Bilineární forma

V matematiky , přesněji v lineární algebře , je bilineární forma je zvláštní typ aplikace , které se dvěma vektory jednoho vektorovém prostoru (v určitém komutativním pole ), přidruží skalární (tj. Prvek tohoto orgánu).

Některé bilineární formy jsou také tečkovými produkty . Tečkové produkty (na konečných nebo nekonečných dimenzionálních vektorových prostorech) jsou široce používány ve všech oborech matematiky k definování vzdálenosti .

Fyzické classic , relativistická a kvantová používá tento formální rámec.

Motivace

Bilineární formy se vyskytují v mnoha oblastech matematiky. Tvoří velkou třídu nástrojů používaných k řešení otázek velmi rozmanité povahy.

Lineární algebra

Nativní doménou bilineárních forem je lineární algebra. Pojem bilineární forma je definován na vektorových prostorech a je zobecněn na modulech , základních strukturách lineární algebry. Tyto tvary jsou úzce spojeny s lineárními aplikacemi . Znalosti spojené s posledně uvedeným umožňují osvětlit strukturu bilineární formy a vzájemně bilineární formy umožňují objasnit určité zvláštnosti lineárních aplikací, například v případě endomorfismů spojených se sebou .

Existuje zvláštní vektorový prostor, který hraje velkou roli pro bilineární formy: duální . Vektorový prostor bilineárních forem je přesnou kopií lineárních map prostoru v duálním. Znalost geometrie prostoru i duální umožňuje objasnit lineární aplikace z jedné do druhé a zároveň bilineární formy. V případě konečné dimenze je tato analýza jednoduchá, duální je ( nekanonická ) kopie počátečního prostoru.

Existuje obecná metoda pro konstrukci bilineárních forem, tenzorový produkt poskytující teoretický nástroj k prokázání určitých vlastností bilineárních forem. Umožňuje také konstruovat nové vektorové prostory s určitou geometrií, které fyzici skvěle využívají. Tak magnetické pole Ověřuje vlastnosti symetrie dobře reprezentována určitým prostorem bilineárními tvarů. Kromě struktury vektorového prostoru přináší jejich bilineární počátek specifické vlastnosti, z tohoto důvodu se používá nový termín, tenzor .

Geometrie

Přidání dobře zvolené bilineární formy je zdrojem formalizace geometrií . Snad nejznámějším příkladem jsou euklidovské prostory pro vektorové prostory nad číselným polem reals v konečném dimenzionálním případě. Tato bilineární forma zvaná skalární součin pak hraje stejnou roli jako kanonická bilineární forma mezi prostorem a jeho dvojím, což umožňuje konkrétnější a snadnější přístup k formalizaci.

Není to jediný příklad, pro komplexní čísla existuje ekvivalent . Další v nekonečné dimenzi existuje s prehilbertiánskými prostory zahrnujícími určitý základní případ, Hilbertův prostor . V konečné dimenzi umožňuje výběr bilineárního tvaru, který má jiné vlastnosti, konstrukci dalších geometrií. Minkowski prostor je postaven za použití přístupu tohoto druhu. Poskytuje geometrický rámec pro speciální teorii relativity .

Vliv bilineárních tvarů v geometrii se neomezuje pouze na formalizaci nových prostorů. Vztah mezi určitými povrchy, jako jsou kvadriky a bilineární tvary, je hluboký. Příspěvek různých nástrojů pocházejících z lineární algebry umožňuje obecnou klasifikaci a pro jakoukoli dimenzi.

Funkční analýza

Je plodné uvažovat o sadě funkcí vyplývajících z analýzy, jako jsou například funkce segmentu [0,1] se skutečnými hodnotami a nekonečně diferencovatelnými . Soubor této povahy je vektorový prostor nekonečné dimenze, výsledky lineární algebry založené na použití základů konečných kardinálů již neplatí. Studium bilineárních forem v prostorech této povahy se ukazuje jako plodné.

Nástroj se stává nezbytným pro studium vektorových prostorů této povahy, topologie . Přirozeně indukuje další topologii na duální. Existuje speciální případ analogický případu konečné dimenze, kde duální je kopií prostoru funkcí. To je například případ množiny funkcí [0,1] se skutečnými hodnotami, které jsou čtverce integrovatelné . Takový prostor může být vybaven skalárním součinem, který poskytuje službu podobnou euklidovským prostorům, nese název Hilbertův prostor .

Obecně má duální struktura odlišnou strukturu od výchozího prostoru. Používá se další bilineární forma, která k prvku duálního f a k prvku prostoru x spojuje f ( x ). Studium takové struktury je jednodušší, pokud topologie pochází ze standardu, který má alespoň jednu dobrou vlastnost, úplnost . Takový prostor se nazývá Banachův prostor . Kanonická bilineární forma mezi duálem a prostorem má často název tečkovaného produktu .

Aritmetický

Přístup matematiků, kteří studovali funkční prostory, spočívá ve zrušení dříve používané hypotézy, konečné dimenze. Je to nakonec plodné a mnoho vět ve funkční analýze pochází ze studia bilineární formy, jako je skalární součin analogický s euklidovskými prostory nebo vyplývající z kanonické formy mezi prostorem a jeho duálním. Lze odstranit další předpoklad, který zaručuje, že jakékoli jiné číslo než nula v těle pod vektorovým prostorem má pro násobení inverzní hodnotu.

