Skupina symetrie
Symetrie skupina objektu ( obrazu , signál , atd) je skupina všech isometries , za kterých se tento objekt globálně invariantní , provoz přičemž tato skupina je složení . Je to podskupina z euklidovském skupiny , což je skupina isometries z okolního euklidovském afinního prostoru .
(Pokud není uvedeno, uvažujeme zde skupiny symetrie v euklidovské geometrii , ale koncept lze prozkoumat i v širších kontextech, viz níže .)
„Objekty“ mohou být geometrické obrazce, obrázky a vzory, například tapety . Definici lze zpřesnit určením toho, co se rozumí obrazem nebo vzorem, například poziční funkcí s hodnotami v sadě barev. Například u symetrie těles ve 3D je třeba vzít v úvahu fyzikální složení. Skupina izometrií prostoru indukuje skupinovou akci na objektech, které obsahuje.
Skupina symetrie se někdy označuje jako celá skupina symetrie, aby se zdůraznilo, že zahrnuje izometrie, které obrácují orientaci (jako jsou odrazy , sklouznuté odrazy a nesprávné rotace ), pod nimiž je obrázek neměnný. Podskupiny shodností které zachovávají orientaci (tj překlady , rotace a prostředků z nich) a který opustí obrázek neměnný je volán jeho správné skupina symetrie . Správná skupina symetrie objektu se rovná jeho celé skupině symetrie právě tehdy, je-li objekt chirální (a neexistují tedy žádné izometrie, které by obracely orientaci, pod kterou je neměnný).
Libovolnou skupinu symetrie, jejíž prvky mají společný pevný bod , což platí pro všechny skupiny symetrie ohraničených obrazců, lze reprezentovat jako podskupinu ortogonální skupiny O (n) výběrem pevného bodu jako počátku. Správná skupina symetrie je potom podskupinou ortogonální speciální skupiny SO (n), a proto se jí také říká rotační skupina obrázku.
Existují tři druhy diskrétních skupin symetrie :
- dokončený bod skupin symetrie , který zahrnuje pouze rotace, odrazy, inverze a rotace nevhodné - to jsou vlastně jen dokončené podskupiny O (n),
- nekonečné skupiny sítí , které zahrnují pouze překlady, a
- že prostorové grupy nekonečna, které kombinují prvky obou předchozích typů, a může také obsahovat další změny, jako jsou šrouby nebo sklouzl odrazy.
Existují také skupiny spojité symetrie (en) , které obsahují rotace libovolně malých úhlů nebo překlady libovolně malých vzdáleností. Příkladem toho je skupina všech symetrií koule O (3) a obecně se takové skupiny spojitých symetrií studují jako Lieovy skupiny .
Klasifikaci podskupin euklidovské skupiny odpovídá klasifikace skupin symetrie.
Říkáme, že dvě geometrické obrazce mají stejný druh symetrie, když jejich příslušné skupiny symetrie H 1 , H 2 jsou konjugované podskupiny Euclidean skupiny E ( n ), tj. V případě, že je isometry g z R n takové, že H 1 = g -1 H 2 g . Například :
- dvě 3D postavy mají zrcadlovou symetrii, ale s ohledem na jinou rovinu zrcadlení;
- dvě 3D postavy mají rotační symetrii řádu 3, ale vzhledem k jiné ose;
- dva 2D vzory mají translační symetrii, každý v jednom směru; dva překladové vektory mají stejnou délku, ale odlišný směr.
Někdy se používá širší pojem „stejný druh symetrie“, například ve všech 17 skupinách tapet .
Když vezmeme v úvahu izometrické skupiny, můžeme se omezit na ty, kde pro všechny body je sada obrázků pod izometrií topologicky uzavřena . To vylučuje například v dimenzi 1 skupinu překladů racionálním číslem. „Postava“, která má tuto skupinu symetrie, je nemožné nakreslit a být homogenní na libovolné úrovni podrobností, aniž by byla skutečně homogenní.
