Integrovatelnost
V matematiky se integrovatelnost z numerické funkce je jeho schopnost, aby mohl být integrován, to znamená, že mají určitý integrál (který má smysl) a konečné (který není roven nekonečnu ).
Pojem integrovatelnosti závisí na pojmu integrál, který je zvažován. Existuje několik typů integrálů, z nichž nejznámější a nejpoužívanější je Riemannův integrál a Lebesgueův integrál .
Integrovatelnost ve smyslu Riemanna
Funkce schodiště
Dovolit být uzavřený interval součástí a . Říkáme, že jde o funkci schodiště, pokud existuje dělení a reálná čísla , jako je[na,b]{\ displaystyle [a, b]}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
ψ:[na,b]⟶R{\ displaystyle \ psi: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}
ψ{\ displaystyle \ psi}
na=X0<X1<⋯<Xne=b{\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ tečky <x_ {n} = b}
vs.1,...,vs.ne{\ displaystyle c_ {1}, \ tečky, c_ {n}}![{\ displaystyle c_ {1}, \ tečky, c_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65f6ed5b4925e12537c9640f353e5ab8418bac3)
ψ(X)=vs.i ∀X∈]Xi-1,Xi[ ∀i∈{1,...,ne}{\ displaystyle \ psi (x) = c_ {i} ~~~ \ forall x \ in \ left] x_ {i-1}, x_ {i} \ right [~~~ \ forall i \ in \ {1, \ tečky, n \}}
.
Pokud je kroková funkce, pak je její integrál (ve smyslu Riemanna) definován jako
ψ{\ displaystyle \ psi}
[na,b]{\ displaystyle [a, b]}![[a, b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
∫nabψ(t)dt: =∑i=1nevs.i(Xi-Xi-1){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ psi (t) dt: = \ součet _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x_ {i} -x_ {i-1}) }
.
Integrovatelnost v uzavřeném intervalu
Dovolit být uzavřený interval zahrnutý v a . Předpokládáme, že je to omezené , to znamená, že existuje skutečný takový pro všechny . Poznámka
[na,b]{\ displaystyle [a, b]}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
F:[na,b]⟶R{\ displaystyle f: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}
F{\ displaystyle f}
M>0{\ displaystyle M> 0}
F(X)≤M{\ displaystyle f (x) \ leq M}
X∈[na,b]{\ displaystyle x \ v [a, b]}![{\ displaystyle x \ v [a, b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
Já+(F): =inf{∫nabψ(t)dt:ψ je kroková funkce taková ψ≥F}{\ displaystyle I _ {+} (f): = \ inf \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ psi (t) dt: \ psi {\ text {je taková schodišťová funkce}} \ psi \ geq f \ doprava \}}
a
Já-(F): =sup{∫nabφ(t)dt:φ je kroková funkce taková φ≤F}{\ displaystyle I _ {-} (f): = \ sup \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ varphi (t) dt: \ varphi {\ text {je taková schodišťová funkce}} \ varphi \ leq f \ right \}}
.
Potom řekneme, že je integrovatelný (ve smyslu Riemanna), jestliže a v tomto případě je jeho integrál (ve smyslu Riemanna) definován jako
F{\ displaystyle f}
Já-(F)=Já+(F){\ displaystyle I _ {-} (f) = já _ {+} (f)}![{\ displaystyle I _ {-} (f) = já _ {+} (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ee48b2635bcd06392e5933bf162f8f744debe9)
∫nabF(t)dt: =Já-(F)=Já+(F){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) dt: = I _ {-} (f) = I _ {+} (f)}
.
Integrovatelnost v jakémkoli intervalu
Je interval z interní non prázdná zahrnuty i . Domníváme se, že je lokálně integrovatelná (ve smyslu Riemann) o , to znamená, že omezení ze na libovolném uzavřeném intervalu obsažené v integrovatelná (ve smyslu Riemann). Označte levý konec a jeho pravý konec. Pak řekneme, že je to integrovatelné (ve smyslu nesprávných Riemannův integrálů ), pokud pro všechno ve vnitřku máme, že se tyto dvě limity sbíhají:
Já{\ displaystyle I}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
F:Já⟶R{\ displaystyle f: I \ longrightarrow \ mathbb {R}}
F{\ displaystyle f}
Já{\ displaystyle I}
F{\ displaystyle f}
Já{\ displaystyle I}
na{\ displaystyle a}
Já{\ displaystyle I}
b{\ displaystyle b}
F{\ displaystyle f}
Já{\ displaystyle I}
vs.{\ displaystyle c}
Já{\ displaystyle I}![Já](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
limX→na∫Xvs.F(t)dt{\ displaystyle \ lim _ {x \ až a} \ int _ {x} ^ {c} f (t) dt}
a .
limX→b∫vs.XF(t)dt{\ displaystyle \ lim _ {x \ to b} \ int _ {c} ^ {x} f (t) dt}![{\ displaystyle \ lim _ {x \ to b} \ int _ {c} ^ {x} f (t) dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27f2eed48dc724a47b6df246c0de465d0c71209)
V tomto případě je integrál (ve smyslu nesprávných Riemannův integrál) definován jako součet dvou předcházejících limitů.
