V matematice , a zejména v lineární algebře , má redukce endomorfismu za cíl vyjádřit matice a endomorfismy v jednodušší formě, například pro usnadnění výpočtů. To v podstatě spočívá v nalezení rozklad vektorovém prostoru do přímého součtu všech stabilních podprostorů , na kterém indukovaný endomorphism je jednodušší. Méně geometricky to odpovídá nalezení základu prostoru, ve kterém je endomorfismus jednoduše vyjádřen.
První dvě podsekce níže se dotýkají základních konceptů, které budou dále prozkoumány. Další dva se týkají konkrétních případů.
Vektorový prostor, na který je endomorfismus aplikován, má různé vlastnosti v závislosti na případu. Je-li prostor konečné dimenze , určuje většina redukčních vlastností strukturu tělesa . Tento přístup, který zahrnuje kroužek z polynomů spojených s tělem, je analyzována v článku endomorfismů polynomu . Nejjednodušší případ je ten, kde je pole algebraicky uzavřeno , tj. Jakýkoli nekonstantní polynom připouští alespoň jeden kořen. To je případ komplexních čísel . Snížení je tedy zvláště účinné. Pojem vlastní hodnota se v tomto kontextu stává tím správným nástrojem. Když je základna z vektorů , jeden mluví o diagonalizaci .
Existují dvě překážky, které zabraňují diagonalizaci konečného trojrozměrného endomorfismu.
První se zobrazí, pokud pole není algebraicky uzavřeno (například pokud se jedná o pole reálných čísel ). V tomto případě, jsou hlavními faktory z charakteristického polynomu (nebo minimální polynomu ) endomorfismů u může být studia větší nebo roven 2. Tento případ se považuje v § „Non-trigonalisable případě“ níže , nejvíce běžnou metodou. jednodušší odstranit tuto první překážku bytosti rozdělit polynomy , které rozšíření skaláry .
Když je jeho charakteristický polynom (nebo jeho minimální polynom) rozdělen, u se rozloží na charakteristické podprostory, kde je endomorfismus součtem homothety a nilpotentního endomorfismu . Druhou, podstatnější překážkou jsou nenulové nilpotentní endomorfismy. Jejich rozklad na cyklické podprostorů, však poskytuje snížení Jordán , což představuje trigonalization o u v nejjednodušší formě.
Jakékoliv běžné endomorphism z Hermitovské prostoru je diagonalizable v ortonormální báze , nebo také: všechna normální matice je diagonalizable (na ℂ) se s jednotkou pro průchod matrice : je to důsledkem z Schurova rozkladu teorém (v euklidovském prostoru , nebo pro diagonalizaci na ℝ skutečné normální matice má jeden stejný výsledek za předpokladu, že jsou všechna vlastní čísla reálná).
V této souvislosti tedy nilpotentní výjimka chybí. Redukce je jednodušší a související algoritmické techniky rychlejší.
Jakákoli hermitovská matice - zejména jakákoli skutečná symetrická matice (která představuje symetrickou bilineární formu ) - která je normální, je tedy diagonalizovatelná v ortonormálním základě.
Obecněji řečeno, ve složitém Hilbertově prostoru má každý normální kompaktní operátor správný Hilbertův základ .
Diferenciální operátory , jako Laplacian nebo d'Alembertian , jsou klíčem k důležitým problémům ve fyzice, které lze považovat za lineární rovnici, ale v prostoru nekonečné dimenze. V této souvislosti je Jordanův obecný přístup odsouzen k neúspěchu, protože polynomy se nepoužijí. Hilbertův inovativní přístup , který již neomezuje analýzu na určitý bod (řešení rovnice), otevírá nové odvětví matematiky, které se v minulém století stalo zásadním: funkční analýzu . Moderní fyzika, jak ve své kvantové formě, tak ve své relativistické formě , tento pohled na věci ve velké míře využívá.
V této části označuje E vektorový prostor nad polem K a jeho dimenze, předpokládaná jako konečná, je označena n .
Existuje první přirozený kandidát na redukci, odpovídá rozkladu na vlastní podprostory.
Vlastní vektor je nenulový vektor, jehož obraz u je kolineární s původním vektorem. Poměr kolinearity se nazývá vlastní hodnota. Množina vlastních vektorů vlastního čísla λ a nulového vektoru se nazývá vlastní hodnota u spojená s vlastním číslem λ.
Rozklad na správné podprostory má dobré vlastnosti:
Vlastnosti hledané pro optimální redukci jsou „téměř“ kombinovány.
