V matematice je kruh celých čísel Q ( √ 5 ) množina reálných čísel ve tvaru a + b (1+ √ 5 ) / 2, kde a , b jsou dvě relativní celá čísla , opatřená obvyklými operacemi d ' sčítání a násobení. Je to nejmenší sada čísel, která obsahuje jak obyčejná celá čísla, tak zlatý poměr φ = (1+ √ 5 ) / 2 a která je stabilní sčítáním a násobením. Označíme to zde Z [φ].
V algebraické teorie čísel , je jednoduše definován jako kroužku O Q ( √ 5 ) z celých čísel o v reálném kvadratické pole Q ( √ 5 ). Tento prsten je euklidovský . Má proto aritmetické vlastnosti podobné těm obvyklým celým číslům: je možné definovat euklidovské dělení , vypočítat největší společný dělitel a nejmenší společný násobek dvou nebo více čísel, demonstrovat lema Gauss , identitu Bézout a verze základní věty aritmetiky , zaručující existenci rozkladu jakéhokoli čísla na produkt prvočísel. Důležitým rozdílem však je, že v Z , 1 a –1 existují pouze dva invertibilní prvky , ale v Z [φ] je jich nekonečný počet .
Tento prsten se často používá jako jeden z privilegovaných příkladů ke konkrétní ilustraci pokročilejší teorie celých čísel v polích čísel . Jeho aritmetika také umožňuje ospravedlnit několik matematických vlastností zlatého řezu a studovat určité klasické diofantické rovnice , například x 5 + y 5 = z 5 , spojené s Fermatovou poslední větou v případě stupně rovného 5 nebo x 2 - 5 y 2 = 1, speciální případ Pell-Fermatovy rovnice .
V tomto článku používáme řecká písmena k označení prvků Z [φ] a rezervujeme latinská písmena k označení relativních celých čísel nebo racionálních čísel . Písmeno ε se používá k popisu jednotky, tj. Invertibilního prvku Z [φ].
Prvek α Z [φ] je podle definice tedy (skutečné) číslo, které lze zapsat α = a + b φ, pro dvě relativní celá čísla a a b . Tento zápis je jedinečný a příležitostně nazýváme a a b souřadnice α.
V této části jsou vysvětleny operace (sčítání, násobení…) s čísly α = a + b φ a struktury poskytované těmito operacemi. Použitý přístup je analogický přístupu použitému v případě Gaussových celých čísel , což jsou čísla ve tvaru a + b i , kde i je komplexní řešení čísla rovnice x 2 + 1 = 0, kvadratická rovnice . Zde φ je řešení jiné kvadratické rovnice, x 2 - x - 1 = 0. polynom X 2 - X - 1, se nazývá minimální polynom cp .
Z φ 2 = φ + 1 odvodíme, že:
Jako dílčí kruh of je kruh Z [φ] komutativní , integrální a zcela uspořádaný (tedy s nulovou charakteristikou ).
Mohli jsme si představit (například abychom lépe napodobili celá Gaussova čísla), abychom studovali čísla, zjevně jednodušší, ve tvaru u + v √ 5 , přičemž u a v jsou celá čísla. Tvoří množinu označenou Z [ √ 5 ], která je také dílčím prstencem pole reálných čísel (číslo √ 5 je řešením kvadratické rovnice x 2 - 5 = 0 a platí stejné uvažování). Tento dílčí kruh je součástí Z [φ]: skutečně
Toto zahrnutí Z [ √ 5 ] do Z [φ] je přísné, protože podle výše uvedeného vzorce jsou jedinými prvky a + b φ Z [φ], které patří do dílčího kruhu Z [ √ 5 ], jsou ty, pro které celé číslo b je sudé.
Ve skutečnosti, pokud jsou algebraické vlastnosti obou množin analogické (jsou to prstence pro stejné operace), je Z [ √ 5 ] příliš malý, jak uvidíme, na to, aby tam bylo možné pohodlně provádět aritmetiku. Pochopit, co je dobré sady čísel, aby zvážila, je jednou z obtíží matematiky z XIX th století .
