Obyčejná diferenciální rovnice

V matematice je obyčejná diferenciální rovnice (někdy jednoduše nazývaná diferenciální rovnice a zkráceně ODE ) diferenciální rovnice, jejíž neznámá funkce závisí na jediné proměnné; má podobu vztahu mezi těmito neznámými funkcemi a jejich následnými derivacemi .

Termín obyčejný se používá na rozdíl od termínu parciální diferenciální rovnice (častěji parciální diferenciální rovnice nebo PDE ), kde neznámé funkce mohou záviset na více než jedné proměnné. Ve zbývající části článku se výrazem diferenciální rovnice rozumí obyčejná diferenciální rovnice .

Pořadí diferenciální rovnice odpovídá maximálnímu stupni derivace, kterému byla podrobena jedna z neznámých funkcí. Existuje forma odkazu, ke které se pokoušíme vrátit běžné diferenciální rovnice různými matematickými metodami:

{\ displaystyle X '(t) = F (t, X (t))}

rovnice prvního řádu, kde X je neznámá funkce at její proměnná.

Diferenciální rovnice představují studijní objekt primárního významu, a to jak v čisté matematice, tak v aplikované matematice . Používají se k vytváření matematických modelů fyzikálních a biologických evolučních procesů , například ke studiu radioaktivity , nebeské mechaniky nebo populační dynamiky ... Proměnná t pak často představuje čas, i když jsou možné i jiné možnosti modelování.

Hlavními cíli teorie obyčejných rovnic jsou úplné explicitní rozlišení, pokud je to možné, přibližné rozlišení metodami numerické analýzy nebo kvalitativní studie řešení. Toto poslední pole se postupně rozrostlo a představuje jednu z hlavních složek rozsáhlého oboru současné matematiky: studia dynamických systémů .

Definice

První příklady

I když to není disciplína, která dala vzniknout diferenciálním rovnicím, populační dynamika jednoduše ilustruje některé z nejdostupnějších příkladů. Studie izolované populace v prostředí produkujícím hojné jídlo tedy vede k následujícímu modelu počtu jako funkce času : $X$ $t$

{\ displaystyle x '(t) = K \, x (t)}

to znamená, že nárůst populace je vždy úměrný velikosti populace . Řešení této rovnice odhalují fenomén exponenciálního růstu . $x '(t)$ $x (t)$

Složitější systém, složený ze dvou druhů, kořisti a predátora, vede k rovnicím Lotka-Volterra

{\ begin {cases} x '(t) & = A \, x (t) -B \, x (t) \, y (t) \\ y' (t) & = - C \, y (t ) + D \, x (t) \, y (t). \ Konec {případů}}

Počet kořisti je počet predátorů . Vrátíme se k předchozímu případu, pokud je nula. Kvantita je pravděpodobnost setkání, která má negativní vliv na jednu populaci (kořist), pozitivně na druhou (predátory). Kdykoli, když známe přítomné populace, můžeme tento trend popsat. Tyto dvě rovnice jsou spojeny, to znamená, že musí být vyřešeny společně. Matematicky musí být koncipovány jako jediná rovnice neznámého páru . Pokud je známa počáteční velikost populace, je následný vývoj dokonale určen. Dělá se to podél jedné z evolučních křivek zobrazených opačně, která odhaluje cyklické chování. $x (t)$ $y (t)$ $y$ $x (t) y (t)$ $(x (t), y (t))$

Jedním z nejznámějších diferenciálních rovnic je základní vztah dynamiky v Newton : kde je hmotnost částice, síla působící na něj a zrychlení, že výsledky. V případě přímočarého pohybu, je-li síla, která prošla, funkcí polohy (například v případě pružiny ) získáme rovnici tvaru $f = moje$ $m$ $F$ $na$

\ displaystyle m {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} x} {{\ mathrm {d}} t ^ {2}}} = f (x).

Tentokrát, abyste dokonale určili pohyb, musíte si dát počáteční polohu a rychlost.

