Pomocný operátor

V matematice , An asistent operátor je operátor na prehilbertian prostoru , který je definován, pokud je to možné, od jiného operátora A a které označíme A * . To je také říkal, že * je adjoint operátoru A .

Tento pomocný operátor umožňuje operátorovi A přejít z pravé části skalárního součinu definujícího prehilbertiánský prostor do levé části skalárního součinu. Jde tedy o zobecnění pojmu matice transponovaného do prostorů nekonečné dimenze.

Je-li počáteční operátor spojitý a je-li vektorový prostor kompletní , je vždy definován doplněk. V případě konečné dimenze je tedy asistent libovolného operátora dobře definován. Aplikace, která sdružuje svůj doplněk s operátorem, je semi-lineární (en) a involutivní izometrie .  

Pojem adjunct umožňuje definovat sadu operátorů, které mají zvláštní kompatibilitu s ohledem na skalární součin, přičemž operátoři dojíždějí s jejich adjunktem. Pak se o nich říká, že jsou normální . Mezi těmito operátory existují tři důležité konkrétní případy: pomocný operátor (asistent sebe), anti-self- asistent (asistent jeho protikladu) a unitární (inverze jeho asistenta). Ve skutečném vektorovém prostoru jsou použité pojmy: symetrický , antisymetrický a ortogonální . V komplexním vektorovém prostoru řekneme: hermitský (nebo hermitický), antihermitský (nebo antihermitický) a unitární .

Koncept asistenta operátora má mnoho aplikací. V konečné dimenzi a na poli komplexních čísel je struktura normálních endomorfismů jednoduchá, lze je diagonalizovat v ortonormálním základě . Případ nekonečné dimenze je složitější. Je to důležité ve funkční analýze . Autoadjoint případ je zvláště studován, poskytuje nejjednodušší rámec spektrální teorie , která je sama o sobě jádrem kvantové mechaniky . V operátora teorii , je C * algebra je Banachův prostor opatřen vnitřním právem kompozice podobného složení operátorů a hvězdy operaci , která má stejné vlastnosti, jako je aplikace, která sdružuje její doplněk operátora.

Definice

Asistent obsluhy je pojem odpovídající velmi odlišným situacím. Lze jej použít v případě euklidovského nebo hermitovského prostoru , to znamená v konečné dimenzi . Používá se také v nejjednodušším kontextu funkční analýzy , tj. V Hilbertově prostoru nebo prehilbertiánském prostoru . Nakonec jej lze ve velmi obecném rámci aplikovat na Banachovy prostory . Z tohoto důvodu existují dvě definice.

Prehilbertian

Tato definice v praxi zahrnuje dva poněkud odlišné teoretické rámce. Ten konečné dimenze a ten, kde se na dimenzi nečiní žádný předpoklad. To také odpovídá prvnímu případu funkční analýzy, nejjednoduššímu. Obecně je zvoleným vektorovým prostorem Hilbertův prostor, to znamená úplný prehilbertiánský prostor . Jelikož je poměrně snadné dokončit prehilbertiánský prostor a dostupných vět je mnohem více, je tento rámec široce používán. Jedna definice zahrnuje tyto dva případy:

Nechť H je prehilbertiánský prostor nad polem K rovný ℝ reálných čísel nebo ℂ komplexů. Tečkový produkt je v tomto článku označen (⋅ | ⋅). Nechť a * se dvěma operátory na H , to znamená dva lineární mapy H v sobě.

Definice  -  Operátor se říká, že je doplněk of jestliže: Na∗{\ displaystyle a ^ {*}}Na{\ displaystyle a}

∀X,y∈H(Na(X)|y)=(X|Na∗(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)).}

C * -algebra

Jak ukazuje zbytek článku, mapa *, která spojuje svůj doplněk s endomorfismem, je pololineární mapou prostoru endomorfismu. Tento prostor má se složením endomorfismů strukturu algebry . Aplikace *, která má stejné vlastnosti jako dodatek a je definována na algebře, je rámcem struktury zvané C * -algebra. Obrázek prvku a aplikací * se nazývá asistenta a .

