Objednávka (teorie skupin)

V teorii skupin , oboru matematiky , se pojem pořadí používá ve dvou blízce souvisejících smyslech:

Pořadí ze skupiny je mohutnost jeho základní sadě. O skupině se říká, že je konečná nebo nekonečná podle toho, zda je její pořadí konečné nebo nekonečné.
Pokud položka má skupinu G generuje v G z podskupiny ( monogenní ) konečnou pořadí D , říkáme, že má konečný pořadí, a konkrétně pořadí d . Pokud je podskupina generovaná a nekonečná, říkáme, že a je nekonečného řádu. Pokud je konečné pořadí, jeho objednávka je nejmenší nezbytně kladné celé číslo m tak, že m = e (kde e označuje neutrální prvek ze skupiny, a kde m označuje produkt m prvků rovná ).

Pořadí skupiny G je uvedeno ord ( G ), | G | nebo # G a pořadí prvku a je zapsáno ord ( a ) nebo | a |.

Příklady

Ve skupině Rubikova kostka

The Rubikova kostka ilustruje představu o pořadí prvku ve skupině, kde jsme objevili velmi elementární praxi krychle mnoha pohyby různých řádů (2, 3, 4, 6, ...).

Cyklické skupiny

V nekonečné cyklické skupině ℤ je jakýkoli nenulový prvek nekonečného řádu.

Poznámka: termín cyklický je někdy vyhrazen pro konečné skupiny. V tomto případě se o ℤ říká, že je monogenní.

V konečné cyklická skupina ℤ / n ℤ s n > 0, je pořadí třídě k modulo n z celého čísla k je n / GCD ( n , k ).

Symetrická skupina S 3

Symetrické skupina S 3 (en) = D 6 , který se skládá ze všech permutací tří objektů, má následující násobilku :

•	E	s	t	u	proti	w
E	E	s	t	u	proti	w
s	s	E	proti	w	t	u
t	t	u	E	s	w	proti
u	u	t	w	proti	E	s
proti	proti	w	s	E	u	t
w	w	proti	u	t	s	E

Tato skupina má šest prvků, takže ord (S 3 ) = 6.

Podle definice je pořadí neutrálního prvku, e , 1. Každý čtverec s , t a w se rovná e , takže tyto prvky skupiny jsou řádu 2. Dokončením výčtu jsou u a v oba řádu 3, protože u 2 = v , u 3 = vu = e , v 2 = u a v 3 = uv = e .

Struktura skupiny

Pořadí skupiny a pořadí jejích prvků poskytuje informace o struktuře skupiny. Neformálně platí, že čím komplikovanější je rozpis objednávky, tím je skupina více.

Jedinou skupinou řádu 1 (až do izomorfismu ) je triviální skupina .

Jediným prvkem řádu 1 ve skupině je neutrální prvek.

Prvek je řádu 2 právě tehdy, pokud se rovná jeho inverzi a liší se od neutrálního prvku.

Skupina, jejíž každý prvek je řádu 2 (kromě neutrálního prvku), je abelian, protože v takové skupině

{\ displaystyle ab = (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} = ba.}

Spojení mezi těmito dvěma koncepty

Pořadí prvku a se rovná pořadí podskupiny generované a , což je

{\ displaystyle \ langle a \ rangle = \ {a ^ {k} \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}.}

Pořadí prvku G dělí pořadí skupiny G (například symetrická skupina S 3 výše je řádu 6 a řády jeho prvků jsou 1, 2 nebo 3). Obecněji, Lagrangeova věta , zajišťuje, že pořadí jakékoliv podskupiny H z G rozděluje pořadí G (celé číslo ord ( G ) / ord ( H ), označená [ G : H ], se nazývá index z H v G ).

Následující částečná konverzace je pravdivá, pokud G je konečná skupina : Cauchyova věta zajišťuje, že pokud p je prvočíslo, které dělí pořadí G , pak v G existuje prvek řádu p (podmínka, že p je první, je zásadní: například skupina Klein nemá prvek pořadí čtyři). Můžeme použít tuto větu, abychom ukázali, že konečná skupina je p -skupina (jejíž každý prvek má pro řád mocninu p ) právě tehdy, je-li její řád mocninou prvočísla p .