Diferenciální rovnice, evoluční proces a determinismus

Vlastnosti dynamického systému řízeného diferenciální rovnicí jsou následující:

apriorní možné stavy systému tvoří konečný rozměrný prostor, to znamená, že ho lze popsat konečným počtem proměnných. Tento prostor je prostorem fází . Například k popisu pohybu částice v obvyklém prostoru potřebujeme tři proměnné. Pro pohyb tělesa je zapotřebí šest;
zákony, které řídí časový vývoj, jsou přinejmenším odvozitelné funkce ;
vývoj systému je deterministický : pokud budeme znát počáteční podmínky, tj. stav systému v současné době, můžeme z nich odvodit stav systému kdykoli v budoucnosti nebo v minulosti.

Deterministický aspekt diferenciálních rovnic má obzvláště silné implikace a je matematicky konkretizován Cauchy-Lipschitzovou větou .

Obecná definice

Nechť E je normalizovaný vektorový prostor . Obyčejná diferenciální rovnice (nazvané jednoduše diferenciální rovnice ve zbytku článku) je rovnice ve tvaru

F (x, y, y ', \ dots, y ^ {(n)}) = 0

kde F je spojitá funkce na otevřeném U ℝ × E n + 1 , která se nazývá doména.

Pořadí této diferenciální rovnice je řád n nejvyšší derivace, která se v ní vyskytuje. Nechť y je funkce x definovaných intervalu I v E a y ' , y " , ..., y ( n ) se po sobě následující deriváty z funkce y . Tato funkce y se nazývá řešení, pokud je to z třídy C n a pokud

\ forall x \ in I, \ qquad F (x, y (x), y '(x), \ dots, y ^ {(n)} (x)) = 0.

Řešení diferenciální rovnice se rovná nalezení funkcí řešení y . Například diferenciální rovnice y "+ y = 0 má obecné řešení ve tvaru: y ( x ) = A cos x + B sin x , kde A, B jsou komplexní konstanty (které lze určit, pokud přidáme počáteční podmínky ).

V diferenciální rovnice, funkce y může být například s hodnotami v konečné dimenze vektorového prostoru , takže pokud y má složky y 1 a y 2 :

{\ begin {cases} y '_ {1} & = y_ {1} -2xy_ {2} + x ^ {2} \\ y' _ {2} & = xy_ {1} -2y_ {2}. \ konec {případů}}

Cvičením ve fyzice je mluvit o systému spojených diferenciálních rovnic. Ale plodným hlediskem v matematice je vidět pouze jednu rovnici pro funkci s vektorovými hodnotami .

Stále můžeme definici rozšířit zvážením diferenciálních rovnic na diferenciálních potrubích .

Diferenciální rovnice v řešené formě

Diferenciální rovnice řádu n se dá do řešené formy, když můžeme vyjádřit nejsilnější derivaci jako funkci x a předchozích derivací

y ^ {(n)} = G (x, y, y ', \ dots, y ^ {(n-1)}).

Redukce řádu rovnice na 1

Diferenciální rovnice řádu n

F (x, y, y ', \ dots, y ^ {(n)}) = 0

lze také číst jako rovnici prvního řádu s hodnotami v E n , neznámé funkce v ( x ) = ( y 0 ( x ),…, y n - 1 ( x )). Rovnice je ve skutečnosti přepsána poznámkou y = y 0 :

y_0 '= y_1, \ ldots, y_ {n-2}' = y_ {n-1}, F (x, y_0, y_1, \ dots, y_ {n-1}, y_ {n-1} ') = 0

nebo opět definováním f pomocí f ( x , v 0 ,…, v n - 1 , w 0 ,…, w n - 1 ) = ( w 0 - v 1 ,…, w n - 2 - v n - 1 , F ( x , v 0 ,…, v n - 1 , w n - 1 )):

f (x, v, v ') = 0.

Pokud by rovnice řádu n byla v řešené formě

y ^ {(n)} = G (x, y, y ', \ tečky, y ^ {(n-1)}),

ekvivalentní rovnice řádu 1 bude také:

v '= g (x, v)

s g ( x , v 0 ,…, v n - 1 ) = ( v 1 ,…, v n - 2 , G ( x , v 0 ,…, v n - 1 )).

