Poincaré dohad byl matematický domněnka v oblasti algebraické topologii vztahující se k charakterizaci jednoho konkrétního potrubí je trojrozměrný koule ; v roce 2003 to prokázal Rus Grigori Perelman . Lze jej tedy také nazvat „Perelmanovou větou“.
Do té doby to bylo součástí problémů Smale a sedmi „ problémů tisíciletí “, které v roce 2000 určil a ocenil Clay Institute of Mathematics . V roce 2006, tato demonstrace byla ověřena přičtení k Fields medaili na Grigorij Perelman (kdo ji odmítli); Kromě toho v březnu 2010 Clay Institute oficiálně udělil příslušnou cenu Perelmanovi, kterou také odmítl z důvodu „nesouhlasu s rozhodnutími matematické komunity“.
Otázku poprvé položil Henri Poincaré v roce 1904 a zní takto:
Každý kompaktní 3-rozdělovač bez ohraničení a jednoduše spojený je homeomorfní s 3-koulí ?Poincaré dodal s velkou předvídavostí komentář: „ale tato otázka by nás zavedla příliš daleko“ .
Častěji se jedná o určení, zda v dané „ tří- trojrozměrného objektu “, které mají stejné vlastnosti jako ty, 3d koule (zejména všechny smyčky mohou být „dotáhnout“ V bodu ) je skutečně pouze deformace z ' trojrozměrná koule ( obyčejná koule - povrch v obyčejném prostoru - má pouze dva rozměry).
Žádné jiné bezokrajové 3-potrubí než ( obyčejný , nezhutněný prostor) nelze nakreslit čistě jako objekt v běžném trojrozměrném prostoru. To je jeden z důvodů, proč je obtížné mentálně vizualizovat obsah domněnky.
Ke konci roku 2002, publikace o arXiv podle Grigorij Perelman z Steklov Institutu matematiky v Petrohradě naznačují, že možná našli důkaz o „ geometrization domněnky “ (viz níže). Níže ), kterou se provádí program je popsáno výše by Richard S. Hamilton . V roce 2003 vydal druhou zprávu a uspořádal řadu přednášek ve Spojených státech . V roce 2006 dospěla odborná shoda k závěru, že Perelmanova nedávná práce v roce 2003 tento problém vyřešila, téměř sto let po jeho prvním prohlášení. Toto uznání bylo oficiálně oznámeno na Mezinárodním kongresu matematiků 22. srpna 2006 v Madridu , během něhož mu byla společně s dalšími třemi matematiky udělena Fieldsova medaile . Perelman však medaili odmítl a naznačil, že také odmítne Clayovu cenu . Tato cena mu byla udělena 18. března 2010 spolu s cenou jednoho milionu dolarů a on ji skutečně odmítl. Podle Aleksandra Zabrovského , který tvrdí, že od něj získal rozhovor, řekl 29. dubna 2011 deníku Komsomolskaja pravda :
„Proč mi trvalo tolik let, než jsem vyřešil Poincarého domněnku?“ Naučil jsem se detekovat mezery. S mými kolegy studujeme mechanismy k vyplnění sociálních a ekonomických mezer. Prázdnoty jsou všude. Můžeme je detekovat a to dává spoustu možností ... Vím, jak řídit vesmír. Řekni mi tedy, jaký má smysl honit milion dolarů? "Toto Zabrovského tvrzení je však kontroverzní a několik novinářů popírá autentičnost tohoto rozhovoru.
Zatímco domněnka vedla k dlouhému seznamu nesprávných důkazů, některé z nich vedly k lepšímu porozumění malorozměrné topologii .
Jeho řešení souvisí s problémem klasifikace 3-dimenzionálních variet. Za klasifikaci 3-dimenzionálních variet je obecně považováno vytvoření seznamu všech 3-dimenzionálních variet do jednoho homeomorfismu (bez opakování).
Taková klasifikace je ekvivalentní s algoritmem rozpoznávání, který by mohl zkontrolovat, zda jsou dva trojrozměrné varlaty homeomorfní nebo ne.
Poincaré dohad lze tedy považovat za zvláštní případ geometrization domněnky o Thurston . Tato poslední domněnka, jakmile byla prokázána (což provedl Perelman v roce 2003), završuje otázku klasifikace trojrozměrných variet.
Jediné části domněnky o geometrizaci, které po jejím vytvoření Thurstonem kolem roku 1980 zbývaly předvést, se nazývaly domněnkou „hyperbolizace“ a domněnkou „eliptizace“.
Domněnka „eliptizace“ uvádí, že každé uzavřené trojrozměrné potrubí mající konečnou základní skupinu má sférickou geometrii, tj. Je pokryto 3 sférou. Poincarého domněnka odpovídá případu, kdy je základní skupina triviální.
Lze také formulovat domněnky podobné Poincarému v jiných dimenzích než 3:
Jakékoli kompaktní potrubí dimenze n, které je homotopicky ekvivalentní jednotkové sféře, je homeomorfní s jednotkovou sférou.Poincarého domněnka uvedená výše se jeví jako konkrétní případ n = 3.
Obtížnost nízké dimenze v topologii je zdůrazněna skutečností, že byly prokázány všechny podobné výsledky:
zatímco původní trojrozměrná verze Poincarého domněnky zůstala nevyřešena.