Stone-Weierstrassova věta

V matematiky se kamene Weierstrassova věta je zobecněním na Weierstrass sbližování věta v reálné analýze , podle které žádná spojitá funkce definovaná na segmentu může být aproximována stejnoměrně pomocí polynomu funkcí .

Zevšeobecnění Marshalla Stonea rozšiřuje tento výsledek na spojité funkce definované na kompaktním prostoru a se skutečnými hodnotami , nahrazující algebru polynomiálních funkcí subalgebrou nebo mřížkou uspokojující přirozené hypotézy.

Weierstrassova věta o aproximaci

Nechť f je spojitá funkce od [ a , b ] do ℝ.

Pro všechna ε> 0 existuje polynomiální funkce p se skutečnými koeficienty taková, že pro všechna x v [ a , b ], | f ( x ) - p ( x ) | ≤ ε.

nebo:

Existuje posloupnost ( P n ) polynomů sbíhajících rovnoměrně na f o [ a , b ].

Sada C ([ a , b ]) funkcí s reálnými a spojitými hodnotami na [ a , b ], obdařená nekonečnou normou ${\ displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ v [a, b]} | f (x) |}$ , je Banachova algebra ( tj . asociativní ℝ-algebra a Banachův prostor takový, že pro všechna f a g ). Sada polynomiálních funkcí tvoří subalgebru C ([ a , b ]) a Weierstrassova aproximační věta tvrdí, že tato subalgebra je hustá v C ([ a , b ]). ${\ displaystyle \ | f \ cdot g \ | \ leq \ | f \ | \ cdot \ | g \ |}$

Věta pro jakýkoli A , b je stejná jako pro , b pevné (s a < b ).

Předpokládejme, že věta platí pro jakoukoli spojitou funkci na pevném segmentu [ c , d ] (s c < d ), a ukažte, že stále platí pro spojitou funkci f na jiném segmentu [ a , b ] (s a < b ). K tomu zvolme polynomiální homeomorfismus Φ: [ a , b ] → [ c , d ] - například afinní bijekce x ↦ c + ( x - a ) ( d - c ) / ( b - a ) - a nechť g označuje funkci f ∘ Φ −1 , která na [ c , d ] je spojitá, proto (hypotézou) jednotná mez posloupnosti polynomů g n . Nechť f n : = g n ∘ Φ. Je to opět polynomiální funkce, tentokrát definovaná na [ a , b ] a (protože $Φ$ je bijekce z [ a , b ] na [ c , d ]) ║ f - f n ║ = ║ ( g - g n ) ∘ Φ║ = ║ g - g n ║ → 0.

Níže je příklad posloupnosti polynomů konvergujících k funkci absolutní hodnoty v intervalu [–1, 1].

Další verze a zevšeobecnění

Trigonometrická verze

Pro každou periodickou spojitou funkci f existuje posloupnost trigonometrických polynomů, která konverguje rovnoměrně na f .

Odvozeno od teorie Fourierovy řady , Fejérova věta poskytuje konstruktivní příklad takové posloupnosti.

Zákon velkých čísel

S. Bernstein podal konstruktivní a pravděpodobnostní důkaz Weierstrassovy věty dne [0, 1] tím, že dokázal:

P_ {n} (x) = \ součet _ {{k = 0}} ^ {n} f \ levý ({\ frac kn} \ pravý) B_ {k} ^ {n} (x)

kde jsou Bernsteinovy polynomy . $B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ zvolte k} x ^ {k} (1-x) ^ {{nk}}$

Ve skutečnosti, pokud X je náhodná proměnná po binomické rozdělení parametrů ( n , x ), pak P n ( x ) je očekávání o f ( X / n ), to znamená, že střední hodnota f působící na počtu úspěchů n nezávislé experimenty pravděpodobnosti x . Jednoduchý konvergence z P n ( x ) pro f ( x ) pro všechny x je důsledkem slabého zákona velkých čísel . Zvýšením pravděpodobnosti rozdílu mezi X / n a x odvodíme jednotnou konvergenci P n k f .

