Wittův vektor

Tyto Witt vektory jsou matematické objekty, obecně označované jako nekonečný počet sekvencí (nebo obecněji členů kruhu ). Byly zavedeny Ernstem Wittem v roce 1936, aby popsaly rozšíření, která nejsou rozvětvená podle čísel těla p -adic . Tyto vektory mají kruhovou strukturu ; mluvíme tedy o kruhu Wittových vektorů .

Objevují se dnes v několika odvětvích algebraické a aritmetické geometrie , v teorii skupin a v teoretické fyzice .

Motivace

Zbytková těla diskrétních oceňovacích kruhů

Nechť O je úplný diskrétní oceňovací kruh se zbytkovým polem k . Máme tedy jednu z následujících situací:

má- li k charakteristickou nulu, pak je O identifikováno s prstencem k [[ T ]] formální řady s koeficienty v k ;
pokud k má charakteristiku p > 0, pak existují dvě možnosti:
- nebo jinak O je stále identifikován s kruhem formální řady s koeficienty v k ;
- nebo jinak O je kruh s charakteristickou nulou, ze kterého p generuje maximální ideál, který nazýváme prsten Wittových vektorů na k známém W [ k ].

V druhém případě můžeme opravit množinu zástupců k a jakýkoli prvek W [ k ] je napsán jednoznačně jako řada

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} p + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots}

kde patří do souboru vybraných zástupců. $mít}$

V tomto smyslu můžeme Wittovy vektory vidět jako formální řady nebo nekonečné řady prvků kruhu, na kterých jsme definovali operace sčítání a násobení.

Reprezentace p -adických čísel

Vzhledem k tomu, že p je prvočíslo, lze libovolné p -adické číslo x zapsat jednoznačně jako konvergentní součet

{\ displaystyle x = a_ {0} + a_ {1} p + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots}

kde koeficienty jsou prvky {0, 1,…, p - 1} nebo obecně jakéhokoli vyjádření konečného pole . $mít}$ $\ mathbb F_p$

Přirozená otázka, která vyvstává, zní: pokud sčítáme nebo vynásobíme dvě p -adická čísla pomocí takového zápisu, jaké jsou koeficienty výsledku? Ukázalo se, že přidání a násobení p -adických Wittových vektorů dává odpověď.

Definice

Wittovy polynomy

Nechť p je prvočíslo . Označíme- sekvence proměnných a pro každé kladné celé číslo n v Witt polynomu : $X$ ${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {i}, \ ldots)}$

{\ displaystyle W_ {n} (x) = W_ {n} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {p ^ {n}} + px_ {1} ^ {p ^ {n-1}} + \ cdots + p ^ {n} x_ {n}.}

Existují dva polynomy s celočíselnými koeficienty

{\ displaystyle P_ {n} (x, y) = P_ {n} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}, y_ {0}, \ ldots, y_ {n})}

{\ displaystyle S_ {n} (x, y) = S_ {n} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}, y_ {0}, \ ldots, y_ {n})}

takže máme následující vztahy modulo p n +1 :

{\ displaystyle W_ {n} (P_ {0} (x, y), \ ldots, P_ {n} (x, y)) = W_ {n} (x) W_ {n} (y),}

{\ displaystyle W_ {n} (S_ {0} (x, y), \ ldots, S_ {n} (x, y)) = W_ {n} (x) + W_ {n} (y).}

Okamžitě máme zejména:

{\ displaystyle S_ {0} = x_ {0} + y_ {0},}

{\ displaystyle S_ {1} = x_ {1} + y_ {1} + {\ frac {(x_ {0} + y_ {0}) ^ {p} -x_ {0} ^ {p} -y_ {0 } ^ {p}} {p}}.}

Ring of Witt vektory

Řetěz Wittových vektorů na poli k nazýváme množina poskytovaná následujícími zákony složení: ${\ displaystyle W [k] \ simeq k ^ {\ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle a + b = (a_ {0}, \ ldots) + (b_ {0}, \ ldots) = (S_ {0} (a, b), \ ldots, S_ {n} (a, b) , \ ldots),}

{\ displaystyle a \ times b = (a_ {0}, \ ldots) \ times (b_ {0}, \ ldots) = (P_ {0} (a, b), \ ldots, P_ {n} (a, b), \ ldots).}

Wittův kruh je komutativní kruh s charakteristickou nulou, jedná se zejména o λ-kruh (in) .

