Ohraničená část topologického vektorového prostoru

Ve funkční analýzy a v souvisejících matematických oborech , je část z topologického vektorového prostoru se říká, že je ohraničen (ve smyslu von Neumann), pokud se v části z nulového vektoru může být rozšířený tak, aby obsahovaly tuto část. Tento koncept představili John von Neumann a Andrej Kolmogorov v roce 1935.

Ohraničené části jsou přirozeným způsobem, jak definovat polární (en) ( lokálně konvexní ) topologie na obou vektorových prostorů jednoho dvojitého páru .

Definice

O části B topologického vektorového prostoru E se říká, že je ohraničená, pokud pro jakékoli sousedství V nulového vektoru existuje skalární α, takže B je zahrnuto v množině vektorů ve tvaru α x označených jako α V s x v v .

Příklady a protiklady

Jakákoli konečná část je ohraničená.
Termíny Cauchyho sekvence tvoří ohraničenou část, ale ne termíny zobecněné Cauchyovy sekvence .
Jakákoli relativně kompaktní část evt je ohraničena. Pokud má prostor slabou polární topologii, platí obráceně.
Subspace není nakreslit si evt samostatná nikdy omezena.

Vlastnosti

Je-li základna topological pole jsou oceňovány , a nikoli diskrétní (typicky: pokud se jedná o pole reálných čísel ), část B of E je ohraničen tehdy a jen tehdy, jestliže:

pro libovolnou posloupnost (λ n ) skalárů, která má sklon k 0 a jakoukoli posloupnost ( x n ) prvků B, posloupnost (λ n x n ) směřuje k nulovému vektoru.

V případě, že e.vt E je místně konvexní, tedy pokud je jeho topologie je definován v rodině ( p i ) i ∈ I z polotovarů norem , část B z E je ohraničena ve výše uvedeném smyslu, pokud a pouze v případě, že je omezená na každé p i , tj. pokud pro jakýkoli index i existuje reálné M i takové, že ${\ displaystyle \ forall x \ in B, \ quad p_ {i} (x) \ leq M_ {i}}$ .Zejména pokud E je normovaný vektorový prostor , B je omezen ve výše uvedeném smyslu právě tehdy, pokud je omezen pro normu.
Jakákoli předkompaktní část samostatného evt je ohraničena.
Přilnavost na omezené části je omezená.
V místně konvexním prostoru je konvexní obálka ohraničené části ohraničena. (Bez předpokladu lokální konvexity je to nepravdivé: například mezery L p pro 0 < p <1 nemají netriviální konvexní otvory.)
Všechny homotetické , přeložené , konečné shledání a konečné součty ohraničených částí jsou ohraničeny.
Je-li lineární operátor je kontinuální , pak je omezená , což znamená, že odešle ohraničenou část přes omezenou část. Konverze je pravdivá, pokud je počáteční prostor pseudo-metrizovatelný .
Lokálně konvexní prostor je částečně normovatelný právě tehdy, pokud je místně ohraničený, tj. Pokud má ohraničené okolí 0.
Polární sada z ohraničené části je zcela konvexní (en) a absorpční .

Bornologický prostor

Nesmí být zaměňována s bornologickým vektorovým prostorem .

Definice

Místně konvexní prostor E na oblasti reálných čísel nebo komplexů se říká, že bornological případně vyvážený konvexní část M z E , která absorbuje ohraničené díly B a E (tj, který je takový, že existuje α> 0 tak, že λ M ⊃ B pro | Á | ≥ alfa) je sousedství 0 v E .

