Basilejský problém
V matematiky je problém Basel (někdy také známý jako problém Mengoli ) je dobře známým problémem v počtu teorie , která zahrnuje žádá hodnotu součtu konvergentní série :
112+122+132+142+⋯{\ displaystyle {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots}
Problém vyřešil Leonhard Euler , který prokázal, že tato částka má hodnotu:
∑ne=1∞1ne2{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}
π26{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}a podal první důslednou demonstraci v roce 1741.
Problém, který poprvé představil Pietro Mengoli v roce 1644, studoval o 40 let později Jacquesem Bernoulli narozeným v Basileji , odolal útokům význačných matematiků té doby.
Požadovaná hodnota je přibližně rovna 1,64493406684822640. Kvůli pomalé konvergenci řady byla taková přibližná hodnota nalezena pouze implementací metod zrychlení konvergence , což zejména provedli Stirling v roce 1730 a Euler v roce 1731.
Euler, jehož rodištěm je také Basilej, oznamuje v roce 1735 objev přesné částky. Ale jeho argumenty v té době zahrnují nekonečné produkty nedůsledným způsobem. Euler získává okamžitou proslulost. Problém značně zobecnil a jeho myšlenky převzal německý matematik Bernhard Riemann ve svém článku z roku 1859 , ve kterém definoval funkci ζ , demonstroval její základní vlastnosti a uvedl slavnou hypotézu .
O šest let později, v roce 1741, předvedl Euler správnou demonstraci .
Euler na problém zaútočí
Srážka Euler hodnota n 2 /6 pou¾ije připomínky především na polynomy , za předpokladu, že tyto vlastnosti jsou vždy platí pro nekonečné řady. Eulerova původní úvaha vyžaduje zdůvodnění, ale i bez ní, získáním správné hodnoty, je schopen ji numericky ověřit proti dílčím součtům řady. Shoda, kterou pozoruje, mu dává dostatečnou důvěru, aby oznámil svůj výsledek matematické komunitě.
Chcete-li sledovat argumentu Eulerovu, vzpomeňme na expanzi Taylorova řada z funkce sinus v okolí 0:
∀X∈R, hříchX=∑ne=0∞(-1)ne(2ne+1)!X2ne+1=X-X33!+X55!-X77!+⋯{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1 )!}} x ^ {2n + 1} = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac { x ^ {7}} {7!}} + \ cdots}Za předpokladu, že x není nula a vydělíme tímto reálným, máme
hříchXX=1-X23!+X45!-X67!+⋯{\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {5!}} - {\ frac {x ^ {6}} {7!}} + \ cdots}Nyní kořeny (sin x ) / x (křižovatka s x- ose ) se objeví právě pro x = ± n n , kde n = 1, 2, 3 ... . Odvážně předpokládejme, že tuto nekonečnou řadu můžeme vyjádřit jako produkt lineárních faktorů daných kořeny:
hříchXX=(1-Xπ)(1+Xπ)(1-X2π)(1+X2π)(1-X3π)(1+X3π)⋯=(1-X2π2)(1-X24π2)(1-X29π2)⋯{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ sin x} {x}} & = \ left (1 - {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right ) \ left (1 - {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ cdots \\ & = \ left ( 1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2}}} \ vpravo) \ vlevo (1 - {\ frac {x ^ {2}} {4 \ pi ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {9 \ pi ^ {2}}} \ right) \ cdots \ end {aligned}}}Pokud formálně provedeme tento produkt a seskupíme všechny členy x 2 , uvidíme, že koeficient x 2 v sin ( x ) / x je
-(1π2+14π2+19π2+⋯)=-1π2∑ne=1∞1ne2{\ displaystyle - \ left ({\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {9 \ pi ^ {2}}} + \ cdots \ right) = - {\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}Z rozšíření původní nekonečné řady sin ( x ) / x je ale koeficient x 2 :
-13!=-16{\ displaystyle - {\ frac {1} {3!}} = - {\ frac {1} {6}}}Tyto dva koeficienty musí být stejné; tak,
-16=-1π2∑ne=1∞1ne2{\ displaystyle - {\ frac {1} {6}} = - {\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}Vynásobením obou stran této rovnice –π 2 získáme součet inverzí čtverců kladných celých čísel.