Banach

Ve funkční analýze ne všechny prostory mají bodový součin. Přístup poslanců přesto zůstává plodný. Operátor a má horší vlastnosti než ty v předchozím odstavci.

V obecném případě již není ohraničen, tj. Nutně neexistuje horní hranice normy obrazu vektoru jednotkové koule . Tak derivát z funkce proměnné v reálném sadě s kompaktní podporou , nekonečně diferencovatelné a zvýšení v absolutní hodnotě u jednoho není zvýšena o konstantní nezávisle na funkci. Tento prostor opatřený normou jednotné konvergence je důležitý pro definici distribucí . Derivát je neomezený lineární operátor, který hraje velkou roli ve funkční analýze.

Operátor a nemusí být nutně definován na celém Banachu. Operátor derivace tedy není definován pro žádnou funkci] –1/2, 1/2 [v ℝ a integrovatelný v absolutní hodnotě. Ze stejného důvodu jako v předchozím odstavci je nicméně užitečné zvážit tento operátor.

V této části E a F označují dva Banach má s neomezenou operátor z E na F , E * a F * označují topologické duals z E a F . Ve zbývající části článku termín dual znamená topologickou dualitu. Je v tomto kontextu skutečně více využívaný než algebraický duální. Termín D ( ) označuje doménu , to znamená, že vektor podprostoru , na kterém je definován. Předpokládá se, hustotu tkaní v E . Zápis 〈⋅, ⋅〉E (resp. 〈⋅, ⋅〉F ) označuje dvojnost , která odpovídá bilineární mapě E * × E (resp. F * × F ), která je dvojici tvořené d ' lineární forma a vektor E (resp. F ) spojují skalár.

Definice  -  doména označený D ( *) provozovatele adjoint z je následující podmnožina F *:

D(Na∗)={y∗∈F∗,∃vs.≥0,∀X∈D(Na)|⟨y∗,Na(X)⟩F|≤vs.‖X‖}{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) = \ {y ^ {*} \ ve F ^ {*}, \; \ existuje c \ geq 0, \; \ forall x \ in { \ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} | \ leq c \ | x \ | \}}

Tato definice umožňuje následující:

Definice  -  operátor adjoint * z je provozovatelem D ( *) v E * ověřování rovnosti:

∀X∈D(Na),∀y∗∈D(Na∗)⟨y∗,Na(X)⟩F=⟨Na∗(y∗),X⟩E{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a), \; \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \ quad \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} = \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle _ {E}}

Je běžné, že E a F jsou zaměňovány; asistent je poté operátorem E *.

Hilbertův prostor

V této části předpokládáme, že H je Hilbertův prostor , tj. Úplný prehilbertiánský prostor . V tomto případě jsou topologické duální identifikuje s prostorem H . Výsledky získané v případě bilineárních forem platí bez velkých modifikací.

Případ konečné dimenze je o něco jednodušší, protože jakákoli lineární mapa je spojitá a izomorfismus mezi prostorem a jeho duálním je zřetelnější. Didaktičtější přístup je k dispozici v článku Euklidovský prostor pro skutečný případ a Hermitovský prostor pro složitý případ.

Poznámka: V případě, že tělo pod H je tělem komplexů, je tečkovaný produkt seskvilineární . Konvence zvolená v článku spočívá v tom, že tvar je lineární pro první proměnnou a pololineární pro druhou. Konjugát skalárního? Je označen lambda . Ve výchozím nastavení jsou příkazy zadávány pro složité prostory. Zůstávají pravdivé pro skutečné a kombinovaná aplikace se stává identitou.