Tím, že se omezíme na polynomy stupně ohraničeného n , zkonstruujeme kruh zkrácených Wittových vektorů W n [ k ]. Celý kruh se získá jako limit :

{\ displaystyle W [k] = \ lim _ {\ stackrel {\ longleftarrow} {n}} W_ {n} [k]}

a projekce jsou kruhové homomorfismy. ${\ displaystyle W [k] \ až W_ {n} [k]}$

Velké Wittovy vektory

(Aby nedocházelo k nejasnostem, objekty týkající se velkých Wittových vektorů budou označeny tučně.)

V 60. letech si Ernst Witt a Pierre Cartier uvědomili, že výše definované Wittovy polynomy, zvané „ p -adic“ (někdy „ p -typické“), jsou součástí obecné rodiny a lze je použít k definování endofunktoru z kategorie z komutativních kroužků , z nichž p -adic Witt vektory jsou kvocient. Funktoru se říká funktor velkých Wittových vektorů (někdy funktor „zobecněných Wittových vektorů“). ${\ displaystyle \ mathbf {W}: \ mathrm {CRing} \ to \ mathrm {CRing}}$ ${\ mathbf {W}}$

Funktor je reprezentovatelný prstencem polynomů a je izomorfní vůči prstenci symetrických funkcí (en), kterým je Hopfova algebra . Funkční charakter této konstrukce umožňuje její použití zejména u snopů na algebraické odrůdě . Funktor W má levý doplněk, který je zapomínajícím funktorem struktury λ-kruhu. ${\ displaystyle \ mathbf {W}: A \ mapsto \ mathbf {W} [A]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X_ {i}] = \ mathbb {Z} [X_ {1}, X_ {2}, \ ldots]}$

Spektrum ze je skupina program nazvaný Wittův schéma . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X_ {i}]}$

Polynomy odpovídající vektoru Large Witt jsou definovány takto:

{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {n} (X) = \ mathbf {W} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}) = {\ podmnožina {d \ vert n} {\ sum}} dX_ {d} ^ {\ frac {n} {d}}}

Je jasné, že poté: ${\ displaystyle n = p ^ {k}}$

{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {n} (X) = {\ podmnožina {d \ vert n} {\ sum}} dX_ {d} ^ {\ frac {n} {d}}}

{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {p ^ {k}} (X) = {\ podmnožina {d \ vert p ^ {k}} {\ sum}} dX_ {d} ^ {\ frac {n} { d}}}

{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {p ^ {k}} (X) = \ součet _ {i = 0} ^ {k} p ^ {i} X_ {p ^ {i}} ^ {p ^ { ki}}}

A po reindexování najdeme „ p -adické“ Wittovy polynomy .

Definujeme stejným způsobem a . ${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {S} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, Y_ {1} , Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {P} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, Y_ {1} , Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n})}$

Jejich existence a jedinečnost je zajištěna existencí a jedinečností řady polynomů s racionálními koeficienty (které lze poznamenat, i když pro tuto rodinu polynomů neexistuje žádná klasická notace) tak, že: ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} (X)) = \ mathbf {M} (\ mathbf {W} _ {1} (X), \ mathbf {W} _ {2 } (X), \ ldots, \ mathbf {W} _ {n} (X)) = X_ {n}}

Tato posloupnost polynomů bohužel nemá známý obecný explicitní vzorec, ale opakovací vzorec lze snadno najít:

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (X) = {\ frac {1} {n}} (X_ {n} - \ součet _ {d \ vert n, d \ neq n} d \ mathbf { M} _ {d} (X) ^ {\ frac {n} {d}})}

Pak máme vzorec pro a : ${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y)}$

{\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} (X) + \ mathbf {W} (Y)) = \ mathbf { M} _ {n} (\ mathbf {W} _ {1} (X) + \ mathbf {W} _ {1} (Y), \ mathbf {W} _ {2} (X) + \ mathbf {W } _ {2} (Y), \ ldots, \ mathbf {W} _ {n} (X) + \ mathbf {W} _ {n} (Y))}

{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} (X) \ times \ mathbf {W} (Y)) = \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} _ {1} (X) \ times \ mathbf {W} _ {1} (Y), \ mathbf {W} _ {2} (X) \ times \ mathbf {W} _ {2} (Y), \ ldots, \ mathbf {W} _ {n} (X) \ times \ mathbf {W} _ {n} (Y))}

Polynom je s racionálními koeficienty a obecně ne integer, polynomy a jsou a priori s racionálními koeficienty. Můžeme to však ukázat a mít celočíselné koeficienty. ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y)}$