F{\ displaystyle f}![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
Kritéria integrovatelnosti
- U všech spojitých lze sloučeninu integrovat .Φ:R⟶R{\ displaystyle \ Phi: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}
Φ∘F{\ displaystyle \ Phi \ circ f}
[na,b]{\ displaystyle [a, b]}![[a, b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
- Produkt lze integrovat .FG{\ displaystyle fg}
[na,b]{\ displaystyle [a, b]}![[a, b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
- Minimum může být integrován na .min(F,G){\ displaystyle \ min (f, g)}
[na,b]{\ displaystyle [a, b]}![[a, b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
- Maximum může být integrován na .max(F,G){\ displaystyle \ max (f, g)}
[na,b]{\ displaystyle [a, b]}![[a, b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
- Absolutní hodnota může být integrován na .|F|{\ displaystyle | f |}
[na,b]{\ displaystyle [a, b]}![[a, b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
- Pokud je absolutní hodnota funkce integrovatelná v jakémkoli intervalu, pak i samotná funkce. Konverzace platí pro uzavřený interval, ale pro neuzavřený interval je nepravdivá. Pokud je funkce integrovatelná, ale její absolutní hodnota není, pak říkáme, že její integrál je semi-konvergentní .
- Pokud jsou kladné, místně integrovatelné a navíc, když integrovatelnost on zahrnuje i . Všimněte si, že je zaškrtnuto, například nebo kdy .F,G:[na,b[⟶R+{\ displaystyle f, g: [a, b [\ longrightarrow \ mathbb {R} _ {+}}
F(X)=Ó(G(X)){\ displaystyle f (x) = O (g (x))}
X→b{\ displaystyle x \ to b}
G{\ displaystyle g}
[na,b[{\ displaystyle [a, b [}
F{\ displaystyle f}
F(X)=Ó(G(X)){\ displaystyle f (x) = O (g (x))}
0≤F≤G{\ displaystyle 0 \ leq f \ leq g}
F(X)∼G(X){\ displaystyle f (x) \ sim g (x)}
X→b{\ displaystyle x \ to b}![{\ displaystyle x \ to b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c27a556d0293a768ebbdfebbb984578d8ad5b8)
- Dovolit být neprázdný vnitřní interval, jehož levý a pravý konec jsou označeny a . Předpokládejme, že a jsou konečné. If je místně integrovatelný a má konečné limity a potom je integrovatelný .Já{\ displaystyle I}
na{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
na{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
F:Já⟶R{\ displaystyle f: I \ longrightarrow \ mathbb {R}}
na{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
F{\ displaystyle f}
Já{\ displaystyle I}![Já](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
Příklady a protiklady
- Funkce ukazatel z racionálních čísel mezi 0 a 1 nelze integrovat.
- Riemannovo kritérium: funkce je integrovatelná pouze tehdy, když . Tuto stejnou funkci lze integrovat pouze tehdy, když .X↦X-α{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- \ alpha}}
]0,1]{\ displaystyle] 0,1]}
α<1{\ displaystyle \ alpha <1}
[1,+∞[{\ displaystyle [1, + \ infty [}
α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}![\ alfa> 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d81dbbc4786493c7b8548cc324a978d7cf5dbd)
- Bertrandovo kritérium: funkce je integrovatelná pouze tehdy, když nebo ( a ). Tuto stejnou funkci lze integrovat pouze tehdy, když nebo ( a ).X↦X-αln(X)-β{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- \ alpha} \ ln (x) ^ {- \ beta}}
]0,E-1]{\ displaystyle] 0, e ^ {- 1}]}
α<1{\ displaystyle \ alpha <1}
α=1{\ displaystyle \ alpha = 1}
β>1{\ displaystyle \ beta> 1}
[E,+∞[{\ displaystyle [e, + \ infty [}
α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}
α=1{\ displaystyle \ alpha = 1}
β>1{\ displaystyle \ beta> 1}![{\ displaystyle \ beta> 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1476a19e8f0d4cee97bf949617be8ed3cbc676e6)