Riemannova funkce zeta
Riemann zeta funkce ζ ( y ), je jednou z nejdůležitějších funkcí teorie čísel , protože jeho vztahu k distribuci prvočísel . Funkce je definována pro libovolný komplexní počet s reálné části striktně větší než 1 následujícím vzorcem:
ζ(s)=∑ne=1∞1nes{\ displaystyle \ zeta (s) = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}}Tím, že vezmeme s = 2, vidíme, že ζ (2) se rovná součtu inverzí čtverců kladných celých čísel:
ζ(2)=∑ne=1∞1ne2=112+122+132+142+⋯≈1,644934{\ displaystyle \ zeta (2) = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}} } + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots \ přibližně 1 {,} 644934}Je snadno ukázáno, zvýšením tuto řadu pozitivních podmínek pomocí teleskopického série , konverguje a ζ (2) <5/3 = 1,66 ... , ale přesná hodnota ζ (2) = π 2 /6 , je stále neznámý po dlouhou dobu, dokud se Euler vypočtená numericky v roce 1735, (re) vynalézání to udělat vzorec nyní známý jako součtovým vzorce Euler-Maclaurin , a zjištění jeho rovnosti (až do dvacátého desetinné čárky) s n 2 /6 , a poté sestavte demonstraci. Mnohem později dokázal, že ζ (2 n ) má v Bernoulliho číslech pěkný výraz pro celé číslo n > 0.
Demonstrace
Následující tvrzení prokazuje identitu £ (2) = n 2 /6 , kde ζ je Riemann zeta fungují . Toto je nejzákladnější dostupná ukázka; protože většina důkazů používá výsledky z pokročilé matematiky, jako je Fourierova řada , komplexní analýza a vícerozměrný počet ; následující ani nevyžaduje jednorozměrný výpočet (i když na konci je stanoven limit ).
Tato demonstrace sahá až do Cours d'Analyse (en) v Cauchy (1821). Objevuje se v knize Akivy a Isaaka Yagloma (en) Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii z roku 1954 , poté v časopise Eureka v roce 1982, připsaném Johnu Scholesovi, ale Scholes řekl, že se o demonstraci dozvěděl od Petera Swinnertona-Dyera , a v jakékoli tvrdí, že demonstrace byla „v Cambridgi koncem šedesátých let dobře známá “.
Trigonometrické připomenutí
Na kotangensích funkcích cot = cos / sin a kosekans csc = 1 / sin používáme následující vlastnosti pro libovolné skutečné x ∈] 0, π / 2 [ :
Demonstrace
Hlavní myšlenkou demonstrace je sestavení dílčích součtů
∑k=1m1k2=112+122+⋯+1m2{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1 } {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ {2}}}}mezi dvěma výrazy, z nichž každý má sklon k π 2/6když m má sklon k nekonečnu.
Nechť m je kladné celé číslo. Použijte identitu
hřích((2m+1)X)hřích2m+1X=∑k=0m(-1)k(2m+12k+1)náklady2(m-k)X{\ displaystyle {\ frac {\ sin ((2m + 1) x)} {\ sin ^ {2m + 1} x}} = \ součet _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k } {2m + 1 \ vyberte 2k + 1} \ postýlka ^ {2 (mk)} x}při každém x r =r π/2 m + 1∈] 0, π / 2 [ pro r ∈ {1,…, m } :
∑k=0m(-1)k(2m+12k+1)náklady2(m-k)Xr=hřích(rπ)hřích2m+1Xr=0protoP(náklady2Xr)=0{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} {2m + 1 \ vyberte 2k + 1} \ cot ^ {2 (mk)} x_ {r} = {\ frac {\ sin (r \ pi)} {\ sin ^ {2m + 1} x_ {r}}} = 0 \ quad {\ text {proto}} \ quad P (\ cot ^ {2} x_ {r}) = 0}kde P je polynom
P(t): =∑k=0m(-1)k(2m+12k+1)tm-k{\ displaystyle P (t): = \ součet _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} {2m + 1 \ vyberte 2k + 1} t ^ {mk}}.