„Sekvence“ ( F n ) (indexovány ℤ) z Fibonacciho celých čísel , definovaný
kontrolovány :
Množina realit tvaru a + b φ s a a b racionální nebo, což odpovídá stejné věci , tvaru u + v √ 5 s u a v racionální, je - stejně jako Z [φ] a Z [ √ 5 ] byly dílčí kroužky - Q -subalgebra ℝ. Protože √ 5 je iracionální , zápis prvku této množiny ve tvaru u + v √ 5 s u a v racionální je jedinečný, nebo znovu: toto číslo je nula, pouze pokud u = v = 0. Jinak říká: (1 , √ 5 ) je základem tohoto Q - vektorového podprostoru a totéž pro (1, φ). (To zobecňuje - tedy ospravedlňuje - dříve přiznanou jedinečnost v případě celočíselných souřadnic.)
Tato sada je navíc stabilní inverzemi, protože pokud jsou u a v racionální a ne obě nulové, pak u 2 - 5 v 2 je nenulová racionální a 1 / ( u + v √ 5 ) = ( u - v √ 5 ) / ( u 2 - 5 v 2 ). Nejde tedy jen o podřetězec, ale o podpole ℝ. Označíme to Q ( √ 5 ).
Vzhledem k tomu, Q ( √ 5 ) je nejmenší subfield ℝ obsahující Q a √ 5 (nebo Q a?), Se identifikuje s oblasti frakcí ze Z [ √ 5 ] a Z [φ]. Můžeme se divit, jak naopak získat tyto prsteny přímo z Q ( √ 5 ). Je to pojem algebraického celého čísla , který to umožňuje - alespoň pro Z [φ], které se proto bude jevit přirozeněji spojené s Q ( √ 5 ).
Definice - Celá Q ( √ 5 ) jsou prvky těla, jehož minimální polynom nad Q je s koeficienty v Z .
Jelikož Q ( √ 5 ) je kvadratické pole , všechny jeho prvky jsou algebraické stupně 1 nebo 2: pokud α = u + v √ 5, pak (α - u ) 2 - 5 v 2 = 0. Prvek α je celé číslo, pokud a pouze v případě, že racionály 2 u a u 2 - 5 v 2 jsou (relativní) celá čísla. Dedukujeme (viz „ Kvadratické celé číslo “):
Věta - Kruh celých čísel Q ( √ 5 ) je Z [φ].
Kruh Z [φ] je proto zcela uzavřen , takže Z [ √ 5 ], který má stejné tělo zlomků, ale je přísně menší, není. V důsledku toho , Z [ √ 5 ] není GCD kroužek (a tím spíše ne faktoriál ), na rozdíl od Z [φ], která - viz níže - je dokonce euklidovský. Ve skutečnosti Z [ √ 5 ] ani neověří Euklidovo lemma , to znamená, že má nepřiměřené neredukovatelné prvky . Například 2 je ireducibilní v Z [ √ 5 ] (a dokonce i v Z [φ]: srov. § „Určení neredukovatelných prvků Z [φ]“ níže ). Avšak v Z [ √ 5 ] není 2 prvočíslo: rozdělí produkt (1 + √ 5 ) (1 - √ 5 ) = –2 2, ale nerozdělí ani jeden ze dvou faktorů. Tento problém zmizí v Z [φ], který obsahuje (1 + √ 5 ) / 2 = φ a (1 - √ 5 ) / 2 = 1 - φ. Definice celých čísel, která zde umožňuje jmenovatele 2, je tedy tím, co jim zaručuje nejlepší vlastnosti. Několik autorů se opíral o těchto otázkách v průběhu devatenáctého tého století, ale Richard Dedekind , který dal plnou prezentaci pojmu algebraické integer, v doplňcích k jeho vydání Dirichlet Samozřejmě v roce 1871.
Discriminant Z [φ], která se rovná 5 , je nejmenší discriminant skutečného kvadratické pole.
Dva z nástrojů pro studium prstence Z [φ] sestávají z funkcí. Jedna z těchto funkcí napodobuje komplexní konjugaci pro Gaussova celá čísla, druhá funguje jako míra pro velikost prvku Z [φ].