Rozměr 1
Skupiny izometrií v dimenzi 1, kde je pro všechny body topologicky uzavřena sada obrazů pod izometrií, jsou:
- triviální skupina C 1
- skupiny dvou prvků generovaných středovou symetrií ; jsou izomorfní s cyklickou skupinou řádu 2, C 2
- nekonečné diskrétní skupiny generované překladem; jsou izomorfní s nekonečnou cyklickou skupinou Z
- Nekonečné diskrétní skupiny generované překladem a centrální symetrií; jsou izomorfní zobecněného vzepětí skupiny ze Z , Dih ( Z ), nebo více přímo do nekonečné vzepětí skupiny D ∞ (což je částečně přímým produktem z Z o C 2 ).
- Skupina generovaná všemi překlady (izomorfní s R ); tato skupina nemůže být skupinou symetrie „vzoru“: byla by homogenní, proto by se také mohla odrážet. Nicméně, jednotné jednorozměrné vektorové pole má tuto symetrickou skupinu.
- Skupina generovaná všemi překlady a odrazy ve všech bodech; je izomorfní se zobecněnou dihedrální skupinou R , Dih ( R ).
Rozměr 2
Kromě konjugace patří skupiny diskrétních bodů v dvourozměrném prostoru do následujících tříd:
- jsou cyklické skupiny C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , atd kde C n je tvořeno všemi rotacemi kolem pevného bodu, násobky úhlu 360 ° / n
- se dihedral skupiny D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , atd. kde D n (řádu 2 n ) je skupina symetrie pravidelného mnohoúhelníku s n stranami. Skládá se z rotací patřících k C n a n symetrií vzhledem k osám, které procházejí středem společným pro tyto rotace.
C 1 je triviální skupina obsahující pouze operace identity, který se objeví, když je postava nemá symetrii vůbec, například písmeno F . C 2 je symetrická skupina písmenem Z , C 3 , které z triskele , C 4 z svastika a C 5 , C 6 atd. jsou skupiny symetrie postav podobné svastice s pěti, šesti atd. paže místo čtyř.
D 1 je skupina 2 prvky obsahující identitu a jedinou operaci odraz, který se objeví, když je údaj má jen jednu osu bilaterální symetrie , například písmeno A . D 2 , který je izomorfní se skupinou Klein , je skupina symetrie non-čtvercového obdélníku.
Skupiny konkrétní symetrie v každém z těchto případů mají pro střed otáčení dva stupně volnosti a v případě dvojstěnných skupin ještě jeden pro polohy zrcadla.
Zbývající izometrické skupiny ve 2D s pevným bodem, kde pro všechny body je sada obrázků pod izometrií topologicky uzavřena, jsou:
- speciální ortogonální skupina SO (2) skládá ze všech rotací kolem pevného bodu; je izomorfní v kruhu skupiny S 1 , která je multiplikativní skupiny komplexních čísel z modulu 1. To je správné symetrická skupina kruhu a kontinuální ekvivalent C n . Žádná postava nemá tuto skupinu kruhů jako úplnou skupinu symetrie , ale u vektorového pole se to může stát (viz 3D případ níže),
- ortogonální skupina O (2) skládá ze všech rotací kolem pevného bodu a odrazy libovolné osy procházející tímto bodem. Je to skupina symetrie kruhu. Nazývá se také Dih (S 1 ), protože se jedná o zobecněnou vzepětí skupinu S 1 .
U neomezených čísel mohou další izometrické skupiny zahrnovat překlady; uzavřené jsou:
- 7 vlysových skupin ,
- 17 skupin tapet ,
- pro každou skupinu symetrie v 1D kombinace všech symetrií této skupiny v jednom směru a všech překladů v kolmém směru,
- totéž přidáním odrazů vzhledem k ose v prvním směru.