Vzhledem k tomu, polynom studia m a o m čísla do dětských postýlek 2 ( x r ) jsou přesně kořeny P . Můžeme tedy vypočítat jejich součet jako funkci koeficientů P :
náklady2X1>náklady2X2>⋯>náklady2Xm{\ displaystyle \ cot ^ {2} x_ {1}> \ cot ^ {2} x_ {2}> \ dots> \ cot ^ {2} x_ {m}}
náklady2(π2m+1)+náklady2(2π2m+1)+⋯+náklady2(mπ2m+1)=(2m+13)(2m+11)=2m(2m-1)6.{\ displaystyle \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2m + 1}} \ right) + \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {2 \ pi} {2m + 1 }} \ right) + \ cdots + \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {m \ pi} {2m + 1}} \ right) = {\ frac {{2m + 1} \ vyberte 3} { {2m + 1} \ vyberte 1}} = {\ frac {2m (2m-1)} {6}}.}Nahrazením identity csc 2 ( x ) = 1 + dětská postýlka 2 ( x ) máme
csc2(π2m+1)+csc2(2π2m+1)+⋯+csc2(mπ2m+1)=2m(2m-1)6+m=2m(2m+2)6.{\ displaystyle \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2m + 1}} \ right) + \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {2 \ pi} {2m + 1 }} \ right) + \ cdots + \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {m \ pi} {2m + 1}} \ right) = {\ frac {2m (2m-1)} {6} } + m = {\ frac {2m (2m + 2)} {6}}.}Nyní zvažte rámovací postýlku 2 ( x ) <1/x 2<csc 2 ( x ) . Přidáním všech těchto polí pro každé číslo x r =r π/2 m + 1 a pomocí výše uvedených dvou identit dostaneme
2m(2m-1)6<(2m+1π)2+(2m+12π)2+⋯+(2m+1mπ)2<2m(2m+2)6.{\ displaystyle {\ frac {2m (2m-1)} {6}} <\ vlevo ({\ frac {2m + 1} {\ pi}} \ vpravo) ^ {2} + \ vlevo ({\ frac { 2 m + 1} {2 \ pi}} \ vpravo) ^ {2} + \ cdots + \ vlevo ({\ frac {2m + 1} {m \ pi}} \ vpravo) ^ {2} <{\ frac { 2 m (2 m + 2)} {6}}.}Jejich vynásobením [ π / (2 m + 1) ] 2 se to stane
π26(2m2m+1)(2m-12m+1)<112+122+⋯+1m2<π26(2m2m+1)(2m+22m+1).{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ vlevo ({\ frac {2m} {2m + 1}} \ vpravo) \ vlevo ({\ frac {2m-1} {2m + 1}} \ vpravo) <{\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ { 2}}} <{\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ vlevo ({\ frac {2m} {2m + 1}} \ vpravo) \ vlevo ({\ frac {2m + 2} { 2 m + 1}} \ vpravo).}Když m tendenci růst do nekonečna, levá a pravá část sklon ke každému n 2 /6 , tedy od lisovací teorém ,
ζ(2)=∑k=1∞1k2=limm→∞(112+122+⋯+1m2)=π26.{\ displaystyle \ zeta (2) = \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = \ lim _ {m \ do \ infty} \ vlevo ( {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ {2}}} \ vpravo) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}
Eulerova demonstrace
Eulerův trik spočívá v druhém vyhodnocení integrálu
∫01arcsinX1-X2dX=[(arcsinX)22]01=π28{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arcsin x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, {\ rm {d}} x = \ left [{ \ frac {(\ arcsin x) ^ {2}} {2}} \ vpravo] _ {0} ^ {1} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}}}.
Podle všeobecné binomické vzorce ,
∀X∈]-1,1[arcsin′X=11-X2=∑k=0∞1⋅3⋅5⋯(2k-1)2⋅4⋯(2k)X2k{\ displaystyle \ forall x \ in \ left] -1,1 \ right [\ quad \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} = = součet _ { k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2k-1)} {2 \ cdot 4 \ cdots (2k)}} x ^ {2k}}.