Existence (a jedinečnost)

• Jakýkoli omezený operátor a na H připouští (jedinečného) pobočníka.
  Nechť y je vektorem H , mapa, která k vektoru x sdruží ( a ( x ) | y ), je spojitý lineární tvar. Znázornění teorém Rieszova pak zaručuje existenci (jedinečný) vektor Z tak, že kontinuální lineární formě se shoduje s aplikací na x spolupracovníků ( x | z ). Aplikace má *, ke kterému je kombinuje z je pak asistentka má .
• Naopak, pokud nějaké dvě mapy uspokojíNa,Na∗:H→H{\ displaystyle a, a ^ {*}: H \ až H}∀X,y∈H(Na(X)|y)=(X|Na∗(y)){\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y))}pak a , a * jsou lineární i spojité .
  Pojďme ukázat, že například pro v *.
  • Linearita je přímým důsledkem bilinearity a nedegeneračních vlastností tečkového produktu. Používáme to:∀X,y1,y2∈H,∀λ∈K.(X|Na∗(y1+λy2))=(Na(X)|y1+λy2)=(Na(X)|y1)+λ¯(Na(X)|y2){\ displaystyle \ forall x, y_ {1}, y_ {2} \ v H, \; \ forall \ lambda \ v K \ quad (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2 })) = (a (x) | y_ {1} + \ lambda y_ {2}) = (a (x) | y_ {1}) + {\ bar {\ lambda}} (a (x) | y_ {2})}Můžeme odvodit:(X|Na∗(y1+λy2))=(X|Na∗(y1))+(X|λNa∗(y2))tak(1)(X|Na∗(y1)+λNa∗(y2)-Na∗(y1+λy2))=0.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = (x | a ^ {*} (y_ {1})) + (x | \ lambda a ^ { *} (y_ {2})) \ quad {\ text {so}} \ quad (1) \; (x | a ^ {*} (y_ {1}) + \ lambda a ^ {*} (y_ { 2}) - a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = 0.}Rovnost (1) platí pro všechny hodnoty x, což ukazuje, že člen vpravo je nula. Tato neplatnost demonstruje lineární charakter s *.
  • Chcete-li ukázat kontinuitu a *, stačí díky uzavřené větě grafu ověřit, že pokud x n má sklon k x a pokud a * (x n ) má sklon k y, pak a * ( x ) = y . Nyní tyto dvě hypotézy naznačují (pomocí rovnice sčítání), že pro všechna z má ( z | a * ( x n )) tendenci jak k ( z | a * ( x )), tak k ( z | y ), takže a * ( x ) - y je nula (protože kolmá ke všem z ).

Příklad U všech vektorů je operátorovým asistentem operátor .X,y∈H{\ displaystyle x, y \ v H}X⊗y:z↦⟨z,y⟩X{\ displaystyle x \ ot y y: z \ mapsto \ langle z, y \ rangle x}y⊗X{\ displaystyle y \ otimes x}

Základní vlastnosti

V mnoha ohledech je asistent zrcadlovým obrazem obsluhy.

• Asistent obsluhy a je lineární.

Tento výsledek (který nezahrnuje linearitu a ) byl prokázán výše.

V konečné rozměru, matrice na doplněk z je doplněk z matrice . Ve skutečnosti, ať matrice má na ortonormální báze z H a X (resp. Y ) matice vektoru x (resp. Y) H .

(X|Na∗(y))=(Na(X)|y)=t(NAX)Y¯=tX(tNAY¯)=tXtNA¯Y¯.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = {} ^ {t} \! (AX) {\ overline {Y}} = ^ {t} \! X (^ {t} A {\ overline {Y}}) = ^ {t} \! X {\ overline {^ {t} {\ overline {A}} Y}}.}

• Pokud je operátor a omezený , pak je omezen i asistent a jeho operátorská norma je stejná jako u a .

Pod pojmem zde ohraničené znamená, že obraz o jednotkové koule je omezená. Operátor je omezen právě tehdy, pokud je spojitý.

Kontinuita doplňku byla prokázána výše, aniž bychom předpokládali, že a je ohraničeno, pomocí silné věty o uzavřeném grafu. Za předpokladu, že je omezena, důkaz je základnější: Jen si všiml, že norma byla stejně jako u asistenta je to bilineární nebo sesquilinear podobě v x a y spolupracovníků ( ( x ) | y ) = ( x | s * ( y )).

• Norma složená z a a její doplněk se rovná druhé mocnině a  :

‖Na∘Na∗‖=‖Na‖2.{\ displaystyle \ | a \ circ a ^ {*} \ | = \ | a \ | ^ {2}.}

Aplikace Assistant

Samotná izometrie * , z ℒ ( H ), která operátorovi a přidruží asistenta a *, se nazývá mapa asistenta .

