Algebraická topologie

Algebraické topologie , dříve nazývaná kombinatorické topologie je odvětví matematiky, která se vztahují nástroje algebry ve studiu topologických prostorů . Spíše se snaží spojovat tak přirozeně na invariantní algebraickou do struktury topologických spojené. Přirozenost znamená, že tyto invarianty ověřují vlastnosti funktoriality ve smyslu teorie kategorií .

Algebraické invarianty

Základní myšlenkou je být schopen spojit algebraické objekty ( číslo , skupinu , vektorový prostor atd.) S jakýmkoli topologickým prostorem , takže dva homeomorfní prostory jsou spojeny se dvěma izomorfními strukturami a obecněji než s kontinuální mapou mezi dvěma prostory je spojen s morfismem mezi dvěma algebraickými strukturami. Takovým objektům se říká algebraické invarianty. Pomocí terminologie teorie kategorií je cílem studovat funktory z kategorie topologických prostorů do algebraické kategorie, jako jsou kategorie skupin, algebry, grupoidy atd. Výsledky topologie pak procházejí dostupnější demonstrací algebraických vlastností.

Některé pozoruhodné invarianty zahrnují:

Základní skupina z topologického prostoru X v bodě x : množina homotopických tříd oček X s bází x , zákon vnitřní prostředku tvoří zřetězení smyček;
V horní homotopy skupiny topologický prostor X v bodě x ;
Tyto homologie nebo kohomologie skupiny z topologického prostoru X ;
Tyto charakteristické třídy o skutečné, komplexní, euklidovské nebo Hermitovské vektoru svazku.

Bod věta pevné Brouwer : jakákoliv aplikace pokračuje na uzavřenou kouli o samo o sobě připouští pevný bod . $\ mathbb {R} ^ {n}$
Chlupatá koule věta : každé nepřetržité pole vektorů tečně k sféry i dimenze je zrušena alespoň v jednom místě; ve výsledku nemůže mít tokamak sférickou geometrii.
Borsuk-Ulam věta : pro každé nepřetržité mapa koule S n v , existuje pár protilehlých bodů, které se stejnou hodnotu této mapy. Například kdykoli jsou na povrchu Země dva diametrálně odlišné body se stejnou teplotou a stejným tlakem. $\ mathbb {R} ^ {n}$

Pozoruhodné algebraické topologové

Bibliografie

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Algebraická topologie “ ( viz seznam autorů ) .

N. Bourbaki, algebraická topologie, kapitoly 1 až 4 . Springer, 2016.
Daniel Tanré, Yves Félix, algebraická topologie , Dunod, 2010
Claude Morlet, "Algebraická topologie", Slovník matematiky - základy, pravděpodobnosti, aplikace , Encyklopedie Universalis a Albin Michel, Paříž 1998.
Jean-Claude Pont, LA TOPOLOGIE ALGEBRIQUE des origins à Poincaré , PUF, Paříž, 1974.
L .S. Pontryagin , Foundations of Combinatorial Topology , Graylock Press, Rochester, NY, 1952; první ruské vydání v roce 1947.
André Weil , Počet řešení rovnic v konečných polích , Bull. Hořký. Matematika. Soc. , Svazek 55, číslo 5 (1949), 497-508.

Poznámky a odkazy

„Algebra tak získává kombinatorickou topologii. To vysvětluje, proč byla kombinatorická topologie výrazů nahrazena kolem roku 1940 názvem algebraická topologie, který lépe vyhovuje metodám této vědy. », Jean-Claude Pont, s. 2; viz také nadpis a obsah knihy Leva Pontriaguina a nakonec André Weil ve svém článku citovaném v bibliografii (str. 506) píše: „Pak se zjistí, že Poincarého polynom (ve smyslu kombinatorické topologie ) odrůdy ... “

Související článek

CW-komplex