Příkladem, který byl dlouho studován, je Diophantine rovnice . Některé z nich jsou psány jako hledání kořenů polynomiální rovnice s několika proměnnými as celočíselnými koeficienty. Hledaná řešení jsou ta, která jsou vyjádřena pouze celými čísly. Slavným a obtížným příkladem je Fermatova velká věta . Rovnice je zapsána x n + y n = z n . Na řešení lze pohlížet jako na průsečíky mezi ℤ 3 , kde ℤ označuje množinu celých čísel , a plochou geometrického prostoru dimenze tři. Změna odkazu někdy umožňuje zjednodušit vyjádření diofantické rovnice. Aby byla relevantní, musí tato změna souřadnicového systému respektovat geometrii prostoru. Vypadá to jako izometrie , to znamená transformace respektující vzdálenosti a úhly, pro dobrý bilineární tvar. Tento přístup vede ke studiu bilineárních forem na konečném dimenzionálním modulu . „Modul“ zde znamená kvazi- vektorový prostor, skaláry už prostě nejsou vždy invertibilní. Mohou být například redukovány na množinu celých čísel. Příklad této povahy je použit jako důkaz Fermatovy věty o dvou čtvercích Josephem-Louisem Lagrangeem ( 1736 - 1813 ) .

Definice

Tato část poskytuje obecné definice týkající se bilineárních forem, poté další definice spojené s různými kontexty.

Obecné definice

Forma označuje v matematice aplikaci vektorového prostoru v jeho poli skalárů . Bilineární forma je definována na dvojicích vektorů: takže prostor je kartézský součin dvou vektorových prostorů E a F na stejném tělesa K . Když E a F označují stejný prostor, to je nazýváno bilineární forma na E . ( x | y ) je častá notace k označení obrazu páru ( x , y ) bilineární formou; používá se ve zbytku článku.

Tvar je takzvaný lineární vzhledem k jeho první proměnné, pokud pro každé y je aplikace na x spolupracovníků ( x | y ) lineární. Podobně se říká, že forma je lineární vzhledem ke své druhé proměnné, pokud pro všechna x je mapa, která je spojena s y ( x | y ), lineární.

• Nechť (| ..) při aplikaci E x F v K . Funkce (. |.) Je považována za bilineární, pokud je lineární vzhledem k jejím dvěma proměnným.

Poznámka  : je-li charakteristika pole skalárů odlišná od 2, s jakoukoli bilineární formou v prostoru E je spojena kvadratická forma . Je to aplikace, která spojuje skalár ( x | x ) s vektorem x . Přesněji řečeno, mapa, která s každou symetrickou bilineární formou spojuje svou kvadratickou formu, je izomorfismus . Reciproční izomorfismus se asociuje s kvadratickou formou χ bilineární formou (. |.) Definováno:

∀X,y∈E(X|y)=14(χ(X+y)-χ(X-y)){\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = {\ frac {1} {4}} {\ Big (} \ chi (x + y) - \ chi (xy) {\ Big )}}

• Bilineární forma (. |.) Definovaná výše uvedeným řádkem se nazývá polární forma kvadratického tvaru χ.

Poznámka  : V případě komplexních čísel existuje další forma s jinou linearitou a často zajímavější, hovoříme pak o sesquilineární formě .

Ve výchozím nastavení jsou ve zbytku článku E a F dva vektorové prostory na stejném těle K a (. |.) Označuje bilineární tvar.

Definice spojené s ortogonalitou

Pojem ortogonality mezi dvěma vektory pro bilineární formu zobecňuje pojem kolmosti v případě euklidovského prostoru .

• Dva vektory x z E a y z F jsou považovány za ortogonální, pokud je obraz dvojice ( x , y ) bilineární formou nulový.
• Sada vektorů kolmých na všechny prvky rodiny a vektorů F je vektorový podprostor E , nazývaný ortogonální of a často označovaný noted ⊥ . Podobně, ortogonální vektory rodinném E je podprostor F .
  Pokud se E rovná F a bilineární forma není symetrická, mluvíme o pravoúhlé levici a pravici, aby nedošlo k záměně.
• Zejména jádro nalevo z bilineární formuláře na E x F je podprostor F ⊥ z E tvořen vektorů x tak, že:∀y∈F(X|y)=0.{\ displaystyle \ for all y \ in F \ quad (x | y) = 0.}Také definuje Nosné E ⊥ , což je podprostor F .
• Bilineární forma je považována za nedegenerovanou nalevo, pokud je její jádro nalevo redukováno na nulový vektor, tj. Pokud∀X∈E(∀y∈F(X|y)=0)⇒X=0,{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (\ forall y \ in F \ quad (x | y) = 0) \ Rightarrow x = 0,}a jeden definuje stejným způsobem nedegeneraci vpravo. Forma se říká, že je nedegenerovaná, pokud je tomu tak nalevo i napravo.

