V matematiky a přesněji v algebře , Abel věta , někdy nazývané Abel-Ruffini teorém nebo Ruffini teorém , znamená, že pro jakékoli celé číslo n je větší nebo rovno 5, neexistuje obecný vzorec vyjadřující "zbytky„z kořenů z jakéhokoli polynomu z stupeň n , tedy vzorec využívající pouze koeficienty, hodnotu 1, čtyři operace a extrakci n - té kořeny . To kontrastuje se stupni 2 , 3a 4, pro které takové generické vzorce existují, nejznámější je stupeň 2, který vyjadřuje řešení ax 2 + bx + c = 0 ve formě ( - b ± √ b 2 - 4 ac ) / 2 a .
Tento výsledek nejprve vyjádřil Paolo Ruffini , poté jej důsledně předvedl Niels Henrik Abel . Pozdější věta od Évariste Galois dává nezbytnou a dostatečnou podmínku pro to, aby polynomiální rovnice byla řešitelná radikály. Tato přesnější verze umožňuje vystavovat rovnice stupně 5 s celočíselnými koeficienty , jejichž komplexní kořeny - které existují podle d'Alembert-Gaussovy věty - nejsou radikály vyjádřeny.
Všechna pole uvažovaná v tomto článku se považují za komutativní a s nulovou charakteristikou .
Ábelova věta a d'Alembertova-Gaussova věta jsou dvě základní věty teorie rovnic , tj. Teorie zabývající se polynomiálními nebo ekvivalentními rovnicemi . O rovnici se říká, že je polynom, pokud má tvar P ( x ) = 0, kde P označuje polynom. D'Alembert-Gaussova věta naznačuje, že polynomická rovnice se složitými koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen.
Numerické metody, jako je Newtonova nebo Laguerreova metoda, platí bez ohledu na stupeň rovnice. Pokud je n , stupeň polynomu, malý, existují také takzvané algebraické metody řešení rovnice. Pokud je tedy n rovno 2, a pokud je P zapsáno aX 2 + bX + c , řešení jsou dána klasickým vzorcem ( - b ± √ b 2 - 4 ac ) / 2 a , kde b 2 - 4 ac je diskriminátor polynomu; říkáme, že √ b 2 - 4 ac je radikál . Podobné (ale komplikovanější) vzorce existují pro polynomy stupně 3 nebo 4, jak ukazují metody Cardana a Ferrari .
Ale u stupňů přísně větších než 4 a navzdory několikaletému úsilí nebyl nalezen žádný obecný vzorec podobný těm u stupňů 2, 3 a 4. Ábelova věta vyjadřuje skutečnost, že žádný takový vzorec neexistuje. Jednou z metod vyjádření kořenů je však použití rodiny funkcí větších než u n- tých kořenů , jako je eliptická funkce ; ale takto získané vzorce mají pouze teoretický zájem; v praxi je mnohem zajímavější získat přibližné hodnoty například pomocí Newtonovy metody .
Výraz, který Abel použil ve svých pamětech z roku 1824, je následující:
Ábelova věta - Je nemožné vyřešit obecnou rovnici pátého stupně radikály.
Abel dodává, že „Z této věty bezprostředně vyplývá, že je rovněž nemožné vyřešit pomocí radikálů obecné rovnice stupňů větších než pátý. "
Évariste Galois je autorem úplnější formy věty. Jeho metoda je metoda, která se obecně používá k prokázání věty. Tato formulace má název Galoisova věta nebo Abel-Galoisova věta , někdy není uveden žádný název. Jeho formulace je obecnější, protože platí pro jakékoli pole K (komutativní a nulové charakteristiky, jak bylo oznámeno v úvodu) a označuje, zda je algebraická rovnice radikály řešitelná nebo ne.
Galoisova věta - Polynomiální rovnice s koeficienty v K je řešitelná radikály právě tehdy, pokud je řešitelná její Galoisova skupina .
Nechť K tělo a L rozšíření z K .
Vyjádření Galois ' teorému výše uvedená použití pojmů z jeho teorií . Rozdělení pole L na P se rozumí nejmenší pole obsahující K a všechny kořeny P . Jedná se tedy o konečné prodloužení a normální na K . Předpoklad, že K má nulovou charakteristiku, mimo jiné zajišťuje, že je dokonalý , to znamená, že jakýkoli neredukovatelný polynom s koeficienty v K má jednoduché kořeny . Prodloužení L z K je proto také oddělitelné . V souhrnu: L je rozšíření Galois konečný K .
Klíčovým struktura studovat takové prodloužení jeho Galoisovo skupina : ZAŘÍZENÍ skupina z tělesných automorphisms z L upevňovacích každý prvek K . Dokazujeme, že pořadí Galoisovy skupiny konečné Galoisovy extenze se rovná stupni extenze (nezaměňovat, pro extenzi L z K , se stupněm polynomu P ).
