu prstenu ℤ [ω] / p ℤ [ω] a ukazuje, že:

pokud p ≠ 2: p je inertní, pokud d není čtvercový mod p , rozkládá se, pokud d je nenulový čtvercový mod p , a rozvětvené, pokud d je dělitelné p ( kvadratický zákon vzájemnosti pak umožňuje tyto tři diskriminovat případ jako funkce třídy p modulo diskriminátor ℤ [ω] , který se rovná d nebo 4 d );
pokud p = 2: p je inertní, pokud d ≡ 5 mod 8, rozloženo, pokud d ≡ 1 mod 8 a jinak rozvětvené.

Diophantine rovnice

Prvotním důvodem pro rozvoj kvadratických polí je studium Pell-Fermatovy rovnice x 2 - dy 2 = ± 1 a obecněji diofantinské rovnice x 2 - dy 2 = ± p . Uveďme na několika příkladech, jak to předchozí teorie umožňuje překonat, když p je prvočíslo. Případy d = –1 a d = –3 jsou řešeny v článku „ Fermatova věta o dvou čtvercích “ a případy d = 5 v článku „ Kruh celých čísel ℚ ( √ 5 ) “. Případ d = –2 níže je analogický, protože v těchto čtyřech případech je kruh hlavní, takže hledání prvků s normou p je ekvivalentní hledání ideálů s normou p .

x 2 + 2 y 2 = str

Každý ideál normy p je principál generovaný prvkem x + y $i$ √ 2 normy p nebo jeho protikladem. Můžeme odvodit:

Rovnice x 2 + 2 y 2 = p má v ℤ 2

4 řešení ( x, y ) = ± ( a , ± b ), pokud je prvočíslo p shodné s 1 nebo 3 mod 8
2 řešení (0, ± 1), pokud p = 2
žádný pro ostatní hodnoty prvočísla p.

Podrobnosti výpočtu

Výše uvedená studie ukazuje, že pro d = –2 je počet ideálních norem p :

2 pokud p ≠ 2 a pokud –2 je kvadratický zbytek módu p ,
1 pokud p = 2,
0 pro ostatní prvočísla str

a pro p ≠ 2, podle dvou doplňkových zákonů kvadratického zákona vzájemnosti, –2 je čtvercový mod p právě tehdy, když p odpovídá shodě buď s 1 mod 4 a ± 1 mod 8, nebo s –1 mod 4 a ± 3 mod 8, tj. Pokud je p shodné, mod 8, buď v 1 nebo v 3.

x 2 + 5 y 2 = str

Pokud je d rovno –5, je situace choulostivější, protože prsten ℤ [ $i$ √ 5 ] není hlavní : jeho skupina tříd je řádu 2 . Kromě dvou větvených případů p = 2, což odpovídá jedinečnému ideálu normy 2 (ne hlavní, protože žádný prvek kruhu nemá pro normu 2), a p = 5, která poskytuje obě řešení triviální (0, ± 1) lze shrnout následovně:

p = x ^ 2 + 5y ^ 2 \ Leftrightarrow p \ equiv 1 \ mbox {nebo} p \ equiv 9 \ pmod {20},

2p = x ^ 2 + 5y ^ 2 \ Leftrightarrow p \ equiv 3 \ mbox {nebo} p \ equiv 7 \ pmod {20}.

Pokud je zpočátku metoda stejná jako v případě hlavního prstenu, je nutné stanovit povahu ideálů normy p . Pokud je ideál principál, existuje řešení, jinak funkce nedosáhne hodnoty p . Skupina tříd to umožňuje realizovat. Tato metoda je obecná, ale pro velké hodnoty d jsou výpočty zdlouhavé.

Detail demonstrace

Jediné dva rozvětvené případy p = 2 a p = 5, které jsou nyní vyloučeny, pojďme se nejprve podívat na ostatní prvočísla p , která jsou rozložena, to znamená, že –5 je kvadratický zbytek modulo p . Zákon kvadratické reciprocity ukazuje, že tomu tak je tehdy a jen tehdy, když je p shodné buď s 1 mod 4 a ± 1 mod 5, nebo s –1 mod 4 a ± 2 mod 5.

Rozklad p jsou tedy ty, shodné, mod 20, a to buď na 1 nebo 9, nebo se 3 až 7.

