Symetrická skupina

V matematiky , zejména v algebře je symetrická skupina z nastavené E je skupina permutací z E , to znamená, že z bijekce z E na sebe. Pouze konečný případ E se zpracuje v tomto článku následující obecné definice .

Definice

Nechť E je množina . Volaná symetrická skupina E všechny aplikace bijektivní z E do E poskytované se složením aplikace (∘ zákon). Označíme to S ( E ) nebo (tento znak je gotický S ). ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}$

Běžným zvláštním případem je případ, kdy E je konečná množina {1, 2,…, n }, přičemž n je přirozené celé číslo ; pak označíme nebo symetrickou skupinu této množiny. Prvky se nazývají permutace a jsou nazývány skupinu z permutací stupně n nebo symetrickou skupinu indexu n (A podskupiny symetrického skupina se nazývá skupinou z permutací ). Zatímco vždy zůstáváme v konečném případě, je snadné označit aplikaci polem: $\ mathfrak S_n$ $S_ {n}$ $\ mathfrak S_n$ $\ mathfrak S_n$ ${\ displaystyle f: \ {1, \ ldots, n \} \ longrightarrow \ {1, \ ldots, n \}}$

${\ textstyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & \ ldots & n \\ f (1) & f (2) & \ ldots & f (n) \ end {bmatrix}}}$

Jsou-li dvě množiny ekvipotentní, pak jsou jejich symetrické skupiny izomorfní . Ve skutečnosti, pokud f je bijekce z E na F , pak mapování S ( E ) na S ( F ), které k σ sdružuje f ∘σ∘ f −1, je izomorfismus. Zejména pokud E je konečná množina s n prvky , pak je izomorfní s . V důsledku toho stačí znát vlastnosti skupiny, aby bylo možné odvodit vlastnosti skupiny . Z tohoto důvodu se zbytek tohoto článku zaměří pouze na . ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}$ $\ mathfrak S_n$ $\ mathfrak S_n$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}$ $\ mathfrak S_n$

Příklad

Dovolit být rovnostranný trojúhelník ABC. Označíme , a že mediány vyplývající z příslušně se vrcholy A, B a C. Vzhledem k tomu, můžeme si všimnout, že všechny permutace, že tato skupina obsahuje mají geometrické interpretace jako isometries . Konkrétně tím, že poznamená , a symetrií ve vztahu k mediány se stejnými názvy, a v proti směru hodinových ručiček otáčení o třetinu kruhu trojúhelníku, můžeme identifikovat členy takto: ${\ displaystyle d_ {x}}$ ${\ displaystyle d_ {y}}$ ${\ displaystyle d_ {z}}$ $S_ {3}$ $X$ $y$ $z$ $r$ $S_ {3}$

${\ displaystyle e = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \ end {bmatrix}}}$ , , ${\ displaystyle r = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle t = r \ circ r = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle x = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \ end {bmatrix}}}$ , , ${\ displaystyle y = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle z = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \ end {bmatrix}}}$

Kromě toho získáme následující tabulku složení, která dobře popisuje skupinu:

$\ cir$	E	r	t	X	y	z
E	E	r	t	X	y	z
r	r	t	E	z	X	y
t	t	E	r	y	z	X
X	X	y	z	E	r	t
y	y	z	X	t	E	r
z	z	X	y	r	t	E

Původ a význam

Historicky je studie skupiny permutací kořenů polynomu od Évariste Galois původem konceptu skupiny.

Cayley teorém zajišťuje, že jakákoliv skupina je izomorfní s podskupiny symetrickým skupiny.

Vlastnosti

Skupina je řádu $n$ $!$ . $\ mathfrak S_n$

Tuto vlastnost lze prokázat spočítáním permutací . Je také možné provést důkaz indukcí , což dává souvislost mezi symetrickými skupinami stupňů n - 1 a n .

Důkaz indukcí na n

{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {1}}

má pouze jeden prvek. Předpokládejme, že má prvky. Zvažte aplikaci

{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}

(n-1)!