Centrální pojem věty je pojem řešitelné skupiny . První příklady řešitelných skupin jsou abelianské skupiny . Následující příklady jsou skupiny G mající podskupiny normální abelian G 1 jako kvocientu skupiny G / G 1 nebo abelian. Obecně:
O skupině G se říká, že je řešitelná, když existuje konečná posloupnost G 0 , G 1 ,…, G k podskupin G tak, že:
kde G i , pro všechna i mezi 0 a k - 1, je normální podskupina G i +1 tak, že kvocientová skupina G i +1 / G i je abelian. Skupina I zde označuje triviální skupinu .
Přehled teorie rovnic, zabývající se zejména Ábelovou teorémou, je uveden v článku „ Teorie rovnic (historie vědy) “.
Je-li první systematické studium algebraických rovnic sahá až do VIII th století , v The souhrnný knize o výpočtu Ukončení a Vyrovnávání íránské matematik a arabskou Al-Khwarizmi , myšlenka kombinování strukturu skupiny rovnice se objeví pouze XVIII -tého století . Joseph-Louis Lagrange zdůrazňuje vztah mezi vlastnostmi skupiny permutací kořenů a možností řešení kubické nebo kvartické rovnice . Pokud je v těchto dílech možné vidět původ použití permutací v tomto oboru, na druhou stranu se jako správná struktura nepoužívá ani zákon složení ani sada permutací. Jeho přístup je však dostatečný k tomu, aby vyvolal vážné pochybnosti o existenci vzorce vyjadřujícího kořeny libovolného polynomu stupně n , pokud je n přísně větší než 4.
Paolo Ruffini je první, kdo tvrdí, že obecná rovnice a zejména kvintická rovnice nepřipouští řešení. Znovu to vyžaduje Lagrangeův přístup, který ukazuje, že všechny dosud používané metody se vrací ke konkrétním případům obecnějšího přístupu. Ruffini ukazuje, že Lagrangeova metoda nemůže poskytnout pro rovnici stupně 5 vzorec ekvivalentní vzorci Cardana pro stupeň 3. O této otázce vydal knihu v roce 1799.
Vědecká komunita té doby neuznala jeho práci. Svou knihu poslal Lagrangeovi v roce 1801, ale nedostal žádnou odpověď. Oficiální prezentace na Akademii věd již není úspěšná. Za hodnocení platnosti jeho důkazů jsou odpovědní matematici Lagrange , Legendre a Lacroix . Zpráva popisuje jeho práci jako nedůležitou, jeho demonstrace má mezeru, nic nenasvědčuje tomu, že by neexistovaly jiné metody, odlišné od metody Lagrangeovy, a tedy od všech dosud nalezených, které by umožnily řešení radikálem. Nový pokus o anglickou královskou společnost získá sympatičtější odezvu: pokud taková práce nespadá do její kompetence, nezdá se, že by výsledky obsahovaly chybu. Dvě další publikace v letech 1803 a 1808 byly stěží úspěšnější. Pro tehdejší matematiky je výsledek buď nepravdivý, nebo neoficiální. Pouze Augustin Louis Cauchy chápe hloubku své práce. V roce 1821 mu poslal dopis, ve kterém uvedl jak platnost, tak důležitost řešené otázky. Cauchy zobecňuje výsledek na permutacích na základě Ruffiniho práce.
Po neúspěšném pokusu v roce 1821 vydal norský matematik Niels Henrik Abel na své vlastní náklady krátký šestistránkový text. Na rozdíl od Ruffiniho práce představuje tento dokument úplný důkaz věty. Přesto však získá nedorozumění podobné tomu z předchozích textů. Dokonce i Carl Friedrich Gauss považuje předmět za irelevantní. Abelov dopis bude nalezen po neotevřené Gaussově smrti. V roce 1801 tento matematik ve své tezi vyjádřil, že hledání řešení radikály bylo bez zájmu, stačilo dát kořenu jakékoli jméno. Je pravda, že z hlediska numerické techniky je mnohem jednodušší použít metodu, jako je Newtonova, k získání přibližné hodnoty kořene; rezoluce radikálem již nemá XIX th století, jež sledují stejný zájem měl v minulých staletí pro numerické výpočty. A pokud to nemá být získání numerické aproximace, můžete také použít písmeno k popisu kořene. Dokonce i Cauchy, který přijal Ábela v roce 1826 , se stěží rozhodne podívat se na jeho práci.
Další články byly napsány v letech 1826 až 1828 a obsahovaly důkazy o nemožnosti řešení v obecném případě. Abelova práce nakonec přesvědčila vědeckou komunitu. V roce 1830 Cauchy našel svůj rukopis a Abel ve stejném roce posmrtně získal Grand Prix v matematice od Akademie věd.
