Pravidelný mnohostěn

Mnohostěn se říká, že pravidelná , pokud se skládá z všechny identické a pravidelné tváře , a pokud všechny jeho vrcholy jsou identické (v případě, že je stejný počet okrajů, které se sbíhají v každém vrcholu).

Existuje pět pravidelných konvexních mnohostěnů , známých jako platonické pevné látky .

Existují čtyři pravidelné nekonvexní mnohostěny, známé jako pevné látky Kepler-Poinsot .

Platonické pevné látky

Zdá se, že sám Pythagoras (asi 530 př. N. L. ) Nebo Pythagorův archytas z Taranta (asi 360 př. N. L. ) Objevili první tři z pěti: čtyřstěn (pyramida), šestistěn (krychle), dvanáctistěn. Poté Theetetus z Atén (zemřel v roce 395 nebo 369 př. N. L. ) Objevil další dva: osmistěn a dvacetistěn. Platón je hluboce používá v Timaiu (54c - 56c), který pochází z roku 358 př. N. L. AD Euclid je studuje ve svých Prvcích (asi 300 př. N. L.)

Pravidelný čtyřstěn (pyramida)

Pravidelný čtyřstěn (od tetra , čtyři a èdre , základna), mnohostěn se 4 trojúhelníkovými plochami,

skládá se ze 4 tváří v rovnostranném trojúhelníku,
má 4 vrcholy a 6 hran.

Pravidelný šestistěn (krychle)

Šestiúhelník (od hexa , šest a èdre , základna)

skládá se ze 6 hranatých ploch,
má 8 vrcholů a 12 hran,
má 24 rovnoramenných pravoúhlých trojúhelníků .

Pravidelný osmistěn

Oktaedronové (z octa , osm, a èdre , báze)

skládá se z 8 ploch v rovnostranném trojúhelníku,
má 6 vrcholů a 12 hran,
má 48 pravoúhlých trojúhelníků.

Pravidelný dvanáctistěn

Dodecahedron (od dodecah , dvanáct a edron , základna)

skládá se z 12 stejných pětiúhelníkových ploch,
má 20 vrcholů a 30 hran.

Dvacetistěnu

Icosahedron (od icosa , dvacet a èdre , základna)

skládá se z 20 ploch v rovnostranném trojúhelníku ,
má 12 vrcholů a 30 hran,
má 120 pravých trojúhelníků.

Středy ploch platonického tělesa jsou vrcholy platonického tělesa. Tato korespondence je interní mezi čtyřstěnmi; vyměňuje si kostky a oktaedry na jedné straně, dodekahedru a ikosahedru na straně druhé.

Platón považoval tyto pevné látky za obraz dokonalosti; pro něj, jak vysvětluje v Timaiu , je čtyřstěn symbolem ohně, osmistěn vzduchu, dvacetistěn vody, kostka Země a dvanáctistěn celého vesmíru.

Dva články od Cauchyho v časopise Journal de l ' École se zabývají běžnou mnohostěnou.

Klasická matematika spojuje těchto pět regulárních těles s představou skupiny .

Demonstrace

Ukážeme, že může existovat pouze pět pravidelných konvexních mnohostěnů Platóna; tato demonstrace je ekvivalentní demonstraci Euklida.

Všeobecné obchodní podmínky

Nechť $m$ je počet okrajů plochy, $n$ počet ploch, které se setkávají na vrcholu mnohostěnu ({ m , n } je Schläfliho symbol mnohostěnu). Víme, že :

$m$ a $n$ jsou přirozená čísla;
$m \geq 3$ , protože mnohoúhelník, což je dvourozměrný útvar, má alespoň tři hrany;
$n \geq 3$ , protože vrchol v mnohostěnu, který je trojrozměrný, se nemůže spojit s méně než třemi plochami;
úhel pravidelného $m$ -polygonu se rovná stupňům: 60 stupňů pro rovnostranný trojúhelník, 90 pro čtverec, 108 pro pravidelný pětiúhelník, 120 pro pravidelný šestiúhelník atd. ; ${\ displaystyle {\ frac {180 (m-2)} {m}}}$
součet $s$ úhlů na vrcholu je přísně menší než 360 stupňů, jinak jsou plochy koplanární ( $s$ = 360 stupňů) nebo se překrývají ( $s$ > 360 stupňů).

