V matematiky je řetěz je transcendentní rovinné křivky , který odpovídá tvaru, že kabel (nebo řetězce) má, když je pozastavena svými konci a podrobeno jednotné gravitační síly (jeho vlastní hmotnosti). Někdy se mu dává jméno velar .
Problém formy, kterou má pružný těžký drát, zajal mnoho matematiků.
V roce 1638 Galileo napsal: „My vysadit na zdi v určité výšce dva hřebíky, také vzdálené od obzoru ...; o těchto dvou nehty můžeme pozastavit jemné řetěz ...; tento řetěz se ohnutím ve tvaru paraboly , takže pokud označíme jeho cestu na zdi tečkovanými čarami, získáme kresbu celé paraboly.
Důkazem, že se řetěz nebude mít podobu paraboly byla poskytnuta v roce 1627 od Joachim Jung ve svém geometrica Empirica a 1646 by Huygens .
V roce 1691 , Leibniz , Jean Bernoulli a Huygens , z popudu výzvu zahájené Jacques Bernoulli , ukazují téměř současně, že přesná podoba je křivka transcendentní stanovením jeho rovnice.
Zanechal za sebou latinské slovo problema funicularium (problém týkající se lana), které používá Bernoulli, ho Huygens používá v dopise adresovaném Leibnizovi. slovo catenaria , křivka vztahující se k řetězci ( catena ), se poté změní na francouzské řetězové vedení , čímž se oživí termín catenella používaný Galileem (zatímco anglicky mluvící matematici si ponechají označení Huygens, aby jej pojmenovali řetězovka , stejné anglické slovo bude přeloženo ve francouzštině trolejovým vedením se stejným latinským původem, slovo také používané ve francouzštině pro některé samonosné konstrukce ve tvaru řetězu).
Někteří frankofonní autoři mu proto dávají také název trolejového vedení , ačkoli trolejové vedení ve francouzštině obvykle označuje spojení samonosného kabelu spojeného ve stejné svislé rovině ve spodní části s druhým kabelem, který má být, pokud je to možné, téměř lineární, přičemž oba kabely jsou obecně vystaveny podélné tahové síle a jsou vzájemně svisle spojeny řadou kolmých spojů. Tento nosný systém deformuje horní nosné lano a ve skutečnosti mu dává tvar blíže parabole , přičemž řetěz již není přítomen, s výjimkou faktu , procházejícího mezi dvěma lany, na nichž jsou kloubově kyvadla proměnné délky.
Výhodou sestavy podpěry trolejového vedení je, že umožňuje, aby spodní kabel dostal téměř přímočarý tvar. To umožňuje například zlepšit kontakt a vyrovnat (a dokonce snížit) celkové třecí síly v železničních energetických systémech (vyhnout se co nejvíce možným zlomům způsobeným opakovanými rázy a jiskrami na kabelu. Napájení) a také umožňuje omezit celkovou délku spodního kabelu, což snižuje jeho celkový elektrický odpor (tedy energetické ztráty ve vedení v tomto kabelu) pro trolejové přenosové troleje, aniž by bylo nutné velmi významně zvyšovat napětí kabelů ( což je v průběhu času postupně oslabuje účinkem uložených nepružných prodloužení).
A to je skutečně pozoruhodná vlastnost, tvar řetězu je takový, který umožňuje minimalizovat jeho podélné napětí: zvýšením průhybu zakřivení (maximální rozteč kabelu vzhledem k přímce spojující body připevnění ), takže také celková délka kabelu mezi dvěma pevnými upevňovacími body, toto podélné napětí je významně sníženo, a proto také nepružné prodloužení a rizika předčasného přetržení kabelu.
