Speciální funkce
Matematická analýza používá termín Zvláštností v sadu analytických funkcí není elementární , které se objevily v XIX th století jako řešení rovnic matematické fyziky , zvláště parciálních diferenciálních rovnic v pořadí dvě až čtyři.
Vzhledem k tomu, že jejich vlastnosti byly rozsáhle studovány (a nadále jsou), je o nich k dispozici nepřeberné množství informací. Nejenže zasahují do vyjádření přesných řešení určitých parciálních diferenciálních rovnic pro konkrétní okrajové podmínky, ale poskytují prostřednictvím spektrálních metod nejlepší numerické aproximace pro jakékoli okrajové podmínky.
Některé z nich také hrají vedoucí roli v teorii čísel ( funkce Riemann zeta , integrální logaritmus ).
Seznam speciálních funkcí
- Plná Euler : ZAŘÍZENÍ beta funkce je funkce gama a souvisejících funkcí, digamma funkce , funkce gama neúplné , funkce polygamma . Jsou zapojeni do integrálního počtu, do studia řad a do počtu pravděpodobností.
- Chybová funkce , použitý v počtu pravděpodobnosti a statistické fyziky, a jeho varianty (erfi, funkce Dawsonova , atd.).
- Integrální logaritmus , který se podílí na distribuci prvočísel.
- Kardinál sine a integrální sine of Fresnelem objevil ve studiu difrakce . Edmund Taylor Whittaker ukázal, že kardinální sinusová funkce hraje ústřední roli v teorii interpolace na mřížce bodů ve stejné vzdálenosti. Následně byla tato myšlenka vyvinuta v teorii komunikace ( Shannonův vzorec pro syntézu signálů s konečným podpůrným spektrem).
- Funkce Airy , zavedená během studia rozptylu světla.
- Tyto eliptické integrály , ze studie velkých amplitud oscilací harmonických.
- Funkce Legendre , které jsou základním řešením Laplaceovy rovnice na kouli .
- Tyto Besselovy funkce , které jsou základní roztoky Laplaceovy rovnice na kruhovém válci.
- Funkce Hankel , konkrétní řešení vlnové rovnice ve válcových souřadnicích.
- Funkce Riemann zeta .
- Mezi Hypergeometrické funkce , které se připojují pomocí funkcionálních rovnic se speciálními funkcemi mezi nimi.
- Tyto funkce Mathieu , se objevil ve studiu vibrací eliptického membránou a elektromagnetického záření.
- Funkce theta , která vyjadřuje eliptické integrály.
Poznámky
-
Termín „ základní funkce “ označuje polynomiální funkce , kruhové a hyperbolické trigonometrické funkce , exponenciální a převrácené hodnoty všech těchto funkcí. Některé rodiny ortogonálních polynomů ( Legendreovy polynomy , Čebyševovy polynomy ) však někteří autoři považují za speciální funkce.
-
Rovnice Laplaceova , Poissonova rovnice , Helmholtzova rovnice , rovnice tepla , vlnová rovnice atd.
-
Nejznámější je biharmonická rovnice , která se používá zejména při studiu pružného ohybu .
Podívejte se také
Bibliografie
externí odkazy