Rovnice

Jde tedy o nalezení všech řešení následujícího systému:

{\ begin {cases} m, n \ in {\ mathbb N} \\ m, n \ geq 3 \\ s (m, n) = {\ frac {180n (m-2)} {m}} <360 \ end {případy}}

Řešení

Pokud m = 3 (trojúhelníkové plochy), pak jsou vhodné hodnoty:
- $n = 3$ , protože $s (3,3) = 180 <360$ : to je čtyřstěn
- $n = 4$ , protože $s (3,4) = 240 <360$ : je to osmistěn
- $n = 5$ , protože $s (3,5) = 300 <360$ : je to dvacetistěn
- Pokud $n \geq 6$ , pak je výsledek příliš velký: $s (3,6) = 360$ . Ve skutečnosti existuje šest rovnostranných trojúhelníků, které mají společný vrchol, čímž tvoří pravidelný plochý šestiúhelník.

Pokud m = 4 (čtvercové plochy), jediné řešení je:
- $n = 3$ , protože $s (4,3) = 270 <360$ : to je krychle
- Pokud $n \geq 4$ , pak je výsledek příliš velký: $s (4,4) = 360$ . Ve skutečnosti existují čtyři čtverce, které mají společný vrchol, čímž tvoří plochý čtverec.

Pokud m = 5 (pětiúhelníkové plochy):
- $n = 3$ , protože $s (5,3) = 324 <360$ : je to dvanáctistěn.
- Pokud $n \geq 4$ , pak je výsledek příliš velký: $s (5,4) = 432> 360$ .

Pokud $m \geq 6$ , již neexistuje řešení: $s (6,3) = 360$ a pokud $m \geq 6$ pak $s ( m , n ) => 360$ pro všechna $n \geq 3$ .

Dualita

Tato metoda také umožňuje identifikovat duální mnohostěn , protože k invertování $m$ a $n$ stačí získat duální mnohostěn:

duál čtyřstěnu {3,3} je čtyřstěn {3,3} sám;
duál osmistěnu {3,4} je krychle {4,3};
duál dvacetistěnu {3,5} je dvanáctistěn {5,3}.

Vidíme také, že čtyřstěn je jediný autoduální, protože jakmile nastavíme $m = n$ , jediné celé řešení rovnice

s (n, n) = {\ frac {180n (n-2)} {n}} = 180 (n-2) <360

je $n = 3$ , protože $s (3,3) = 180 <360$ ; zatímco s $n = 4$ je výsledek příliš velký: $s (4,4) = 360$ .

Kepler-Poinsotův mnohostěn

Kromě pěti platonických těles můžeme postavit další čtyři pravidelné tělesa, dva, jejichž tváře jsou pravidelné (nebo zkřížené) polygony : Keplerovy tělesa , a dva, které mají pravidelné plochy, ale které mohou proniknout: tělesa podle Poinsota .

Malá hvězda dodecahedron byl objeven Kepler dvaadvacet století po Plato, v roce 1619 . Má 12 ploch, které jsou hvězdicovými pětiúhelníky, 12 vrcholů a 30 hran. U každého vrcholu se setkáte s pěti tvářemi. Tento malý hvězdné dodecahedron je možné vidět v mozaice od Paolo Uccello , v bazilice svatého Marka v Benátkách , vyrobeno přibližně v roce 1430 (téměř 200 let před jeho matematický popis).
Velká hvězda dodecahedron , objevil Kepler, vytvořená ze stejných 12 hvězdy pětiúhelníků, který má 20 vrcholů a také 30 hrany.
Velký dodecahedron objeven Poinsot v roce 1809 . Jeho 12 tváří jsou pravidelné pětiúhelníky, má 12 vrcholů a 30 hran. Více než 200 let dříve Wenzel Jamnitzer ve své knize o dřevorytu Perspectiva corporum regularium vydané v roce 1568 zobrazil velký dvanáctistěn.
Velké icosahedron , objevený Poinsot, vytvořené z 20 rovnostranných trojúhelníků, a který má 12 vrcholů a také 30 hrany.

malý hvězdný dvanáctistěn {5/2, 5}
velký hvězdný dvanáctistěn {5/2, 3}
velký dvanáctistěn
{3, 5/2}
velký dvacetistěn
{5, 5/2}

Poznámky a odkazy

Podívejte se také

Související články

Geodetické kopule nebo geody
Pravidelné polychores jsou 4-dimenzionální analogy pravidelných mnohostěnů.

Externí odkaz

„ Polyhedra v pohybu “ ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Co dělat? ) , On icosaweb.ac-reunion.fr