Ve skutečnosti by stačila jedna další vlastnost: že přímým součtem vlastních subprostorů bude celý vektorový prostor. Pak řekneme, že u je diagonalizovatelné. Následující pět návrhů je ekvivalentních:
S touto definicí jsou spojeny další důležité vlastnosti. V zásadě pocházejí z polynomiálního přístupu k endomorfismu . Charakteristický polynom z u je v konečné dimenzi mocný nástroj pro analýzu endomorphisms. Je definována jako determinant z X Id - u . Vzhledem k tomu, že determinant mizí právě tehdy, když jádro přidružené lineární mapy není redukováno na nulový vektor, má polynom jako kořeny vlastní hodnoty endomorfismu. První jednoduchá vlastnost spojuje diagonalizovatelnost a charakteristický polynom:
Je to dostatečná podmínka (podle § Redukce a správných podprostorů nebo jako důsledek nezbytné a dostatečné podmínky níže), ale není to nutné (v dimenzi> 1 má homothety vlastní vlastní hodnotu, zatímco je jasně diagonalizovatelná).
K formulaci nezbytné a dostatečné podmínky z charakteristického polynomu jsou nutné dvě další definice:
Vždy jsme měli
(druhá nerovnost je okamžitá a první se získá doplněním základu správného podprostoru a výpočtem charakteristického polynomu po blocích ). Podle výše uvedeného § Diagonalizace je však u diagonalizovatelné právě tehdy, když se součet d λ rovná n . Dedukujeme nutnou a dostatečnou podmínku:
Přístup charakteristickým polynomem nabízí první výsledky, ale výpočet tohoto polynomu i dimenze správných podprostorů je často těžkopádný.
Minimální polynom má stejné primární faktory jako charakteristický polynom. Jeho specifičnost je vyjádřena v následující nezbytné a dostatečné podmínce:
u je diagonalizovatelný právě tehdy, když je jeho minimální polynom rozdělen na K a má jednoduché kořeny .
Pokud není možné diagonalizovat, je endomorfismus (nebo matice) trigonalizovatelný na K právě tehdy, když je jeho charakteristický polynom rozdělen na K (nebo, co je ekvivalentní, pokud je jeho minimální polynom). V takovém případě je můžeme dokonce „zmenšit“ jemnějším způsobem.
Pro rozdělení minimálního polynomu stačí, aby pole bylo algebraicky uzavřeno , jako pole komplexů. Pokud není polynom rozdělen, stejně jako některé polynomy v poli reálných čísel, použijeme níže uvedený odstavec „Nekonjonalizovatelný případ“ .
Dunfordův rozkladKdyž je polynom rozdělen, platí Dunfordův rozklad :
Pokud je minimální polynom u rozdělen, pak u je součet diagonalizovatelného endomorfismu a nilpotentního endomorfismu, který dojíždí .
V této souvislosti je minimální polynom χ zapsán ve formě
Jádra E λ = Ker ( u - λ Id ) n λ se nazývají podprostory E charakteristické pro u .
Následující čtyři vlastnosti shrnují většinu vlastností spojených s Dunfordovým rozkladem:
Chcete-li pokračovat v redukci u , je nutné na každém charakteristickém podprostoru E λ snížit související nilpotentní endomorfismus.
Pro nilpotentní endomorfismus je jedinečná vlastní hodnota 0, takže jedinečným vlastním prostorem je jádro. Jediným diagonalizovatelným nilpotentním endomorfismem je tedy nulový endomorfismus.
Nilpotentní endomorfismy přesto mají redukci: říkáme, že vektorový podprostor E je cyklický pro endomorfismus u, pokud je generován rodinou formy ( x , u ( x ), u 2 ( x ), ...), a máme:
Pokud je u nilpotentní, pak E je přímý součet cyklických podprostorů pro u .
Jordánská redukceTyto podprostory (stabilní homothety), jejichž charakteristickým podprostorem E λ je přímý součet, se nazývají Jordanské podprostory.
Frobenius rozklad je nejvhodnější, když je polynom není rozdělen a nechceme změnit pole.
Dalším možným přístupem je rozšířit skalární : jeden vrhá tělesa K v jeho algebraické uzavíracím K pak K kosmická E v tensor produktu E = K ⊗ K E . Endomorphism E se potom prodlužuje jedinečně E . Maticové hledisko je pak výhodné, protože si ponecháme stejnou matici pro počáteční endomorfismus nebo jeho rozšíření: jednoduše se považuje za matici M n ( K ). V případě, že K je pole reálných čísel, nazývá se tato operace komplexizace .
Diagonalizace je často nejlepším přístupem ke konkrétním problémům. Diagonalizovatelné matice jsou husté v prostoru matic se složitými koeficienty, nepřesnost počátečních dat znamená, že matice odpovídající skutečnému problému je vždy diagonalizovatelná.
Ve statistikách umožňuje diagonalizace provést analýzu hlavních komponent .
Redukce matic (diagonalizace nebo Jordanova redukce) umožňuje výpočet sil této matice i jejího exponenciálu . Kromě toho je výpočet exp ( tA ) obzvláště užitečný pro řešení lineárních diferenciálních systémů s konstantními koeficienty.