Navíc v obou případech (implicitní forma nebo řešená forma), pokud rovnice řádu n byla autonomní , bude rovnice řádu 1 také autonomní (to znamená, že pokud F nebo G nezávisí na proměnné x, pak buď f nebo g ) a pokud byla rovnice lineární , tak to zůstane. Například lineární diferenciální rovnice řádu 2, řešená a autonomní

\ frac {\ mathrm d ^ 2 y} {\ mathrm dx ^ 2} = y

transformuje do rovnice prvního řádu s hodnotami v ℝ 2 : neznámou funkcí nové diferenciální rovnice je funkce x ↦ v ( x ) = ( y ( x ), z ( x )) ℝ v ℝ 2 a rovnice je napsána:

\ frac {\ mathrm dv} {\ mathrm dx} = g (v) \ text {s} g (y, z) = (z, y).

Řešení

Život

Pokud je y řešením diferenciální rovnice v intervalu I, můžeme uvažovat o jejím omezení na interval J obsažený v I. Tím zůstane řešení diferenciální rovnice. Řešení se také nazývá integrální křivka.

Často je rozumné brát v úvahu pouze maximální řešení, nazývaná také maximální integrální křivky, to znamená ta, která nejsou omezeními žádných jiných. Definiční interval se nazývá maximální interval.

Nemělo by se však věřit, že maximální řešení jsou definována přes celé číslo ℝ. Je docela možné, že budou mít konečnou životnost v budoucnu nebo v minulosti. To je například případ řešení rovnice y '= y 2 .

Pokud však řešení zůstane omezeno na kompaktní doménu , má nekonečnou životnost.

Příklad

Skalární diferenciální rovnice prvního řádu v řešené formě: y '= G ( x , y ) připouští jednoduchou geometrickou interpretaci v rovině redukované na souřadný systém os ( Ox ), ( Oy ). Můžeme reprezentovat, v každém bodě souřadnic x , y , vektor složek 1 a G ( x , y ), který tvoří pole vektorů roviny. Křivky řešení jsou grafickým znázorněním funkcí y = f ( x ), spojitě diferencovatelné, jejichž tečna v každém bodě je dána vektorovým polem.

Vyřešená forma a implicitní forma

Diferenciální rovnice, které lze dát do řešené formy, mají dobré teoretické vlastnosti, přičemž - za určitých předpokladů - existuje věta o existenci a jedinečnosti řešení: Cauchy-Lipschitzova věta .

Jinak říkáme, že diferenciální rovnice je v implicitní formě. Snažíme se, na největších možných doménách, dát diferenciální rovnici v řešené podobě. Poté musíme propojit získaná řešení. Zpracování diferenciálních rovnic tohoto typu bude zmíněno na konci článku.

Počáteční podmínky, Cauchy-Lipschitzova věta

Počáteční podmínka (nebo Cauchyova podmínka) pro rovnici řádu n neznámého y jsou data hodnoty x 0 a n vektorů Y 0 , ..., Y n -1 . Funkce řešení splňuje tyto počáteční podmínky y , pokud

y (x_ {0}) = Y_ {0}, \ qquad y '(x_ {0}) = Y_ {1}, \ qquad \ dots \ qquad y ^ {{(n-1)}} (x_ {0 }) = Y _ {{n-1}}.

Cauchyho problém je dán diferenciální rovnicí se sadou počátečních podmínek.

Pro diferenciální rovnici v řešené formě , s určitým předpokladem pravidelnosti ( lokálně Lipschitzianův znak na x fixovaný, s ohledem na blok jiných proměnných), uvádí Cauchy-Lipschitzova věta, že pro každou počáteční podmínku:

existuje řešení, které to uspokojuje a které je definováno na intervalu tvaru] x 0 - α, x 0 + α [;
existuje jediné maximální řešení, které ji uspokojuje.

Podmínky v mezích

Dalším klasickým problémem je problém okrajových podmínek , pro něž se v několika bodech předepisují hodnoty funkce řešení, dokonce i hodnoty limitů funkce řešení na hranicích domény. Takže problém:

{\ begin {cases} y '' + y = 0 \\ y (0) = y (2 \ pi) = 0. \ end {cases}}

Takový problém (někdy nazývaný Dirichletův problém ) nemusí velmi dobře mít řešení nebo naopak nekonečno funkcí řešení.

V uvedeném příkladu jsou řešením funkce tvaru x ↦ k sin ( x ) pro libovolnou konstantu k .