Termínovou „ integrací “ odvozujeme vývoj celočíselných řad funkce arc sine :
arcsinX=∑k=0∞1⋅3⋅5⋯(2k-1)2⋅4⋯(2k)X2k+12k+1{\ displaystyle \ arcsin x = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2k-1)} {2 \ cdot 4 \ cdots (2k)} } {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}}}.
Zlato
∀k∈NE∫01X2k+11-X2dX=2⋅4⋯(2k)3⋅5⋯(2k+1){\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} \ quad \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} } \, {\ rm {d}} x = {\ frac {2 \ cdot 4 \ cdots (2k)} {3 \ cdot 5 \ cdots (2k + 1)}}}(
indukcí, integrací po částech nebo změnou proměnné, která dává
Wallisův integrál ).
Tím, sériově integrální inverze , Euler tedy najde součet inverses čtverců lichých čísel:
π28=∫01arcsinX1-X2dX=∑k=0∞1(2k+1)2{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arcsin x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} } \, {\ rm {d}} x = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2k + 1) ^ {2}}}}pak uzavře vynásobením
geometrickou řadou :
∑ne=1∞1ne2=∑k,j∈NE1((2k+1)2j)2=π28∑j=0∞14j=π28×43=π26{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ sum _ {k, j \ in \ mathbb {N}} {\ frac { 1} {\ left ((2k + 1) 2 ^ {j} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {4 ^ {j}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}} \ krát {\ frac {4} {3}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}.
Tento druhý Eulerův důkaz vypadal přísněji než ten první. Jediné, co chybělo, bylo ospravedlnění sériové integrální inverze. To lze napravit vyvoláním například věty o monotónní konvergenci , kterou prokázal Beppo Levi v roce 1906.
Výpočet je získán velmi jednoduše pomocí nástrojů harmonické analýzy . Stačí aplikovat Parsevalova rovnost na Fourierova řada z periodické funkce s obdobím 2π rovna totožnosti na [-π, n [.
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z
anglického článku Wikipedie s názvem
„ Basilejský problém “ ( viz seznam autorů ) .
Poznámky
-
Abyste získali 4 správná desetinná místa, musíte přidat více než 15 000 podmínek součtu.
-
Ve skutečnosti je možné definovat ζ pro jakýkoli komplex jiný než 1 pomocí různých metod rozšíření: viz funkce Riemann zeta, § Rozšíření na ℂ- {1} .
-
Příklad poskytuje komplexní analýzy rozvíjí π 2 / sin 2 (π x ), které při aplikaci na x = 1/2 , dává součet čtverců reciprocals lichých čísel: n 2 /8 , který Euler odvodil Š (2) = π 2 /6 .
Reference
-
(La) Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum , 1730, Prop. XI , příklad 1 , s. 55-56 ; se dostane vztah , který umožňuje výpočet částky s dobrou přesností, ale nerozpoznává přesné hodnoty n 2 /6 .∑ne=1∞1ne2=∑ne=1∞3ne2(2nene){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {3} {n ^ {2} {2n \ vyberte n}}}}
-
Euler, Opera Omnia , řada 1 , roč. 14, s. 39-41 ( E20: De summatione innumerabilium progressionum ).
-
Euler, Opera Omnia , řada 1 , roč. 14, s. 73-86 ( E41: De summis serierum reciprocarum ).
-
L. Euler , „ Důkaz o součtu této posloupnosti 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + atd. , Noviny čte. Německa, Švýcarska a severu , sv. 2,1743, str. 115-127 ( číst online )(E63, Opera Omnia , I. 14 , s. 177–186 ), napsaný v roce 1741. Viz také jeho dopis z dubna 1742 (OO396) Clairautovi .
-
El Jj , „ Dvě (dvě?) Minuty pro ... Riemannovu hypotézu “ ,4. dubna 2016(zpřístupněno 14. března 2019 )
-
Poznámka VIII .
-
(in) Náročné matematické problémy s Elementary Solutions , sv. 2, náhled v Knihách Google , problém 145a , s. 2 24 a 131 .
-
(in) Ed Sandifer, How did it Euler - Basel Problem with Integrals [PDF] , březen 2004.
-
Viz například toto opravené cvičení na Wikiversity .
Podívejte se také
Související články
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">