Friedmannovy rovnice
The Friedmann-Lemaitre rovnice odpovídají rovnic obecné teorie relativity (tzv Einstein rovnice ) získané v souvislosti s homogenní a izotropní kosmologickém modelu , přičemž se tyto reprezentována Robertson-Walker metrický . Proto se řídí vývoj tempo růstu o vesmíru a v důsledku vzdálenosti mezi dvěma vzdálených hvězd (tzv měřítko faktor ) a jako funkce času s názvem v tomto kontextu kosmického času . Vývoj těchto veličin je určen vlastnostmi materiálového obsahu vesmíru ( záření , atomy , temná hmota , kosmologická konstanta atd.), Jakož i případně uvažovanou gravitační teorií : je skutečně možné nahradit obecnou relativity jiným relativistické teorie o gravitaci . Může to být například tenzor-skalární teorie . Dalším způsobem, jak změnit model, je zvážit standardní obecnou relativitu, ale ve vesmíru s jednou nebo více dalšími dimenzemi . To je případ branarových kosmologických modelů .
Friedmann-Lemaîtrovy rovnice jsou základem téměř všech kosmologických modelů, včetně Velkého třesku .
Dějiny
Jmenovec z rovnic Friedmann-Lemaitre jsou ruský fyzik Alexander Friedmann (1888-1925) a belgický fyzik Georges Lemaître (1884-1966). Friedmann je první ze dvou, kdo je navrhl: nejprve v článku publikovaném v1922a vztahující se k případu prostorů s pozitivním prostorovým zakřivením; poté v článku publikovaném v1924a obecnější, včetně případu negativního prostorového zakřivení. Krátce po Friedmannovi a nezávisle na něm Lemaître našel tyto rovnice, které publikoval v1927a jednoznačně interpretuje fenomén expanze, který implikují, a předpovídá nebo vysvětluje Hubbleův zákon, než byl objeven v roce 1929. Dříve, v1917, Albert Einstein je napsal v konkrétním případě statického vesmíru a Willem de Sitter v případě pole prázdného vesmíru, ale s kosmologickou konstantou . Metriku časoprostoru a její obecnou formu najde a prezentuje v jednotné formě Howard P. Robertson v1929, poté nezávisle Arthur G. Walker v1936. Ze všech těchto důvodů se typ kosmologického modelu popsaného těmito rovnicemi nazývá vesmír Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (zkráceně FLRW).
Ačkoli jsou Friedmann a Lemaître považováni za spoluobjevitele rovnic, jméno Lemaître je často vynecháno. Zejména na jedné straně se výraz „Friedmannova rovnice“ (v jednotném čísle) používá k označení jedné ze dvou rovnic, a to :; a na druhé straně se výraz „Friedmannovy rovnice“ (množné číslo) používá k označení obou rovnic v případě . Pořadí jmen je zřídka obráceno a pořadí Friedmanna je zřídka vynecháno než pořadí Lemaître.
H2=(na˙/na)2{\ displaystyle H ^ {2} = \ left ({\ dot {a}} / a \ right) ^ {2}}Λ=0{\ displaystyle \ Lambda = 0}
Dvě Friedmann-Lemaîtrovy rovnice
Tyto Friedmann-Lemaitre rovnice je sada dvou rovnic vyjadřujících vývoj faktoru kosmologické měřítka jako funkce kosmického času , a popisují expanzi vesmíru . První se týká rychlosti expanze nebo Hubblova parametru H = \ dot {a} / a , prostorového zakřivení K = k / a a měřítka s hustotou energie ρ (rovná se hustotě hmoty μ krát c 2 ); druhá spojuje tlak P s časovou derivací rychlosti expanze. Použitou proměnnou času je kosmický čas , který v podstatě odpovídá času měřenému na Zemi . V kontextu obecné relativity jsou psány tyto dvě rovnice:
na(t){\ displaystyle a (t)} t{\ displaystyle t} na{\ displaystyle a}
3(H2vs.2+K.na2)=8πGvs.2ρ{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {2}}} \ rho},
-2H˙vs.2-3H2vs.2-K.na2=8πGvs.4P{\ displaystyle -2 {\ frac {\ dot {H}} {c ^ {2}}} - 3 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {K} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} P},
kde G je Newtonova konstanta a c je rychlost světla (v množství 8 π G / C 4 je někdy nazýván Einstein konstanta ). Tyto dvě rovnice nejsou nezávislé: druhá se získá převzetím časové derivace první a použitím principu rovnic zachování aplikovaných na zachování energie , vztahujících derivaci hustoty energie k tlaku. Když vezmeme v úvahu rozšíření obecné relativity nebo nějakou jinou teorii, jsou tyto rovnice upraveny. Z tohoto důvodu se v jednotném čísle někdy používá výraz „Friedmannova rovnice“, v takovém případě je jedinou uvažovanou rovnicí první.
Může se stát (například u modelů s dalšími rozměry), že již nebudou mít vzájemné důsledky. V ostatních případech je možné kombinovat obě rovnice za účelem úpravy druhé, buď pro zobrazení pouze určité kombinace tlaku a hustoty energie na pravé straně, nebo pro zobrazení jako druhá derivace měřítko na levé straně (viz odstavec níže). Je také možné provést proměnnou změnu tak, aby se používal spíše konformní čas než kosmický čas. Řešení těchto rovnic se provádí, jakmile je závislá hustota energie a tlak na čase nebo na známém faktoru měřítka. Některá přesná řešení jsou známa.
V rámci standardního modelu kosmologie (model velkého třesku) je známý obecný tvar činitele měřítka a ( t ) jako funkce prostorové křivosti K a kosmologické konstanty Λ.
Některá konkrétní řešení
Pokud má pravá strana pouze jeden druh a při absenci prostorového zakřivení lze Friedmannovy rovnice vyřešit bez obtíží. V přítomnosti několika druhů látek a / nebo zakřivení lze někdy najít přesná analytická řešení. V ostatních případech je numerické rozlišení rovnic provedeno bez obtíží.
Vesmír prachu
Když je Vesmír naplněn nerelativistickou hmotou (tj. Jejíž tlak je zanedbatelný, odtud termín „prach“), hustota energie klesá pouze kvůli ředění v důsledku expanze l '. Mluvíme také o éře hmoty . U vesmíru kritické hustoty, který se nazývá vesmír Einstein-de Sitter, se měřítkový faktor vyvíjí podle zákona
na(t)=na0(tt0)23{\ displaystyle a (t) = a_ {0} \ left ({\ frac {t} {t_ {0}}} \ right) ^ {\ frac {2} {3}}},
veličiny a 0 a t 0 odpovídající měřítku a času vyhodnocenému v dané referenční epochě. Navíc věk vesmíru v této epochě, t 0 je odvozen z rychlosti rozpínání ve stejné epochě o
.
t0=231H0{\ displaystyle t_ {0} = {\ frac {2} {3}} {\ frac {1} {H_ {0}}}}
Demonstrace
Vzhledem k povaze hmoty se hustota energie ρ m vyvíjí podle zákona
ρm=ρm0(na0na)3{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {m}} = \ rho _ {\ rm {m}} ^ {0} \ vlevo ({\ frac {a_ {0}} {a}} \ vpravo) ^ {3 }},
index 0 vztahující se k odpovídajícím veličinám vyhodnoceným v dané referenční epochě. Máme tedy, při neexistenci zakřivení
3vs.2(1nadnadt)2=8πGvs.4ρm0(na0na)3{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} \ vlevo ({\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d} } t}} \ vpravo) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ rm {m}} ^ {0} \ vlevo ({\ frac { a_ {0}} {a}} \ vpravo) ^ {3}}.