Konjugace σ v Q ( √ 5 ) (invertující √ 5 a jeho opačný) je automorphism ( involutive ) pole Q ( √ 5 ), který ponechává stabilní Z [φ], obrácením cp a jeho konjugát prvek cp ‚= ( 1 - √ 5 ) / 2 = –1 / φ = 1 - φ. Tím, omezení , jsme takto získat:
Věta a definice - Mapa σ, Z [φ] sama o sobě, definovanáje kruhový automorfismus nazývaný „konjugované mapování“ .Situace je opět poněkud analogická situaci komplexních čísel. Pro tyto je aplikace modulu velmi užitečná: k číslu přiřadí druhou odmocninu samotného produktu a jeho konjugátu. Protože v případě, že nás to zajímá, odpovídající produkt není vždy pozitivní, obecně se vyhýbáme druhé odmocnině a místo toho definujeme:
Definice - Normou prvku α Q ( √ 5 ) je součin ασ (α), tj. Pro všechna racionální u, v, a, b ,
Je tedy racionální a dokonce i relativní celé číslo, pokud α patří k Z [φ]. Například norma √ 5 se rovná –5 a norma φ se rovná –1.
Poznámka - Pro všechna α v Z [φ] je celé číslo N (α) shodné modulo 5 až –1, 0 nebo 1.
Ve skutečnosti je 4 N (α) modulo 5 čtverečních .
Standard má obecnější vlastnost klíče ( viz podrobné články):
Majetek -
Přeloženo v základně (1, √ 5 ), najdeme případ n = 5 identity Brahmagupty :
V Z [φ] je nutnou podmínkou, aby číslo α rozdělilo číslo γ, že N ( α ) dělí N ( γ ). Proto číslo β takové, že αβ = γ obecně nepatří k Z [φ].
Aby číslo α mělo inverzní funkci, musí se jeho norma rovnat 1 nebo -1. Tato čísla jsou tedy například:
N ( α ) = a 2 + ab - b 2 = 1, nebo
N ( α ) = a 2 + ab - b 2 = -1
Tyto rovnice mají celočíselná řešení, když 5 a 2 +4 nebo 5 a 2 -4 jsou čtverce. N ( α ) = ± 1 je dostatečnou podmínkou pro to, aby α bylo invertovatelné, přičemž jeho inverzní funkcí je jeho konjugát (pokud N ( α ) = 1) nebo opak jeho konjugátu (pokud N ( α ) = -1).
Například :
φ má inverzní -1+ φ = - φ ' ; protože N ( φ ) = -1 a φ (-1+ φ ) = 1 5-3 φ má pro inverzní 2 + 3 φ = 5-3 φ ' ; protože N (5-3 φ ) = 1 a (5-3 φ ) (2 + 3 φ ) = 1Jakýkoli součin invertibilních čísel je sám o sobě invertibilní; zejména každá síla φ má inverzní funkci. Sada invertibilních čísel Z [φ] představuje komutativní skupinu pro násobení, která se nazývá skupina jednotek (viz další část).
Norma umožňuje definovat euklidovské dělení . Tento standard není vždy pozitivní. Stathma v , to znamená, že funkci, která umožňuje vyhodnotit zbytek divize - stejně jako absolutní hodnota v případě relativních čísel - musí brát pouze kladné hodnoty. Z tohoto důvodu je zvolena rovna absolutní hodnotě normy. Pak ukážeme, že 5 je součástí, jako –1 , z 21 hodnot d, pro které je kruh celých čísel Q ( √ d ) euklidovský pro v :
Nechť α a β jsou dva prvky Z [φ], přičemž β je nenulová, pak existuje alespoň jeden pár (θ, ρ) prvků Z [φ] tak, že:
DemonstraceStačí ( srov. Konec § „Definice“ článku o euklidovských prstencích ) ověřit následující obecné kritérium: pro každý prvek ζ Q ( √ 5 ) existuje alespoň jeden prvek θ Z [φ] takový, že | N (ζ - θ) | <1.
U všech reálných čísel x , y vzrostly v absolutní hodnotě o 1/2, | x 2 + xy - y 2 | <1. Takže pokud ζ = a + b φ s racionálními a a b , volba celých čísel c a d taková, že | a - c | ≤ 1/2 a | b - d | ≤ 1/2 pak nastavením θ = c + d φ máme | N (ζ - θ) | <1.
To ukazuje, že v kruhu Z [φ] je euklidovské dělení . Má poněkud matoucí aspekt v tom smyslu, že zde neexistuje přísná jedinečnost, jako v obvyklém případě. Počet možností je ve skutečnosti spojen se skupinou jednotek. Tato situace se ve skutečnosti příliš neliší od situace relativních celých čísel, kde je euklidovské dělení definováno pouze se znaménkem blízko, to znamená s jednotkou blízko.