Tato vlastnost řetězu se používá u nosných kabelů lanovky (nebo jiných podobných nosných systémů, jako je sedačková lanovka ), které mají podobu řetězu mezi body připevnění k pevným stožárům nebo mezi bodovým zatížením gondola a každý z bodů připojení k předchozímu a následujícímu pylonu; jediným dodatečným napětím vyvíjeným na kabel je pak ohyb vyvíjený v průsečících po sobě jdoucích řetězových oblouků (na pylonech nebo nad gondolou), ohyb, jehož nežádoucí nepružný účinek lze snížit nahrazením tohoto bodu pevnou podpěrou oblouk (například kruhová kladka kladky ), dostatečné délky k rozdělení a omezení ohybového zakřivení působícího lokálně na kabel. K přepravě kabelu a překročení velmi velkých vzdáleností mezi dvěma stožáry je tedy dostatečný velmi malý počet stožárů, přičemž mezi nimi je jediný řetěz, při zachování sníženého napětí kabelu, které zvyšuje jeho odpor a užitečné zatížení.
Řetěz vedení vysokého napětí se liší v závislosti na množství přepravované energie a povětrnostních podmínkách . Proudová zatížitelnost označuje aktuální maximální mohou být přepravovány v jednom okamžiku, aniž by je kabel příliš blízko k podlaze (v důsledku tepelné roztažnosti v důsledku Jouleova efektu ).
Kartézská rovnice pro tvar řetězu je:
,ve kterém cosh označuje hyperbolický kosinus .
Parametr a =T Hwje poměr horizontální složku T H napětí T k lineární hustotě w , hmotnosti na jednotku délky.
Tato rovnice závisí na jediném parametru a (konstanta, která má ve fyzické interpretaci rozměr délky). Křivka rovnice:
obecně není řetězem v užším slova smyslu. Tvar křivky se však nemění kromě aditivní konstanty (určující její výšku rozpětí) a následující křivka bude také považována za zobecněný řetězec:
Lze to také považovat za parametrickou rovnici:
Může být vhodné vzít jako parametr napětí, které se zvyšuje s nadmořskou výškou bodu. Za těchto podmínek s ohledem na jakékoli osy:
Definice křivky jako u objektu předpokládá, že lano, lano nebo řetěz nevyvíjejí žádnou pružnou ohybovou sílu (ani tření na příčných kontaktních plochách článků řetězu), a proto musí být zapojena jediná síla je gravitační síla vyvíjená rovnoměrně po celé délce. Tato definice také předpokládá, že celková délka kabelu nebo kterékoli jeho části zůstává neměnná, když jsou vyvíjeny podélné tahové síly (proto kabel kvůli této trakci nepodléhá žádnému elastickému prodloužení, ideálním případem pak není délka šňůra, ale šňůra velmi jemného řetězu s nedeformovatelnými články, přičemž každý z nich je ve srovnání s celkovou délkou řetězu velmi krátký).
Nelze-li opomenout prodloužení vlasce, stane se podle Hookeova zákona napětí v klidu dl malého prvku pod napětím :
s E Young modulu a A úseku trati.
Horizontální a vertikální projekce malého prvku, který se upravuje ve stejných poměrech, je pro získání odpovídajících parametrických rovnic nutné rozlišit dvě předchozí rovnice, výsledky vynásobit faktorem zvýšení a znovu integrovat. Každá ze dvou rovnic pak obsahuje druhý člen opravený členem nepřímo úměrným tuhosti EA a výsledná křivka již není řetězcem.
Aby byla gravitační síla stejnoměrná, předpokládá se, že všechny úseky stejné délky kabelu nebo lana mají stejnou hmotnost, bez ohledu na tuto délku průřezu (v případě ideálního řetězu jsou elementární články všechny stejného tvaru a velikosti, ale také ze stejných hmot vyrobených z pevného materiálu s homogenní hustotou). Na druhou stranu musíme také připustit, že gravitační síly vyvíjené na každý z těchto úseků jsou stejné (a proto nezávisí na poloze úseků, což je možné pouze v případě, že vzdálenost mezi jejich těžištěm a středem Země gravitace je prakticky stejná mezi libovolnými dvěma úseky, a proto je celková délka kabelu zanedbatelná ve srovnání se vzdáleností mezi středem kabelu a středem Země, takže modul a směr gravitačního pole Země jsou pak prakticky konstantní po celé délce ideálního kabelu nebo řetězu).