Tuto rovnici můžeme vyhodnotit v daném čase, což dává
3vs.2H02=8πGvs.4ρm0{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} H_ {0} ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ rm { m}} ^ {0}}.
Označíme-li x „redukovaný měřítkový faktor“, normalizovaný na 1 v referenční epochě, lze napsat kombinaci těchto dvou rovnic
(1XdXd(H0t))2=1X3{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {x ^ {3}}}}.
Řešení této rovnice okamžitě dává
X(t)=(32H0t)23{\ displaystyle x (t) = \ left ({\ frac {3} {2}} H_ {0} t \ right) ^ {\ frac {2} {3}}}.
Takové řešení se z historických důvodů nazývá vesmír Einstein-de Sitter , i když tyto nejsou prvními, kteří toto řešení vystavili.
V takovém modelu je tedy vesmír mladší než Hubbleův čas . První Hubblova stanovení (asi 520 kilometrů za sekundu a za megaparsec ) byla chybná kvůli špatné kalibraci cefeid (existují dva typy!), Což vedlo k věku vesmíru přibližně o 2 miliardy let (!), Mnohem mladšímu než tento druh již žijící na Zemi. Protože tento věk je výrazně nižší než odhadovaný věk mnoha astrofyzikálních objektů (určité hvězdy , bílí trpaslíci a Mléčná dráha jako celek), má se za to, že takový prachový vesmír nemůže odpovídat pozorovatelnému vesmíru, což je jeden z indikace mj. o existenci temné energie (viz níže).
Užitečně lze nahlédnout do posledních článků, které shrnují vývoj Hubblovy konstanty s přihlédnutím k několika generacím experimentů. V současné době je podle výsledků WMAP (2003) naměřená hodnota Hubblovy konstanty dána 70,1 \ pm 1,3 kilometru za sekundu na megaparsec , což odpovídá věku 13,7 \ 1 1% miliardy let. Je třeba také poznamenat, že závislost faktoru měřítka na čase je taková, že jeho druhá derivace je záporná, což odpovídá fázi zpomalené expanze, kompatibilní s intuicí, že atraktivní povaha gravitace má tendenci zpomalit expanzní pohyb. Pozorování, zejména supernov typu Ia, naznačují, že současná expanze je urychlena, což je další známkou potřeby přítomnosti temné energie . Na druhou stranu je jisté, že vesmír v minulosti znal fázi, kdy jeho expanzi dominovala nerelativistická hmota, protože je to jediný čas, kdy může dojít k mechanismu gravitační nestability .
Radiační vesmír
Když je vesmír naplněn relativistickou hmotou nebo zářením ( radiační éra ), hustota energie ρ r klesá rychleji než dříve, protože kromě ředění v důsledku expanze klesá i energie jednotlivých částic s expanzí l '(není to nic jiného než červený posun) účinek ). Jak hustota klesá rychleji, rychlost expanze také klesá rychleji a expanze se zpomaluje rychleji než v případě prachového vesmíru. Faktor měřítka se mění podle zákona
na=na0(tt0)12{\ displaystyle a = a_ {0} \ left ({\ frac {t} {t_ {0}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}.
Věk vesmíru v takovém modelu je poté zapsán
t0=121H0{\ displaystyle t_ {0} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {H_ {0}}}}.
Demonstrace
Vzhledem k povaze hmoty se hustota energie ρ r nyní vyvíjí podle zákona
ρr=ρr0(na0na)4{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {r}} = \ rho _ {\ rm {r}} ^ {0} \ left ({\ frac {a_ {0}} {a}} \ right) ^ {4 }},
index 0 opět odkazuje na odpovídající veličiny vyhodnocené v dané referenční epochě. Máme tedy, při neexistenci zakřivení
3vs.2(1nadnadt)2=8πGvs.4ρr0(na0na)4{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} \ vlevo ({\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d} } t}} \ vpravo) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ rm {r}} ^ {0} \ vlevo ({\ frac { a_ {0}} {a}} \ vpravo) ^ {4}}.
Tuto rovnici můžeme vyhodnotit v daném čase, což dává
3vs.2H02=8πGvs.4ρr0{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} H_ {0} ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ rm { r}} ^ {0}}.
Označíme-li x „redukovaný měřítkový faktor“, normalizovaný na 1 v referenční epochě, lze napsat kombinaci těchto dvou rovnic
(1XdXd(H0t))2=1X4{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {x ^ {4}}}}.
Řešení této rovnice okamžitě dává
X(t)=(2H0t)12{\ displaystyle x (t) = \ levý (2H_ {0} t \ pravý) ^ {\ frac {1} {2}}}.
Stejně jako v případě prachového vesmíru je expanze zpomalena a věk daný tímto modelem nemůže odpovídat pozorování. Na druhou stranu tento model dobře odpovídá vzdáleným časům v historii vesmíru, kdy téměř veškerá hmota byla v relativistické podobě. Zejména epocha nukleosyntézy nastala, když hustota energie byla způsobena hlavně relativistickou hmotou, hypotézou, která je testována přímo měřením množství světelných prvků . Další náznaky toho, že vesmír zažil období ovládané zářením, je existence kosmického rozptýleného pozadí .
Kosmologická konstanta
Kosmologickou konstantu lze interpretovat jako formu hmoty s konstantní hustotou energie a tlakem přesně proti ní. Když je hustota energie kladná, Friedmannovy rovnice připouštějí, při absenci prostorového zakřivení, exponenciální řešení
na∝EH0t{\ displaystyle a \ propto e ^ {H_ {0} t}},
Hubbleův parametr je v průběhu času konstantní. Dominancí kosmologické konstanty je éra temné energie .
Demonstrace
První Friedmannova rovnice dává jako obvykle
3H2vs.2=8πGvs.4ρΛ{\ displaystyle 3 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ Lambda}},
hustota energie kosmologické konstanty je zde konstantní. Hubbleův parametr je proto konstantní, a proto ho máme
1nadnadt=H0=VSÓnestnanetE{\ displaystyle {\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d}} t}} = H_ {0} = {\ rm {konstantní}} },
jehož řešení je evidentně
na=na0EH0(t-t0){\ displaystyle a = a_ {0} e ^ {H_ {0} (t-t_ {0})}}
Takový model představuje věčný vesmír bez začátku a konce. Je to de Sitterův vesmír , který se řídí dokonalým kosmologickým principem . Existuje další konfigurace, která vede ke stejné dynamice expanze: obě formy hmoty jsou pak obyčejná nerelativistická hmota a extrémně exotická forma hmoty, zvaná pole C , zodpovědná za kontinuální vytváření hmoty. Přesně kompenzující ředění kvůli expanzi. Je základem teorie stacionárního stavu , dnes opuštěné kvůli úplné absenci teoretické nebo pozorovací motivace pole C. Nakonec se za přítomnosti skalárního pole může toto dočasně chovat způsobem velmi podobným na kosmologickou konstantu, chování, které může později opustit. Je tedy možné, že pod účinkem takového skalárního pole dochází k expanzi vesmíru s exponenciální fází. Je základem modelů kosmické inflace, které předpovídají existenci takové fáze ve velmi vzdálené době v historii vesmíru.