Po Ábelově díle pro konečné vyjádření věty chybí pouze tři prvky: efektivní přístup, nutná a dostatečná podmínka resolubility rovnice a hluboké pochopení mechanismů, které resolubilitu umožňují. Je to Évariste Galois, kdo dosahuje těchto tří pokroků.
Jeho přístup trpí stejným nedorozuměním jako jeho předchůdci. Jeho první spisy, které byly Akademii věd předloženy v roce 1829, jsou definitivně ztraceny. Monografii napsanou Galoisem v roce 1831 znovuobjevil a vydal Joseph Liouville , který ji v roce 1843 představil vědecké komunitě v těchto termínech: „[...] Doufám, že akademii zaujmu oznámením, že v novinách Évariste Galois jsem našel řešení tak přesné, jak je hluboké k tomuto krásnému problému: Vzhledem k neredukovatelné rovnici prvního stupně se rozhodněte, zda je nebo není řešitelné pomocí radikálů. Příspěvek Galois je zásadní; G. Verriest to popisuje následujícími slovy: „Galoisův geniální tah měl zjistit, že podstata problému nespočívá v přímém hledání množství, které má být přidáno, ale ve studiu podstaty skupiny skupiny rovnice. Tato skupina […] vyjadřuje stupeň nerozeznatelných kořenů […]. Proto již není mírou rovnice, která měří obtížnost jejího řešení, ale je to povaha její skupiny. "
Pokud P je cyklotomický polynom , tj. Neredukovatelný dělitel polynomu ve tvaru X n - 1 v ℚ [ X ] , pak je rovnice P ( x ) = 0 triviálně řešitelná radikály. Ábelova věta je potvrzena v tomto konkrétním případě, protože Galoisova skupina odpovídající cyklometické extenze je abelianská (tedy řešitelná). Přesněji řečeno, Galoisova skupina cyklotomického polynomu Φ n je izomorfní se skupinou jednotek kruhu ℤ / n ℤ .
Poznamenejme, že podrobnější studie (srov. „ Gauss-Wantzelova věta “) určuje, za jakých podmínek je rovnice Φ n ( x ) = 0 řešitelná nejen radikály (jakéhokoli řádu), ale také druhou odmocninou , stav, který je ekvivalentní k constructibility k pravítku a na kompas z pravidelného mnohoúhelníku s n vrcholy.
Zvažte případ, kdy je polynom P stupně 2 s racionálními koeficienty, které nemají racionální kořen. I když to znamená dělení P jeho dominantním koeficientem, lze jej považovat za jednotný :
Označme x 1 a x 2 dva kořeny rovnice. Můžeme odvodit:
Jelikož se jedná o rozšíření Galois a stupně 2 , Galois skupina je řádu 2: jeho dva prvky jsou identita z L a symetrie , která řeší rationals a výměny x 1 a x 2 . Existuje tedy základ (1, r ) vector- vektorového prostoru L a racionální a tak, že x 1 = a + r a x 2 = a - r .
Můžeme odvodit:
Galoisova skupina proto umožňuje efektivní rozlišení kvadratické rovnice.
Způsob Kardanova umožňuje extrahování nebo kořeny polynomu stupně 3 v obecném případě.
VšeobecnéUvažujme případ, kdy je polynom P stupně 3 s racionálními koeficienty a neredukovatelný . I když to znamená dělení P jeho dominantním koeficientem a překlad proměnné, můžeme předpokládat, že P je ve tvaru:
Označme x 1 , x 2 a x 3 tři ( odlišné ) kořeny rovnice. Z
odvodíme:
Galoisova skupina G z P je podskupinou symetrické skupiny S 3 . Pořadí této podskupině se rovná rozměru o ℚ těla rozklad L . Proto je násobkem 3, protože L obsahuje kořen , jehož minimální polynom studia 3. G je proto izomorfní buď S 3 (řádu 6), nebo pro své jedinečné podskupině pořadí 3, střídavý skupina 3 .
V obou případech, G je řešitelný (protože 3 je normální v S 3 , a A, 3 a S 3 / 3 jsou abelian, a dokonce i cyklický ), takže teorém záruk Abel, že polynom je příliš.
Stanovení skupiny GaloisUvažujme nenulový prvek L : δ = ( x 1 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x 3 - x 1 ) . Pro každý prvek g z G , g ( δ ) = ε ( g ) δ , kde ε ( g ) znamená podpis na permutace provádí g na třech kořenů. G se proto redukuje na A 3 právě tehdy, když δ je invariantní všemi prvky G , tj. (Viz vlastnost 3 odstavce o základní teorém Galoisovy teorie ) právě tehdy, pokud je δ racionální. Dokazujeme také (viz článek „ Diskriminační “), že δ 2 = –4 p 3 - 27 q 2 . Můžeme odvodit:
Galoisova skupina P je izomorfní s A 3, pokud –4 p 3 –27 q 2 je čtverec racionálního, a S 3 jinak.