Nakonec se předpokládá, že bez ohledu na tvar řetězu zůstává omezen po celé své délce v rovině tvořené polohou jeho konců a stálým směrem gravitačního pole: všechny síly akce nebo reakce jsou pak vyvíjeny v tato rovina bez zásahu jakékoli další torzní síly (nebo akční síly vyvíjené mimo tuto rovinu na libovolný úsek řetězu jsou všude a neustále vyváženy reakcí torzních sil rovných v modulu a opačně ve směru k akčním silám, takže jakákoli torzní síla síly, elastické nebo ne, nepřijdou do hry ve tvaru řetězu v této rovině: tento případ se týká nití, šňůr a kabelů vytvořených z pramenů, které jsou vnitřně vystaveny takovým torzním silám udržovaným v rovnováze působením protikroucení).
Teorie řetězu popisuje rovnovážnou křivku přímky (řetězu nebo kabelu) zavěšené mezi dvěma body, homogenní, neroztažitelné, bez ohybové tuhosti, vystavené samotné její hmotnosti. Tato poslední podmínka zajišťuje, že celá křivka je umístěna ve svislé rovině, přičemž souřadnicový systém je přirozeně x horizontální, y vertikální.
Pro stanovení podmínek rovnováhy uvažujeme jako v odolnosti materiálů řezáním myšlenkou čáry v libovolném bodě a odhalením vazebných sil. Při absenci tuhosti v ohybu neexistuje ani smyková síla, ani ohybový moment, ale pouze jedna axiální síla T, která se nazývá tah, α je její úhel s vodorovnou rovinou. Horizontální složka je tedy zapsána T cos α a vertikální složka T sin α .
Absence ohybové tuhosti vytváří na druhé straně velké deformace, které vedou ke studiu rovnováhy malého prvku délky d s . Rovnice rovnováhy sil dává podél vodorovné osy .
Od tohoto poměru proto prochází konstantní horizontální silou
není nic jiného než derivace vodorovné složky a svislá síla rovnající se její hmotnosti w d s (kde w je hmotnost na jednotku délky), což vede k diferenciálním rovnicím
Integrace první rovnice dává T cos α = T H , přičemž integrační konstanta T H je vodorovná složka síly: vodorovná složka síly je konstanta v kterémkoli bodě křivky. Druhý dává T sin α = w ( s - s 0 ) .
Zde integrační konstanta, jejíž hodnota závisí na počátku křivočarých úseček, odpovídá nejnižšímu bodu křivky, kde křivková úsečka i úhel α mění znaménko.
Čtverečkováním a sčítáním získáme zákon variace napětí podle křivkové osy:
Rozdělením dvou základních rovnic získáme sklon křivky:
Odvození vzhledem k x vede k
Integrace dává . Zpětným chodem to přijde:
Nová integrace dává rovnici řetězce:
Ze svahu také odvodíme křivočarou úsečku:
stejně jako vertikální složka napětí:
Proto samotné napětí:
Na následujícím obrázku je vidět, že řetěz se napíná se zvyšujícím se vodorovným napětím .
Pokud jsou dva upevňovací body ve stejné výšce, dokazujeme, že: kde L je celková délka kabelu a h ohybová deformace kabelu.
Také dokazujeme, že: a:
kde H je vzdálenost mezi dvěma upevňovacími body umístěnými ve stejné výšce („H“ na obrázku výše).
Použití řetězové křivky na konstrukci oblouků je přičítáno anglickému fyzikovi Robertu Hookeovi v souvislosti s rekonstrukcí katedrály svatého Pavla v Londýně , kde odkazoval na řetězovou křivku “), ale uvědomil si pouze„ aproximaci “ ".