Konstantní stavová rovnice
Dokud je tlak úměrný hustotě, s konstantou konstantní úměrnosti, lze vyřešit Friedmannovy rovnice. Označíme w poměr tlaku k hustotě,
w=Pρ{\ displaystyle w = {\ frac {P} {\ rho}}}.
U jakékoli rozumné formy hmoty je faktor w mezi -1 a 1. Případ, kdy w je menší než -1, odpovídá tomu, co se nazývá fantomová energie , vysoce spekulativní forma energie, která vede k podivnému kosmologickému scénáři. Big Rip . Případy, kdy w je 0, 1/3, -1, odpovídají případům prachu, záření a kosmologické konstanty . Když se w liší od -1, dostaneme
na=na0(3(1+w)2H0|t|)23(1+w){\ displaystyle a = a_ {0} \ left ({\ frac {3 (1 + w)} {2}} H_ {0} | t | \ right) ^ {\ frac {2} {3 (1 + w )}}}.
Demonstrace
Ochrannými rovnicemi je časový vývoj hustoty energie určen pomocí
dρdt=-3H(P+ρ){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} \ rho} {{\ rm {d}} t}} = - 3H (P + \ rho)}.
Pomocí vztahu mezi hustotou energie a tlakem a definicí Hubblovy konstanty je tato rovnice přepsána
dρdt=-31nadnadt(1+w)ρ{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} \ rho} {{\ rm {d}} t}} = - 3 {\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d }} a} {{\ rm {d}} t}} (1 + w) \ rho},
je
ρ∝na-3(1+w){\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3 (1 + w)}}.
Friedmannovy rovnice jsou poté přepsány
3vs.2(1nadnadt)2=8πGvs.4ρ0(na0na)3(1+w){\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} \ vlevo ({\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d} } t}} \ vpravo) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {0} \ left ({\ frac {a_ {0}} {a} } \ vpravo) ^ {3 (1 + w)}}.
Tuto rovnici můžeme vyhodnotit v daném čase, což dává
3vs.2H02=8πGvs.4ρ0{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} H_ {0} ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {0}}.
Označíme-li x „redukovaný měřítkový faktor“, normalizovaný na 1 v referenční epochě, lze napsat kombinaci těchto dvou rovnic
(1XdXd(H0t))2=1X3(1+w){\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {x ^ {3 (1 + w)}}}}.
Když w = -1 , jsme v případě kosmologické konstanty viděné dříve. V ostatních případech řešení této rovnice okamžitě dává
X(t)=(3(1+w)2H0|t|)23(1+w){\ displaystyle x (t) = \ left ({\ frac {3 (1 + w)} {2}} H_ {0} | t | \ right) ^ {\ frac {2} {3 (1 + w) }}}.
Když je w větší než -1, měřítkový faktor má tendenci k 0, zatímco t má tendenci k 0. Existuje tedy velký třesk a expanze pokračuje neurčitě. Naopak, když w je menší než -1, pak tentokrát má měřítkový faktor tendenci k 0, když t je záporné a má sklon k nekonečnu, a má tendenci k nekonečnu, když t má sklon k 0. V tomto případě máme vesmír existující z celou věčnost, ale v budoucnosti bude mít konečnou životnost (viz níže).
Když je w větší než -1, zapíše se věk vesmíru
t0=23(1+w)1H0{\ displaystyle t_ {0} = {\ frac {2} {3 (1 + w)}} {\ frac {1} {H_ {0}}}}.
Hodnoty w rovné 0 a 1/3 samozřejmě dávají opět předchozí výsledky. Když se w rovná -1, máme vesmír bez začátku nebo konce a nevykazující žádnou evoluci. Když je w menší než -1, máme vesmír bez začátku, ale dosáhneme gravitační singularity v konečném čase, i když stále ještě expandujeme. Ve skutečnosti, když faktor měřítka směřuje k nekonečnu, pak se hustota energie rozchází, a to v konečném čase: je to Velký Rip ( rozsvícený „velká slza“). Čas zbývající ve vesmíru do této singularity je dán
tF=23|1+w|1H0{\ displaystyle t_ {f} = {\ frac {2} {3 | 1 + w |}} {\ frac {1} {H_ {0}}}}.
Řešení s více druhy
V případě, že vesmír plní několik druhů nebo forem hmoty a podílejí se zejména na Friedmannových rovnicích, je nutné vzít v úvahu jejich příslušné stavové rovnice a jejich relativní početnost. Například v případě dvou druhů je přepsána první Friedmannova rovnice
3(H2vs.2+K.na2)=8πGvs.4(ρ1+ρ2){\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ doleva (\ rho _ {1} + \ rho _ {2} \ doprava)}.
Pokud nazýváme w 1 a w 2 poměry tlaku k energetické hustotě každého ze dvou druhů a předpokládáme, že jsou konstantní v čase, můžeme tuto rovnici přepsat pomocí různých proměnných bezrozměrných ve tvaru
(dXXH0dt)2=[Ω10X-3(1+w1)+Ω20X-3(1+w2)]{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {xH_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} = \ left [\ Omega _ {1 } ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {1})} + \ Omega _ {2} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {2})} \ vpravo]},
kde jsme definovali z referenční epochy označené indexem nebo exponentem 0 kritickou hustotu o
ρvs.0{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {c}} ^ {0}}
ρvs.0=3vs.2H028πG{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {c}} ^ {0} = {\ frac {3c ^ {2} H_ {0} ^ {2}} {8 \ pi G}}},
stejně jako bezrozměrné veličiny nazývané parametry hustoty pomocí
Ωi0{\ displaystyle \ Omega _ {i} ^ {0}}
Ωi0=ρi0ρvs.0{\ displaystyle \ Omega _ {i} ^ {0} = {\ frac {\ rho _ {i} ^ {0}} {\ rho _ {\ rm {c}} ^ {0}}}},
a normalizovaný faktor měřítka, x , par .
X=na/na0{\ displaystyle x = a / a_ {0}}
Demonstrace
Tím, že vezmeme referenční epochu, kterou označíme indexem nebo exponentem 0, máme
3(H2vs.2+K.na2)=8πGvs.4[ρ10(na0na)3(1+w1)+ρ20(na0na)3(1+w2)]{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ left [\ rho _ {1} ^ {0} \ left ({\ frac {a_ {0}} {a}} \ right) ^ {3 (1 + w_ {1})} + \ rho _ {2} ^ {0} \ left ({\ frac {a_ {0}} {a}} \ right) ^ {3 (1 + w_ {2})} \ right] }.
Představíme kritickou hustotu od
ρvs.0{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {c}} ^ {0}}
ρvs.0=3vs.2H028πG{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {c}} ^ {0} = {\ frac {3c ^ {2} H_ {0} ^ {2}} {8 \ pi G}}},
stejně jako bezrozměrné veličiny nazývané parametry hustoty pomocí
Ωi0{\ displaystyle \ Omega _ {i} ^ {0}}
Ωi0=ρi0ρvs.0{\ displaystyle \ Omega _ {i} ^ {0} = {\ frac {\ rho _ {i} ^ {0}} {\ rho _ {\ rm {c}} ^ {0}}}}.
Dostáváme tak, zavedením faktoru normalizovanou měřítko ,
X=na/na0{\ displaystyle x = a / a_ {0}}
H2H02+K.vs.2H02na021X2=[Ω10X-3(1+w1)+Ω20X-3(1+w2)]{\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} + {\ frac {Kc ^ {2}} {H_ {0} ^ {2} a_ {0} ^ { 2}}} {\ frac {1} {x ^ {2}}} = \ left [\ Omega _ {1} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {1})} + \ Omega _ {2} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {2})} \ vpravo]}.