Věta  -  Izometrie a ↦ a *, ℒ ( H ) sama o sobě:

• kontrolovány(Na∘b)∗=b∗∘Na∗ ;{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*} ~;}
• je semi-lineární:(Na+λb)∗=Na∗+λ¯b∗ ;{\ displaystyle (a + \ lambda b) ^ {*} = a ^ {*} + {\ overline {\ lambda}} b ^ {*} ~;}
• je involutivní  :Na∗∗=Na.{\ displaystyle a ^ {**} = a.}

Demonstrace

• Zástupce sloučeniny:∀X,y∈H(Na∘b(X)|y)=(b(X)|Na∗(y))=(X|b∗∘Na∗(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a \ circ b (x) | y) = (b (x) | a ^ {*} (y)) = (x | b ^ {*} \ zakroužkujte ^ {*} (y)).}
• Pololinearita:∀X,y∈H((Na+λb)(X)|y)=(Na(X)|y)+λ(b(X)|y)=(X|(Na∗+λ¯b∗)(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad ((a + \ lambda b) (x) | y) = (a (x) | y) + \ lambda (b (x) | y) = (x | (a ^ {*} + {\ bar {\ lambda}} b ^ {*}) (y)).}
• Involutivita:∀X,y∈H(Na(X)|y)=(X|Na∗(y))=(Na∗(y)|X)¯=(y|Na∗∗(X))¯=(Na∗∗(X)|y).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)) = {\ overline {(a ^ {*} (y) | x )}} = {\ overline {(y | a ^ {**} (x))}} = (a ^ {**} (x) | y).}

Jelikož jde o involutivní endomorfismus reálného vektorového prostoru, jedná se tedy o symetrii, to znamená, že je diagonalizovatelná vlastními hodnotami 1 a –1 (více podrobností je uvedeno v § „Symetrie“ článku o diagonalizaci ).

O operátorovi, který se rovná (resp. Je proti) svému asistentovi, se říká, že je Hermitian nebo self-assistant (resp. Antihermitian nebo anti-self-assistant). Takový operátor je normální , to znamená, že přepíná se svým asistentem. Další rodina normálních operátorů je ortogonální automorfismy .

Normální endomorfismy hermitovského prostoru a samy spojené endomorfismy euklidovského prostoru jsou diagonalizovatelné.

Ortogonalita

Vlastnosti ortogonality spojené s bilineárními tvary jsou přítomny v tomto kontextu:

• Kernel of o * je kolmý na snímku z  :KerNa∗=(ImNa)⊥.{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}Vskutku, ∀X∈H,X∈KerNa∗⇔∀y∈H(Na∗(X)|y)=0⇔∀y∈H(X|Na(y))=0⇔X∈(ImNa)⊥.{\ displaystyle \ forall x \ in H, \; x \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (a ^ {*} (x) | y ) = 0 \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (x | a (y)) = 0 \ Leftrightarrow x \ in ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}Bezprostředním důsledkem - také prokazatelné matricially - je to, že v konečném rozměr A a * mít stejnou hodnost , protože jakýkoliv vektor podprostor je pak uzavřen , takže jeho ortogonální je další jeden .

Vezmeme-li ortogonální dva členy, jeden z toho odvodí:

• Ortogonální jádra a * je adheze obrazu a  :(KerNa∗)⊥=ImNa¯.{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}.}Adheze sady E , označená E , je nejmenší uzavřená, která ji obsahuje. Například pokud a * je injective , pak a má hustý obraz v H , což v nekonečné dimenzi neznamená, že a je surjective .
• Nechť E je podprostor stabilní podle , kolmý na E je stabilní o o *. Vskutku, nechť y být prvkem kolmé části E se jeho obraz by se * je kolmý na E , protože
  ∀X∈E(X|Na∗(y))=(Na(X)|y)=0.{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = 0.}V nekonečné dimenzi, pokud E není uzavřeno, hovořit je falešné (například, pokud E je neuzavřený nadrovina , jeho kolmé je vždy stabilní od * -, protože se sníží na nulu vektor - zatímco E n "je stabilní od a obecně).