Kolem roku 1671 Robert Hooke oznámil Královské společnosti , že vyřešil problém optimálního tvaru oblouku. V roce 1676 vydal řešení v příloze ke své knize Popis helioskopů a různých dalších nástrojů . Napsal, že našel „skutečnou matematickou a mechanickou formu všech druhů oblouků pro budovu“ , řešení bylo zašifrováno v přesmyčce . Během svého života neposkytl jeho latinský překlad, který dal pouze jeho vykonavatel, v roce 1705 , dva roky po jeho smrti: „ Ut continuum pendet flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum “ , což zhruba znamená „stejně jako pružný drát visí, takže obrácením jeden najde sousední kousky oblouku ". Robert Hooke pochopil, že stavební materiály mohou odolat pouze tlakovým silám, a nikoli tahovým silám, v přímém kontrastu s jednoduchým závěsným lanem, které odolává trakci, ale může se deformovat tlakem.
Marquette Plaza v Minneapolisu.
Pohled na Rijád a věž Kingdom Center .
Nubianská klenba , Egypt.
Ctesiphonův oblouk v paláci Taq-e Kisra v iráckém Bagdádu.
Kopule katedrály Santa Maria del Fiore ve Florencii.
Kopule Pantheonu v Paříži.
řetězovky oblouky z Casa Mila v Barceloně.
trolejové oblouky Masia Freixa ve španělské Terrasse.
Hangár vzducholodi Écausseville.
Gateway Arch Saint-Louis.
Gateshead Millennium Bridge, otočný most pro pěší v Gateshead.
Sheffield Winter Garden v Sheffieldu.
Kontejnerový oblouk, ve výstavbě v Černobylu.
Catene kontejnerů , v přístavu Le Havre.
Lano vystavené síle může mít jiné formy: Toto je případ „křivky švihadla“ , které nejenže podstupuje sílu rovnoměrně rozloženou na jeho vlastní váhu (která mu dává tvar řetězu, když není rotující), ale také větší odstředivá síla ve středu švihadla (v rotaci) než na jeho koncích, což deformuje řetěz do té míry, že bude mít špičatější tvar, nebo dokonce na trojúhelníkové hranici rychlostí rotace směřující do nekonečna, protože síly související s hmotností lana jsou zanedbatelné ve srovnání s odstředivou silou. Čím rychleji se lano otáčí, tím více se deformuje a napěťový rozdíl mezi horní částí a spodní částí lana se zvětšuje, přičemž tento rozdíl je maximální uprostřed délky lana (což bude tedy zlomovým bodem lana). lano). zde, pokud to otočíme příliš rychle).
Největší napětí vyvíjené na konstrukci řetězu je zatížení maximální hmotností přenášenou v jejím středu: jedná se o rotující švihadlo, kde je odstředivá síla spojená s jeho otáčením maximální ve středu lana. vzdálenost od osy otáčení je maximální), nebo pokud lano podepírá závaží zavěšené ve svém středu (jako na šňůře na prádlo, pokud neopravujeme oblečení, které se nosí na šňůře, aby se zabránilo tomu, že se všechny sklouznou ke středu lana) .
Když oddělíme dva kruhy původně spojené jen z mýdlového roztoku, trubkový povrch, který je vytvořen mezi těmito dvěma profily, má profil řetězu: je to katenoid , jehož středová osa trubice má tvar řetězu: napětí na horní povrch katenoidní trubice (vyvíjený podélně ve směru osy trubice) je menší než povrch spodní plochy a vysvětluje, proč se vodní trubice vždy zlomí od dna, když se toto separační napětí zvětší než přibližné napětí vyvíjené mezi mýdlové molekuly.
Tuto otázku minimálního povrchu položil a vyřešil švýcarský matematik a fyzik Leonhard Euler v roce 1744 .
