Precese

Precese je název pro postupné změně ve směru osy otáčení objektu, nebo obecněji, je vektor za působení na životní prostředí, například, když se točivý moment se aplikuje. Tento jev lze snadno pozorovat pomocí rotující desky, ale všechny rotující objekty mohou podstoupit precesi. Během precese se úhel, který vytváří osa otáčení nebo vektor s daným směrem, zůstává pevný, se nazývá úhel nutace a je obecně známý . Je to jeden ze tří Eulerových úhlů . Vektor nebo osa otáčení tedy v průběhu času popisuje kužel, jehož osa je pevným směrem. Tento kužel prochází konstantní úhlovou rychlostí, která je určena údaji o problému. Směr, ve kterém k precesi dochází, závisí na uvažovaném problému. θ{\ displaystyle \ theta}

Matematický vzorec

Je napsán matematický vzorec, který popisuje precesi veličinyNE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}

dNEdt=Ω∧NE{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathbf {N}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ mathbf {\ Omega}} \ klín {\ mathbf {N} }},

kde je konstantní (nebo možná pomalu se měnící) vektorová veličina. Jeho směr určuje osu precesního kužele a jeho norma je při úhlové rychlosti homogenní . V takovém případě k precesi dochází úhlovou rychlostí Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Ωp=|Ω|{\ displaystyle \ Omega _ {p} = | {\ mathbf {\ Omega}} |},

a proti směru hodinových ručiček v rovině orientované pomocí . Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Demonstrace

Vezmeme-li bodový součin výchozí rovnice s , dostaneme Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Ω⋅dNEdt=Ω⋅(Ω∧NE){\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}} \ cdot {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathbf {N}}} {{rm {d}} t}} = {\ mathbf {\ Omega }} \ cdot \ left ({\ mathbf {\ Omega}} \ wedge {\ mathbf {N}} \ right)}.

Pravá strana je nulová, protože odpovídá smíšenému produktu obsahujícímu dva identické vektory. To tedy znamená, že složka je v průběhu času konstantní. Provedením tečkového součinu počáteční rovnice s získáme tento čas NE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}NE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}

NE⋅dNEdt=NE⋅(Ω∧NE){\ displaystyle {\ mathbf {N}} \ cdot {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathbf {N}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ mathbf {N}} \ cdot \ left ({\ mathbf {\ Omega}} \ wedge {\ mathbf {N}} \ right)}.

Ze stejného důvodu jako dříve je pravá strana nulová. Levá strana rovnice představuje změnu normy , což znamená, že je konstantní v čase. Protože jeho komponenta rovnoběžná s je také konstantní, je i komponenta kolmá na tento vektor konstantní. NE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Pokud jde o komponenty, pokud zvolíme systém os, který je rovnoběžný s osou z , získáme Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

dNEXdt=-ΩNEy{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {x}} {{\ rm {d}} t}} = - \ Omega N_ {y}}, dNEydt=ΩNEX{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {y}} {{\ rm {d}} t}} = \ Omega N_ {x}}, dNEzdt=0{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {z}} {{\ rm {d}} t}} = 0}.

Poslední rovnice udává stálost složky rovnoběžné s . Další dvě rovnice se spojí do NE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

dNEX+iNEydt=iΩ(NEX+iNEy){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {x} + iN_ {y}} {{\ rm {d}} t}} = i \ Omega (N_ {x} + iN_ {y}) }.

Tím , že pózujeme , máme tím, že si všimneme bodu odvození s ohledem na čas, NEX+iNEy=rexp⁡(iθ){\ displaystyle N_ {x} + iN_ {y} = r \ exp (i \ theta)}

(r˙+irθ˙)exp⁡(iθ)=iΩrexp⁡(iθ){\ displaystyle \ left ({\ dot {r}} + ir {\ dot {\ theta}} \ right) \ exp (i \ theta) = i \ Omega r \ exp (i \ theta)} ,

je

(r˙+irθ˙)=iΩr{\ displaystyle \ left ({\ dot {r}} + ir {\ dot {\ theta}} \ right) = i \ Omega r}. Skutečná část derivace udává variaci modulu komplexního čísla , který je zde nulový. Imaginární část derivace dává až do faktoru r variaci jejího argumentu. Tato variace je zde konstantní, což ukazuje, že argument proměnných se mění při úhlové rychlosti .NEX+iNEy{\ displaystyle N_ {x} + iN_ {y}}NEX+iNEy{\ displaystyle N_ {x} + iN_ {y}}Ω{\ displaystyle \ Omega}  

Precese lze intuitivně vysvětlit „modelem čtvercového kola“.

Různé typy precese

Velké množství fyzických situací vede k fenoménu precese:

• v mechanice rotující objekt, jako je vršek nebo gyroskop , zažije precesní pohyb, pokud není vyvážený, to znamená, že výslednice momentů sil na něj vyvíjených není nula.
• Rovina oscilace Foucaultova kyvadla prochází v průběhu času precesí, což projevuje rotaci Země . Fyzickým efektem je Coriolisova síla .

V astronomii

Precese rovnodenností

Na rotující těleso lze pohlížet jako na gyroskop a lze ho vyrobit v precesi. To je například případ Země , jejíž osa pólu je v precesi v důsledku gravitačních interakcí se Sluncem a Měsícem . Tento jev objevil řecký astronom Hipparchus krátce po roce 150 před naším letopočtem. J.-C.