Stone-Weierstrassova věta, algebraická verze

Věta o aproximaci se zobecňuje ve dvou směrech:

Kompaktní interval [ , b ], mohou být nahrazena kompaktním prostoru X .
Algebru polynomiálních funkcí lze nahradit jinou subalgebrou A z C ( X ) za předpokladu, že splňuje zásadní vlastnost, kterou je oddělení bodů (in) (podmnožina A z C ( X ) odděluje body, pokud pro jakýkoli pár { x , y } bodů v X , existuje funkce p o taková, že p ( x ) ≠ P ( y )).

V tomto rámci je věta napsána:

Věta - Nechť X je kompaktní prostor a C ( X ) Banachova algebra spojitých funkcí od X do ℝ. Subalgebra je v C ( X ) hustá, pokud (a pouze pokud) odděluje body a obsahuje pro jakýkoli bod x z X funkci, která nezmizí v x .

Protože polynomy nad [ a , b ] tvoří jednotnou subalgebru C ([ a , b ]), která odděluje body, je Weierstrassova věta důsledkem výše uvedené věty.

Pole reálných čísel může být nahrazena tím, že na komplexy , pod podmínkou, že za předpokladu, že je stabilní od konjugací .

Tato věta je odvozena z „mřížkové verze“ Stone-Weierstrassovy věty (níže) az následujících dvou lemmat.

Lemma 1 - Pro libovolné reálné a > 0 existuje posloupnost polynomů, která konverguje rovnoměrně na [- a , a ] směrem k funkci x ↦ | x |.

Lemma 2 - Jakákoli uzavřená subalgebra C ( X ) je mřížka.

Důkaz dvou lemmat

Lemma 1 . Tím stejnolehlost , stačí přiblížit polynomy funkce absolutní hodnoty o [-1, 1]. K tomu píšeme | x | = $\sqrt 1 - (1 - x 2 )$ a použijeme, že Taylorova řada funkce $h$ ↦ $\sqrt 1 - h$ je normálně konvergentní na [0, 1].
Lemma 2 . Nechť L je tato subalgebra. Na základě vztahů $\ max (g, h) = {\ frac {g + h} 2} + {\ frac {| gh |} 2} {\ text {et}} \ min (g, h) = {\ frac {g + h} 2} - {\ frac {| gh |} 2},$ stačí dokázat, že pokud $f$ ∈ L, pak | $f$ | ∈ L . Brát $a = \ max _ {{x \ v X}} \ vlevo | f (x) \ vpravo |,$ který existuje spojitostí a kompaktností, najdeme u Lemmy 1 posloupnost polynomů $( P n ),$ která rovnoměrně konverguje na $[- a , a ]$ směrem k funkci absolutní hodnoty. I když to znamená odečíst od každého z těchto polynomů jeho konstantní člen, můžeme předpokládat, že jsou nulové při 0. $P n ( f )$ pak tvoří posloupnost funkcí L , která na X rovnoměrně konverguje k | $f$ |.

Redukce věty na teorém „mřížkové verze“

Nechť L je přilnavost na sub-algebry A .

Kontinuitou násobení, sčítání a součinu skalárem je L subalgebra.
Podle Lemmy 2 je to mříž.
Ukažme, že hypotéza Stone-Weierstrassovy věty „mřížkové verze“ je ověřena. Nechť $x$ vytvoří dvě oddělené body $x$ a $y$ z X a dvě reálná čísla a $b$ . Z $p, q, r \ v A {\ text {takový, že}} p (x) \ neq p (y), q (x) \ neq 0, r (y) \ neq 0,$ stavíme jako první $g \ v {\ textu {takový, že}} g (x) \ neq g (y), g (x) \ neq 0, g (y) \ neq 0,$ nastavením $g = p + uq + vr$ pro reality $u$ a $v$ vhodně zvolené. Existují reálná čísla $α$ a $β$ , která fungují $f = \ alpha g + \ beta g ^ {{2}}$ (který patří k A tedy do L ) splňuje $f ( x ) = a$ a $f ( y ) = b$ .

Z toho vyplývá, že L je hustá v C ( X ), tedy rovná se C ( X ), to znamená, že A je hustá v C ( X ).

