Pojem pravděpodobnost má několik významů: historicky vychází z latinských pravděpodobností , označuje opak pojmu jistoty; to je také zhodnocení pravděpodobného charakteru části k události , která má říci, že hodnota umožňuje reprezentovat svoji míru jistoty; v poslední době se pravděpodobnost stala matematickou vědou a nazývá se teorie pravděpodobnosti nebo jednodušeji pravděpodobnost ; Nakonec doktrína také nese název pravděpodobnosti .
Pravděpodobnost události je reálné číslo mezi 0 a 1. Čím větší je číslo, tím větší je riziko nebo šance , že se událost stane. Vědecké studium pravděpodobnosti je v historii matematiky relativně nové. Studie pravděpodobnosti viděl mnoho vývoj od XVIII -tého století přes studii o náhodnosti a nepředvídatelnosti některých jevů, zejména hazardu. To vedlo matematiky k vývoji teorie, která měla důsledky v oborech, jako je meteorologie , finance nebo chemie .
Původně v Aristotelových překladech slovo „pravděpodobnost“ nenaznačovalo kvantifikaci náhodnosti skutečnosti, ale vnímání, že myšlenku všichni běžně přijímají. Teprve ve středověku , pak v období renesance , kolem postupných komentářů a nepřesností v překladu Aristotelovy práce došlo u tohoto termínu k významovému posunu, který nakonec označil věrohodnost myšlenky.
Vznik pojmu „riziko“ , před ke studiu pravděpodobnosti, jen se objevil v XII th století, pro vyhodnocení obchodních smluv v souladu se Smlouvou smlouvy Peter Olivi a S ‚vyvinut v XVI -tého století, přičemž šíření námořních pojistných smluv. Kromě některých základních úvah podle Gerolamo Cardano na počátku XVI th století, a Galileo na počátku XVII th století, skutečný Počátky teorie pravděpodobnosti korespondence mezi Pierre de Fermat a Blaise Pascal v roce 1654.
Bylo to v druhé polovině XVII th století, po práci Blaise Pascal , Pierre de Fermat a Christiaan Huygens na problém bodů , pojem „pravděpodobnost“ se postupně vybírá svou aktuální význam, s vývojem v matematické léčbě předmět Jakob Bernoulli .
V XVIII -tého století, Gabriel Cramer dával běh na pravděpodobnostní logiky , která se stane základem v článku pravděpodobností o encyklopedii Diderot , psaný na konci tohoto století. To je, zatímco v XIX th století, že toto lze považovat za moderní teorie matematické pravděpodobnosti.
Počítání pravděpodobností má nový vývoj na počátku XX . Století, s axiomatikou Kolmogorovovou ; pak začíná teorie pravděpodobnosti . Pravděpodobnost se stává vědou a teorií jako obor matematiky.
Existuje tedy několik konceptů, které podrobně rozvedeme v následujících částech:
První použití slova pravděpodobností se objeví v roce 1370 s překladem do etiky Nicomaques z Aristotela od Oresme , a pak označuje „charakter, co je pravděpodobné.“ Koncept pravděpodobného v Aristotelovi (ενδοξον, v řečtině) je tedy definován v tématech :
„Jsou pravděpodobné názory, které dostanou všichni muži, nebo většina z nich, nebo moudrí, a mezi nimi buď všichni, nebo většina, nebo nakonec nejpozoruhodnější a nejslavnější“
To, co u Aristotela činí názor pravděpodobným, je jeho obecně přijímaný charakter; je to pouze překlad Cicera v Aristotelových tématech , který překládá pravděpodobnost nebo verisimilis , že pojem pravděpodobnosti je spojen s pojmem „pravděpodobnosti“, který bude mít vliv během středověku a renesance , s následnými komentáři k dílo Aristotela .
Věta, situace nebo tvrzení jsou pravdivé nebo nepravdivé. Jeho pravděpodobnost je „zjevná znalost pravdivosti nebo nepravdivosti tvrzení“ . Pojem nejistoty je sám o sobě vadou tohoto poznání. Pro návrh existují tři případy:
Tato reprezentace vyvinutá Cramerem umožňuje odhalit způsob měření pojmu nejistoty nebo pravděpodobnosti. Poté uvádí následující definici pravděpodobnosti:
Definice (Gabriel Cramer) - Jelikož celá jistota vychází z ujištění, že člověk má existenci všech podmínek požadovaných pro určité pravdy, a pravděpodobnost toho, že člověk má znalosti o existenci některých - Za jedné z těchto podmínek jsme pohled na jistotu jako celek a pravděpodobnost jako součást. Správná míra pravděpodobnosti tvrzení bude tedy přesně známa, když můžeme říci a dokázat, že tato pravděpodobnost stoupá na poloviční jistotu nebo na tři čtvrtiny celé jistoty, nebo pouze na třetinu jistoty atd.