Precese orbitálního momentu hybnosti

Tělo na oběžné dráze bude mít kromě své vlastní rotace také orbitální moment hybnosti vyplývající z jeho kruhového nebo eliptického pohybu kolem centrálního tělesa. Směr orbitálního momentu hybnosti představuje kolmici k rovině oběžné dráhy hvězdy. Tato rovina může nakonec podstoupit precesi pod vlivem jiných nebeských těles. Stejné je to obecně v případě složité oběžné dráhy kolem těžiště vícenásobného systému .

Apsidální precese

Tělo na eliptické oběžné dráze může vidět svou oběžnou dráhu narušenou ve své rovině jinými hvězdami. Jedna z poruch má tendenci měnit osu určenou polohlavní osou oběžné dráhy ( Runge-Lenzův vektor ). Směr určený bodem oběžné dráhy nejblíže k centrálnímu tělesu se tedy v čase mění. Mluvíme o precesi perihelionu, nebo obecněji mimo sluneční soustavu , o precesi periapsis (nebo postupu periastronu). Záloha periapsis může být produkována interakcemi s jinými těly, ale může být také způsobena odchylkou od sférickosti centrálního těla. Třetí možnou příčinu pokroku periapsis předpovídá obecná relativita , jejíž jedním z nejsnadněji pozorovatelných účinků je kromě dalších příčin uvedených výše také pokrok periapsis. Pokrok perihélia planety Merkur byl prvním ověřením teorie obecné relativity objevené Albertem Einsteinem . Systém s největším relativistickým periastrálním předstihem je dvojitý pulsar PSR J0737-3039 (více než 16 stupňů za rok).

Einstein-de Sitterův efekt

Částice ponořené do gravitačního pole také uvidí svůj vlastní moment hybnosti vstoupit do precese kvůli existenci tohoto. Hovoříme o Sitter efektu , první předpověděl v roce 1916 tím, Willem de Sitter .

Geodetická precese

Kombinace Thomasovy precese a Sitterova efektu se nazývá geodetická precese.

Lense-Thiring efekt

Obecná teorie relativity také předpověděl, že rotující těleso způsobí řetězovou reakci o časoprostoru ve směru jeho otáčení. Tento efekt, často nazývaný anglickým názvem frame-dragging, je efekt Lense-Thirring, objevený Josefem Lense a Hansem Thirringem v roce 1918, způsobí další precesi orbitálního momentu hybnosti tělesa, pokud rovina oběžné dráhy není není kolmá k ose otáčení centrálního tělesa, stejně jako další precese periapsis a vlastní moment hybnosti těles vystavených vlivu centrálního tělesa. V druhém případě někdy mluvíme o Schiffově precesi . Účinek může čočkovitá Thirring v zásadě být detekován nepřímo tím, že studuje akrečních disků z kompaktních objektů . Jeho přesné měření v gravitačním poli Země je účelem misního satelitu Gravity Probe B k NASA zahájeného v roce 2004, jehož pozitivní výsledky byly oznámeny dne4. května 2011. Účinek Lense-Thirring je jedním z projevů gravitomagnetismu , formální a nedokonalé analogie mezi určitými aspekty obecné relativity a elektromagnetismu .

V atomové fyzice

Precese Larmora

Částice s magnetickým momentem uvidí, že předchází, když je částice ponořena do magnetického pole . Mluvíme pak o Larmorově precesi, jejíž frekvenci lze měřit.

Thomasova precese

Vlastní hybnost částice ( rotace ) bude také precese, pokud je částice zrychlena. Tento výsledek, důsledek speciální relativity , poprvé správně vysvětlil Llewellyn Thomas v průběhu 20. let a nazývá se precese Thomase.

Mechanická precese

Když rotující objekt zažije točivý moment , jeho osa rotace se v průběhu času mění. To je výsledkem věty momentu hybnosti , důsledkem základního principu dynamiky vyjádřené ve druhé polovině XVII th  století od Isaac Newton . Když je tento točivý moment vyvíjen silou konstantního směru (například gravitací Země ) na objekt, jehož moment hybnosti je dostatečně velký a jehož osa otáčení prochází bodem působení síly, pak objekt přejde do precese, to znamená, že její moment hybnosti bude udržovat konstantní intenzitu, ale uvidí, jak její směr popisuje precesi kolem směru síly.

V praxi tyto předpoklady uspokojí rotující vršek spuštěný s dostatečně vysokou rychlostí. Jeho osa otáčení tak bude udržovat konstantní úhel se svislicí (směr gravitační síly), ale bude se otáčet konstantní rychlostí (pokud je zanedbáno tření ).

Fyzika precese

Za těchto podmínek je období precese následující:

Tp=4π2JásVSTs{\ displaystyle T_ {p} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} I_ {s}} {CT_ {s}}}},

Kde I s je moment setrvačnosti, T s doba otáčení kolem osy otáčení a C je točivý moment. Tento výraz lze přepsat na odpovídající úhlové rychlosti . Když si všimneme ω s úhlové rychlosti těla ( ) a Ω p rychlosti precese ( ), máme ωs=2π/Ts{\ displaystyle \ omega _ {s} = 2 \ pi / T_ {s}}Ωp=2π/Tp{\ displaystyle \ Omega _ {p} = 2 \ pi / T_ {p}}

Ωpωs=VSJás{\ displaystyle \ Omega _ {p} \ omega _ {s} = {\ frac {C} {I_ {s}}}}.

Poznámky a odkazy

1. Péter Hantz a Zsolt I. Lázár , „  Precese intuitivně vysvětlena  “, Frontiers in Physics , sv.  7,2019( DOI  10.3389 / fphy.2019.00005 , číst online )

Související články

• Gyroskop
• Lagrangeův pohyb rotující desky
• Výživa
• Schiffova precese
• Káča

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">