Tyto jednotky komutativního kroužku je Z [φ] invertible celém rozsahu a tvoří skupinu (komutativní) pro násobení, obsahující 1 a -1. Z prsten má pouze tyto dvě jednotky. Na druhou stranu kruh celých čísel skutečného kvadratického pole , jako je Z [φ], má vždy nekonečno jednotek, což je v konkrétním uvažovaném případě snadno ověřitelné. Jednotky nelze léčit klasickými aritmetickými nástroji; základní pojmy, definice prvočísla nebo neredukovatelného čísla, rozklad na neredukovatelné faktory jsou dány produktu jednotkou, a proto je užitečné je popsat. Říkáme „sdružené“ dva prvky prstenu odvozené od sebe vynásobením jednotkou.
Obecná studie skupiny jednotek kvadratického pole ukazuje, že:
O počtu Z [φ] se říká, že jsou primární nebo neredukovatelné, pokud jakýkoli rozklad čísla na dva faktory Z [φ] zahrnuje jeden a pouze jeden prvek ze skupiny jednotek.
Poznámka: je-li α invertibilní s inverzní ᾱ , lze vždy napsat jakékoli číslo γ :
γ = αᾱγ = αβ nastavením β = ᾱγČíslo Z [φ], jehož absolutní hodnotou normy je prvočíslo, je prvočíslo nebo ireducibilní.
Příklady:
√5 je neredukovatelná, protože N (√5) = -5 2+ φ je neredukovatelný, protože N (2+ φ ) = 5 19 je redukovatelný, protože N (19) = 19 2 a 19 = (4 + 3 φ ) (7-3 φ )Nenulové číslo Z [φ], které není jednotkou, lze zapsat jako produkt prvočísel.
Prvočíselná nebo neredukovatelná čísla hrají v aritmetice Z zásadní roli a v Z [φ] je stejná .
Stejně jako v Z se každý prvek Z [φ] rozkládá na neredukovatelné faktory, a to téměř jedinečným způsobem. „Zhruba“ pochází z jednotek: v Z má 6 několik hlavních faktoriálních rozkladů, 2 × 3, ale například také –2 × –3. Podobně v Z [φ] nejsou neredukovatelné faktory fixovány, dokud se produkt blíží jedné jednotce.
Prvočíslo Z není v Z [φ] vždy neredukovatelné . Například: 5 = ( √ 5 ) 2 , nebo znovu: 11 = 4 2 - 5 = (4 + √ 5 ) (4 - √ 5 ).
Klasifikace z hlavních ideálů kruhu celých čísel z Q ( √ d ) pro jakýkoli d (viz podrobný článek), aplikuje zde pro d = 5, ukazuje, že:
Neredukovatelné prvky Z [φ] jsou:
Navíc v druhém případě p = | πσ (π) | je jediné p, ke kterému jsou sdruženy π a σ (π), p = 5.
Můžeme to znovu dokázat tím, že si nejprve všimneme, že (podle obecných vlastností normy na prstenci kvadratických celých čísel ) se neredukovatelné hodnoty Z [φ] získají rozložením obvyklých prvočísel v tomto prstenci a pro takovou přirozenou přirozenost číslo p , existují pouze dvě možnosti:
Zbývá ověřit, zda tyto dva případy odpovídají oznámeným shodám a že 5 je jediné prvočíslo „ rozvětvené v Q ( √ 5 ) “.
OvěřeníPokud p ≡ ± 2 (mod 5), pak (podle poznámky k normám modulo 5 ) p nemá tvar | N (π) |, takže p zůstává v Z [φ] neredukovatelné .
Pokud p ≡ ± 1 (mod 5), speciální případ kvadratického zákona vzájemnosti ukazuje, že 5 je čtvercové modulo p , tj. Existuje celé číslo x takové, že p dělí x 2 - 5 V Z [φ], p proto nemůže být neredukovatelný, jinak by vydělením x 2 - 5 = ( x + √ 5 ) ( x - √ 5 ) byl rozdělen jeden z faktorů, což je nemožné, protože čísla x / p - √ 5 / p a x / p + √ 5 / p nejsou v kruhu.