Definice spojené s případem, kdy E se rovná F

V případě, že E se rovná F , existují specifické vlastnosti pro bilineární tvary. V tomto odstavci je bilineární forma je definován na E × E . Říká se

• symetrické, pokud:

∀X,y∈E(X|y)=(y|X){\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = (y | x)},

• antisymetrický, pokud:

∀X,y∈E(X|y)=-(y|X){\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = - (y | x)},

• střídající se, pokud:

∀X∈E(X|X)=0{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | x) = 0},

• definováno, pokud nemá nenulový izotropní vektor :

∀X∈E((X|X)=0⇒X=0){\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad ((x | x) = 0 \ Rightarrow x = 0)},

• reflexní, pokud:

∀X,y∈E(X|y)=0⇔(y|X)=0{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = 0 \ Leftrightarrow (y | x) = 0}.

Jakákoli symetrická nebo antisymetrická bilineární forma je reflexivní a jakákoli reflexivní forma má stejné jádro vpravo i vlevo.

Jakákoli určitá forma je nedegenerovaná.

Jakákoli alternativní forma je antisymetrická. Pokud se charakteristika těla liší od 2, pak jsou oba pojmy ekvivalentní.

U následující vlastnosti se předpokládá , že pole K je zcela uspořádáno , jako u reálných čísel.

• Říká se bilineární forma:
  • pozitivní, pokud  ;∀X∈E(X|X)≥0{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | x) \ geq 0}
  • negativní, pokud .∀X∈E(X|X)≤0{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | x) \ leq 0}

Podle Cauchy-Schwarzovy nerovnosti je definována jakákoli nedegenerovaná pozitivní (nebo negativní) symetrická bilineární forma.

Příklady

Obvyklý euklidovský prostor

Prostor ℝ 3 tvořený trojicemi reálných čísel ( x , y , z ) může být vybaven bilineární formou zvanou kanonický skalární součin . Pokud je uvedeno (. |.), Je definováno:

∀(X1,y1,z1),(X2,y2,z2)∈R3((X1,y1,z1)|(X2,y2,z2))=X1X2+y1y2+z1z2.{\ displaystyle \ forall (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ quad {\ Big (} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}) | (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) {\ Big)} = x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2}.}

Prostor ℝ 3 poskytnutý s jeho skalárním součinem se nazývá euklidovský .

Dvojitá bilineární forma

Takový prostor je vybaven další důležitou bilineární formou definovanou pomocí duálního prostoru (ℝ 3 ) *. Odpovídá množině lineárních forem , to znamená lineárním mapám (ℝ 3 ) * v poli skalárů ℝ. Tato bilineární forma je mapa (ℝ 3 ) * × ℝ 3 v ℝ, která k dvojici ( d *, x ) přidruží skutečný 〈d *, x〉 obraz x lineární formou d *. V některých ohledech se podobá předchozímu příkladu.

Nechť ( E 1 , E 2 , e 3 ) kanonickou základem ℝ 3 , Označme d i obraz < d *, e i > z e i o d * a d vektoru ( d 1 , d 2 , d 3 ) z ℝ 3 . Je ověřena následující vlastnost:

∀X∈R3⟨d∗,X⟩=(d|X).{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ quad \ langle d ^ {*}, x \ rangle = (d | x).}

Existuje tedy určitá ekvivalence mezi dvěma bilineárními formami a jakákoli lineární forma je reprezentována vektorem ℝ 3 pomocí tečkového součinu.

Poznámka  : Označení 〈d *, x〉ℝ 3 označuje obraz x pomocí d * v ℝ. Říká se tomu háček duality . Pokud nehrozí dvojznačnost, název vektorového prostoru je vynechán. Tento zápis se často používá pro kanonickou bilineární formu mezi duálem a jeho prostorem. V literatuře se také nachází jiné bilineární formy, například tečkové produkty.

Funkční prostor

Uvažujme nyní prostor E spojitých funkcí segmentu [0, 1] v ℝ. Klíčovou roli hraje E. bilineární forma . Je definován takto:

∀F,G∈E(F|G)=∫01F(t)G(t) dt.{\ displaystyle \ forall f, g \ in E \ quad (f | g) = \ int _ {0} ^ {1} f (t) g (t) ~ \ mathrm {d} t.}

Opět platí, že prostor E má jiný bilineární formu, ten definovaný v E * x E pro jakoukoli dvojici elementu d * z dvojí E a elementu f o E přidruží obrázek < d *, f > o d * z f . „Geometrie“ E se však liší od geometrie předchozího příkladu. Nechť δ je lineární forma, která se jakékoli funkce f o E, přidružených f (0). To odpovídá prvku E *, ale nemůže „představovat“ funkci E . Taková lineární forma nese název funkce δ podle Diraca . V jistém smyslu dvojí of E je „příliš velká“, které mají být „zastoupen“ podle funkce E .

Bilineární forma a lineární aplikace

Dvojí

Duální E * je místo lineárních forem na E . Na E * × E je kanonická bilineární forma . sdružuje se s jakoukoli dvojicí vytvořenou z prvku duálního f * a prvku x prostoru, obraz vektoru v lineárním tvaru.