Výpočet kořeneJedním ze způsobů, jak najít Cardanovy vzorce, je zeptat se:
,kde j a j 2 označují dva primitivní kubické kořeny jednoty .
Ve skutečnosti tedy získáme:
a zbývá jen vypočítat u a v jako funkci koeficientů polynomu:
, .Následující systém rovnic pak umožňuje učinit závěr:
Rovnice je tedy docela dobře řešitelná radikály, jak poskytuje Ábelova věta a výpočet Galoisovy skupiny. Přesněji: odmocninou (pro vyjádření j a j 2 a výpočtem u 3 a v 3 ) a kubickou (k extrakci u a v ).
Tyto prvky u a v mají v Galoisově teorii následující výklad. Jak jsme viděli, G obsahuje alespoň střídavé skupina 3 , to znamená, že existuje automorphism m o L (objednávky 3), kterým se stanoví rationals a ověření:
Předpokládejme nejprve, že L obsahuje j a j 2 . Jakýkoli prvek podpole ℚ [ j ] má stupeň 1 nebo 2 na ℚ, proto je fixován m . Můžeme tedy považovat m za endomorfismus ℚ [ j ] -vektorového prostoru L a vektory a poté se jevit jako vhodný pro m , protože konstrukcí,
Když L neobsahuje j a j 2 , zkontrolujeme, zda neobsahuje jiné prvky ℚ [ j ] než racionální čísla , což umožňuje přirozeně rozšířit m na ℚ [ j ] -automorfismus L [ j ], pro který , podobně, u a v jsou správné.
Metoda Ferrari umožňuje v obecném případě extrahovat kořen (y) polynomu stupně 4.
Podrobný článek ukazuje, že Galoisova skupina na ℚ polynomu P ( X ) = X 5 - 3 X - 1 je symetrická skupina S 5 , která není řešitelná. Rovnice P ( z ) = 0 proto není radikály řešitelná, tj. Není možné vyjádřit kořeny tohoto polynomu z celých čísel pomocí čtyř obvyklých operací a radikálů, což ukazuje, že není možné najít výraz pro kořeny v obecném případě rovnice pátého stupně, jak je to možné pro rovnice stupně 1, 2, 3 nebo 4.
Poznámka. Nelze tvrdit, že rovnice P ( z ) = 0 není řešitelná. Tato rovnice má 5 kořenů, které se přibližují tak přesně, jak je požadováno a které jsou vyjádřeny přesně pomocí eliptických integrálů .
Pro jakékoliv celé číslo n ≥ 2, existuje nekonečno polynomů (neredukovatelnou a stupně n ) s koeficienty celého čísla, jejichž Galoisova skupina ℚ je symetrická skupina S n nebo na n ≥ 5, tato skupina není řešitelný .
DemonstraceTato konstrukce využívá teorém Richarda Dedekinda o modulo p redukci Galoisových skupin , spojená s následujícími dvěma skutečnostmi:
Vybrali jsme tři oddělitelné jednotné polynomy stupně n :
pak unitární polynom P stupně n s celočíselnými koeficienty, jejichž modulo 2, 3 a 5 redukce jsou rovny P 2 , P 3 a P 5 : P je neredukovatelný, protože P 2 je, proto jeho Galoisova skupina působí přechodně na jeho n kořenů, a obsahuje provedení (podle volby P 3 ) a ( n - 1) -cycle (podle volby P 5 ). Tato podskupina proto S n úplně.
Nechť n je stupeň konečného prodloužení Galoisova L o K . Její Galoisova skupina G je tedy řádu n .
Nejprve se zabýváme případem, kdy G je abelian, za předpokladu, že nejprve, jako v Cardanově metodě (kde případ n = 3 odpovídá případu, kde G je abelian), že K obsahuje n kořenů n - té jednotky . Poté jsme se této hypotézy zbavili.
Podle předpokladu, tělo rozklad L na P je obsažen v prodlužovacím K (α 1 , ..., α K ) tak, že pro každé i mezi 1 a k , α i n i patří K (α 1 , ..., α i - 1 ) pro nějaké přirozené číslo n i . Můžeme samozřejmě dále předpokládat (s použitím α uv = (α u ) v a vložením mezilehlých radikálů), že každé n i pro i > 1 je prvočíslo a že posloupnost rozšíření začíná přidáním primitivního kořene n 1 -th jednotky α 1 , pro n 1 se rovná součinu těchto prvočísel. Níže ukážeme indukcí na i , že každé prodloužení K (α 1 ,…, α i ) K je pak Galois a řešitelná skupina. Podle základní věty Galoisovy teorie je potom Galoisova skupina subextenze L také řešitelná jako podíl kvocientu K (α 1 ,…, α k ).