Ekvivalentní definice je následující:

Nechť je lokálně konvexní prostor (kde označuje lokálně konvexní topologii tohoto prostoru) a zvažte tu nejlepší lokálně konvexní topologii, která má stejné ohraničení v E jako . Pak je bornologické, pokud (a pouze pokud) . ${\ displaystyle E [{\ mathfrak {T}}]}$ ${\ mathfrak T}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ prime}}$ ${\ mathfrak T}$ ${\ displaystyle E [{\ mathfrak {T}}]}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} = {\ mathfrak {T}} ^ {\ prime}}$

Vlastnosti

Induktivní limit bornologických prostorů je bornologický prostor.
Kvocientový prostor bornologického prostoru je bornologický (na druhé straně uzavřený podprostor bornologického prostoru nemusí být nutně bornologický).
Polonormovaný vektorový prostor je bornologický.
Lokálně konvexní měřitelný prostor je bornologický.
Semi-dokončena bornological prostor je indukční limitní Banachových prostorů (protože je ultrabornological: viz níže ). Zejména Fréchet prostor je induktivní limit Banachových prostorů.
Počitatelný produkt bornologických prostorů je bornologický.
Silný dvojí z reflexivní Frechet prostoru je bornological (a sudové ).
Silná dvojka bornologického prostoru je hotová.
Místně konvexní prostor E je bornological tehdy, pokud existuje omezená lineární operátor z E v jiném místě konvexní prostor je kontinuální.
Jakýkoli postupně spojitý lineární operátor bornologického prostoru v jiném místně konvexním prostoru je ohraničen.

Příklady

Schwartz prostor S (ℝ n ) klesajících funkcí na ℝ n je Fréchet prostor, a proto je bornological.
Nechť Ω je neprázdné otevřené ℝ n nebo obecněji diferenciální potrubí parakompaktu konečné dimenze a ℰ (Ω) prostor funkcí neurčitě diferencovatelný v Ω. Tento prostor je bornologický, protože je to Fréchetův prostor.
Nechť Ω, jak je uvedeno výše, a prostor neurčitě diferencovatelných funkcí s kompaktní podporou zahrnutý v Ω, obdařený obvyklou přísnou topologií indukčního limitu posloupnosti Fréchetových prostorů. Tento prostor je bornologický. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}$
Nechť K je ℂ kompaktní podmnožinu n a prostor zárodků analytických funkcí v otevřeném sousedství K . Tento prostor je bornologický, protože je indukčním limitem Fréchetových prostorů. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava)}$

Ultrabornologický prostor

Definice

Hausdorff lokálně konvexní prostor E na poli reálných nebo komplex uvedený ultrabornological , některá část konvexního E , který absorbuje konvexní části, je dáno, ohraničený a semi-plná E je sousedství 0 v E .

Vlastnosti

Ultrabornologický prostor je bornologický a sudový.

Bornologický a polokompletní prostor je ultrabornologický. Zejména prostor Fréchet je ultrabornologický.

Aby byl samostatný lokálně konvexní prostor ultrabornologický, je nutné a dostačující, aby to byl induktivní limit rodiny Banachových prostorů. V důsledku toho (tranzitivitou indukčních limitů) je indukční limit oddělený od rodiny ultrabornologických prostorů ultrabornologický.

Zobecnění

Pokud M je topologický modul (v) na topologické kroužku R , část B z M se nazývá omezená, jestliže pro každou sousední V nulového vektoru M , existuje sousedství w skalární nulu R jako wB být zahrnuty do V .

Reference

(en) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Ohraničená množina (topologický vektorový prostor) “ ( viz seznam autorů ) .
N. Bourbaki , topologické vektorové prostory , Springer ,2006, 364 s. ( ISBN 3-540-34497-7 )
(en) AP Robertson a WJ Robertson , Topologické vektorové prostory , CUP ,1980, 2 nd ed. ( číst online ) , 44–46
(en) Helmut H. Schaefer (de) a Manfred P. Wolff , Topological Vector Spaces , Springer, coll. " GTM " ( n o 3)1970( ISBN 0-387-05380-8 , číst online ) , 25–26
Laurent Schwartz , Theory of Distribuce , Paříž, Hermann ,1966, 418 str. ( ISBN 2-7056-5551-4 )