• Kanonická bilineární forma na E * × E není zdegenerovaná.
  Podle definice je jedinou nulovou lineární formou na E nulová forma. Jádro nalevo je proto redukováno do nulové formy. Vektor, který ruší všechny lineární tvary, patří ke všem hyperplánům  ; jedná se tedy o nulový vektor, který ukazuje, že pravé jádro je také redukováno na nulový vektor.

Tato bilineární forma hraje zvláštní roli: umožňuje vyjádřit všechny bilineární formy. Nechť (| ..) bilineární forma E x F . Pokud x je element E , pak ( x |.) Je prvek dvojí of F . Nechť φ 1 je mapa od E do F *, která k x spojuje lineární tvar ( x |.). Lze definovat po realizaci cp 2 z F na dvojí of E . Máme následující rovnosti:

∀X∈E,∀y∈F(X|y)=⟨φ1(X),y⟩F=⟨φ2(y),X⟩E.{\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall y \ in F \ quad (x | y) = \ langle \ varphi _ {1} (x), y \ rangle _ {F} = \ langle \ varphi _ {2} (y), x \ rangle _ {E}.}

• Mapy φ 1 a φ 2 jsou lineární.
  Tato vlastnost je přímým důsledkem bilinearity formuláře (. |.).

Jádro

Nechť N 1 a N 2 jsou jádra nalevo a napravo od bilineární formy. Podle výše uvedených definic se jedná o jádra přidružených lineárních map φ 1 a φ 2 a (. |.) Kanonicky faktorizuje nedegenerovanou bilineární formou na kvocientech , tj. Na ( E / N 1 ) × ( F / N 2 ). Tato poznámka umožňuje snížit studium ortogonálů pro nespecifikovanou bilineární formu na studium pro nedegenerovanou formu.

V konečné dimenzi také máme: bilineární forma (. |.) Není zdegenerovaná právě tehdy, když φ 1 je izomorfismus; pak E a F mají stejnou dimenzi a φ 2 je také izomorfismus. (Zejména E / N 1 a F / N 2 mají vždy stejný rozměr.)

Demonstrace na případu konečné dimenze

• Pokud (. |.) Je nedegenerovaný a jsou-li rozměry E a F konečné, pak jsou stejné:

Ve skutečnosti je φ 1 pak lineární injekcí E do F *, proto dim ( E ) ≤ dim ( F *) = dim ( F ), a podobně (s použitím φ 2 ) dim ( F ) ≤ dim ( E ).

• Bilineární forma není zdegenerována právě tehdy, když φ 1 je izomorfismus, a pak φ 2 je také izomorfismus:

Pokud bilineární forma není zdegenerovaná, pak φ 1 a φ 2 jsou injektivní a podle předchozího tvrzení jsou rozměry jejich odletových a příchozích prostorů (konečné a) stejné, takže se jedná o izomorfismy. Naopak, pokud φ 1 je izomorfismus, pak dim ( E ) = dim ( F *) = dim ( F ) a podle logiky předchozího tvrzení dim ( E ) = dim ( F / N 2 ), tedy N 2 = {0} a forma je nedegenerovaná.

Ortogonalita

Tyto vektorové podprostory definované jako ortogonální, zejména jádra , splňují následující vlastnosti:

• Pokud je Φ 1 zahrnuto v Φ 2 , pak Φ 2 ⊥ je zahrnuto v Φ 1 ⊥ . (Zejména jádro vlevo je zahrnuto ve všech ortogonálech vlevo a podobně vpravo.)
• Ortogonální Φ ⊥ obsahuje Φ.
• Nechť E 1 a E 2 jsou dva vektorové podprostory E , pak ortogonální součtu E 1 a E 2 je průsečík ortogonálů. Ortogonální průsečíku obsahuje součet ortogonálních:

(E1+E2)⊥=E1⊥∩E2⊥a(E1∩E2)⊥⊃E1⊥+E2⊥{\ displaystyle (E_ {1} + E_ {2}) ^ {\ bot} = E_ {1} ^ {\ bot} \ čepice E_ {2} ^ {\ bot} \ quad {\ text {a}} \ quad (E_ {1} \ cap E_ {2}) ^ {\ bot} \ supset E_ {1} ^ {\ bot} + E_ {2} ^ {\ bot}}

Pro bilineární formu E × F v K, která nedegeneruje v konečné dimenzi, máme také:

• pro jakýkoli podprostor Φ E je mapa F / Φ ⊥ v Φ * indukovaná φ 2 isomorfismem (složením φ 2 přirozenou mapou E * na Φ *)

Tudíž :

• pro jakýkoli podprostor Φ se kodimenzionální rozměr Φ ⊥ rovná dimenzi Φ (pozor: je-li E = F , ortogonální podprostoru nemusí být nutně další);
• ortogonální Φ ⊥ je vektorový podprostor generovaný Φ (jinými slovy: mapa, která k podprostoru E spojuje svůj ortogonální, je involutivní );
• ortogonální průsečíku dvou podprostorů se rovná součtu ortogonálních.

Lineární aplikace z vesmíru na duální

Sada bilineárních forem na E × F tvoří vektorový prostor, označený L 2 ( E , F  ; K ) nebo jednodušeji L 2 ( E , F ).