Jak již bylo uvedeno výše, pojem pravděpodobnosti umožňuje kvantifikovat šanci. Formalizace na počátku XX -tého století, je nyní široce používán. (např. tuto knihu najdete v knize Jacoda a Prottera)
Pravděpodobnost určité události A , jak je uvedeno , spojuje hodnotu mezi 0 a 1, že k události dojde. Když se říká, že událost je téměř jistá (nebo téměř jistá), to znamená, že má „každou šanci“, že se stane. Naopak, pokud se o A říká, že je zanedbatelná (nebo téměř nemožná), znamená to, že má nulovou šanci na výskyt.
Pravděpodobnost události A lze získat častým způsobem, zejména když je možné provést experiment několikrát a spočítat počet úspěchů experimentu. Skutečně, pokud provedeme experiment nkrát nezávisle a že v n A případech je realizována událost A , pak je pravděpodobnost A dána vztahem: . Pravděpodobnější je, že když je počet možných výsledků experimentu konečný a tyto výsledky jsou stejně pravděpodobné, pravděpodobnost A se získá z: .
Matematicky je událost A podmnožinou množiny Ω, která představuje všechny možné eventuality. Pro získání teorie navrhl Kolmogorov axiomy : pravděpodobnost musí ověřit:
Díky tomuto popisu lze několik konceptů napsat matematicky.
Říká se, že dvě události jsou nezávislé, pokud nám znalost pravděpodobnosti první události nepomůže předpovědět pravděpodobnost druhé události a naopak. Matematicky, toto je psáno: . Například pravděpodobnost získání esa na prvním hodu kostkami a získání esa na druhém hodu kostkami je znásobení dvou pravděpodobností a rovná se 1/36.
Je možné považovat pravděpodobnost události (označme ji A ) za podmíněnou jinou ( označíme B ). Když se tyto dvě události nejsou nezávislé, skutečnost, že zná pravděpodobnost jednoho ovlivňuje pravděpodobnost, že druhá podle vzorce: . Například pravděpodobnost získání součtu dvou kostek rovných 12, když je první kostka 6, se rovná 1/6.
Existují vzorce, které umožňují vypočítat jakýkoli typ pravděpodobnosti. To je případ vzorce Poincare , zákona totální pravděpodobnosti a Bayesovy věty .
Christian Huygens, povzbuzený Pascalem, publikoval v roce 1657 De ratiociniis in ludo aleae (uvažování o kostkových hrách). Tato kniha je první významnou prací o pravděpodobnosti. Definuje pojem naděje a rozvíjí několik problémů sdílení zisků během her nebo losování do volebních uren. Za zmínku stojí také dvě zakládající díla: Ars Conjectandi od Jacquese Bernoulliho (posmrtný, 1713), který definuje pojem náhodné proměnné a dává první verzi zákona velkých čísel , a Teorie pravděpodobnosti od Abrahama de Moivreho (1718) zobecňuje použití kombinatoriky .
Teorie klasické pravděpodobnosti vzlétne pouze s pojmy míry a měřitelných množin, které zavedl Émile Borel v roce 1897. Tuto představu míry završuje Henri Léon Lebesgue a jeho teorie integrace . První moderní verzi centrální limitní věty podává Alexander Liapunov v roce 1901 a první důkaz moderní věty poskytuje Paul Lévy v roce 1910. V roce 1902 představil Andrej Markov markovské řetězce, aby provedl zobecnění zákona velkého počtu pro řadu zkušeností, které na sobě navzájem záleží. Tyto Markovovy řetězce znají mnoho aplikací, mimo jiné pro modelování distribuce nebo indexování webů na Googlu.
Teprve v roce 1933 se teorie pravděpodobnosti vynořila ze souboru různých metod a příkladů a stala se skutečnou teorií, axiomatizovanou Kolmogorovem .