Vyhodnocením této veličiny v referenční epochě to pak přijde
1+K.vs.2H02na02=Ω10+Ω20{\ displaystyle 1 + {\ frac {Kc ^ {2}} {H_ {0} ^ {2} a_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {1} ^ {0} + \ Omega _ { 2} ^ {0}},
kde konečně
(dXXH0dt)2+(Ω10+Ω20-1)1X2=[Ω10X-3(1+w1)+Ω20X-3(1+w2)]{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {xH_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} + \ left (\ Omega _ {1 } ^ {0} + \ Omega _ {2} ^ {0} -1 \ right) {\ frac {1} {x ^ {2}}} = \ left [\ Omega _ {1} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {1})} + \ Omega _ {2} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {2})} \ vpravo]}.
Tento výraz je zjednodušený, když se celková hustota rovná kritické hustotě nebo ekvivalentním způsobem, když je součet parametrů hustoty roven 1. Pak máme
(dXXH0dt)2=[Ω10X-3(1+w1)+Ω20X-3(1+w2)]{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {xH_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} = \ left [\ Omega _ {1 } ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {1})} + \ Omega _ {2} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {2})} \ vpravo]}.
Každý z těchto dvou výrazů zobecňuje na libovolný počet komponent. Přesné řešení existuje pro určité hodnoty parametrů w 1 a w 2 .
Zejména v rámci standardního modelu kosmologie lze vesmír popsat jako naplněný třemi druhy druhů: relativistickou hmotou ( neutrina a záření), nerelativistickou hmotou ( baryonická hmota a temná hmota ) a temnou energií , kterou zde přiblížíme kosmologickou konstantou. Relativní množství těchto druhů, které se časem mění, znamená, že nikdy nehrozí, že by koexistovaly s každou z významných energetických hustot. V současné době najdeme hlavně temnou energii a nerelativistickou hmotu, zatímco ve starověku jsme našli relativistickou a nerelativistickou hmotu, kosmologická konstanta je zanedbatelná. To vychází ze skutečnosti, že množství těchto různých typů hmoty se časem mění v závislosti na : hustota energie spojená s kosmologickou konstantou zůstává konstantní, zatímco relativistická nebo nerelativistická hmota se zvyšuje, jak se člověk vrací do minulosti.
1/X3(1+w){\ displaystyle 1 / x ^ {3 (1 + w)}}
Prach a záření
Když se vrátíme do minulosti, hustoty nerelativistické („prachové“) nebo relativistické („radiační“) hmoty se zvyšují jako x -3, respektive x -4 . Takže máme
(dXXH0dt)2=[Ωm0X3+Ωr0X4]{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {xH_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} = \ left [{\ frac {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}} {x ^ {3}}} + {\ frac {\ Omega _ {\ rm {r}} ^ {0}} {x ^ {4}}} \ že jo]},
s
Ωr0=1-Ωm0{\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {r}} ^ {0} = 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}.
Integrace dává
4(1-Ωm0)323(Ωm0)2[1-1+Ωm0X1-Ωm0(1-12Ωm0X1-Ωm0)]=H0t{\ displaystyle {\ frac {4 \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} {3 \ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ vpravo) ^ {2}}} \ vlevo [1 - {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x } {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}} \ vlevo (1 - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ Omega _ {\ rm {m} } ^ {0} x} {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} \ vpravo) \ vpravo] = H_ {0} t}.
Demonstrace
Zjednodušujeme počáteční rovnici o
(XdXH0dt)2=[Ωm0X+1-Ωm0]{\ displaystyle \ left ({\ frac {x {\ rm {d}} x} {H_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} = \ left [\ Omega _ { \ rm {m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right]},
je
XdXΩm0X+1-Ωm0=H0dt{\ displaystyle {\ frac {x {\ rm {d}} x} {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}} = H_ {0} {\ rm {d}} t}.
Provádíme změnu proměnné
u=Ωm0X+1-Ωm0{\ displaystyle u = {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}},
ze kterého čerpáme
X=u2-(1-Ωm0)Ωm0{\ displaystyle x = {\ frac {u ^ {2} - \ vlevo (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ vpravo)} {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}},
dX=2uduΩm0{\ displaystyle {\ rm {d}} x = {\ frac {2u {\ rm {d}} u} {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}.
Rovnice, kterou je třeba vyřešit, se stává
2[u2-(1-Ωm0)]du(Ωm0)2=H0dt{\ displaystyle {\ frac {2 \ left [u ^ {2} - \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) \ right] {\ rm {d}} u } {\ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {2}}} = H_ {0} {\ rm {d}} t},
který se okamžitě integruje do
2(Ωm0)2[u33-(1-Ωm0)u]uiu=H0t{\ displaystyle {\ frac {2} {\ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {2}}} \ left [{\ frac {u ^ {3}} { 3}} - \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) u \ right] _ {u_ {i}} ^ {u} = H_ {0} t},
množství odpovídající hodnotě , tj . Poté jsme našli
ui{\ displaystyle u_ {i}}X=0{\ displaystyle x = 0}1-Ωm0{\ displaystyle {\ sqrt {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}
2(Ωm0)2[Ωm0X+1-Ωm0(Ωm0X+1-Ωm03-(1-Ωm0))+23(1-Ωm0)32]=H0t{\ displaystyle {\ frac {2} {\ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {2}}} \ left [{\ sqrt {\ Omega _ {\ rm { m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} \ vlevo ({\ frac {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}} {3}} - \ vlevo (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ vpravo) \ vpravo) + {\ frac {2} {3}} \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] = H_ {0} t },
je
4(1-Ωm0)323(Ωm0)2[1-1+Ωm0X1-Ωm0(1-12Ωm0X1-Ωm0)]=H0t{\ displaystyle {\ frac {4 \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} {3 \ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ vpravo) ^ {2}}} \ vlevo [1 - {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x } {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}} \ vlevo (1 - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ Omega _ {\ rm {m} } ^ {0} x} {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} \ vpravo) \ vpravo] = H_ {0} t}.
Podle hodnoty x vzhledem k , která odpovídá přechodové epochě, kde jsou relativistické a nerelativistické hustoty hmoty stejné, najdeme dva dříve studované režimy. Pro malé hodnoty x dostaneme
1-Ωm0Ωm0{\ displaystyle {\ frac {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}} {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}
12X2=Ωr0H0t{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} x ^ {2} = {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {r}} ^ {0}}} H_ {0} t},
což odpovídá výsledku pro radiační vesmír nalezenému výše, přičemž hodnota H 0 je nahrazena , odpovídá hodnotě, kterou by měla Hubbleova konstanta bez nepřítomnosti nerelativistické hmoty.
Ωr0H0{\ displaystyle {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {r}} ^ {0}}} H_ {0}}
V jiném režimu zjistíme
23X32=Ωm0H0t{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} = {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} H_ {0} t},
což opět dává výsledek prachového vesmíru korekci hodnoty Hubblovy konstanty.