Rozměr 3
S výjimkou konjugace se sada bodových skupin 3D symetrie (viz článek: Skupiny bodů symetrie v dimenzi 3 (v) ) skládá ze 7 nekonečných řad a 7 samostatných. V krystalografii jsou omezeny na kompatibilitu s diskrétními translačními symetriemi krystalové mřížky. Toto krystalografické omezení nekonečné rodiny obecných bodových skupin má za následek 32 krystalografických bodových skupin (27 ze 7 nekonečných řad a 5 ze 7 dalších).
Skupiny bodů spojité symetrie zahrnují:
- válcová symetrie bez odrazu od roviny kolmé k ose, často se to týká například láhve .
- válcová symetrie s odrazem roviny kolmé k ose
- sférická symetrie
U objektů a skalárních polí zahrnuje válcová symetrie svislé odrazové roviny. To neplatí pro vektorová pole : ve válcových souřadnicích vzhledem k určité ose má válcovou symetrii vzhledem k této ose právě tehdy a pouze pokud a má tuto symetrii, tj. Nezávisí na φ. Kromě toho existuje odraz pouze tehdy a jen tehdy .
Pro sférickou symetrii takový rozdíl neexistuje, znamená to odrazové roviny.
Kontinuální skupiny symetrie bez pevného bodu zahrnují skupiny se šroubovými spoji , jako je například skupina nekonečné šroubovice .
Zobecnění
Ve větších kontextech může být skupinou symetrie jakýkoli druh transformační skupiny nebo skupina automorfismu . Jakmile víme, s jakou matematickou strukturou máme co do činění, můžeme určit, které aplikace ji zachovají. Naopak zadáním symetrie můžeme definovat strukturu nebo alespoň objasnit, co máme na mysli invariantem , geometrickým jazykem, který ji umožňuje zadržet; to je jeden způsob, jak vidět program Erlangen .
Například skupiny automorfismu některých modelů s konečnou geometrií (en) nejsou v obvyklém smyslu „skupiny symetrie“, ačkoli si zachovávají symetrii. Dělají to tak, že si ponechávají rodiny bodových sad spíše než samotné bodové sady nebo „objekty“.
Jak je uvedeno výše, skupina automorfismů prostoru indukuje skupinovou akci na objektech, které obsahuje.
U daného geometrického útvaru v daném geometrickém prostoru uvažujeme následující vztah ekvivalence: dva automorfismy prostoru jsou ekvivalentní, pokud jsou dva obrazy útvaru stejné (zde „stejný“ neznamená něco jako „stejný kromě pro jeden překlad a jednu rotaci ", ale znamená" přesně stejný "). Potom je třída ekvivalence identity skupinou symetrie obrázku a každá třída ekvivalence odpovídá izomorfní verzi obrázku.
Mezi libovolnými dvěma třídami ekvivalence existuje bijekce: inverzní představa zástupce první třídy ekvivalence, složená ze zástupce druhé.
V případě konečné skupiny automorfismu celého prostoru je jejím řádem pořadí skupiny symetrie obrázku vynásobené počtem izomorfních verzí obrázku.
Příklady:
- Izometrie euklidovské roviny, obrazec je obdélník: existuje nekonečné množství tříd ekvivalence; každá obsahuje 4 izometrie.
- Prostor je krychle s euklidovskou metrikou, čísla zahrnují kostky stejné velikosti jako prostor, s barvami nebo vzory na tvářích, automorfismem prostoru je 48 izometrií; postava je krychle, jejíž obličej má jinou barvu, její skupina symetrie obsahuje 8 izometrií; existuje 6 tříd ekvivalence 8 izometrií pro 6 izomorfních verzí obrázku.
Poznámky
- Přehled 32 krystalografických skupin bodů na webu University of Exeter
- (in) Steven H. Cullinane, Skupiny vzorů na webu finitegeometry.org
- Porovnejte s Lagrangeovou větou
- (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ Skupina symetrie “ ( viz seznam autorů ) .
Podívejte se také
- Symetrická skupina a permutace
- Seskupuje pevné body izometrie v euklidovském prostoru (v)
- Krystalový systém
- Seznam vesmírných skupin
- Seznam skupin symetrie roviny
- Skupinová teorie
- Molekulární symetrie