- Tuto funkci lze integrovat, ale ne její absolutní hodnotu. Jeho integrál, kterému se říká Dirichletův integrál , je tedy polokonvergentní.X↦hřích(X)/X{\ Displaystyle x \ mapsto \ sin (x) / x}
]0,+∞[{\ displaystyle] 0, + \ infty [}![{\ displaystyle] 0, + \ infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91ea5ab8b69e30f90c2bdf5db4b620815bde815)
Integrovatelnost ve smyslu Lebesgue
Nechť ( X , ?, μ) je měří prostor a f funkce na X , s hodnotami v ℝ nebo ℂ a ? - měřitelné . Říkáme, že f je integrovatelné přes X, pokud
∫X|F(X)| dμ(X)<+∞.{\ displaystyle \ int _ {X} | f (x) | ~ \ mathrm {d} \ mu (x) <+ \ infty.}
Poznámky
-
Všimněte si, že v definici funkce schodiště hodnota en les není důležité. Někteří autoři však vyžadují, aby rovnost byla pravdivá v polouzavřeném intervalu nebo dokonce .ψ{\ displaystyle \ psi}
Xi{\ displaystyle x_ {i}}
[Xi-1,Xi[{\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i} [}
]Xi-1,Xi]{\ displaystyle] x_ {i-1}, x_ {i}]}
-
Skutečnost, že je ohraničen nám umožňuje říci, že i dobře definované; množiny, které tvoří dolní a horní mez, nejsou prázdné: vždy existují funkce schodiště, které se zvětšují nebo zmenšují .F{\ displaystyle f}
Já+(F){\ displaystyle I _ {+} (f)}
Já-(F){\ displaystyle I _ {-} (f)}
F{\ displaystyle f}
-
Místní integrabilita hypotéza umožňuje zajistit, aby integrály a jsou dobře definovány pro všechno .∫Xvs.F(t)dt{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {c} f (t) dt}
∫vs.XF(t)dt{\ displaystyle \ int _ {c} ^ {x} f (t) dt}
X∈]na,b[{\ displaystyle x \ in \ left] a, b \ doprava [}
-
Čísla a mohou být nekonečná.na{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
-
Definice integrálu nezávisí na . Kromě toho stačí prokázat, že existují takové, že se zmíněné dvě hranice sbíhají, aby byla integrovatelná (není tedy nutné prokazovat, že to platí pro všechno ).vs.{\ displaystyle c}
vs.{\ displaystyle c}
F{\ displaystyle f}
vs.{\ displaystyle c}
-
To nemusí nutně platit v žádném intervalu, například funkce identity je spojitá, proto nastavená, ale ne integrovatelná .R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
-
Těchto 5 vlastností se stane nepravdivých, když není interval uzavřen. Zde jsou některé pult-příklady: 1) Funkce je integrovatelná na , ale pokud vezmeme pak není. 2) Tuto funkci lze integrovat, ale produkt není. 3) Tuto funkci lze integrovat, ale není. 4) Podobně není integrovatelný . 5) Counterexample 3 funguje také v tomto případě.X↦1/X2{\ displaystyle x \ mapsto 1 / x ^ {2}}
[1,+∞[{\ displaystyle [1, + \ infty [}
Φ(t)=t{\ displaystyle \ Phi (t) = {\ sqrt {t}}}
X↦Φ(1/X2)=1/X{\ displaystyle x \ mapsto \ Phi (1 / x ^ {2}) = 1 / x}
F=G:X↦1/X{\ displaystyle f = g: x \ mapsto 1 / {\ sqrt {x}}}
]0,1]{\ displaystyle] 0,1]}
FG:X↦1/X{\ displaystyle fg: x \ mapsto 1 / x}
F:X↦hřích(X)/X{\ displaystyle f: x \ mapsto \ sin (x) / x}
]0,+∞[{\ displaystyle] 0, + \ infty [}
max(F,-F)=|F|{\ displaystyle \ max (f, -f) = | f |}
min(F,-F)=-|F|{\ displaystyle \ min (f, -f) = - | f |}
]0,+∞[{\ displaystyle] 0, + \ infty [}
-
Zde označuje „velké o“ Landauovy notace .Ó{\ displaystyle O}
-
Tato vlastnost se stane nepravdivou, pokud vynecháme podmínku pozitivity. Například pokud má semi-konvergentní integrál, pak máme když, ale není integrovatelný.F:[na,b[⟶R{\ displaystyle f: [a, b [\ longrightarrow \ mathbb {R}}
|F|(X)=Ó(F(X)){\ displaystyle | f | (x) = O (f (x))}
X→b{\ displaystyle x \ to b}
|F|{\ displaystyle | f |}
-
Pokud konce nejsou dokončeny, tato vlastnost se stane nepravdivou. Například funkce připouští 0 jako limit, ale není integrovatelná .X↦1/X{\ displaystyle x \ mapsto 1 / x}
+∞{\ displaystyle + \ infty}
[1,+∞[{\ displaystyle [1, + \ infty [}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">