Explicitní rozlišení

Rozlišení kvadraturou, které spočívá v získání explicitní formy řešení diferenciální rovnice pomocí obvyklých funkcí a primitivačního operátoru, je zřídka možné. Malý počet rovnic konkrétních tvarů lze snížit postupnými změnami proměnných na nejjednodušší rovnici ze všech: rovnici , což je jednoduchá primitivace. ${\ displaystyle y '= f}$

Mezi diferenciálními rovnicemi, které lze plně vyřešit, jsou skalární lineární rovnice řádu 1 , samostatné proměnné v rovnicích , homogenní rovnice prvního řádu , Bernoulliho rovnice , vektorové diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.

Jiné lze zcela vyřešit, jakmile je známé konkrétní řešení, například lineární diferenciální rovnice řádu 2 , Riccatiho diferenciální rovnice .

Při absenci rozlišení kvadraturou je někdy možné hledat alespoň lokální vyjádření řešení v podobě celé série . Tento přístup, systematicky používaný na určitých třídách lineárních diferenciálních rovnic, se nazývá Frobeniova metoda .

Vlastnosti spojitosti řešení

Spojitost ve srovnání s počátečními podmínkami a parametry

Data počátečních podmínek x 0 , Y 0 ,…, Y n –1 definují jedinečnou funkci řešení, kterou lze označit S ( x 0 , Y 0 ,…, Y n –1 , x ). Definujeme tedy globální funkci S, která přebírá název toku (někdy nazývaného tok nebo také aktuální) a která odpovídá způsobu, jakým se řešení liší s počátečními podmínkami. Jeho doména existence je otevřená .

Přijetím hypotéz Cauchyho-Lipschitzovy věty závisí řešení kontinuálně na počátečních podmínkách, to znamená, že funkce S je spojitá funkce množiny jejích proměnných.

Pokud je systém nastaven tak, aby nepřetržitě závisel na parametru λ, existuje také kontinuita S vzhledem k tomuto parametru. Přidání parametru lze ve skutečnosti omezit na úpravu systému. Postačí přidat k hledané funkci komponentu Λ a požádat ji o kontrolu rovnice Λ '= 0 a počáteční podmínky Λ ( x 0 ) = λ.

Globální vlastnosti

Nechť y je konkrétní řešení diferenciální rovnice s počátečními podmínkami x 0 , Y 0 ,…, Y n –1 . Vlastnost kontinuity umožňuje dát chování řešení odpovídajících sousedním počátečním podmínkám.

Pokud omezíme řešení na segment [ x i , x f ] obsahující x 0 , vytvoří řešení sousedních počátečních podmínek trubici řešení kolem řešení y .
Přesněji řečeno, pro všechna ε> 0 existuje η> 0 taková, že pokud z je řešení s počátečními podmínkami x 0 , Z 0 ,…, Z n –1 a Z i η - blízké Y i , pak řešení z je znázorněna v trubkové části z y , o poloměru e.
Pokud tedy vezmeme posloupnost z n takových řešení, jejichž počáteční podmínky mají sklon k podmínkám y , posloupnost z n konverguje rovnoměrně k y .
Pokud studujeme řešení v celé jeho doméně existence, taková vlastnost již není ověřena.

Stabilita řešení

Řešení (ℝ, 0) Diferenciální rovnice x '= f ( t , x ) je stabilní, pokud existuje Liapunovova funkce .

Motýlí efekt, chaos

S předchozími vlastnostmi kontinuity je třeba zacházet opatrně, protože neposkytují kvantifikované informace. V praxi mnoho systémů vykazuje extrémní dlouhodobou citlivost na malé počáteční variace, což je fenomén popularizovaný Edwardem Lorenzem jako motýlí efekt . Abychom poskytli uspokojivý popis vývoje fyzického systému ve velmi dlouhém čase, bylo by nutné posunout měření počátečních podmínek do nemyslitelné přesnosti. Bylo by tedy nutné zahrnout do výpočtu velmi dlouhodobých meteorologických předpovědí až do mlácení motýlích křídel.