Katenoid je však ideální formou pro samonosnou konstrukci využívající profil řetězu, protože je možné kompenzovat tlakové síly vyvíjené na horní povrch předkompresí tohoto povrchu a kompenzovat separační síly na spodním povrch trubky umožňující větší pružnost. Tento tvar je proto přijat pro trubky nosných oblouků.
Řetěz se stejným odporem je forma, kterou má těžký pružný neroztažitelný drát zavěšený mezi 2 body, jehož průřezová plocha se mění tak, aby se měnila po celé své délce tak, aby byla všude úměrná místnímu napětí, aby bylo dosaženo stejnoměrného napětí řetěz nebo kabel.
Tato křivka se také nazývá „Coriolisova řetězovka“ nebo „křivka logaritmického sinu“ a byla studována anglickým inženýrem Daviesem Gilbertem ( „řetězovka stejné síly“ ) v roce 1826 .
Ve Francii to bude studovat matematik Gustave Coriolis v poznámce publikované v roce 1836 v časopise Journal of pure and Applied Mathematic .
Pružný řetěz je forma vytvořená pružným homogenním nekonečně tenkým pružným těžkým drátem zavěšeným mezi dvěma body, umístěným v jednotném gravitačním poli.
Tuto křivku studoval matematik a geometr Étienne Bobillier v roce 1826 a matematik M. Finck.
Nezávěsný most tvořený jediným, téměř plochým obloukem, nesený pouze na jeho dvou koncích, přirozeně zaujímá tvar řetězu, pokud není vystaven žádnému jinému svislému nebo vodorovnému namáhání než je jeho vlastní váha, nebo pokud je zatížení, které podporuje, rovnoměrné distribuován po jeho délce. Totéž platí pro vodorovný rám umístěný obkročmo na dvou nosných stěnách.
Opice most přirozeně se na tvaru řetězu z důvodu zástěry snížena na nejjednodušší vyjádření, jak je v blízkosti Briksdalsbreen ledovec v Norsku .
Pěší řetězovka můstek , konstrukce v blízkosti opice mostu, také přijímá tvar řetězce, jako je visutý most pro pěší Holzgau (z) , postavený v roce 2012 , v Holzgau , v Tyrolsku , v Rakousku , nebo Vzhledem k tomu,29.dubna 2021, Nejdelší pěší řetězovka most na světě, na 516 Arouca (en) lávku s rozpětím 516 m v Arouca v Portugalsku .
Jiné systémy existují při konstrukci samonosných mostů (postavených jako obrácený řetězový oblouk), které jim umožňují odolat dalším namáháním vyvíjeným buď vodorovně kolmo k obloukům, nebo přenášet kabely v ose mostu (hlavně větrem) nebo svisle na povrchu mostu (buď větrem, nebo vozidly, která tam obíhají: toto omezení je snazší kontrolovat, protože má účinek totožný se změnou vlastní hmotnosti a vede ke zkrácení délky rozpětí); to vyžaduje, aby se konce mostu mohly pohybovat vodorovně, aby se zabránilo zlomení ve středu mostu zvýšením podélného napětí, pokud je zabráněno tomuto podélnému posunutí, což umožňuje zachovat ideální profil řetězu), a může být dosaženo zónami na každém konci, které se volně posouvají jeden do druhého v ose mostu; neustálé sledování rozestupu nebo aproximace těchto posuvných zón umožňuje okamžitě měřit podélné napětí samonosné konstrukce a tím zabránit přerušení (nebo uzavřít dopravu, jakmile dojde k překročení bezpečnostních prahů, například kvůli příliš silný vítr). Stejný systém se používá pro vodorovné rámy, o něco delší než vzdálenost mezi stěnami nebo svislými nosnými stožáry, a někdy je nesen otočným ramenem kloubově umístěným v horní části nosného stožáru, což umožňuje vyrovnat vzdálenost na každém konci.
![]() | |
---|---|
![]() |
Řetěz: délka řetězce jménem YouTube k Exo7Math |