Prachová a kosmologická konstanta
Druhými důležitými konkrétními případy jsou případy vesmíru ovládaného nerelativistickou hmotou ( w m = 0) a jehož kosmologická konstanta ( w Λ = -1) se stává dominantní. Je to s největší pravděpodobností v podobné situaci v našem vesmíru, zrychlení rozpínání vesmíru potvrzující existenci formy hmoty chující se způsobem docela podobným kosmologické konstantě. V tomto případě integrace Friedmannových rovnic dává, s ,
Ωm0=1-ΩΛ0{\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} = 1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}
nana0=[1-ΩΛ0ΩΛ0sinh(3ΩΛ02H0t)]23{\ displaystyle {\ frac {a} {a_ {0}}} = \ left [{\ sqrt {\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} \ sinh \ left ({\ frac {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} {2}} H_ {0} t \ right) \ right] ^ {\ frac {2} {3}}}.
Demonstrace
Vezmeme znovu stejnou rovnici s redukovanými proměnnými. V prostorově plochém vesmíru máme
(1XdXd(H0t))2=1-ΩΛ0X3+ΩΛ0{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {x ^ {3}}} + \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}},
které můžeme přepsat
(dXd(H0t))2=1-ΩΛ0X+ΩΛ0X2{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {x}} + \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} x ^ {2}},
je
dX1-ΩΛ0X+ΩΛ0X2=d(H0t){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} x} {\ sqrt {{\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {x}} + \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} x ^ {2}}}} = {\ rm {d}} (H_ {0} t)},
nebo
X12dX(1-ΩΛ0)+ΩΛ0X3=d(H0t){\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ frac {1} {2}} {\ rm {d}} x} {\ sqrt {(1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}) + \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} x ^ {3}}}} = {\ rm {d}} (H_ {0} t)}.
Pózujeme
y=H0t{\ displaystyle y = H_ {0} t},
u=X32{\ displaystyle u = x ^ {\ frac {3} {2}}},
což umožňuje přepsat předchozí rovnici na
231-ΩΛ0du1+ΩΛ01-ΩΛ0u2=dy{\ displaystyle {\ frac {2} {3 {\ sqrt {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}}} {\ frac {{\ rm {d}} u} {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}} u ^ {2}}}} = {\ rm {d}} y }.
Ptáním
proti=ΩΛ01-ΩΛ0u{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} u},
odkud
23ΩΛ0dproti1+proti2=dy{\ displaystyle {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}}} {\ frac {{\ rm {d}} v} {\ sqrt {1 + v ^ {2}}}} = {\ rm {d}} y}.
Tuto rovnici lze integrovat do
23ΩΛ0arsinh(proti)=y{\ displaystyle {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}}} \ operatorname {arsinh} (v) = y},
že se vrátíme zpět
sinh(3ΩΛ02y)=proti{\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} {2}} y \ right) = v},
je
sinh(3ΩΛ02y)=ΩΛ01-ΩΛ0u{\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} {2}} y \ right) = {\ sqrt {\ frac {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} u},
a nakonec
nana0=[1-ΩΛ0ΩΛ0sinh(3ΩΛ02H0t)]23{\ displaystyle {\ frac {a} {a_ {0}}} = \ left [{\ sqrt {\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} \ sinh \ left ({\ frac {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} {2}} H_ {0} t \ right) \ right] ^ {\ frac {2} {3}}}.
Na krátkou dobu můžeme provést omezený vývoj, který obnoví chování pomocí :
t23{\ displaystyle t ^ {\ frac {2} {3}}}
nana0∼[32Ωm0H0t]23{\ displaystyle {\ frac {a} {a_ {0}}} \ sim \ left [{\ frac {3} {2}} {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}} } H_ {0} t \ right] ^ {\ frac {2} {3}}}.
Najdeme přesně vzorec, který již byl pro vesmír prachu získán, kromě toho, že se místo něj objeví . Je to proto, že při absenci kosmologické konstanty by Hubbleova konstanta byla snížena o faktor . Skutečnost, že najdeme vzorec vesmíru prachu, pochází ze skutečnosti, že v těchto dobách je kosmologická konstanta zanedbatelná ve srovnání s hustotou hmoty.
Ωm0H0{\ displaystyle {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} H_ {0}}H0{\ displaystyle H_ {0}}Ωm0{\ displaystyle {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}
Naopak, po dlouhou dobu najdeme exponenciální chování faktoru měřítka s ohledem na čas:
nana0∼(1-ΩΛ04ΩΛ0)13exp(ΩΛ0H0t){\ displaystyle {\ frac {a} {a_ {0}}} \ sim \ left ({\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {4 \ Omega _ {\ Lambda} ^ { 0}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} \ exp \ left ({\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}} H_ {0} t \ right)}.
V tomto případě má Hubbleova konstanta efektivní tendenci k asymptotické hodnotě, která jde do exponentu. K přechodu mezi těmito dvěma režimy dochází, když je hyperbolický sinusový argument řádově 1. Když k tomu dojde, kvantita je řádově . To odpovídá okamžiku, kdy se hustota energie spojená s kosmologickou konstantou stane řádově hmotnou. Před touto epochou dominuje hmota a najdeme výsledky vesmíru prachu, po této epochě dominuje kosmologická konstanta a najdeme dynamiku de Sitterova vesmíru.
ΩΛ0H0{\ displaystyle {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}} H_ {0}}na/na0{\ displaystyle a / a_ {0}}[(1-ΩΛ0)/ΩΛ0]13{\ displaystyle \ left [\ left (1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} \ right) / \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} \ right] ^ {\ frac {1} {3} }}
Zajímavým bodem je výpočet vztahu mezi věkem vesmíru a Hubbleovým časem . My tedy nacházíme
1/H0{\ displaystyle 1 / H_ {0}}
t0=1H0231ΩΛ0arsinhΩΛ01-ΩΛ0{\ displaystyle t_ {0} = {\ frac {1} {H_ {0}}} {\ frac {2} {3}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ { 0}}}} \ operatorname {arsinh} {\ sqrt {\ frac {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}}}.
Pro malé hodnoty najdeme obvyklou hodnotu , zatímco s přibývajícími (i když samozřejmě zůstanou menšími než 1) se věk vesmíru stane větším než čas HST.
ΩΛ0{\ displaystyle \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}t0=2/3H0{\ displaystyle t_ {0} = 2 / 3H_ {0}}ΩΛ0{\ displaystyle \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}
Další spisy
V některých případech můžeme upřednostňovat vyjádření rovnic jako funkce faktoru měřítka a nikoli parametru Hubble. Pak přijde
3(1vs.2na˙2na2+K.na2)=8πGvs.4ρ{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac { K} {a ^ {2}}} \ vpravo) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho},
-21vs.2na¨na-1vs.2na˙2na2-K.na2=8πGvs.4P{\ displaystyle -2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {a}} {a}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {K} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} P}.
V případě potřeby lze druhou rovnici přepsat odstraněním termínu zakřivení pomocí první, která dává
na¨na=-4πG3(ρ+3Pvs.2){\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ vlevo ({\ frac {\ rho + 3P} {c ^ {2} }} \ že jo)}.
Tato poslední forma, která dává relativní zrychlení dvou vzdálených objektů v důsledku rozpínání vesmíru, je zvláštním případem Raychaudhuriho rovnice a z tohoto důvodu se tomu někdy říká. Obecněji lze libovolné psaní druhé Friedmannovy rovnice ukazující druhou derivaci faktoru měřítka (nebo první derivaci rychlosti expanze) nazvat tak.