Systémy řízené diferenciálními rovnicemi, i když jsou v zásadě deterministické, mohou vykazovat extrémně složité chování a vypadat neuspořádaně, chaoticky. Henri Poincaré byl první, kdo objasnil tento pojem deterministického chaosu . Jeho myšlenky budou pomalu přijímány, ale nyní budou sloužit jako základ pro teorii dynamických systémů .

Klasifikace

Autonomní diferenciální rovnice

Důležitým konkrétním případem je, že když se proměnná neobjeví ve funkční rovnici, pak se kvalifikuje jako autonomní: tedy rovnice y '= f ( y ).

Zákony fyziky obecně platí pro funkce času a jsou prezentovány ve formě autonomních diferenciálních rovnic, což projevuje invariantnost těchto zákonů v čase. Pokud se tedy autonomní systém vrátí do své původní polohy po časovém intervalu T , zná tedy periodické změny v období t .

Studium autonomních rovnic je ekvivalentní studiu vektorových polí . Pro rovnici prvního řádu jsou řešením rodina křivek, které se neprotínají (podle Cauchy-Lipschitzovy věty ) a které vyplňují prostor. Jsou tečny k vektorovému poli v každém bodě.

Viz také „ Poincaré-Bendixsonova věta “.

Lineární diferenciální rovnice

O diferenciální rovnici se říká, že je lineární, když je vyjádření rovnice lineární (nebo obecněji afinní) vzhledem k bloku proměnných . Lineární skalární diferenciální rovnice řádu $n$ a neznámého $y$ má tedy tvar $(y, y ', ... y ^ {(n)})$

a_0 y + a_1 y '+ a_2 y' '+ ... + a_n y ^ {(n)} = a_ {n + 1} \,

kde jsou numerické funkce. ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ tečky, a_ {n}, a_ {n + 1}}$

Vektorová lineární diferenciální rovnice řádu n má stejný aspekt a nahrazuje je funkcí lineárních map (nebo často matic) funkce x . Takové rovnici se někdy také říká lineární diferenciální systém . $mít}$

Speciální rysy lineárních diferenciálních rovnic v řešené formě:

řešení mají nekonečnou životnost.
lze překrýt (vytvářet lineární kombinace) řešení lineárních diferenciálních rovnic
když rovnice je homogenní ( $n$ $+ 1$ $= 0$ ), množina řešení je vektorový prostor dimenze n krát větší než E .
k jeho řešení tedy stačí vystavit dostatečný počet nezávislých řešení homogenní rovnice. Můžeme otestovat nezávislost řešení pomocí wronskien .
množinou řešení obecné rovnice je afinní prostor: obecné řešení je tvořeno součtem tohoto konkrétního řešení s obecným řešením přidružené homogenní lineární rovnice.
metoda variace konstant umožňuje, jednou vyřešil homogenní rovnice, řešit kompletní rovnici
v případě rovnic s konstantními koeficienty máme explicitní vzorce pro rozlišení pomocí exponenciálů matic nebo endomorfismů nebo dokonce pomocí Laplaceovy transformace .

Holomorfní diferenciální rovnice

Holomorphic diferenciální rovnice je homolog, pro komplexní proměnné, obyčejné diferenciální rovnice. Obecná teorie je mnohem složitější.

Místní výsledky

Holomorfní diferenciální rovnice v řešené formě splňuje analogii Cauchy-Lipschitzovy věty: lokální existence a jedinečnost funkce řešení, sama o sobě holomorfní.

Také v případě, že rovnice závisí na parametrech holomorfně, tak záleží i na řešení. V počátečních podmínkách je také holomorfní závislost.

V jediném maximálním řešení však obecně již neexistuje žádné připojení.

Celkové výsledky

Problémy jsou i při nejjednodušší diferenciální rovnici: výpočtu primitiv . Například konstrukce funkce, jako je komplexní logaritmus, není jednoznačná. Můžeme se pokusit sestavit stanovení funkce logaritmu na největších možných otvorech: například dělené roviny. Můžeme také postavit primitiva „podél cesty“. Poté se objeví fenomén monodromy : pokud se cesta otočí v přímém směru kolem počátku, je anti-negativ modifikován konstantou (2iπ). Pro zohlednění situace je nutné zahrnout do hry pojmy povlak , spojovací bod .