Spektrum

Spektrum operátoru a je množina skalárů λ taková, že mapa a - λId není bijektivní (Id označující mapu identity). V konečné dimenzi je spektrum množinou vlastních čísel . V nekonečné dimenzi může být širší (viz články Spektrum lineárního operátoru a Spektrální hodnota ).

• Spektrum operátoru a * je konjugátem spektra a .

Vlastnosti spektra jsou specifikovány, pokud H je konečné dimenze:

• Pokud H je konečné dimenze, determinant (resp. Charakteristický polynom) a * je konjugátem a .

• Pokud H je konečného rozměru, minimální polynom z a * je konjugát, který z .

V důsledku toho, pokud λ je vlastní hodnota multiplicity m operátoru a (tj. Kořen řádu m jeho charakteristického polynomu), pak konjugát λ je vlastní hodnota multiplicity m operátoru a *, a podobně, pokud λ je kořen řádu m minimálního polynomu a (což odpovídá tomu, že m je nejmenší celé číslo tak, že jádro ( a - λId) m se rovná jádru ( a - λId) m + 1 ), pak konjugát λ je kořen řádu m minimálního polynomu a *.

Demonstrace

• Spektrum operátoru a * je konjugátem spektra a  :

Operátor je bijektivní, právě když je jeho doplněk (podle vlastnosti ). Při použití tohoto na a - λId se odvodí výsledek. (Na∘b)∗=b∗∘Na∗{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*}}

• Pokud H má konečnou dimenzi, determinant (resp. Charakteristický polynom) a * je konjugátem a  :

Článek Determinant (matematika) ukazuje, že čtvercová matice má stejný determinant jako její transpozice. Kromě toho je determinant konjugované matice konjugát determinantu. Skutečnost, že determinant endomorfismu je stejný jako jeho matice, ukazuje, že determinant adjunktu a je konjugátem a . Stejné vlastnosti aplikované na endomorfismus a - λId ukazují rovnost charakteristických polynomů.

• Pokud H má konečnou dimenzi, minimální polynom a * je konjugátem a  :

Nechť P ( X ) je minimální polynom a . Endomorfismus P ( a ) je nula a jeho konjugát je také nula, což ukazuje, že konjugovaný polynom P ( X ) ruší doplněk, jeho konjugát je tedy násobkem polynomu a *. Ukážeme také, že konjugovaný polynom minimálního polynomu adjunktu ruší a . Dva polynomy jsou navzájem vícenásobné, oba jsou jednotné, což umožňuje dospět k závěru, že existuje rovnost.

Banachův prostor

Podstatu tohoto článku o matematice je třeba zkontrolovat (prosince 2016).

Vylepšete to nebo diskutujte o věcech ke kontrole . Pokud jste právě připojili banner, zde označte body, které chcete zkontrolovat .

Porovnejte s anglickým článkem v: Unbounded operator

Mnoho vlastností, platných pro Hilberty, lze zobecnit. Analýza asistenta operátora v obecnějším rámci Banacha má určité analogie s předchozím případem. Použité techniky se nicméně trochu liší. V této části E a F označují Banachových a má s neomezenou operátor od E až F .

Pojem „neomezený operátor“ označuje lineární mapu bez přesnosti spojitého charakteru operátora. Matematik Haïm Brezis upřesňuje: Může se tedy stát, že je neomezený operátor ohraničen. Terminologie není příliš šťastná, ale je široce používána a nezpůsobuje zmatek!

Existence a jedinečnost

Stejně jako dříve, každý provozovatel byl přijat jediný zástupce. Přesněji :

• Pro libovolný neomezený operátor a z D ( a ) ve F existuje jedinečný doplněk a doplněk je lineární.

Vzniká tak otázka, zda D ( *) je hustá v dvojí F .

• Pokud je uzavřený operátor, pak slabé topologie dvojí z F , D ( *) je hustá v dvojí F . Pokud navíc F je reflexivní pak D ( *) je hustá pro běžné topologie.