Nakonec lze také upřednostnit extrakci kosmologické konstanty z hmotného obsahu vesmíru, což jí dává čistě geometrickou roli. Tato volba je nyní v kosmologii považována za nevhodnou, protože přesná povaha temné energie není známa, ale historicky odpovídá Einsteinovi a Lemaîtrovi. Poté získáme, když vezmeme v úvahu, že kosmologická konstanta je homogenní s inverzí čtverce délky,
3(1vs.2na˙2na2+K.na2)-Λ=8πGvs.4ρ{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac { K} {a ^ {2}}} \ vpravo) - \ Lambda = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho},
-21vs.2na¨na-1vs.2na˙2na2-K.na2+Λ=8πGvs.4P{\ displaystyle -2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {a}} {a}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {K} {a ^ {2}}} + \ Lambda = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} P}.
Výše uvedená písma používají kosmický čas. Je možné, a někdy užitečné nahradit ní čas konformní , η , definovaný vzorcem
na(η)dη=vs.dt{\ displaystyle a (\ eta) {\ rm {d}} \ eta = c {\ rm {d}} t \,}nebo
η(t0)=∫t0vs.dtna(t){\ displaystyle \ eta (t_ {0}) = \ int ^ {t_ {0}} c {\ frac {{\ rm {d}} t} {a (t)}}}takže prvek délky se stane úměrný metrice Minkowského (jeden říká podle minkowskien ):
ds2=na2(η)(dη2-yijdXidXj){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = a ^ {2} (\ eta) \ left ({\ rm {d}} \ eta ^ {2} - \ gamma _ {ij} {\ rm {d}} x ^ {i} {\ rm {d}} x ^ {j} \ vpravo)}.
V tomto případě můžeme definovat „vyhovující parametr HST“ pomocí
H{\ displaystyle {\ mathcal {H}}}
H=1nadnadη{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d}} \ eta}}}.
Taková veličina nemá okamžitou fyzickou interpretaci, ale umožňuje přepsat Friedmannovy rovnice na konformní čas:
3(H2+K.)=8πGvs.4na2ρ{\ displaystyle 3 \ left ({\ mathcal {H}} ^ {2} + K \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} a ^ {2} \ rho},
-2∂ηH-H2-K.=8πGvs.4na2P{\ displaystyle -2 \ částečné _ {\ eta} {\ mathcal {H}} - {\ mathcal {H}} ^ {2} -K = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}} } a ^ {2} P}.
Řešení těchto rovnic se řídí v podstatě stejnými kroky jako v předchozích případech. Najdeme zejména následující závislosti faktoru měřítka s ohledem na konformní čas:
-
na∝η{\ displaystyle a \ propto \ eta} ve vesmíru záření
-
na∝η2{\ displaystyle a \ propto \ eta ^ {2}} ve vesmíru prachu
-
na∝-η-1{\ displaystyle a \ propto - \ eta ^ {- 1}} s kosmologickou konstantou
-
na∝|η|21+3w{\ displaystyle a \ propto | \ eta | ^ {\ frac {2} {1 + 3w}}}s formou hmoty, jejíž stavová rovnice je .P=wρ{\ displaystyle P = w \ rho}
Demonstrace
Vztah
H2∝na2ρ{\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {2} \ propto a ^ {2} \ rho}má bezprostřední důsledek
dnadη∝na2ρ{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d}} \ eta}} \ propto a ^ {2} {\ sqrt {\ rho}}}.
Dalším využitím skutečnosti, že pro stavovou rovnici typu zůstává
závislost ρP=wρ{\ displaystyle P = w \ rho}
ρ∝na-3(1+w){\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3 (1 + w)}},
on přichází
dnadη∝na12-3w2{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d}} \ eta}} \ propto a ^ {{\ frac {1} {2}} - {\ frac {3w} {2}}}},
který řeší v
na∝|η|21+3w{\ displaystyle a \ propto | \ eta | ^ {\ frac {2} {1 + 3w}}}.
Všimněte si, že η se pohybuje od 0 do podle výkonového zákona s kladným exponentem, pokud je w větší než -1/3, mění se exponenciálně, když w je rovno -1/3 a mění se od do 0 podle výkonového zákona se záporným exponent, když w je menší než -1/3.
+∞{\ displaystyle + \ infty}-∞{\ displaystyle - \ infty}
Zájem o řešení Friedmannových rovnic z hlediska časově konzistentního je ten, že pojem částic horizontu a horizont událostí je velmi úzce spojen se vztahem , včetně jeho chování pro menší a větší hodnoty η . Kromě toho koncepty úhlové vzdálenosti a vzdálenosti svítivosti také přímo závisí na stejném vztahu.
na(η){\ displaystyle a (\ eta)}
Výklad
Friedmannovy rovnice v přítomnosti nerelativistické hmoty lze nalézt (heuristicky) čistě newtonovským uvažováním. Můžeme skutečně uvažovat o vývoji sféry hmoty, jejíž hustota se vždy považuje za konstantní. Tento předpoklad je obecně nesprávný, ale jeho provedení nám umožňuje dostat se do situace docela podobné situaci homogenního a izotropního vesmíru. v tom případě rychlost expanze koule souvisí s její hustotou podle stejného vzorce jako Friedmannova první rovnice.
Demonstrace
Uvažujeme tedy o sféře prachu (tj. Zanedbáváme tlakové síly) hmoty M, u které studujeme vývoj poloměru R (t) jako funkci času, působením gravitace. Bod na povrchu koule je vystaven pouze gravitačním silám, a proto se řídí rovnicí
R¨=-GMR2{\ displaystyle {\ ddot {R}} = - {\ frac {GM} {R ^ {2}}}}.
Vynásobením derivací R to přijde
R¨R˙=-GMR˙R2{\ displaystyle {\ ddot {R}} {\ dot {R}} = - GM {\ frac {\ dot {R}} {R ^ {2}}}}.
Dva členové rovnice odpovídají derivacím s ohledem na čas, do kterých lze integrovat
12R˙2=GMR+E{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ dot {R}} ^ {2} = {\ frac {GM} {R}} + E},
veličina E pak je integrační konstanta určená počátečními podmínkami. Tato integrační konstanta není nic jiného než celková energie na jednotku hmotnosti, která se rovná součtu kinetické energie a potenciální energie :
E=12R˙2-GMR{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} {\ dot {R}} ^ {2} - {\ frac {GM} {R}}}.
Pokud nahradíme hmotnost koule produktem jejího objemu a její hustoty μ, získáme
12(R˙)2=4π3GμR2+E{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} ({\ dot {R}}) ^ {2} = {\ frac {4 \ pi} {3}} G \ mu R ^ {2} + E},
které můžeme přepsat
3(R˙2R2-2ER2)=8πGμ{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {{\ dot {R}} ^ {2}} {R ^ {2}}} - {\ frac {2E} {R ^ {2}}} \ right) = 8 \ pi G \ mu}.
Nakonec nahrazením hustoty hmoty μ hustotou energetické energie ρ = μc 2 zjistíme
3(R˙2vs.2R2-2Evs.2R2)=8πGvs.4ρ{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {{\ dot {R}} ^ {2}} {c ^ {2} R ^ {2}}} - {\ frac {2E} {c ^ {2} R ^ {2}}} \ vpravo) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho}.
Zásadní rozdíl mezi těmito dvěma přístupy vychází z role, kterou hraje zakřivení K (v relativistickém modelu), které je v newtonovském modelu podobné integrační konstantě bez geometrického významu. Obecně relativita určuje geometrické vlastnosti prostoru.
Odvození Friedmannových rovnic
Friedmannovy rovnice nejsou nic jiného než psaní Einsteinových rovnic popisujících homogenní a izotropní vesmír. Jejich odvození nepředstavuje žádné zvláštní potíže a dokonce představuje jedno z nejjednodušších přesných analytických řešení z těch, které jsou těmto rovnicím známy.