{\ displaystyle \ varphi: \ left \ lbrace {\ begin {pole} {ccc} {\ mathfrak {S}} _ {n} & \ to & \ {1, \ ldots, n \} \ times {\ mathfrak { S}} _ {n-1} \\\ sigma & \ mapsto & (\ sigma (n), \ sigma ') \ end {pole}} \ vpravo.}

kde je omezení permutace .

\ sigma '

{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n-1 \}}

{\ displaystyle {\ přesahující {\ sim} {\ sigma}}: = (n, \ sigma (n)) \ circ \ sigma}

\ sigma '

patří proto, že proto za všechno tedy za všechno .

{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}

{\ displaystyle {\ overset {\ sim} {\ sigma}} (n) = n}

{\ displaystyle {\ přesahující {\ sim} {\ sigma}} (i) <n}

{\ displaystyle 1 \ leq i <n}

{\ displaystyle \ sigma '(i) <n}

{\ displaystyle 1 \ leq i <n}

Ukážeme bijektivitu ukazováním reciproční mapy. Dedukujeme, že mohutnost se rovná té, co se dá říci .

\ varphi

\ mathfrak S_n

{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \} \ krát {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}

{\ displaystyle n. (n-1)! = n!}

Symetrická skupina je izomorfní ke skupině tvořené permutačními maticemi poskytnutými zákonem o produktu: jedná se o matice, které mají v každém řádku a každém sloupci jeden koeficient 1, všechny ostatní jsou nulové.

Symetrické generátory skupin

Provedení je 2- cyklus , to znamená, že permutace kterých je výměna dvou prvků a ponechá ostatní beze změny. Označíme ( i , j ) transpozici, při které dochází k výměně prvku i s prvkem j .

Existuje algoritmus umožňující rozložit permutaci na produkt transpozic . Tedy množina transpozic tvoří systém generátorů s . $\ mathfrak S_n$

Můžeme se omezit na transpozice tvaru $τ i = ( i , i + 1),$ protože pro $i < j$ je možné rozložit ${\ Displaystyle (i, j) = (i, i + 1) (i + 1, i + 2) \ tečky (j-2, j-1) (j-1, j) (j-2, j- 1) \ tečky (i + 1, i + 2) (i, i + 1).}$

Tyto $n - 1$ generátory umožňují prezentovat symetrickou skupinu pomocí $n ( n + 1) / 2$ vztahy:

${\ displaystyle {\ tau _ {i}} ^ {2} = 1,}$
${\ displaystyle \ tau _ {i} \ tau _ {j} = \ tau _ {j} \ tau _ {i} \ qquad {\ mbox {si}} | ji |> 1,}$
${\ displaystyle {(\ tau _ {i} \ tau _ {i + 1}}) ^ {3} = 1.}$

Jde tedy o speciální případ Coxeterovy skupiny a dokonce o skupinu odrazů (en) (která je pro konečnou skupinu vlastně ekvivalentní).

Je také možné vzít $n - 1$ generátory - transpozice $s i = ( i , n )$ pro $i < n$ - a $( n - 1) 2$ vztahy:

{\ displaystyle s_ {i} ^ {2} = (s_ {i} s_ {i + 1}) ^ {3} = (s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} s_ {j}) ^ {2} = 1 \ quad (1 \ leq i, j \ leq n-1, \ quad j \ neq i, i + 1, \ quad s_ {n}: = s_ {1}).}

Nakonec můžeme být spokojeni se $2$ generátory - transpozicí $τ 1 = (1, 2)$ a cyklem $r = (1, 2,\dots, n )$ - a vztahy $n + 1$ :

{\ displaystyle r ^ {n} = \ tau _ {1} ^ {2} = (r \ tau _ {1}) ^ {n-1} = (\ tau _ {1} r ^ {- 1} \ tau _ {1} r) ^ {3} = (\ tau _ {1} r ^ {- j} \ tau _ {1} r ^ {j}) ^ {2} = 1 \ quad (2 \ leq j \ leq n-2).}

Podpis

V této části předpokládáme, že celé číslo n je větší nebo rovno 2.