Výše uvedený odstavec na duálu ukazuje existenci kanonické mapy ψ 1, která k jakékoli bilineární formě (. |.) Přidruží lineární mapu φ 1 od E do F * definovanou pomocí φ 1 ( x ) = ( x |. ). Tato mapa ψ 1 z L 2 ( E , F ) do L ( E , F *) je jasně lineární. To je více bijective je inverzní bijection sdružující v každé lineární mapování f o S v F * je bilineární forma < f (.),.> F . Definujeme stejným způsobem izomorfismus ψ 2 z L 2 ( E , F ) na L ( F , E *). Celkem :

L(E,F∗)≃⟵ψ1L2(E,F)≃⟶ψ2L(F,E∗){\ displaystyle L (E, F ^ {*}) {\ begin {matrix} \ simeq \\\ longleftarrow \\\ psi _ {1} \ end {matrix}} L_ {2} (E, F) {\ začátek {matrix} \ simeq \\\ longrightarrow \\\ psi _ {2} \ end {matrix}} L (F, E ^ {*})}

s (pro libovolnou bilineární formu b a všechny vektory x v E a y ve F )

⟨ψ1(b)(X),y⟩F=b(X,y)=⟨ψ2(b)(y),X⟩E.{\ displaystyle \ langle \ psi _ {1} (b) (x), y \ rangle _ {F} = b (x, y) = \ langle \ psi _ {2} (b) (y), x \ rangle _ {E}.}

Omezení F na transpozici ψ 1 ( b ) je ψ 2 ( b ) (a podobně převrácením dvou indexů).

Podle definice tenzorového součinu E ⊗ F je třetí prostor kanonicky izomorfní s prostorem bilineárních map:

L2(E,F)≃(E⊗F)∗.{\ displaystyle L_ {2} (E, F) \ simeq (E \ otimes F) ^ {*}.}

Z kteréhokoli z těchto tří izomorfismů usuzujeme, že pokud jsou rozměry E a F konečné, pak jejich produktem je velikost L 2 ( E , F ).

Maticová reprezentace

Nechť E , F dva vektorové prostory konečných rozměrů, základ z E a základna F . K libovolné matici můžeme přiřadit bilineární tvar  : pokud x je vektor E se souřadnicemi X in a y vektor F se souřadnicemi Y in , E=(Ei)1≤i≤m{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = (e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq m}}F=(Fj)1≤j≤ne{\ displaystyle {\ mathcal {F}} = (f_ {j}) _ {1 \ leq j \ leq n}} NA∈Mm,ne(K.){\ displaystyle A \ in {\ mathcal {M}} _ {m, n} (K)}φ:E×F→K.{\ displaystyle \ varphi: E \ krát F \ až K}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

φ(X,y)=tX NA Y{\ displaystyle \ varphi (x, y) = ^ {\ operatorname {t}} X \ A \ Y},

Souřadnice X (resp. Y ) je uspořádána ve formě sloupce matice o m (resp. n ) prvků K a t X vyznačením řádek matice transpozici a X .

Naopak bilineární mapa zcela určuje matici , protože . φ{\ displaystyle \ varphi}NA=(nai,j){\ displaystyle A = (a_ {i, j})}nai,j=φ(Ei,Fj){\ displaystyle a_ {i, j} = \ varphi (e_ {i}, f_ {j})}

Tím se nastaví (báze jsou upevněny) izomorfismus mezi a vektorový prostor bilineární formy na E x F . E,F{\ displaystyle {\ mathcal {E}}, {\ mathcal {F}}}Mm,ne(K.){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {m, n} (K)}

Základní vzorec pro změnu bilineárních forem se liší od vzorce pro lineární aplikace: můžeme je porovnat v článku Passage matrix .

Tenzorový produkt

Konstrukce bilineárních tvarů

Pokud je a * (resp. B *) lineární forma nad E (resp. Nad F ), notace a * ⊗ b * označuje jak prvek tenzorového součinu E * ⊗ F * duálů E a F , a tenzorový součin dvou map a * a b *, což je lineární tvar na E ⊗ F ( jinými slovy bilineární tvar na E × F ), definovaný:

∀X∈E,∀y∈F(na∗⊗b∗)(X⊗y)=⟨na∗,X⟩⟨b∗,y⟩.{\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall y \ in F \ quad (a ^ {*} \ otimes b ^ {*}) (x \ otimes y) = \ langle a ^ {*}, x \ rangle \ langle b ^ {*}, y \ rangle.}

Později uvidíme, že tato nejednoznačnost notace je neškodná, protože dva objekty, které označuje, si navzájem odpovídají kanonickým začleněním E * ⊗ F * do ( E ⊗ F ) *. Podobně je E ** ⊗ F ** (a tím spíše E ⊗ F ) vloženo do ( E * ⊗ F *) * ≃ L 2 ( E *, F *).

Skutečnost, že používáte prostor nebo jeho duální, má ve fyzice hluboký význam. Z tohoto důvodu, je-li výchozí množinou duální prostor, používají fyzici termín kontravariant a v opačném případě kovariant. První zde představený tenzorový produkt je dvakrát rozporuplný.

