Totožnost (matematika)

V matematice se slovo „identita“ používá v několika smyslech: může například označit přesně definovaný objekt, který hraje určitou roli v rodině objektů (hovoří se tak o funkční identitě mezi funkcemi, o identitě prvku). ve skupině , identity matice mezi maticemi atd.).

Tento článek je věnován jinému významu: identita je rovnost mezi dvěma výrazy, která platí bez ohledu na hodnoty použitých různých proměnných ; zneužíváním jazyka někdy také křtíme „identitu“ jako rovnost mezi stálými výrazy , kterou považujeme za základní nebo překvapivou. Identity se obecně používají k transformaci jednoho matematického výrazu do jiného, ​​zejména k řešení rovnice nebo k vyjádření důležitého vztahu mezi určitými prvky teorie.

Příklady

• V trigonometrii existuje mnoho identit, které vám umožňují provádět výpočty.
  Například,hřích2⁡(X)+cos2⁡(X)=1{\ displaystyle \ sin ^ {2} (x) + \ cos ^ {2} (x) = 1}je identita ve správném smyslu, pravdivá bez ohledu na hodnotu skutečného (a dokonce komplexního ) čísla .X{\ displaystyle x}
• Totožnost Vandermonde v kombinatorika , platí pro všechny hodnoty ze tří přirozených čísel , která tam zasáhnout.
• Eulerova slavná identitaEiπ+1=0{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi} + 1 = 0}odkazy jednoduchým a nápadným způsobem základní konstanty matematické analýzy  : 0  ; 1  ; i  ; π  ; a e .

Pozoruhodné identity

Některé algebraické identity jsou ve středním vzdělávání kvalifikovány jako „pozoruhodné“ . Usnadňují výpočet nebo faktorizaci polynomiálních výrazů.

Například pozoruhodná identita , která platí bez ohledu na prvky a komutativní prstenec (jako jsou relativní celá čísla nebo pole reálných čísel ...), poskytuje metodu výpočtu k provedení násobení, pokud má člověk jednoduché seznamy čtverců: použití (na+b)2=na2+2nab+b2{\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}

nab=(na+b)2-na2-b22{\ displaystyle ab = {\ dfrac {(a + b) ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2}}}

nab=(na+b)2-(na-b)24{\ displaystyle ab = {\ dfrac {(a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2}} {4}}}

výpočet produktu spočívá v výpočtu součtů nebo dělení o 2 a čtení seznamu čtverců. nab{\ displaystyle ab}

Identity definující matematické pojmy

Některé matematické struktury jsou definovány pomocí identit.

• Vektorový prostor s antisymmetric bilinear mapě je lež algebra , podle definice, kdy Jacobi identita je splněna:PROTI{\ displaystyle V \,} [⋅,⋅]:PROTI×PROTI→PROTI{\ displaystyle \ left [\ cdot, \ cdot \ right]: V \ krát V \ rightarrow V \,}∀X,y,z∈PROTI,[X,[y,z]]+[z,[X,y]]+[y,[z,X]]=0{\ displaystyle \ forall x, y, z \ in V, \ qquad \ left [x, \ left [y, z \ right] \ right] + \ left [z, \ left [x, y \ right] \ right ] + \ left [y, \ left [z, x \ right] \ right] = 0}
• Algebra přes pole komutativním je Jordan algebra , podle definice, kdy je vnitřní operace násobení je komutativní a ověřuje identitu Jordánu .(X,y)→(X⋅y){\ displaystyle (x, y) \ rightarrow (x \ cdot y)}(X⋅y)⋅(X⋅X)=X⋅(y⋅(X⋅X)){\ displaystyle (x \ cdot y) \ cdot (x \ cdot x) = x \ cdot (y \ cdot (x \ cdot x))}

Poznámky

1. N. Bourbaki hovoří o "polynomiálních identit" na reálné vztahy tvaru Q ( P 1 , ..., P n ) = 0 s Q , P 1 , ..., P n o polynomů s koeficientů celek . Pozoruhodné identity univerzity jsou zvláštními případy, viz N. Bourbaki , Elements of mathematics. Algebra , Paříž, CCLS,1970, kap.  3, s.  27.

externí odkazy

• Encyclopedia of Equation Online encyklopedie matematických identit