Jakákoli obměna se rozpadá na produkt transpozic. Tento produkt není jedinečný, ale parita počtu podmínek takového produktu závisí pouze na permutaci. Mluvíme pak o sudé nebo liché permutaci .

Podpis permutace $σ$ , označený $sgn (σ)$ nebo $ε (σ)$ , je definován:

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma) = \ varepsilon (\ sigma) = \ left \ {{\ begin {pole} {cl} +1 & {\ mbox {si}} \ sigma {\ mbox {je sudý}} \\ - 1 & {\ mbox {si}} \ sigma {\ mbox {je liché}} \ end {pole}} \ vpravo.}

Mapování podpis je morfismus skupin o v ({-1, 1}, x). Jádro této morfismu, to znamená, že soubor i permutací, se nazývá alternativní skupina ze studia N , označený (tento znak je gotický ). je proto normální podskupina z a kvocient skupina je izomorfní k obrazu {-1, 1} podpisového morfismu. V důsledku toho je indexu 2 , tedy řádu n ! / 2. (Nebo konkrétněji: a jeho doplněk v je stejný kardinál, protože pro t transpozici je mapa σ ↦ t ∘σ v jeho doplňku bijekcí .) $({\ mathfrak S} _ {n}, \ circ)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}$ $\ mathfrak S_n$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n} / {\ mathfrak {A}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}$ $\ mathfrak S_n$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}$ $\ mathfrak S_n$ $\ mathfrak S_n$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}$

Navíc krátká přesná sekvence

{\ displaystyle 1 \ až {\ mathfrak {A}} _ {n} \ až {\ mathfrak {S}} _ {n} \ až \ {- 1,1 \} \ až 1}

je pravým dělená , takže je částečně přímým produktem z na dvou prvků cyklickou skupinou . $\ mathfrak S_n$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}$

Konjugační třídy

Třída konjugace permutačního $å$ je sada jeho konjugátů: ${\ displaystyle C (\ sigma) = \ {\ tau \ circ \ sigma \ circ \ tau ^ {- 1} \ mid \ tau \ in {\ mathfrak {S}} _ {n} \}.}$

Konjugáty $σ$ jsou permutace, jejichž rozklad na součin cyklů s disjunktními podpěrami má stejnou strukturu jako $σ$ : stejný počet cyklů každé délky.

Demonstrace

Nechť … být permutací rozloženého na produkt disjunktních cyklů. ${\ displaystyle \ sigma = c_ {1}}$ ${\ displaystyle c_ {m}}$ $\ mathfrak S_n$

Pro jakoukoli permutaci je konjugát produktem , což jsou disjunktní cykly stejné délky jako . Ve skutečnosti pro žádný cyklus není konjugovaná permutace nic jiného než cyklus . $\ tau$ ${\ displaystyle \ sigma '= \ tau \ sigma \ tau ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle c '_ {i} = \ tau c_ {i} \ tau ^ {- 1}}$ $tento}$ ${\ displaystyle c = (a_ {1} ~ \ tečky ~ a_ {k})}$ ${\ displaystyle \ tau c \ tau ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (\ tau (a_ {1}) ~ \ tečky ~ \ tau (a_ {k}))}$
Naopak, ať ... je permutace, kterou lze rozložit na produkt disjunktních cyklů stejné příslušné délky jako . Pak je konjugován , jakoukoli permutací, která posílá (respektující pořadí, až do kruhové permutace) podporu každého na podporu jeho protějšku . Taková permutace existuje, protože podpěry jsou disjunktní. ${\ displaystyle \ sigma '= c' _ {1}}$ ${\ displaystyle c '_ {m}}$ ${\ displaystyle c '_ {i}}$ $tento}$ $\ sigma '$ $\ sigma$ $\ tau$ $tento}$ ${\ displaystyle c '_ {i}}$ $tento}$

Příklad Pokud vezmeme v úvahu v různých třídách konjugace, zjistíme, že identity, transpozice ( ab ), permutací složených ze dvou transpozic disjunktních podpor ( ab ) ( cd ), cyklů řádu 3 ( abc ), permutací vytvořených z cyklu řádu 3 a cyklus řádu 2: ( abc ) ( de ), pak cykly řádu 4: ( abcd ) a 5: ( abcde ).

