V matematice, Borelian kmen (také volal Borel kmen nebo Borelian kmen ) na prostoru topological X je nejmenší kmen na X obsahuje všechny otevřené soubory . Prvky kmene Borelianů se nazývají Borelians . Borelián je tedy součástí X , jehož doplňkem je také Borelián, stejně jako spojení počitatelného množství Boreliánů.
Pojmu vděčí za svůj název Émile Borel , který v roce 1898 vydal první výstavu kmene Borelianů pravé pravice .
Borel může být ekvivalentně definována jako nejmenší kmen, který obsahuje všechny podmnožiny uzavřené z X .
V případě, že topologie X připouští chovatel spočetnou A , pak je Borel spojené s X je generován A .
Vzhledem k tomu, podmnožina Y of X je Borel z Y pro topologii indukované je totožná s ochrannou známkou v Y z Borel z X . To je prokázáno linií při aplikací dopravní lemmatu na kanonický vstřikování z Y na X .
Na produkt ze dvou topologické prostory X a Y je kmen produkuje Borelian kmeny X a Y je vždy součástí Borelian pokolení produktu. Když X a Y mají spočetnou základnu , existuje dokonce rovnost. Více podrobností naleznete v článku „ produktový kmen “.
Zvláště důležitým příkladem je borelianský kmen množiny reálných čísel. Borelianský kmen na množině reálných čísel je nejmenší kmen na ℝ obsahující všechny intervaly .
Borelian kmen je také generován otevřených intervalech formě ] , + ∞ [ , kde A traverzy ℝ; Je dokonce stačí, aby zvážila v husté podmnožiny z ℝ jako ℚ slouží sada racionálních čísel .
Stejným způsobem, v každém rozměru, Borelian kmen na ℝ n je generován dlažbě . Možných je mnoho variant, takže boreliánský kmen ℝ n je také generován:
(v každém z příkladů se můžeme omezit na použití racionálních čísel: všechny tyto generující rodiny jsou proto spočítatelné).
Kmen Borelianů umožňuje definovat Borelianskou míru , která odpovídá intuitivnímu pojetí délky, plochy, objemu atd. (název „Borelianova míra“ se může podle autorů lišit, viz Borelova míra (disambiguation) ).
Borelianské opatření není úplné, protože kmen Borelianů neobsahuje některé zanedbatelné prvky . Když dokončíme Borelianovu míru, získáme Lebesgueovu míru .
Lebesgueova míra a Borelianova míra se shodují na kmeni Borelianů. A pokud máme a kde , definujeme to a dostaneme to .
Kmen Lebesgue je kmen, na kterém je definována míra Lebesgue. Je to tedy kmen Borelianů, ke kterému přidáme všechny podmnožiny zahrnuté v podmnožině nulové míry (pro Borelianskou míru ).
L={NA∪NE∣NA∈B, NE⊂B∈B,μ(B)=0}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {A \ pohár N \, \ střední \, A \ v {\ mathcal {B}}, \ N \ podmnožina B \ v {\ mathcal {B}}, \ mu (B) = 0 \}} Proto .Podmnožina X je boreliánská, pokud ji lze získat z otevřených množin provedením spočetné posloupnosti operací unií, křižovatek a přechodu k doplňku, ale na rozdíl od první intuice tak daleko od ní nezískáme, všichni Boreliáni (i když získáváme všechny obvyklé Boreliány); skutečně, třída získané podle tohoto stavebního systému není stabilní pro spočetné setkání a křižovatek, a je nutné, aby získat všechny Borelians, iterovat transfinitely režimu; pro více informací viz články „ generovaný kmen “ a „ hierarchie Borela “.
Tato konstrukce umožňuje dokázat, že borelianský kmen ℝ n má sílu kontinua .
Měřitelný prostor se říká, že Lusinian nebo standardní , pokud je izomorfní s Borelian části polského prostoru opatřeného kmene vyvolané Borelian kmene. Věta o Kuratowském to zajišťuje
Všechny nespočetné standardní měřitelné prostory jsou izomorfní.
Z hlediska boreliánské struktury jsou tedy všechny obvyklé nespočetné prostory nerozeznatelné: ℝ je izomorfní pro všechny ℝ n , pro Baireův prostor ℕ ℕ , pro Hilbertovu krychli [0, 1] ℕ , pro Cantorův prostor {0, 1} ℕ , v Banachova prostoru oddělitelné C ([0,1]), ( vektorový prostor funkce spojité od [0, 1] v ℝ, vybaven standardu o stejnoměrné konvergence ), atd. - i když se tyto prostory z topologického nebo algebraického hlediska velmi liší.