Kiyoshi Itô zavádí teorii a lemma, které nese jeho jméno ve 40. letech 20. století. Umožňují spojit stochastický počet a parciální diferenciální rovnice , čímž se vytváří vazba mezi analýzou a pravděpodobností. Matematik Wolfgang Doeblin načrtl podobnou teorii před spácháním sebevraždy po porážce svého praporu vČerven 1940. Jeho práce byly odeslány na Akademii věd v zalepené obálce, která byla otevřena až v roce 2000.
AxiomatickýNa začátku XX -tého století Kolmogorov definuje matematické axiomy, aby se vyšetřila nehodu. Takto konstruuje prostor možností zvaný vesmír , který obsahuje všechny možné šance, poskytuje mu množinu, která obsahuje podmnožiny vesmíru zvané kmen , a s mírou pravděpodobnosti, která umožňuje vypočítat odpovídající pravděpodobnosti. Takto vytvořený prostor splňuje tři axiomy pravděpodobností:
Abychom mohli lépe zvládat náhodu, je vhodné použít náhodnou proměnnou . Může to být skutečné , ale může to být také vícerozměrné nebo ještě obecnější. Tato skutečná proměnná je teoreticky aplikace: každé nebezpečí kombinuje výsledky experimentu .
Tato proměnná má rozdělení svých hodnot dané zákonem pravděpodobnosti , což je míra. Ta druhá může být reprezentována mnoha způsoby, nejběžnější je použití distribuční funkce , hustoty pravděpodobnosti (pokud existuje) nebo hromadné funkce , pokud existuje . Lze studovat mnoho vlastností zákonů pravděpodobnosti, a tedy náhodných proměnných: očekávání , momenty , nezávislost mezi několika proměnnými atd.
Věty o konvergenci a limituJe možné uvažovat o nekonečném počtu náhodných proměnných . Existuje v tomto případě možný limit? Poté vyvstává otázka pojmu náhodné konvergence. Existuje několik typů konvergencí: konvergence v právu, což je konvergence zákona proměnné (jako měřítka), konvergence v pravděpodobnosti , téměř určitá konvergence nebo v průměru konvergence .
Mnoho mezních vět pak existuje. Nejznámější jsou: zákon velkých čísel, který oznamuje, že průměr prvních n náhodných proměnných konverguje k teoretickému průměru obecného práva náhodných proměnných; centrální limitní věta , která dává správnou Renormalizace součtu náhodných proměnných mít netriviální limit.
Stochastický počet je studium jevů, které se vyvíjejí v čase náhodně. Čas lze modelovat diskrétním způsobem, to znamená celočíselnými hodnotami :, v tomto případě je tento jev reprezentován (nekonečnou) posloupností náhodných proměnných :, jedná se o náhodnou procházku . Čas lze také modelovat kontinuálně, tj. Pomocí reálných hodnot, nebo jde o stochastický proces .
Se stochastickým kalkulem je pak spojeno několik vlastností: vlastnost Markov oznamuje, že budoucí pohyb jevu závisí pouze na současném stavu a ne na minulém pohybu; opakování a pomíjivost Markov řetězce zajistit návrat nebo unikátní průchod v daném stavu; martingalu je proces, tak, že se stav budoucnost je určen v průměru o současném stavu, atd
Nauka o pravděpodobnosti, jinak známý probabilism , je katolická morální teologie, která se vyvinula v průběhu XVI th století pod vlivem, mimo jiné, Bartolomé de Medina a jezuité . Se vznikem doktríny pravděpodobnosti, bude tento termín viz sémantický posun nakonec určit střed XVII -tého století, pravděpodobný charakter nápad.
Pravděpodobnost, že stanovisko pak označuje střed XVII th století, je pravděpodobnost, že skutečný názor. To nebylo až do konce XVII -tého století se vznikem matematické pravděpodobnosti, že pojem pravděpodobností bude týkat pouze více názory a myšlenky, ale také fakta a bude blížit pojem náhodou známe dnes.
Při studiu náhodného jevu existuje několik způsobů, jak přistupovat k pojmu pravděpodobnosti souvisejícího s tímto jevem.
Poté se objeví filozofická představa: protože přírodu a svět kolem nás známe pouze prostřednictvím naší zkušenosti a našeho pohledu, známe ji pouze subjektivně a nemůžeme přesně odhadnout objektivní zákony, které je řídí.
IPCC používá kalibrovaného přirozený jazyk souhrnů pro rozhodují o svých zprávách.