Demonstrace

• Pro libovolný neomezený operátor a z D ( a ) ve F existuje jedinečný doplněk a doplněk je lineární.

Nejprve si všimněte, že D ( a *) je vektorový prostor. Nechť y 1 * (resp. Y 2 *) je vektor D ( a *), λ prvek K a c 1 (resp. C 2 ) konstanta splňující následující vlastnost:

∀X∈D(Na)|⟨y1∗,Na(X)⟩|≤vs.1‖X‖a|⟨y2∗,Na(X)⟩|≤vs.2‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {1} \ | x \ | \ quad {\ text {and}} \ quad | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {2} \ | x \ |}

Následující nárůst ukazuje, že y 1 * + λ y 2 * je skutečně prvkem D ( a *).

∀X∈D(Na)|⟨y1∗+λ.y2∗,Na(X)⟩|≤|⟨y1∗,Na(X)⟩|+λ.|⟨y2∗,Na(X)⟩|≤(vs.1+|λ|.vs.2).‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*} + \ lambda .y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | + \ lambda. | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq (c_ { 1} + | \ lambda | .c_ {2}). \ | X \ |}

Nechť y * je prvek D ( a *). Ve výchozím nastavení je * ( y *) spojitý lineární tvar nad D ( a ). Příchodová množina K je kompletní, forma je spojitá, proto Cauchy-spojitá a je jedinečným způsobem rozšířena o spojitost. Mapa a * ( y *) je tedy skutečně prvkem E *.

Linearita a * pochází přímo z bilinearity 〈⋅, ⋅〉.

Kontinuita asistenta

Uzavřeném grafu věta znamená, že operátor je spojitý jestliže a pouze tehdy, když její graf je uzavřen. Graf a je vektorový podprostor E x F tvořený body ( x , a ( x )), když x prochází D ( a ). Operátor, který má uzavřený graf, se říká, že je uzavřený , což znamená říkat omezený nebo spojitý. Ze stylistických důvodů je častější mluvit o uzavřeném neomezeném operátoru než o neomezeném neuzavřeném operátoru, i když jsou významy stejné.

• Neomezený operátor a s hustou doménou má uzavřeného poradce.

Demonstrace

Nechť ( v n *) je posloupnost D ( a *) konvergující k v * v duálu F a taková, že sekvence (a * ( v n *)) také konverguje, ale tentokrát směrem k u * v duálu of E . Cílem je ukázat, že ( v *, u *) je prvkem grafu doplňku a . Je ověřena následující rovnost:

∀X∈E,∀ne∈NE⟨protine∗,Na(X)⟩=⟨Na∗(protine∗),X⟩{\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ langle v_ {n} ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle a ^ {*} ( v_ {n} ^ {*}), x \ rangle}

Přechod k limitu ukazuje, že:

∀X∈E⟨proti∗,Na(X)⟩=⟨u∗,X⟩≤‖u∗‖.‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ langle v ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle u ^ {*}, x \ rangle \ leq \ | u ^ {*} \ |. \ | x \ |}

Poslední zvýšení ukazuje, že v * je prvek D ( a *) a poslední rovnost ukazuje, že u * je obraz v * vyjádřený a *. V důsledku toho je bod ( v *, u *) prvkem grafu a *, který dokazuje tvrzení.

Ortogonalita

Pokud je uzavřený a má hustou doménu, pak vlastnosti ortogonality odpovídající situaci Hilbertova zůstává v platnosti:

• Jádro a se rovná ortogonálu obrazu a * a jádro a * se rovná ortogonálu obrazu a .

KerNa=(ImNa∗)⊥aKerNa∗=(ImNa)⊥{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a = ({\ text {Im}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ text { Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}}

Situace se mírně liší pro ortogonální jádra.

• Ortogonální jádra a obsahuje adhezi obrazu zástupce zástupce a a ortogonální jádra zástupce a je adheze obrazu a .

(KerNa)⊥⊃ImNa∗¯a(KerNa∗)⊥=ImNa¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}} \ quad {\ text {and} } \ quad ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}}

Pokud je prostor E reflexivní, pak ortogonální jádra a se rovná adhezi obrazu a *; jinak není rovnost zaručena.