Celé funkce

V roce 1885 Weierstrass také demonstroval analogickou větu pro celočíselné funkce ( holomorfní funkce v celé komplexní rovině), kterou Torsten Carleman (en) zobecnil v roce 1927 tím, že ukázal, že jakákoli spojitá funkce na R je jednotná mez (na R ) posloupnost celočíselných funkcí. Po poznámkou Marcel BRELOT , Wilfred Kaplan (en), ukázala, že Carleman je důkaz dokonce vyrobeno následující výsledky:

Carlemanova věta - Nechť je spojitá funkce. Pro každou spojitou funkcí , existuje celá funkce taková, že: . ${\ displaystyle Q: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle E: \ mathbb {R} \ doleva] 0, + \ infty \ doprava [}$ $F$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad | f (x) -Q (x) | <E (x)}$

Aplikace

Věta Stone-Weierstrass nám umožňuje dokázat následující čtyři tvrzení:

pokud f je spojitá funkce se skutečnými hodnotami definovanými na bloku [ a , b ] × [ c , d ] a pokud je ε skutečné přísně kladné, pak existuje polynomiální funkce p se dvěma proměnnými tak, že pro všechna x v [ a , b ] a y v [ c , d ], | f ( x , y ) - p ( x , y ) | <ε.
pokud X a Y jsou dva kompaktní prostory a pokud f : X × Y → ℝ je spojitá funkce, pak pro všechna ε> 0 existuje n > 0 a spojité funkce f 1 , f 2 ,…, f n na X a g 1 , g 2 ,…, g n na Y takové, že ║ f - ∑ f i g i ║ <ε
Ohraničené opatření na [ a , b ], jehož všechny momenty jsou nulové, je nula ( viz Moment problém ). Například pokud je integrovatelná funkce $f$ z [0, 1] v ℝ taková $\ forall p \ in \ mathbb {N}, ~ \ int _ {0} ^ {1} t ^ {p} f (t) ~ {\ mathrm d} t = 0,$ pak $f$ je téměř všude nula (tedy všude, pokud je spojitá ).
Pokud X je kompaktní ( tedy oddělitelný ) metrický prostor, pak je Banachova algebra C ( X ) oddělitelná . Postačí zvolit v X hustou spočetnou část Y , definovat na X , pro jakýkoli prvek y z Y , funkci f y pomocí f y ( x ) = d ( x , y ), a vzít pro A la Uniferous sub -ℝ-algebra C ( X ) generovaná těmito f y : protože A je v teorémě hustá v C ( X ), potom je stejná f -algebra generovaná těmito stejnými f y (spočetná a hustá v A ) hustá v C ( X ).
Pokud je f spojitá funkce na [ a ; b ] pak f připouští u tohoto segmentu primitivní funkci. Tento důkaz poskytuje existenci primitiva, aniž by zahrnoval pojem integrál.

Některé platné výsledky pro spojité funkce lze redukovat na případ neurčitě diferencovatelných funkcí pomocí Stone-Weierstrassovy věty. Takto získáme důkaz Brouwerovy věty o pevném bodě pomocí Stokesovy věty .

Stone-Weierstrassova věta, mřížková verze

Nechť X je kompaktní prostor. Podskupina L C ( X ) se nazývá mříž z C ( X ), pokud pro jakékoliv dva prvky f , g z L , max funkce ( f , g ) a min ( f , g ), také patří k L . Mřížková verze Stone-Weierstrassovy věty uvádí, že:

Věta - Pokud X je kompaktní prostor s alespoň dvěma body, a pokud L je mřížka C ( X ) tak, že ve všech různých bodů x a y z X a všech reálných čísel a , b , L obsahuje funkci f splňující f ( x ) = a a f ( y ) = b , pak L je hustá v C ( X ).

Tato obecnější verze bezprostředně vyplývá z následujícího lemmatu.

Lemma 3 - Nechť L je mřížka C ( X ). Aby funkce $g$ C ( X ) patřila k adhezi L , (je to nutné a) stačí, že pro všechna $x , y$ ∈ X a všechna $ε> 0$ existuje funkce $f$ ∈ L taková, že

| f (x) -g (x) | <\ varepsilon {\ text {a}} | f (y) -g (y) | <\ varepsilon.