Když F = E , jsou vyvinuty dva další produkty: vnější produkt a symetrický produkt . Aplikujeme-li na dva vektory a * a b * z E *, získáme v charakteristice jiné než 2:

Symetrický produkt: na∗⊙b∗=na∗⊗b∗+b∗⊗na∗{\ displaystyle a ^ {*} \ odot b ^ {*} = a ^ {*} \ otimes b ^ {*} + b ^ {*} \ otimes a ^ {*}} Externí produkt: na∗∧b∗=na∗⊗b∗-b∗⊗na∗{\ displaystyle a ^ {*} \ land b ^ {*} = a ^ {*} \ otimes b ^ {*} - b ^ {*} \ otimes a ^ {*}} ∀na∗,b∗∈E∗na∗⊗b∗=na∗⊙b∗2+na∗∧b∗2.{\ displaystyle \ forall a ^ {*}, b ^ {*} \ v E ^ {*} \ quad a ^ {*} \ otimes b ^ {*} = {\ frac {a ^ {*} \ odot b ^ {*}} {2}} + {\ frac {a ^ {*} \ land b ^ {*}} {2}}.}

Symetrický (resp. Vnější) součin má hodnoty v symetrických (resp. Střídavých) bilineárních formách. Vektorové podprostory generované symetrickými a vnějšími produkty mají pro přímý součet E * ⊗ E *. Pokud má E konečnou dimenzi n , má první podprostor dimenzi n ( n + 1) / 2 a druhý n ( n - 1) / 2.

Obecněji (a v jakékoli dimenzi, ale vždy v charakteristice odlišné od 2) se jakákoli bilineární forma rozkládá jedinečným způsobem jako součet symetrické a antisymetrické:

∀X,y∈E(X|y)=(X|y)+(y|X)2+(X|y)-(y|X)2.{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = {\ frac {(x | y) + (y | x)} {2}} + {\ frac {(x | y) - (y | x)} {2}}.}

Tenzorový produkt a dualita

Dva háčky duality, na E a na F , identifikující se s lineárními tvary na E * ⊗ E a F * ⊗ F , jejich tenzorový produkt je lineární forma na ( E * ⊗ E ) ⊗ ( F * ⊗ F ) ≃ ( E * ⊗ F *) ⊗ ( E ⊗ F ), tj. Bilineární forma na ( E * ⊗ F *) × ( E ⊗ F ). Ten zdědí nedegeneraci obou háků. Z toho odvodíme kanonické lineární injekce:

E∗⊗F∗⊂(E⊗F)∗aE⊗F⊂(E∗⊗F∗)∗.{\ displaystyle E ^ {*} \ otimes F ^ {*} \ podmnožina (E \ otimes F) ^ {*} \ quad {\ text {et}} \ quad E \ otimes F \ podmnožina (E ^ {*} \ otimes F ^ {*}) ^ {*}.}

• První injekce je surjektivní právě tehdy, má-li E nebo F konečnou dimenzi.
• Druhá injekce je surjektivní tehdy a jen tehdy, když E a F mají konečnou dimenzi nebo pokud je jedna z nich nula.

Demonstrace

Tyto podmínky jsou triviálně dostatečné. Ukažme, že jsou nezbytné.

• Nechť E a F nekonečné velikosti příslušné báze ( e i ) indexované I a ( f j ) indexovány J , s například I ⊂ J . Prvek d z ( E ⊗ F ) * definovaný d ( e i ⊗ f j ) = δ i , j není obrazem žádného prvku c z E * ⊗ F * součet r členů tvaru a k * ⊗ b k *, protože pro nějakou konečnou podmnožinu H z i , čtvercové matice z C ( e i ⊗ f j ), kdy i a j i šikmými H má hodnost nejvýše r , zatímco to není případ pro d .
• Buď F nenulovou tedy obsahuje přímý D . Pokud je druhá injekce do pro E a F, pak je to také pro E a D , proto E je izomorfní konečná dimenze, protože je to dvojí. (Další metodou je použití první poznámky níže.)

Poznámky.

• Nahrazením E a F jejich duály v prvním zahrnutí a poté složením tohoto pomocí E ⊗ F ⊂ E ** ⊗ F ** získáme druhé.
• Věta Erdős-Kaplanského a rychloupínací výpočet kardinálové ukazují, že mezery E * ⊗ F * a ( E ⊗ F ) * vždy stejnou velikost (tedy izomorfní, a to i když je kanonický zahrnutí není izomorfismus).