Mocenské funkce jsou také řešením jednoduchých diferenciálních rovnic, které pravděpodobně představují monodromy. Rovnice z '= –z 3 tedy nepřipouští žádné nenulové holomorfní řešení, dokonce ani meromorfní v celé rovině.

Lineární případ

Teorie lineárních holomorfních diferenciálních rovnic v řešené formě je velmi podobná teorii rovnic pro skutečnou proměnnou, pokud zůstává na jednoduše souvisejících doménách . Jinak také vede k problémům s typem větvených bodů .

Numerické metody

Řešení diferenciálních rovnic pomocí kvadratury (tj. Pomocí elementárních operací a primitivace) je možné pouze ve velmi omezeném počtu případů. Například ani skalární lineární diferenciální rovnice řádu 2 nepřijímají takový obecný vzorec řešení. Je proto nezbytné mít přibližné techniky řešení.

Eulerova metoda

Tato metoda, nejstarší a nejjednodušší, má také teoretický zájem, protože umožňuje dokázat výsledek existence řešení za slabších hypotéz než Cauchy-Lipschitzova věta : je to Cauchyova věta - Peano-Arzela .

Uvažujeme diferenciální rovnici prvního řádu v řešené formě y '= f ( x , y ) s počáteční podmínkou y ( x 0 ) = y 0 .

Principem je přiblížit řešení y na [ a , b ] po částech afinní funkce provedením diskretizace parametru: nastavíme

x_i = a + ih

kde není.

h = (ba) / n

Po částech afinní funkce se proto spojí se souřadnými body ( x i , y i ) a jde o návrh algoritmu pro konstrukci y i z y 0 . V každém intervalu [ x i , x i +1 ] vezmeme pro sklon afinního segmentu, který naznačuje rovnice: f ( x i , y i ).

Jiné metody

Nejklasičtější jsou metody Runge-Kutta , Newmarkova metoda , metoda konečných rozdílů nebo metoda konečných prvků, která je vhodnější pro PDE.

Diferenciální rovnice v implicitní formě

Zpracování příkladu

Nechte implicitní diferenciální rovnici

(y ') ^ {2} + xy'-y = 0.

Abychom ji studovali, regulujeme rovinu : rozlišujeme hodnoty ( x , y ), pro které rovnice připouští řešení 0, 1 nebo 2. Tři regiony se získá U , V , W . Oblast V je parabola rovnice , oblasti U a W jsou dvě otevřené oblasti , které vymezuje. $T ^ 2 + xT - y = 0$ $y = - \ frac14 x ^ 2$

Začneme tím, že se podíváme na řešení, která jsou vynesena pouze na jednu ze tří domén

V oblasti U rovnice nepřipouští žádné řešení.
Existuje celá řešení vyneseny do grafu na V , to je singulární řešení vyneseny v zeleném opak. $y = - \ frac14 x ^ 2$
V otevřeném W lze rovnici dát do jedné ze dvou řešených forem

y '= {\ frac {-x + {\ sqrt {x ^ {2} + 4y}}} 2} \ qquad y' = {\ frac {-x - {\ sqrt {x ^ {2} + 4y} }} 2}.

Každá z těchto dvou rovnic splňuje Cauchy-Lipschitzovu větu . Pokud se omezíme na otevřené W , existují tedy přesně dvě řešení pro každou dvojici počátečních řešení. Na obrázku níže jsou nakresleny modře. V projednávaném případě jde také o přímky, rovnici

y = Ax + A ^ {2}.

Jsou tečny k parabole rovnice . Konkrétně, zakreslené řešení W jsou tyto linky, zadržen tečným bodem od osudu W . $y = - \ frac14 x ^ 2$

Nyní můžeme studovat diferenciální rovnici na celé rovině. Pak existují „hybridní“ řešení vytvořená spojením způsobem C 1 parabolový oblouk (zelený) s přímočarými roztoky (modrý). Řešení zobrazené červenou barvou:

y: x \ mapsto {\ begin {cases} x + 1, & {\ mbox {si}} x <-2 \\ - {\ frac {1} {4}} x ^ {2}, & {\ mbox {si}} - 2 \ leq x <2 \\ - x + 1, & {\ mbox {si}} 2 \ leq x. \ end {případy}}