Důkaz Lemmy 3

Nechť $ε> 0$ a $g$ ∈ C ( X ) splňující tuto podmínku. Zkonstruujeme funkci $f$ ∈ L, která aproximuje $g$ rovnoměrně $ε$ blízko.

Za prvé pevné prvek $z \in X$ .
Nechť $x \in X$ . Hypotézou existuje funkce $f z, x$ ∈ L taková, že $f _ {{z, x}} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {a}} f _ {{z, x}} (x) <g (x) + \ varepsilon.$ Pak se zeptáme $V _ {{z, x}} = \ {y \ v X \ mid f _ {{z, x}} (y) <g (y) + \ varepsilon \}$ který obsahuje $x$ a který je otevřený , kontinuitou $f z, x$ a $g$ .
Rodina $( V z, x ) x \in X$ je otevřená pokrývka X a kompaktností z ní můžeme získat konečnou pokrývku $( V z, x ) x \in A z$ . Pak se můžeme zeptat $h_ {z} = \ min _ {{x \ v A_ {z}}} f _ {{z, x}}$ který patří do mřížky L . Pamatujte, že funkce $h z$ vyhovuje $h_ {z} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {a}} \ pro všechny y \ v X, h_ {z} (y) <g (y) + \ varepsilon.$
Nyní se podíváme na rodiny $( h Z ) Z \in X$ . Pózujeme $U_ {z} = \ {y \ v X \ mid h_ {z} (y)> g (y) - \ varepsilon \}$ který obsahuje $z$ a který je otevřený, ze stejných důvodů jako $V z, x$ . Rodina $( U z ) z \in X$ kryty X , a kompaktností jsme extrahovat konečný deficitního krytí $( U z ) z \in B$ My set $f = \ max _ {{z \ v B}} h_ {z}$ vlastnil L .

Funkce $f$ pak ověří

\ forall x \ in X, \ quad g (x) - \ varepsilon <f (x) <g (x) + \ varepsilon

podle očekávání.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Stone - Weierstrassova věta “ ( viz seznam autorů ) .

(de) Karl Weierstrass , „ Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen “ , Sitz'ber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlín ,1885 : Já, str. 633-639 a II, str. 789-805 .
Takový prostor je ze své podstaty samostatný .
Laurent Schwartz, Obecná topologie a funkční analýza , Hermann,1970, str. 372-376
Tuto demonstraci má na svědomí Henri Lebesgue , který právě prošel zemědělskou agendou v matematice , ve svém prvním článku: Henri Lebesgue, „ O aproximaci funkcí “, Bulletin des sciences mathiques , sv. 22,1898, str. 278-287 ( číst online ).
Torsten Carleman, o Weierstrassově teorému , Arkiv. Stožár. Astron. Fys. , let. 20, n o 4, 1927, s. 1-5 .
Carleman to formuluje, podobně jako Weierstrass, v pojmech - lépe známých v roce 1885 - řady jednotně (protože normálně ) konvergujících funkcí ( Weierstrass 1885 , s. 637: „ es conversgirt […] die Reihe […] unbedingt und gleichmässig ${\ displaystyle \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} f _ {\ nu} (x)}$ “ ).
(in) Wilfred Kaplan, „ Aproximace podle celých funkcí “ , Michigan Math. J. , sv. 3, n o 1,1955, str. 43-52 ( DOI 10.1307 / mmd / 1031710533 , číst online ).
Pinkus 2000 , s. 51-54.
Srov. (En) Charalambos D. Aliprantis a Kim C. Border, Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce , Springer ,2007, 3 e ed. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , číst online ) , s. 353, což také dokazuje konverzaci: pro jakékoli kompaktní X , pokud je C ( X ) oddělitelné, pak X je metrizovatelné . Ve skutečnosti, pro každou oddělitelnou normovaný lineární prostor E , jednotka koule dvojí E ' , obdařen slabou topology- *, je metrizable , nebo E = C ( X ), X je přirozeně označena podprostoru této koule .

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

(en) Allan Pinkus, „ Weierstrassova teorie aproximace “ , J. Přibl. Theory , sv. 107, n o 1,2000, str. 1-66 ( DOI 10.1006 / jath.2000.3508 )