Dimenze tři

Pokud E je vektorový prostor dimenze n = 3, pak prostor A 2 ( E ) střídajících se bilineárních forem má dimenzi n ( n - 1) / 2 = 3. Stejně jako skalární součin umožňuje identifikovat duální prvek s vektorového prostoru, je také možné identifikovat bilineární formy střídavě k vektoru E . Mapa, která ke třem vektorům x , y , z , sdružuje determinant det ( x , y , z ) B v bázi B , je střídavá trilineární. Tato aplikace nezávisí na výběru základny za předpokladu, že je ortonormální a orientovaná . Má název smíšeného produktu  ; označuje se [ x , y , z ]. Identifikuje vektorovou c o E s následující forma m c :

∀X,y∈Emvs.(X,y)=[vs.,X,y].{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad m_ {c} (x, y) = [c, x, y].}

Dva izomorfismy

R3→(R3)∗na↦(na|⋅)aR3→NA2(R3)vs.↦mvs.{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbb {R} ^ {3} & \ to & (\ mathbb {R} ^ {3}) ^ {*} \\ a & \ mapsto & (a | \ cdot) \ end {matrix}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ begin {matrix} \ mathbb {R} ^ {3} & \ to & A_ {2} (\ mathbb {R} ^ {3} ) \ \ c & \ mapsto & m_ {c} \ end {matrix}}}

jsou kompatibilní s externím produktem (ℝ 3 ) * × (ℝ 3 ) * → A 2 (ℝ 3 ) a křížovým produktem ℝ 3 × ℝ 3 → ℝ 3 , oba označeny ⋀:

∀na,b∈R3,(na|⋅)∧(b|⋅)=mna∧b.{\ displaystyle \ forall a, b \ in \ mathbb {R} ^ {3}, \ quad (a | \ cdot) \ land (b | \ cdot) = m_ {a \ land b}.}

Normalizovaný vektorový prostor

Chcete-li jít dále ve studiu bilineárních forem v případě nekonečné dimenze, je užitečná další hypotéza. Spočívá v poskytnutí vektorového prostoru topologií (častým konkrétním případem je situace, kdy tato topologie pochází z normy, která dává prostoru metrickou strukturu ). Poté nás zajímají spojité bilineární formy. V této souvislosti jsou obecnými izomorfismy izometrie a přirozená úplnost topologické duální přináší silné vlastnosti prostoru bilineárních forem. Vztahy ortogonality jsou specifikovány, pokud je na vektorových podprostorech učiněn další předpoklad: uzavření .

V tomto odstavci E a F označují dva vektorové prostory normalizované na pole K rovné ℝ nebo ℂ, tedy úplné.

Kontinuální bilineární forma

Kontinuita bilineárních forem se řídí pravidly podobnými pravidlům omezených operátorů mezi normalizovanými vektorovými prostory . Ve skutečnosti pro jakoukoli bilineární formu b na E × F jsou návrhy ekvivalentní:

1. b je spojitý ve všech bodech,
2. b je spojitý v (0, 0),
3. existuje konstanta C taková, že pro všechny vektory x v E a y ve F , | b ( x , y ) | ≤ C ║ x ║║ y ║,
4. obraz b kartézského součinu dvou jednotkových koulí je ohraničený,
5. lineární mapa ψ 1 ( b ) má hodnotu v topologické dvojí F ‚ z F a nepřetržité od E do F‘ ,
6. ψ 2 ( b ) má hodnoty v E ' a je spojitá od F do E'

Pokud jsou E a F konečné dimenze, b je proto vždy spojité (protože v konečné dimenzi je jakákoli lineární mapa spojitá).

Demonstrace

• 1 ⇒ 2 a 3 ⇒ 4 jsou okamžité
• 2 ⇒ 3: protože b je nula v (0, 0), je kontinuita v tomto bodě zapsána∀ε>0, ∃μ>0, ∀E∈E, ∀F∈F,‖E‖,‖F‖≤μ⇒|b(E,F)|≤ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, ~ \ existuje \ mu> 0, ~ \ forall e \ v E, ~ \ forall f \ v F, \ quad \ | e \ |, \ | f \ | \ leq \ mu \ Rightarrow | b (e, f) | \ leq \ varepsilon}proto implikuje existenci konstanty C > 0 takové, že∀E∈E, ∀F∈F,‖E‖,‖F‖≤1/VS⇒|b(E,F)|≤1,{\ displaystyle \ forall e \ in E, ~ \ forall f \ in F, \ quad \ | e \ |, \ | f \ | \ leq 1 / {\ sqrt {C}} \ Rightarrow | b (e, f ) | \ leq 1,}tedy 3, protože

∀X∈E, ∀y∈F,X,y≠0⇒|b(X‖X‖VS,y‖y‖VS)|≤1.{\ displaystyle \ forall x \ in E, ~ \ forall y \ in F, \ quad x, y \ neq 0 \ Rightarrow \ left | b \ left ({\ frac {x} {\ | x \ | {\ sqrt {C}}}}, {\ frac {y} {\ | y \ | {\ sqrt {C}}}} \ right) \ right | \ leq 1.}

• 4 ⇔ 5 ⇔ 6: 5 znamená, že obraz jednotkové koule E je ohraničenou částí F ' , která je zapsána jako 4. Podobně pro 6.
• 5 a 6 ⇒ 1: pokud ψ 1 ( b ) a ψ 2 ( b ) mají spojité hodnoty a jsou spojité v 0, pak pro všechna ε> 0 existuje μ ∈] 0, 1] takové, že‖h‖≤μ⇒‖b(h,⋅)‖≤εa‖k‖≤μ⇒‖b(⋅,k)‖≤ε{\ displaystyle \ | h \ | \ leq \ mu \ Rightarrow \ | b (h, \ cdot) \ | \ leq \ varepsilon \ quad {\ text {a}} \ quad \ | k \ | \ leq \ mu \ Rightarrow \ | b (\ cdot, k) \ | \ leq \ varepsilon}takže b je spojité ve všech bodech ( x , y ), protože‖h‖,‖k‖≤μ⇒‖b(X+h,y+k)-b(X,y)‖=‖b(X,k)+b(h,y)+b(h,k)‖≤ε(‖X‖+‖y‖+1).{\ Displaystyle \ | h \ |, \ | k \ | \ leq \ mu \ Rightarrow \ | b (x + h, y + k) -b (x, y) \ | = \ | b (x, k) + b (h, y) + b (h, k) \ | \ leq \ varepsilon (\ | x \ | + \ | y \ | +1).}