„K označení odhadované pravděpodobnosti výsledku byly použity následující kvalifikátory: téměř jistá (99-100% pravděpodobnost), velmi pravděpodobná (90-100%), pravděpodobná (66-100%), přibližně stejně pravděpodobná (33) 66%), nepravděpodobné (0 až 33%), velmi nepravděpodobné (0 až 10%), výjimečně nepravděpodobné (0 až 1%). Posuzovaná pravděpodobnost je vyznačena kurzívou: například velmi pravděpodobná ... V případě potřeby lze použít i jiné kvalifikátory: extrémně pravděpodobné (95 až 100%), pravděpodobnější než ne (> 50 až 100%), nepravděpodobnější než pravděpodobnější ( 0 až <50%) a extrémně nepravděpodobné (0 až 5%). Nakonec tato zpráva rovněž používá výrazy „pravděpodobný rozsah“ a „velmi pravděpodobný rozsah“, což znamená, že odhadovaná pravděpodobnost výsledku se pohybuje v rozmezí 17 až 83% nebo 5 až 95%. "
Hazardní hry jsou nejpřirozenější aplikací pravděpodobnosti, ale existuje mnoho dalších oblastí, které se na pravděpodobnost spoléhají nebo ji využívají. Mezi ně patří mimo jiné:
Existuje několik způsobů, jak se přiblížit pravděpodobnostem: a priori výpočet a a posteriori výpočet . (viz část o výkladu pravděpodobností výše). Výpočet a posteriori pravděpodobností odpovídá přiřazení hodnot neznámých pravděpodobností díky Bayesově teorému .
Pro odhad pravděpodobnosti se používají statistické odhady, aby se lépe přiblížila požadovaná proměnná. Odhadovatel je hodnota vypočtená ze vzorku celkové populace studie. Odhad je dobře zvolen, tj. Poskytne dobrý odhad hledaných hodnot, pokud jde o nezaujatý a konvergentní odhad; tj. empirický průměr se přibližuje k teoretickému průměru a odhadovatel konverguje ke správné náhodné proměnné, jak se zvětšuje velikost vzorku. Metoda maximální pravděpodobnosti umožňuje vybrat dobrý odhad.
Pomocí těchto metod je možné najít neznámé parametry zákona pravděpodobnosti souvisejícího se studovaným jevem.
Bayesiánská revize je další metodou pro výpočet zadních pravděpodobností . Děje se tak díky Bayesově teorému : V tomto vzorci hypotéza představuje to, co a priori předpokládáme o náhodném jevu, důkaz je součástí jevu, který známe a kterou můžeme měřit. Termín se nazývá pravděpodobnost . Tímto způsobem je možné měřit a posteriori pravděpodobnost hypotézy, kterou jsme stanovili s přihlédnutím k důkazu .
Příklad 1Empirická frekvence se používá k odhadu pravděpodobností. Ve vzorku n jedinců stačí spočítat, kolikrát jedinec patří do hledané kategorie A. Zaznamenáním tohoto čísla mezi n tahy se frekvence blíží požadované pravděpodobnosti . Pokud se při 400 hodech mincí objeví 198násobek bočního obličeje , pak z toho vyplývá, že pravděpodobnost získání obličeje je přibližně . Toto je zvláštní případ zákona velkých čísel . 0,495 je odhadovaná hodnota .
Příklad 2Je znám seznam hodnot , předpokládá se normální rozdělení, jehož průměrná hodnota m je známa. Otázkou je najít směrodatnou odchylku σ normálního rozdělení. Statistika T definován je odhadce å , to znamená, že má tendenci å jako n tendenci růst do nekonečna.
Příklad 3Zajímá nás, jaké bude zítra počasí, předpověď počasí poskytuje další informace. Některé údaje jsou známy: pravděpodobnost, že předpověď počasí dobře věděl, že ve skutečnosti bude v pořádku: pravděpodobnost, že předpověď počasí dobré vědět, že bude pršet: .
Je vybrána hypotéza: například to, a priori , považujeme jednu ze dvou šancí, že zítra bude dobré počasí.
Potom je možné vypočítat pravděpodobnost, že předpověď počasí ohlásí dobré počasí: to znamená, že předpověď počasí hlásí dobré počasí v 55% případů. Pravděpodobnost, že zítra bude slunečno s vědomím, že předpověď počasí oznámila dobré počasí, je dána:
Potom je možné podruhé revidovat předpoklad, že bude dobré počasí, při pohledu na druhou zprávu o počasí z jiného zdroje. Poté bychom jako novou hypotézu brali nově vypočítanou pravděpodobnost dobrého počasí.