{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {5}}

Permutace (1 2 3) (4 5) a (1 3 4) (2 5) jsou na rozdíl od permutace (1 3) (2 5) ve stejné třídě konjugace.

Počet tříd konjugace se tedy rovná počtu „oddílů“ celého čísla $n$ , a pokud rozklad permutace obsahuje $k 1$ „1-cykly“ ( pevné body ), $k 2$ 2-cykly,…, $k m$ $m$ -cykly, pak počet jeho konjugátů je:

{\ displaystyle {\ frac {n!} {1 ^ {k_ {1}} k_ {1}! \ ldots m ^ {k_ {m}} k_ {m}!}}.}

(Vidíme, že se objeví multinomiální koeficient .)

Vlastnosti vyplývající ze studie střídavé skupiny

Základním výsledkem studia alternující skupiny je, že tato je jednoduchá skupina pro n odlišných od 4. ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}$

Na druhou stranu skupina odvozená od je . Pro n ≥ 5 je to jediná odlišná vlastní podskupina . $\ mathfrak S_n$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}$ $\ mathfrak S_n$

$\ mathfrak S_n$ je řešitelný právě tehdy, když n ≤ 4, což má důležité důsledky pro radikální rozpustnost polynomiálních rovnic .

Různé vlastnosti

Centrum z je triviální , pokud n je striktně vyšší než 2 a celá skupina jinak. $\ mathfrak S_n$
${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {6}}$ je jedinou symetrickou skupinou, jejíž vnější skupina automorfismu není triviální.
Každá podskupina indexu n o je isomorfní . Pokud je n odlišné od 6, je taková podskupina nutně stabilizátorem prvku {1,…, n }. $\ mathfrak S_n$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}$
Kromě toho má podskupinu indexu 6, která není stabilizátorem bodu. ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {6}}$

Demonstrace

S 5 obsahuje dvacet čtyři 5-kroužků , a proto šest podskupin, aby 5. Akční konjugací z S 5 v následujících podskupin tedy poskytuje morphism z S 5 do S 6 . Tento morfismus je injektivní, protože jeho jádro je normální podskupinou S 5 odlišnou od S 5 a A 5 (protože například (123) (12345) (321) = (14523) není mocninou (12345)). A konečně, podle Sylowových vět , je tato akce přechodná, a proto neopravuje žádný bod.

Poznámky a odkazy

R. Goblot, Lineární algebra , Paříž, 2005, s. 58, používá notaci S n . Anglosasští autoři obecně píší spíše S E než a S n spíše než . ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}$ $\ mathfrak S_n$
(in) HSM Coxeter a WOJ Moser (de) , Generátory a vztahy pro diskrétní skupiny , Springer ,1972( Repr.2013 ), 3 e ed. ( 1 st ed. 1957), 164 str. ( ISBN 978-3-662-21946-1 , číst online ) , s. 63 (6,22).
Coxeter a Moser 1972 , s. 64 (6,28).
Coxeter a Moser 1972 , s. 63 (6,21).
(in) William Fulton a Joe Harris , Teorie reprezentace: První kurz [ maloobchodní vydání ], str. 55 , náhled v Knihách Google .
P. Tauvel, Algèbre , 2. vydání, Paříž, Dunod, 2010, s. 70. Viz také poslední ukázka skupiny § Derived na Wikiversity .

Podívejte se také

Související články

Automorfismy symetrické a střídavé skupiny (in)
Funkce kočárku
Celá skupina
Zobecněná symetrická skupina (en)
Skupina copánky
Reprezentace symetrické skupiny
Mladá malba

Bibliografie

Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detail vydání ]