Prostor spojitých bilineárních tvarů

Sada ℒ 2 ( E , F ) spojitých bilineárních forem je jasně vektorovým podprostorem prostoru L 2 ( E , F ) bilineárních forem.

• Prostor spojitých bilineárních forem na E × F je normalizován normou operátorů.

Norma bilineární formy je definována jako horní hranice , na kartézském součinu dvou jednotkových koulí B E (1) a B F (1), obrazu absolutní hodnoty nebo modulu bilineární formy.

‖b‖=supX∈BE(1),y∈BF(1)b(X,y).{\ displaystyle \ | b \ | = \ sup _ {x \ v B_ {E} (1), y \ v B_ {F} (1)} b (x, y).}

Abychom byli přesvědčeni, že tato mapa je skutečně normou, stačí si všimnout, že je to obraz normy operátorů ℒ ( E , F ' ) izomorfismem ψ 1  ; Tudíž :

• Mapa ψ 1 (resp. Ψ 2 ) je izometrií ℒ 2 ( E , F ) v ℒ ( E , F ' ) (resp. ℒ ( F , E' )), pokud jsou prostory vybaveny normou operátorů .

Prostor ℒ ( E 1 , E 2 ) je ukončen, pokud E 2 je . Protože K je kompletní, ℒ ( F , K ), to znamená F ' , je tedy také ℒ ( E , F' ) také. Tudíž :

• Prostor spojitých bilineárních forem na E × F je kompletní.

Pokud je F úplné a je obdařeno tečkovým produktem (. |.), Pak F je kvalifikován jako Hilbertův prostor . V tomto případě Rieszova věta o reprezentaci naznačuje, že mezi F a jeho duálem je izometrický izomorfismus . Je to aplikace, která k vektoru x přidruží formulář ( x |.), V důsledku toho:

• Mapa, která kterémukoli operátoru a od E do F přidruží následující bilineární tvar označený (. |.) A je izometrický izomorfismus.

∀X∈E,∀y∈F(X|y)na=(na(X)|y){\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall y \ in F \ quad (x | y) _ {a} = (a (x) | y)}

Konfigurace je stejná jako v konečné dimenzi.

Ortogonální a biortogonální

Nechť b je spojitá bilineární forma na součinu E × F dvou topologických vektorových prostorů .

• Pro jakoukoli rodinnou cp z E , podprostor cp ⊥ je uzavřen v F .
  Ve skutečnosti jde o průsečík jader lineárních forem ψ 1 ( b ) ( x ), když x prochází Φ, ale tato jádra jsou uzavřena, protože tyto formy jsou spojité.

V důsledku toho biortogonální (Φ ⊥ ) ⊥ obsahuje nejen vektorový prostor generovaný Φ, ale také jeho adhezi .

Pro háček mezi Banachovým prostorem E a jeho duálním E ' je biortogonál subprostoru Φ E redukován na adherenci Φ (to je okamžitý důsledek Hahn-Banachovy věty ), takže pokud je E reflexivní , tato vlastnost sahá do podprostoru E ' . Ale bez této hypotézy reflexivity se vlastnost nerozšíří (srov. Například prostor ℓ 1 a v jeho dvojím ℓ ∞ podprostor c 0 sekvencí nulového limitu).

Poznámky a odkazy

1. Serge Lang , Algebra [ detail vydání ]v angličtině, 1965, c. XIII, § 5.
2. (en) Rainer Kress , Lineární integrální rovnice , Springer,1999( číst online ) , s.  39-40.
3. Demonstrace inspirovaná odpovědí Neila Stricklanda  (de) v (en) produktech Duals a Tensor , na MathOverflow .

• Kurz matematiky J.-M. Arnaudiès a H. Fraysse 4: Bilineární algebra a geometrie , Dunod, 1990
• C. Semay a B. Silvestre-Brac, Úvod do tenzorového počtu, aplikace ve fyzice , Dunod, 2007 ( ISBN  978-2-10-050552-4 )
• Haïm Brezis , Funkční analýza: teorie a aplikace [ detail vydání ]

Podívejte se také

Související články

• Multilineární forma
• Sesquilineární forma
• Bilineární aplikace
• Multilineární aplikace

externí odkazy

• Bilineární formy na les-mathematiques.net. Tato stránka se zabývá hlavně konečnou dimenzí.
• Bilinear integrální formy a integrální operátory podle Laurent Schwartz . Tato přednáška se zabývá pouze případem nekonečné dimenze.
• (en) „  Bilineární forma  “ , na PlanetMath

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">