S vědomím, že skupina tříd ℤ [ $i$ √ 5 ] je řádu 2, generovaného ideálem normy 2, který budeme označovat M 2 , nyní hledejme, zda nalezený rozložený p může odpovídat hlavním ideálům. Nechť a a b jsou dvě relativní celá čísla tak, že a 2 + 5 b 2 = p. Protože p je liché, jedno ze dvou čísel a nebo b je sudé a druhé liché, takže p ≡ 1 mod 4, takže mezi čtyřmi modulo 20 třídami rozložených čísel p jsou ideály M p , σ ( M p ) odpovídající 3 a 7 nemohou být zásadní a v důsledku toho podle studie skupiny tříd jejich produkty podle M 2 jsou:

Pro p kongruentní na 3 nebo 7 mod 20 nemá rovnice a 2 + 5 b 2 = p celočíselná řešení a rovnice a 2 + 5 b 2 = 2 p v a .

To nás vede k tomu, abychom stejným způsobem analyzovali rovnici a 2 + 5 b 2 = 2 p. Pokud ( a, b ) je řešení, celá čísla a a b jsou lichá, a proto, modulo 8, jejich čtverec je shodný s 1 a tedy 2 p až 6, takže p je shodný se 3 modulo 4. Tedy mezi čtyři modulo 20 tříd rozložených čísel p , ideály M p , σ ( M p ) odpovídající 1 a 9 jsou takové, že jejich součin M 2 není principiální a opět podle studie skupiny tříd M p a σ ( M p ) jsou tedy hlavní:

Pro p kongruentní s 1 nebo 9 mod 20 nemá rovnice a 2 + 5 b 2 = 2 p celočíselná řešení a rovnice a 2 + 5 b 2 = p v a .

Klasifikace kvadratických forem

Poznámky a odkazy

(in) John Stillwell , Matematika a její historie [ maloobchodní vydání ], 2010, s. 75-77 .
Fermat končí svou výzvu: „Čekám na řešení těchto otázek; pokud ji nedodá ani Anglie, ani Gálie, Belgie nebo Keltové, poskytne ji Narbonnaise “ (Laurent Hua a Jean Rousseau, prokázal Fermat svou velkou větu? hypotéza„ Pascal “ , L'Harmattan, 2002 ( ISBN 978-2-74752836-8 ) , s. 113 ).
Nebo obecněji v kruhu GCD .
Například Bas Edixhoven a Laurent Moret-Bailly , teorie algebraických čísel, magisterský kurz matematiky , University of Rennes I ,2004( číst online ).
„Algebraické pole je pole, které obsahuje pouze algebraická čísla. " : P. 8 de O. Ore , „ Algebraická tělesa a teorie ideálů “, Památník matematických věd , sv. 64,1934, str. 1-72 ( číst online ).
(in) Kenneth H. Rosen (in) a John G. Michaels , Příručka diskrétní a kombinatorické matematiky , CRC Press ,2000( ISBN 978-0-8493-0149-0 , číst online ) , s. 295.
(in) Song Y. Yan , Testování originality a celočíselná faktorizace v kryptografii veřejného klíče , New York, NY, Springer ,2009, 2 nd ed. ( ISBN 978-0-387-77268-4 , číst online ) , s. 240.
Nezaměňujte s algebraickým uzávěrem nebo s integrálním uzávěrem .
(in) Harvey Cohn , Advanced Theory Number , Dover ,1980( 1 st ed. 1962), 276 str. ( ISBN 978-0-486-64023-5 , číst online ) , s. 45-47.
Cohn 1980 , s. 48.
Hardy a Wright 2007 , s. 266-267 a 279, § 14.4 a 15.1.
Tato vlastnost obecně platí v jakémkoli noetherianském kruhu .
U inverzí poblíž lichých záporných sil ω s jejich protiklady.
(in) Leonard Eugene Dickson , History of the Theory of Numbers (en) [ podrobná vydání ], let. 2.
Bhāskara II, Bijaganita (1150), srov. (en) John J. O'Connor a Edmund F. Robertson , „Pellova rovnice“ , v archivu MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( číst online )..
J.-L. Lagrange, Řešení aritmetické úlohy .

Podívejte se také

Bibliografie

(en) David A. Cox , prvočísla formy $x 2 + ny 2$ , Wiley,2011( 1 st ed. 1989) ( ISBN 978-1-11803100-1 , číst on-line )
GH Hardy a EM Wright ( překlad z angličtiny François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Úvod do teorie čísel , Paříž / Heidelberg, Vuibert-Springer,2007, 568 s. ( ISBN 978-2-7117-7168-4 )
(en) Kenneth Ireland a Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , Springer, coll. " GTM " ( n o 84);1990( Repr. 1998), 2 th ed. , 389 s. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , číst online )
Pierre Samuel , Algebraická teorie čísel [ detail vydání ]
Jean-Pierre Serre , aritmetický kurz ,1970[ detail vydání ]

Externí odkaz

(en) Eric W. Weisstein , „ Kvadratické pole “ , na MathWorld