Demonstrace
Předpoklad homogenity a izotropie prostorových úseků vesmíru umožňuje zapsat prvek délky ve formě
ds2=vs.2dt2-na2(t)yijdXidXj{\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a ^ {2} (t) \ gamma _ {ij} {\ rm {d}} x ^ {i} {\ rm {d}} x ^ {j}},
kde γ ij představuje metriku prostorových řezů, popsanou souřadnicemi x i . Takový souřadnicový systém se nazývá souřadnicové souřadnice . Pozorovatel, který popisuje trajektorii, sleduje geodetiku. Říká se mu základní pozorovatel . Její správný čas zde přesně odpovídá souřadnici t , nazývané kosmický čas (správný čas základních pozorovatelů). Taková trajektorie odpovídá první aproximaci trajektorií galaxií , pokud nebereme v úvahu jejich vlastní pohyb . Vzdálenost mezi dvěma základními pozorovateli se zvyšuje úměrně funkci a (t) , která je měřítkem . Jakmile se předpokládá tato forma metriky, Einsteinovy rovnice určují časový průběh faktoru měřítka.
Xi=VSÓnestnanetE{\ displaystyle x ^ {i} = {\ rm {konstantní}}}
Koeficienty metriky jsou zapsány
G00=vs.2{\ displaystyle g_ {00} = c ^ {2}},
G0i=0{\ displaystyle g_ {0i} = 0},
Gij=-na2(t)yij{\ displaystyle g_ {ij} = - a ^ {2} (t) \ gamma _ {ij}}.
Na přesném tvaru nezáleží a závisí na typu zvolených souřadnic (například kartézské nebo sférické, za předpokladu euklidovských prostorových řezů). Jediným důležitým výsledkem je vědět, že prostorové úseky, které jsou homogenní a izotropní, tvoří prostor s maximální symetrií a že takový prostor, jehož metrika by byla, má Ricciho tenzor daný
yij{\ displaystyle \ gamma _ {ij}}yij{\ displaystyle \ gamma _ {ij}}
3Rij=2K.yij{\ displaystyle {} ^ {3} R_ {ij} = 2K \ gamma _ {ij}},
množství K je asociované prostorové zakřivení .
Inverzní metrika má souřadnice:
G00=1vs.2{\ displaystyle g ^ {00} = {\ frac {1} {c ^ {2}}}},
G0i=0{\ displaystyle g ^ {0i} = 0},
Gij=-1na2(t)yij{\ displaystyle g ^ {ij} = - {\ frac {1} {a ^ {2} (t)}} \ gamma ^ {ij}},
kde je inverzní metrika .
yij{\ displaystyle \ gamma ^ {ij}}yij{\ displaystyle \ gamma _ {ij}}
Tyto symboly Christoffel se zapisují:
Γ000=0{\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {0} = 0},
Γ0i0=0{\ displaystyle \ Gamma _ {0i} ^ {0} = 0},
Γ00i=0{\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {i} = 0},
Γij0=na2Hvs.2yij{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {0} = a ^ {2} {\ frac {H} {c ^ {2}}} \ gamma _ {ij}},
Γ0ji=Hδji{\ displaystyle \ Gamma _ {0j} ^ {i} = H \ delta _ {j} ^ {i}},
Γjki=(3)Γjki{\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i} = {} ^ {(3)} \ Gamma _ {jk} ^ {i}},
kde H je parametr Hubble , dává by a odpovídá Christoffelovým symbolům spojeným s metrikou .
H=dna/nadt{\ displaystyle H = {\ rm {d}} a / a {\ rm {d}} t}(3)Γjki{\ displaystyle {} ^ {(3)} \ Gamma _ {jk} ^ {i}}yij{\ displaystyle \ gamma _ {ij}}
Koeficienty Ricci tensor jsou pak písemné
R00=-3H˙-3H2{\ displaystyle R_ {00} = - 3 {\ dot {H}} - 3H ^ {2}},
R0i=0{\ displaystyle R_ {0i} = 0},
Rij=3na2H2vs.2yij+na2H˙vs.2yij+(3)Rij{\ displaystyle R_ {ij} = 3a ^ {2} {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} \ gamma _ {ij} + a ^ {2} {\ frac {\ dot { H}} {c ^ {2}}} \ gamma _ {ij} + {} ^ {(3)} R_ {ij}},
Skalární zakřivení je napsáno
R=-12H2vs.2-6H˙vs.2-6K.na2{\ displaystyle R = -12 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} - 6 {\ frac {\ dot {H}} {c ^ {2}}} - 6 {\ frac {K} {a ^ {2}}}}.
Einstein tensor je napsán konečně
G00=3H2+3K.na2vs.2{\ displaystyle G_ {00} = 3H ^ {2} +3 {\ frac {K} {a ^ {2}}} {c ^ {2}}},
G0i=0{\ displaystyle G_ {0i} = 0},
Gij=-(3H2vs.2+2H˙vs.2+K.na2)na2yij{\ displaystyle G_ {ij} = - \ vlevo (3 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ dot {H}} {c ^ {2}} } + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ vpravo) a ^ {2} \ gamma _ {ij}}
Nyní musíme určit tenzor energie-hybnosti hmoty. Jediným tenzorem energie a hybnosti kompatibilním s předpoklady homogenity a izotropie, který se používá, je perfektní tekutina . To je pak popsáno pouze hustotou energie, tlakem a čtyřnásobnou rychlostí kapaliny podle vzorce
Tμν=(P+ρ)uμuν-PGμν{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = (P + \ rho) u _ {\ mu} u _ {\ nu} -Pg _ {\ mu \ nu}}.
Tato čtyřstupňová rychlost odpovídá rychlosti základních pozorovatelů. Vzorec udávající čtyřnásobnou rychlost
uμ=dXμdτ{\ displaystyle u ^ {\ mu} = {\ frac {{\ rm {d}} x ^ {\ mu}} {{\ rm {d}} \ tau}}},
a správný čas daný koordinovaným časem, máme okamžitě
u0=1{\ displaystyle u ^ {0} = 1},
ui=0{\ displaystyle u ^ {i} = 0},
a kontravariantní komponenty jsou zapsány
u0=vs.2{\ displaystyle u_ {0} = c ^ {2}},
ui=0{\ displaystyle u_ {i} = 0}.
Složky tenzoru energie-hybnosti jsou tedy
T00=ρvs.2{\ displaystyle T_ {00} = \ rho c ^ {2}},
T0i=0{\ displaystyle T_ {0i} = 0},
Tij=Pna2yij{\ displaystyle T_ {ij} = Pa ^ {2} \ gamma _ {ij}}.
Pomocí vzorce Einsteinových rovnic tedy dává komponenta 00
3(H2vs.2+K.na2)=8πGvs.4ρ{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho},
a složka ij dává
-3H2vs.2-2H˙vs.2-K.na2=8πGvs.4P{\ displaystyle -3 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} - 2 {\ frac {\ dot {H}} {c ^ {2}}} - {\ frac {K} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} P}.
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Tyto modely jsou motivovány teorií strun , přičemž jsou logicky nezávislé, ve kterých se přirozeně objevují další dimenze.
-
Někdy přidáme k těmto dvěma rovnicím třetinu, a to:
d(ρvs.2na3)dt=-pdna3dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \! \ vlevo (\ rho c ^ {2} a ^ {3} \ vpravo)} {\ mathrm {d} t}} = - p {\ frac {\ mathrm {d} a ^ {3}} {\ mathrm {d} t}}}.
