Kužel aplikace

V matematiky a přesněji homotopie teorii se kužel žádosti je topologický prostor konstruovány z kužele, který má k základně výchozí místo aplikace, identifikací body této báze s těmi prostoru příjezdu pomocí aplikace .

Definice

Nechť X a Y být dva topologické prostory a f  : X → Y kontinuální mapy . Kužel mapě f nebo homotopické cofiber z f , označené C f , je topologický prostor „získá připojením C ( X ), (dále jen kužel X ), aby Y podél f  “ , který je, řekněme kvocient na disjunktních unie CX ⊔ Y identifikací každý prvek x o X ⊂ CX s jeho obrazu f ( x ), v Y . Přesněji řečeno, je to kvocient disjunktního spojení X × [0, 1] ⊔ Y podle ekvivalenčního vztahu  : ( x , 0) ∼ ( x ' , 0) a ( x , 1) ∼ f ( x ).

Snížený kužel špičaté aplikace

Pro morfismu z tečkovaných prostorů f  : ( X , x 0 ) → ( Y , y 0 ), dále kvocientem ( x 0 , t ) ~ y 0 (pro všechna t ∈ [0, 1], a to nejen pro t = 1), získá se „redukovaný kužel“ C ✻ f z f . To znamená nahradit ve výše uvedené definici kužel CX prostoru zmenšeným kuželem C ✻ ( X , x 0 ) špičatého prostoru.

Příklady

• Pokud X je koule S n , CX je ( homeomorfní s) ( n +1) - uzavřená koule B n +1 . C f je pak podíl disjunktní sjednocení této koule s Y , a identifikovat každý bod x o hrany ∂ B n 1 = S n této koule s jeho obraz f ( x ), v Y .

• Jestliže Y = CX a pokud f je kanonický zahrnutí z X v jeho kužele, Cf je podíl X x [0, 1]: ( x , 0) ~ ( x ' , 0) a ( x , 1) ~ ( x ' , 1). Toto je SX zavěšení X prostoru .

• Na průsečíku dvou předcházejících příkladech kužel kanonické začlenění S n v B n + 1 je S n + 1 .

• Zmenšený kužel konstantní mapy ( X , x 0 ) → ( Y , y 0 ), x ↦ y 0 je Σ ( X , x 0 ) ∨ ( Y , y 0 ), kde Σ označuje zmenšené zavěšení a ∨ klín .

Vlastnosti

• Pro f  : X → Y , prostor Y je přirozeným způsobem, je podprostor z C f a zahrnutí Y na C f je cofibration .
• Pokud f je injective a relativně otevřený , tj. V případě, že vyvolává homeomorphism z X na f ( X ), potom CX je také součástí C f (tak X příliš).
• Kužel na mapě identity z X je přirozeně homeomorphic na kužel X. .

Všechny tyto vlastnosti jsou převedeny do špičatých prostorů tím, že vezmou redukované kužely špičatých aplikací a špičatých prostorů.

Snížený kužel morfismu dobře interpunkčních prostorů je homotopicky ekvivalentní jeho neredukovanému kuželu.

Kužele dvou homotopických spojitých map jsou homotopicky ekvivalentní.

Kužel mapy f je dvojitý válec map konstantní mapy X v bodě a mapy f .

Aplikace

CW-komplexy

Pro CW-komplex X je kostra ( n + 1) X n + 1 homeomorfní s kuželem mapy

∐i∈JáneSine→Xne{\ displaystyle \ coprod _ {i \ v I_ {n}} S_ {i} ^ {n} \ do X_ {n}}

opětovné připojení ( n + 1) buněk podél jejich okraje k n- kostře.

Dopad na základní skupinu

Pro jakýkoli špičatý prostor ( X , x 0 ) a jakékoli vybočení α: ( S 1 , 1) → ( X , x 0 ), představující prvek základní skupiny ( X , x 0 ), můžeme vytvořit kužel C ✻ α. V tomto kuželu se krajka α stává kontraktilní, proto je její třída ekvivalence v základní skupině ( C ✻ α, x 0 ) neutrálním prvkem .

To umožňuje, pro každou skupinu G definované generátorů a vztahy , vybudovat 2-komplex , jehož základní skupiny G .

Relativní homologie

Aplikace kužel umožňuje interpretovat relativní homologii  (en) o pár míst ( X , A ), jako je snížení homologie  (en) z kvocientu  :

pokud H ✻ je homologické teorie a i : → X cofibration , poté

H∗(X,NA)=H∗(X/NA,∗)=H~∗(X/NA),{\ displaystyle H _ {*} (X, A) = H _ {*} (X / A, *) = {\ tilde {H}} _ {*} (X / A),}

aplikací excize na kužel i .

Morfismus mezi dvěma jednoduše spojenými CW-komplexy je homotopickou ekvivalencí právě tehdy, když je jeho kužel kontraktilní .

Nechť H ✻ je homologická teorie. Mapa f  : X → Y indukuje izomorfismus v H ✻ právě tehdy, když mapa bodu v C f indukuje izomorfismus v H ✻ , tj. Pokud H ✻ ( C f , ∙) = 0.

Pokud je uzavřena na X, a pokud je zahrnutí i části A v X je cofibration, pak kužel i je homotopically ekvivalentní X / A . Jak cofibration z Y na C f je uzavřen , kužel je ekvivalentní homotopically C f / Y tedy suspenze SX na X . Pokračování znamená, že kužel zahrnutí C f v SX dává suspenze Y ,  atd.

Pokud h  : Y → Z je další průběžné používání, složený h ∘ f je homotopically nula právě tehdy, když h je rozšiřitelný v kontinuální mapování C f v Z .

Špičatý verze tohoto rovnocennosti dokazuje správnost této sekvence Puppe  :

...→[ΣY,Z]→[ΣX,Z]→[VS∗F,Z]→[Y,Z]→[X,Z].{\ displaystyle \ ldots \ až [\ Sigma Y, Z] \ až [\ Sigma X, Z] \ až [C _ {*} f, Z] \ až [Y, Z] \ až [X, Z]. }

Poznámky a odkazy

(en) / (de) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článků s názvem v angličtině „  Mapping cone (topology)  “ ( viz seznam autorů ) a v němčině „  Abbildungskegel  “ ( viz seznam autorů ) .

1. (in) Allen Hatcher , algebraická topologie , New York, UPC ,2001, 544  s. ( ISBN  978-0-521-79540-1 , číst online ) , s.  13
2. Michel Zisman , Elementární algebraická topologie , Armand Colin,1972, str.  90
3. Někteří autoři vyměnit 0 a 1 v definicích, jako je například J. Peter května , stručné Course v algebraické topologie , UCP ,1999, 2 nd  ed. , 243  s. ( ISBN  978-0-226-51183-2 , číst online ) , kap.  8.
4. Květen 1999 , § 14.2

• (en) Glen E. Bredon  (en) , Topologie a geometrie [ detail vydání ]
• (en) Robert M. Switzer , Algebraická topologie - homologie a homotopy , Springer, kol.  "Classics in Mathematics",2002( 1 st  ed. 1975), 526  str. ( ISBN  978-3-540-42750-6 )

Podívejte se také

Mapovací kužel (homologická algebra  )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">