Takové spojení může být provedeno bodu V . Popis sady všech řešení by byl proveden diskutováním jako funkce počáteční podmínky x 0 , y 0

Počáteční stav v U : žádné řešení
Počáteční podmínka ve V : pro hodnoty x větší než x 0 může být řešením celá parabola, nebo sledujeme oblouk paraboly, pak se rozdvojujeme na tečnu. Podobně pro hodnoty menší než x 0 .
Počáteční podmínka ve W : existují první dvě řádky řešení, tečné k parabole. Buď je prodloužíme na neurčito, nebo je necháme pro parabolu na úrovni bodu tečny. Poté pokračujeme v parabole, nebo začneme znovu tečnou o kousek dále.

Zobecnění

Pro zobecnění této studie je nutné umístit se do trojrozměrného prostoru s vyznačenými souřadnicemi ( x , y , p ). S diferenciální rovnicí je spojena plocha rovnice F ( x , y , p ) = 0 (souřadnice p se používá k vyjádření y ' ). Řešení jsou křivky nakreslené na povrchu. Potíže, se kterými se setkáváme, pocházejí ze skutečnosti, že tyto křivky se promítají do ( x , y ) roviny . Projekce aplikace prožívá kritické body v místech, kde je přechod z F je „vertikální“. Jedná se o body, které se promítají do zeleného podobenství.

A konečně, rámec pro studium implicitních diferenciálních rovnic je stejný jako rámec pro obalovou teorii . Parabola, singulární řešení, je zde obálkou řady linek, pravidelných řešení.

Bibliografie

(en) Thomas Archibald, Craig Fraser a Ivor Grattan-Guinness (eds), Historie diferenciálních rovnic 1670 - 1950 , zpráva MFO 51/2004
Vladimir Arnold , Obyčejné diferenciální rovnice , Mir , Moskva, 1974
Sylvie Benzoni-Gavage , Diferenciální počet a diferenciální rovnice , Dunod , 2014
Vladimir Damgov, nelineární a parametrické jevy. Aplikace pro radiometrické a mechanické systémy, World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004
Jean-Pierre Demailly , Numerická analýza a diferenciální rovnice , 3. e ed., EDP Sciences 2006
Jean Dieudonné , Elementy analýzy , 9 svazků, Gauthier-Villars , 1960-1982
Jean Dieudonné, kalkul nekonečně , 2 nd ed., Hermann , 1980
Abdelhafed Elkhadiri, Diferenciální počet a diferenciální rovnice - Bakalář matematiky , Elipsy, 2015
(en) Andrew Russell Forsyth , Theory of Differential Equations , Cambridge University Press (6. díl), 2012
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Diferenciální rovnice pro začátečníky , H & K, 2013
John H. Hubbard , Beverly H. West, V. Gautheron (transl.), Diferenciální rovnice a dynamické systémy , Cassini, 1999
(en) Edward Lindsay Ince (en) , Obyčejné diferenciální rovnice , Dover , New York, 1926Velmi užitečné pro teorii lineárních diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
C. Jordán , analýza předmětu Polytechnic, svazek 3, diferenciální rovnice , 3 th ed., Gauthier-Villars, 1959
François Laudenbach , Diferenciální a integrální počet , Éd. École Polytechnique, 2011, náhled v Knihách Google
Ahmed Lesfari, Obyčejné diferenciální rovnice a parciální diferenciální rovnice - Kurz a opravená cvičení , Elipsy , 2015
Pierre Meunier, Diferenciální rovnice , Cépaduès , 2014
Lev Pontriagin , Obyčejné diferenciální rovnice , Mir, Moskva, 1969
Herve Reinhard, Diferenciální rovnice: základy a aplikace , 2 nd ed., Dunod, 1989
N. Rouche a J. Mawhin , Obyčejné diferenciální rovnice (svazek 1: Obecná teorie, svazek 2: Stabilita a periodická řešení), Masson , Paříž, 1973
Robert Roussarie a Jean Roux, Od diferenciálních rovnic k dynamickým systémům (2 obj.), EDP Sciences, 2012
Claude Wagschal, Holomorfní funkce, diferenciální rovnice , Hermann, 2003

Podívejte se také

Související články

Externí odkaz

Lineární diferenciální rovnice v komplexním poli (video)