Reference
-
Hobson, Efstathiou and Lasenby 2009 , § 14.13 , s. 1. 371.
-
Taillet, Villain a Febvre 2018 , sv Friedmann-Robertson-Lemaître (rovnice), str. 324, sl. 2 .
-
Heller 1978 , § 2 , s. 1 125.
-
Heller 1978 , čj. [6], s. 136.
-
Friedmann 1922 .
-
Heller 1978 , § 2 , s. 2 126.
-
Heller 1978 , čj. [7], s. 136.
-
Friedmann 1924 .
-
Heller 1978 , čj. [11], s. 136.
-
Lemaître 1927 .
-
Bouchet 2005 , § 7.3.2 , s. 1 352.
-
Hobson, Efstathiou a Lasenby 2009 , § 14.13 , str. 373.
-
Bernardeau a Uzan 2008 , rámeček 1, s. 10.
-
Lambert 2007 .
-
Lachièze-Rey 2013 , § 3.1.2 , s. 1 52.
-
http://www.regispetit.com/rel.htm#relg5
Podívejte se také
Bibliografie
: dokument použitý jako zdroj pro tento článek.
-
Specializované knihy o kosmologii .
-
(en) Charles W. Misner , Kip S. Thorne a John Archibald Wheeler , Gravitation , New York , WH Freeman and Company,1973( Repr. 1997 ... 2003, 2006, 2008), ( 1 st ed. 1970), 1280 str. ( ISBN 978-0-716-70334-1 a 978-0-716-70344-0 , OCLC 585119 ), kapitola 27.
-
Jean-Pierre Luminet , vynález velkého třesku , Seuil, kol. „Vědy o bodech“ (2004) ( ISBN 2020611481 )
- Sylvain Poirier, Expanze vesmíru v obecné relativitě: jednoduchá derivace Friedmannových rovnic
-
[Bernardeau a Uzan 2008] Francis Bernardeau a Jean-Philippe Uzan , „ La constant cosmologique “, Images de la physique ,2008, str. 8-13 ( číst online ).
-
Claude Becker a Yannis Burnier, Relativity and Cosmology II , Lausanne, Federální polytechnická škola v Lausanne ,2008, 108 s. ( číst online [PDF] ).
-
[Bouchet 2005] François Bouchet , „Kosmologie“ , Alain Aspect , François Bouchet, Éric Brunet et al. (předmluva Michèle Leduc a Michela Le Bellac), Einstein dnes , Les Ulis a Paříž, EDP Sciences a CNRS , kol. "Aktuální znalosti / Fyzika",ledna 2005, 1 st ed. , 1 sv., VIII -417 str. , obr ., 15,5 × 23,2 cm ( ISBN 2-86883-768-9 a 2-271-06311-6 , EAN 9782868837684 , OCLC 61336564 , upozornění BnF n o FRBNF39916190 , SUDOC 083929657 , online prezentace , číst online ) , kap. 7 , s. 321-417.
-
[Heller 1978] Michaël Heller ( z angličtiny přeložil Claude Devis), „ Kosmologie Lemaître a Friedmana v moderním kontextu “, Ciel et Terre , sv. 94,Červen 1978, str. 123-136 ( Bibcode 1978C & T .... 94..123H , číst online ).
-
[Hobson, Efstathiou and Lasenby 2009] Michael P. Hobson , George P. Efstathiou a Anthony N. Lasenby ( trad. Anglický Loïc Villain vědecký přehled Richarda Tailleta), obecná relativita [„ Obecná relativita: úvod pro fyziky “], Brusel „ Univerzita De Boeck , kol. "Fyzika",prosince 2009, 1 st ed. , 1 svazek, XX -554 str. , obr ., 21,6 × 27,5 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690272413 , oznámení BnF n o FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , online prezentace , číst online ).
-
[Lachièze-Rey 2013] Marc Lachièze-Rey (ve spolupráci s Julienem Ribassinem), Initiation à la cosmologie , Paříž, Dunod , kol. "Sup Sciences",Květen 2013, 5 th ed. ( 1 st ed. Září 1992), 1. díl, VII -152 s. , obr ., 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-059239-5 , EAN 9782100592395 , OCLC 858206589 , oznámení BnF n o FRBNF43619769 , SUDOC 169390608 , online prezentace , číst online ).
-
[Lambert 2007] Dominique Lambert , " Hypotéza primitivního atomu ", pro vědu , n o 30: "The géniové",února 2007( číst online ).
-
[Taillet, Villain and Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain a Pascal Febvre , Slovník fyziky: více než 6500 termínů, četné historické odkazy, tisíce bibliografických odkazů , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , kromě coll. ,ledna 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Květen 2008), 1 sv., X -956 str. , obr ., 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , online prezentace , číst online ) , sv Friedmann-Robertson-Lemaître (rovnice z), s. 1 324, sl. 2.
Historické články
-
(de) Albert Einstein, Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie , Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, str. 142-152 (1917). Na vesmír Einsteina .
-
( fr ) Willem de Sitter, Einsteinova gravitační teorie a její astronomické důsledky. Třetí práce , Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti 78 , 3-28 (1917). Představuje svět de Sitter .
-
[Friedmann 1922] (de) Alexandre Friedmann , „ Über die Krümmung des Raumes “ [„Na zakřivení vesmíru“], Zeitschrift für Physik , sv. 10,Prosince 1922, str. 377-386 ( DOI 10.1007 / BF01332580 , Bibcode 1922ZPhy ... 10..377F ). První psaní Friedmannových rovnic, v případě pozitivního prostorového zakřivení.
-
[Friedmann 1924] (de) Alexandre Friedmann , „ Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes “ [„O možnosti vesmíru s konstantním prostorovým zakřivením“], Zeitschrift für Physik , sv. 21,Prosince 1924, str. 326–332 ( DOI 10.1007 / BF01328280 , Bibcode 1924ZPhy ... 21..326F ). Psaní Friedmannových rovnic v případě negativního prostorového zakřivení.
-
[Lemaitre 1927] Georges Lemaître , " Homogenní vesmíru konstantní hmotnosti a poloměrem roste, což představuje radiální rychlosti mlhoviny extragalaktických ," Annals of vědecké společnosti Bruselu , a: Science Math , 1 st část: Účty setkání zprávy , t. XLVII ,Dubna 1927, str. 49-59 ( Bibcode 1927ASSB ... 47 ... 49L ).
-
(en) Georges Lemaître , Homogenní vesmír s konstantní hmotou a rostoucím podílem na radiální rychlosti extragalaktických mlhovin , Měsíční oznámení Astronomické společnosti 91 , 483–490 (1931). Anglický překlad předchozího článku Arthura Eddingtona , ale odříznut od základní věty (viz expanze vesmíru ).
-
(en) Howard P. Robertson , On the Foundations of Relativistic Cosmology , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 15 , 822-829 (1929). Jednotné psaní Friedmannových rovnic pro jakoukoli hodnotu prostorového zakřivení.
-
(en) Howard P. Robertson, Relativistic Cosmology , Review of Modern Physics 5 , 62-90 (1933).
-
(en) Arthur G. Walker , O Milneově teorii struktury světa , Proceedings of the London Mathematical Society 42 , 90-126 (1936). Výsledky shodné s výsledky HP Robertsona nalezené nezávisle.
Související články