S předpoklady uzavření a hustoty domény a  :

• Následující čtyři vlastnosti jsou ekvivalentní:

(1) Obraz a je uzavřen. (2) Zástupce se zavřel. (3) Obraz a je kolmý na přídavné jádro. (4) Obraz doplňku je kolmý k jádru a . Demonstrace

• Jádro a se rovná ortogonálu obrazu a * a jádro a * se rovná ortogonálu obrazu a  :

Všimli jsme si, že protože a je spojitá, doména a * je dvojí celé číslo F , proto:

X∈KerNa⇔∀y∗∈F∗⟨y∗,Na(X)⟩=0⇔∀y∗∈D(Na∗)⟨Na∗(y∗),X⟩=0{\ displaystyle x \ in {\ text {Ker}} \, \ Leftrightarrow \ for all y ^ {*} \ in F ^ {*} \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0}

Což ukazuje první rovnost.

Všimli jsme si, že protože D ( a ) je hustá v E , vektor duálu E je nulový právě tehdy, když je kolmý k D ( a ), proto:

y∗∈KerNa∗⇔∀X∈D(Na)⟨Na∗(y∗),X⟩=0⇔∀X∈D(Na)⟨y∗,Na(X)⟩=0{\ displaystyle y ^ {*} \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0}

Což ukazuje druhou kravatu.

• Ortogonální jádra a obsahuje adhezi obrazu zástupce zástupce a a ortogonální jádra zástupce a je adheze obrazu a  :

Studium spojitých bilineárních tvarů ukazuje, že ortogonální ortogonální vektorového prostoru obsahuje adhezi počátečního prostoru. Ortogonál ortogonálu obrazu adjunktu a proto obsahuje adherenci obrazu adjunktu a . Předchozí návrh umožňuje uzavřít následující zařazení:

(KerNa)⊥⊃ImNa∗¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}}}

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Viz například S. Lang , Analyze Réelle , InterEditions, Paris, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 ) , s.  157 .
2. Jacques Dixmier , Les C * -algebry a jejich reprezentace , Gauthier-Villars, 1964, rákos. J. Gabay, 1996 ( ISBN  978-2-87647-013-2 ) .
3. Viz například Brezis , str.  27.
4. Toto je jedna z verzí Hellinger-Toeplitzovy věty  (in)  : RE Edwards, „  The Hellinger-Toeplitzova věta  “, J. London Math. Soc. , S. 1, sv. 32, n O  4, 1957 , s.  499-501 .
5. Brezis , str.  27.

Reference

• Walter Rudin , Reálná a komplexní analýza: přednáškách a cvičeních , Dunod, 3 rd ed. 1998 ( ISBN  978-210004004-9 )
• Serge Lang , Algebra [ detail vydání ]
• Haim Brezis , Funkční analýza: teorie a aplikace ,1999 [detail vydání]
• (en) Joram Lindenstrauss a Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces Vol I , Springer, 1996 ( ISBN  978-354060628-4 )
• (en) Gert Pedersen, C * -algebras and their automorphism groups , Academic Press, London, New-York, 1979 ( ISBN  978-012549450-2 )

Dodatky

Interní odkazy

• Transformace aluthge

externí odkazy

• Doplněk endomorfismu a jeho vlastnosti A. Morame z University of Nantes 2006. Tento kurz se zabývá skutečným případem v konečné dimenzi.
• Asistent endomorfismu hermitovského prostoru na webu les-mathematiques.net, C. Antonini & al. Tento kurz se zabývá komplexním případem zejména v konečné dimenzi.
• Asistent endomorfismu Stránka společnosti Cabrilog podporovaná CNRS a univerzitou Josepha Fouriera v Grenoblu. Zabývá se euklidovským případem dimenze dva.
• Funkční analýza a spektrální teorie B. Maurey University of Paris VII. Odpovídá magisterskému kurzu a zabývá se obecným případem Banachových.
• Asistent operátora J.Ch. Gilbert z Inria. Tento text se zabývá pouze případem Banachových.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">