Případ p = 5 již byl zkoumán. Je to jediný p = | πσ (π) | pro které jsou sdruženy π a σ (π). Nechť π = a + b φ je prvek prstenu a p ≠ 5 prvočíslo dělící π 2 = ( a 2 + b 2 ) + ( b + 2 a ) b φ. Takže p rozdělí 4 b ( a 2 + b 2 ) + ( b - 2 a ) ( b + 2 a ) b = 5 b 3, takže rozdělí b a - protože rozdělí a 2 + b 2 - rozdělí také a 2 tedy a tedy konečně π.
V malé Fermatova věta žádného pole čísla platí zejména pro jakékoliv kvadratické tělo , tedy ℚ ( √ 5 ):
Nechť π je neredukovatelný prvek Z [φ] a α prvek Z [φ], který není násobkem π. Tak
tj. α | N (π) | –1 - 1 je dělitelné π.
Výše uvedená charakteristika neredukovatelných prvků umožňuje podrobně popsat toto tvrzení: za stejných předpokladů, ale s výjimkou případu, kdy je π spojeno s √ 5 ,
Uvažujeme neredukovatelný prvek π Z [φ] a prvek α nedělitelný π, který můžeme napsat a + b φ, s celými čísly a a b , nebo dokonce c / 2 + ( d / 2) √ 5 , s c a d celá čísla.
Fermatova malá věta v Z [φ] nám umožňuje stanovit to, co se nazývá „zákon vzhledu prvočísel ve Fibonacciho posloupnosti “: jakékoli prvočíslo rozděluje jeden z termínů Fibonacciho posloupnosti. Přesněji :
Ve skutečnosti, Fermatovou malou větou v Z [φ], p dělí φ p –1 - 1 = F p –2 + F p –1 φ - 1 a q dělí φ q +1 + 1 = F q + F q +1 φ + 1.
Výsledek můžeme otestovat numericky. Například F 11–1 = 5 × 11 (a F 11–2 - 1 = 3 × 11), F 17 + 1 = 2 584 = 152 × 17 (a F 17 + 1 = 1 598 = 94 × 17).
Další použití Fermatovy malé věty v Z [φ] je poskytnout nezbytnou a dostatečnou podmínku pro to, aby některá Mersennova čísla mohla být prvočíslem. Přesněji řečeno, pokud p = 4 n + 3 je prvočíslo, Mersennovo číslo M = 2 p - 1 je prvočíslo právě tehdy, když r p –1 ≡ 0 (mod M ), kde je definována posloupnost ( r m ) indukcí: r 1 = 3 a r m +1 = r m 2 - 2.
Důkaz je založen na skutečnosti, že posloupnost ( r m ) je vyjádřena jako funkce φ, r m = φ 2 m + σ (φ) 2 m . Kritériem prvočinnosti poskytnutým tímto výsledkem je kritérium, které použil Édouard Lucas k prokázání, že Mersenne číslo 2 127 - 1 je prvočíslo.
Cílem je, pro pevné celé číslo d nedělitelné 5, vyřešit rovnici v celých číslech
nebo také, podle § „Standard“ výše :
Hledáme tedy ( srov. § „Poznámka k Z [ √ 5 ]“ výše ) prvky a + b φ Z [φ] normy d s b sudými, přičemž tyto prvky jsou spojeny s řešením (E d ) pomocí změna proměnných u = a + b / 2 , v = b / 2.
Toto omezení na sub-ring Z [ √ 5 ] není příliš problematické, protože
každý prvek Z [φ] je produktem inverze prvkem dílčího kruhu Z [ √ 5 ].
Ve skutečnosti pro kterékoli α v Z [φ] patří do tohoto dílčího kruhu jedno ze tří čísel α, φ 2 α (stejné normy) nebo φα (opačné normy).
Proto nás zpočátku zajímají všechny prvky Z [φ] normy ± d .
