Původně byl Archimédův axiom takto: „Pro dvě nerovné veličiny existuje vždy celočíselný násobek menšího, většího než většího. "
O struktuře se říká, že je archimédská, pokud její prvky ověřují srovnatelnou vlastnost.
Skupina totálně spořádaná ( G , +, ≤) se říká Archimédův (en) , jestliže pro všechny prvky a b o G , který by splňoval 0 < z < b , existuje přirozené číslo n takové, že n > b .
Formálně je psáno:
Hypotéza a > 0 je zásadní, ale omezení b > a je náhodné: pokud a > 0, pak pro všechna b ≤ a je vhodné celé číslo n = 2 .
Jakákoli plně uspořádaná archimédská skupina se ponoří do ( ℝ , +, ≤) - zejména je to abelian .
Nechť ( A , +, ×, ≤) je zcela uspořádaný prsten .
Říkáme, že ( A , +, ×, ≤) splňuje Archimédův axiom nebo je Archimédův, pokud je uspořádaná skupina ( A , +, ≤) Archimédův.
Nechť ( K , +, ×, ≤) je zcela uspořádané pole (konkrétní případ zcela uspořádaného kruhu). Rozdělení podle několika > 0 ukazuje, že je to Archimédův tehdy a jen tehdy, pokud
jinými slovy, pokud se nezvýší ℕ . Takové pole je izomorfní (jako uspořádaná pole) na dílčí těleso toho z reálných čísel .
Přesněji můžeme ukázat, že následující vlastnosti jsou ekvivalentní:
1 ⇒ 2: viz § „Příklady“ článku Hustá objednávka .
2 ⇒ 3: je-li ℚ husté, pak pro všechna ε> 0 v K existuje racionální striktně mezi 0 a ε, tedy existence celých čísel q > 0 a p taková, že
3 ⇒ 4 je zřejmé.
4 ⇒ 1: v K , pokud (1 / n ) konverguje poté
proto
takže ℕ se nezvýší.
Tento axiom se také vyskytuje jako axiom IV, 1 „skupiny IV kontinuity“ v axiomech euklidovské geometrie, které navrhl Hilbert v roce 1899 . Hilbert například ukazuje, že důkaz rovnosti ploch mezi dvěma rovnoběžníky se stejnou základnou a stejnou výškou nutně používá Archimédův axiom.
Hilbert také ukazuje, že v poli, pokud nepředpokládáme komutativní násobení, pak nutně tato komutativita součinu vyplývá z archimédského charakteru těla. Chcete-li ukázat, že ab = ba , je myšlenka vzít libovolně malý prvek d a pomocí archimédského znaku těla uzavřít a mezi nd a ( n + 1) d a uzavřít b mezi md a ( m + 1) d , pro dvě celá čísla m a n . Toto ohraničení používáme k odvození libovolně malého ohraničení ab - ba a k závěru, že tento rozdíl je nulový.
Jako každé archimédovské pole, i pole realů splňuje „multiplikativní archimedovskou vlastnost“: pro každé reálné M a jakékoli reálné y > 1 existuje přirozené číslo n takové, že y n ≥ M (tato vlastnost je demonstrována v článku „ Geometrická posloupnost“ ").
(ℚ, +, ×, ≤) a (ℝ, +, ×, ≤) jsou archimédská těla. Neboť is je to okamžité; pro ℝ je to součást axiomů nebo je z nich odvozeno, v závislosti na zvolené axiomatice: srov. " Konstrukce reálných čísel ".
Zde je příklad nearchimédského prstenu. Uvažujme prsten ℝ [ X ] polynomů nad ℝ. Řekneme, že R > 0 právě tehdy, když R je nenulové a jeho dominantní koeficient je kladný, a že P ≤ Q právě tehdy, když P = Q nebo Q - P > 0.
Pak (ℝ [ X ], +, ×, ≤) je zcela uspořádaný prsten, ale který není Archimédův.
Ve skutečnosti pro každé celé číslo n máme X > n . V tomto uspořádaném kruhu je X „nekonečně velký“.Kanonické rozšíření tohoto řádu na pole zlomků ℝ [ X ] je tedy celkovým nearchimédským řádem na ℝ ( X ) , ve kterém 1 / X je „ nekonečně malý “.
Zvažte skupinu obdařenou lexikografickým řádem . Tato skupina tedy není archimédská. Pro každé přísně kladné celé číslo n máme:
0 < n (0, 1) = (0, n ) <(1, 0).David Hilbert , Základy geometrie , Dunod, Paříž 1971 nebo Gabay, 1997