Klasické operace s Wittovými vektory

Na kruhu Wittových vektorů definujeme Frobeniovi morfismus

{\ displaystyle F: (a_ {0}, a_ {1}, \ ldots) \ mapsto (a_ {0} ^ {p}, a_ {1} ^ {p}, \ ldots)}

a morphism Verschiebung (v němčině: „offset“) je definována jako zástupce morfismu v F . Pro W [ k ] to ve skutečnosti odpovídá posunu

{\ displaystyle V: (a_ {0}, a_ {1}, \ ldots) \ mapsto (0, a_ {0}, a_ {1}, \ ldots)}

Pro prstence zkrácených Wittových vektorů definujeme restrikční morfismus spočívající v „zapomenutí“ posledního koeficientu vektoru: ${\ displaystyle R: W_ {n + 1} [k] \ do W_ {n} [k]}$

{\ displaystyle R: (a_ {0}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto (a_ {0}, \ ldots, a_ {n-1})}

Verschiebungův morfismus je potom takovým jedinečným morfismem . ${\ displaystyle V: W_ {n} [k] \ až W_ {n + 1} [k]}$ ${\ Displaystyle V \ Circ R = R \ Circ}$

Ve všech případech máme vztah:

{\ Displaystyle R \ Circle V \ Circle F = F \ Circle R \ Circle V = R \ Circle F \ Circle V = p.}

Wittova kohomologie

Jean-Pierre Serre navrhl použít kruh Wittových vektorů jako koeficienty potenciální Weilovy kohomologie . Tento konkrétní pokus nefungoval, ale připravil půdu pro několik zevšeobecnění. Pokud vezmeme v úvahu X- schéma, použijeme pro výpočet funkcionální charakter W, Wittův prsten na prstencích sekcí . Kohomologie Witt pak svazek cohomology proudu na webových stránkách města Zariski na X , s koeficienty v : . ${\ displaystyle {\ mathcal {W}} = W {\ mathcal {O}} _ {X}}$ $VŮL$ ${\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$ ${\ displaystyle H ^ {\ bullet} (X, {\ mathcal {W}})}$

Tato kohomologie nemá uspokojivé vlastnosti: zejména nemá raison d'être konečných typů W [ k ] modulů, i když X je projektivní schéma. ${\ displaystyle H ^ {\ bullet} (X, {\ mathcal {W}})}$

Krystalický kohomologie opakovaně tuto myšlenku, tentokrát úspěšně, a je model kohomologie Weil uspokojivé.

Příklady

Pokud p je prvočíslo a odkazuje na konečné pole s p elementy, pak jeho Witt kroužek je označen kruhem celá čísla p -adic: . Na druhou stranu je nerozvětvené rozšíření n- řádu . $\ mathbb F_p$ ${\ displaystyle W [\ mathbb {F} _ {p}] \ simeq \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ displaystyle W [\ mathbb {F} _ {p ^ {n}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$
Pokud k je dokonalé pole , pak W [ k ] je diskrétní oceňovací kruh nad k . Sčítání umožňuje definovat násobení kladnými celými čísly a máme to zejména , což ukazuje . Máme víc . ${\ displaystyle pa = \ underbrace {a + \ cdots + a} _ {p {\ text {times}}} = (0, a_ {0} ^ {p}, \ ldots, a_ {n} ^ {p} , \ ldots)}$ ${\ displaystyle W [k] / pW [k] \ simeq k}$ ${\ displaystyle W [k] / p ^ {n} W [k] \ simeq W_ {n} [k]}$

Reference

(de) Ernst Witt , „ Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p n . Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p ” , J. Reine Angew. Matematika. , sv. 176,1936, str. 126-140 ( číst online ).
(De) Peter Gabriel , „ Universelle Eigenschaften der Wittschen Vektoren und der Einseinheitenalgebra einer Potenzreihenalgebra in einer Veränderlichen “ , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , sv. 72,1970, str. 116-121 ( číst online ).
Jean-Pierre Serre , „ K topologii algebraických odrůd v charakteristickém p “, Symposion Internacional de topología algebraica ,1958, str. 24-53.

Bibliografie

Gilles Christol , „ Wittovy vektory a p- adická analýza “, Ultrametric Analysis Working Group , t. 3, n o 1, 1975 - 1976, s. 1-5 ( číst online )
André Joyal , „ Wittovy δ-kroužky a vektory “, CR Math. Rep. Acad. Sci. Kanada , sv. 7, n o 3,1985, str. 177-182
(en) David Mumford , Přednášky o křivkách na algebraickém povrchu , sv. 59, Princeton University Press ,1966
Jean-Pierre Serre , místní sbor [ detail vydání ]