Řešení dvou rovnic (E ± 1 ) pochází přímo ze znalosti jednotek Z [φ]; mají tvar ± φ n, kde n je relativní celé číslo a norma je (–1) n . Fibonacciho posloupnost udává souřadnice mocnin φ , ale je nutné určit, v kterých případech je koeficient φ při zápisu těchto jednotek sudý. Nyní GCD ( F n , 2) = GCD ( F n , F 3 ) = F GCD ( n , 3), proto F n je i tehdy a jen tehdy, když n je násobkem 3. Množiny S ± 1 řešení rovnice (E ± 1 ) jsou tedy:
nebo znovu pomocí Lucasových čísel L n = 2 F n –1 + F n :
Analýza neredukovatelných prvků Z [φ] umožňuje vyřešit otázku: existují v Z [φ] prvky normy ± p právě tehdy, je-li p shodné s 1 nebo s –1 modulo 5.
Obecný případ lze odvodit z tohoto:
Pokud se v prvočíselné faktorizaci d objeví prvočíselný faktor shodný s 2 nebo s –2 modulo 5 s lichým exponentem, pak dvě rovnice (E ± d ) nemají řešení.
Absolutní hodnota normy neredukovatelného prvku odpovídající tomuto typu faktoru je ve skutečnosti nutně čtverec.
Pokud se v primární faktorizaci d neobjeví žádný primární faktor shodný s 2 nebo s –2 modulo 5 s lichým exponentem, pak obě rovnice (E ± d ) připouštějí nekonečno řešení.
Za tohoto předpokladu různé prvočíselné faktory d , nebo jejich druhé mocniny v případě faktorů tvaru 5 n + 2 nebo 5 n - 2, odpovídají normám prvků Z [φ]. Aplikováním multiplikativity normy vytvoříme prvek Z [φ] z normy ± d a odvodíme (případně vynásobením φ nebo φ 2 ) prvek α = a + b φ Z [ √ 5 ] standardu d nebo - d .
Pro odvození všech řešení dvou rovnic (E d ) a (E - d ) postupujeme jako v případě d = ± 1 výše (pro který byla zvolena α rovna 1): řešení odpovídají, mezi ± φ m α s m relativním celým číslem i pro jedno a liché pro druhé, k prvkům, které také patří do dílčího kruhu Z [ √ 5 ]. Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že b je i tato dodatečná podmínka na m následek: aF m je i to znamená, že, je-li je zvláštní: m násobkem 3 (stejným argumentem, jako v případě, že D = ± 1, ).
U exponentu 5 uvádí Fermatova poslední věta, že mezi nimi neexistuje triplet ( x , y , z ) nenulových a dvou až dvou celých čísel tak, že x 5 + y 5 = z 5 . Pokud existuje jedno, jedno ze tří celých čísel je zjevně sudé, ale také je podle věty Sophie Germainové jedno ze tří dělitelné číslem 5. Musíme tedy rozlišovat dva případy podle toho, zda je dělitelné stejné x , y nebo z o 2 a 5 nebo ne.
V červenci 1825 , Gustav Lejeune Dirichletův , pak v Paříži představila před Akademie věd důkaz věty, v případě, že jeden z x , y , z je dělitelné 10. Adrien-Marie Legendre , zpravodaj práce de Dirichlet na Akademii, demonstraci dokončil o několik měsíců později. Dirichlet konečně vydal novou verzi podle zásad svého vlastního důkazu tím, žeListopad 1825. V tomto důkazu Dirichlet používá vlastnosti čísel Z [φ].
Důkaz ( srov. Podrobný článek) je založen na následujícím klíčovém lematu:
Pokud jsou dvě celá čísla u a v , která jsou navzájem primární a mají různé parity, taková, že u 2 - 5 v 2 je pátá mocnina a v je dělitelné 5, pak existují dvě celá čísla U a V taková, že u + v √ 5 = ( U + V √ 5 ) 5 .
Za tímto účelem Dirichlet obecně ukazuje:
Pokud jsou dvě celá čísla u a v , která mezi nimi začínají, taková, že u 2 - 5 v 2 je lichá pátá mocnina a není dělitelná 5, pak v Z [ √ 5 ] je u + v √ 5 součin pětiny síla prvkem normy 1.
Následující důkaz o těchto dvou lemmatech není úplně jeho. Použijeme preambuli studia neredukovatelných prvků Z [φ] , skutečnost, že Z [ √ 5 ] = Z + 2 Z [φ] , a znalost invertiblů Z [ √ 5 ] .
DemonstracePostavme se pod předpoklady obecného lemmatu (v posledním bodě odvodíme „klíčové lemma“).