Objednávka produktu

Pokud je nekonečné pořadí, pak všechny síly jsou také nekonečné pořadí. Pokud je konečným cílem, máme následující vzorec objednávky pravomocí :

{\ displaystyle {\ mbox {ord}} (a ^ {k}) = {\ frac {{\ mbox {ord}} (a)} {{\ mbox {pgcd}} ({\ mbox {ord}} ( a), k)}}}

pro každé celé číslo k . Zejména celá čísla k taková, že a k = e jsou násobky řádu a (který charakterizuje pořadí a ) a inverze a je stejného řádu jako a .

Neexistuje žádný obecný vzorec vztahující se k objednávce produktu ab k objednávkám a a b . Je dokonce možné, že a a b jsou konečného řádu, zatímco ab je nekonečného řádu, nebo že a a b jsou nekonečného řádu, zatímco ab je konečného řádu.

Pokud a b dojíždění , můžeme alespoň říci, že pořadí ab rozděluje PPCM z řádů a b a že pokud ord ( k ) a ord ( b ) jsou prime k sobě navzájem, to je dokonce rovnat součin ord ( a ) × ord ( b ).

To umožňuje sestavit ze dvou prvků a a b, které dojíždějí, prvek, jehož pořadí je PPCM příkazů a a b , což dokazuje, že sada příkazů prvků abelianské skupiny je stabilní pomocí PPCM. Jedním z důsledků je, že pokud je exponent abelianské skupiny konečný, pak se rovná řádu jednoho z prvků skupiny. Pro konečné neabelovské skupiny tuto vlastnost nemáme (viz například „ Landauova funkce “).

Další vlastnosti

V konečné skupině pro každé celé číslo d > 0 je počet prvků řádu d součinem počtu (případně nuly) podskupin řádu d podle Eulerovy indikatrix φ ( d ) - podle lemmatu pastýřů - a podobně v nekonečné skupině může být počet podskupin řádu d potom nekonečný. Například v případě S 3 , φ (3) = 2, a máme přesně dva prvky řádu 3. Věta neposkytuje užitečné informace o prvcích řádu 2, protože φ (2) = 1.
Skupinové morfismy mají tendenci snižovat pořadí prvků:
- Pokud f: G → H je morfismus a a je prvkem G konečného řádu, pak ord ( f ( a )) dělí ord ( a ). Například jediný morfismus h : S 3 → Z / 5 Z je nulový morfismus, protože každé číslo kromě nuly v Z / 5 Z je řádu 5, který nerozděluje řády 1, 2 a 3 prvků S 3 .
- Pokud f je injektivní , pak ord ( f ( )) = ord ( ). To umožňuje ukázat, že dva konjugované prvky mají stejné pořadí, a navíc lze často použít k prokázání, že mezi dvěma danými skupinami neexistuje injektivní homomorfismus.
Důležitým výsledkem objednávek je třídní rovnice ; vztahuje se pořadí konečné skupiny G k pořadí jejího středu Z ( G ) a k velikostem jejích netriviálních tříd konjugace : $| G | = | Z (G) | + \ sum _ {i} d_ {i},$ kde d i jsou velikosti netriviálních tříd konjugace; tyto velikosti jsou netriviální dělitele | G |, protože se rovnají indexům určitých netriviálních podskupin G (ve smyslu: odlišných od G a od triviální skupiny ). Například střed S 3 je jen triviální skupina a rovnice zní: | S 3 | = 1 + 2 + 3.
Burnside problém 1902 zahrnuje pojmy pořadí skupiny a jeho prvků; některé z těchto otázek jsou stále otevřené. ( Burnsideova věta z roku 1905 poskytuje první odpověď.)

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ Order (group theory) “ ( viz seznam autorů ) .

Definice v souladu s N. Bourbaki , Algebra : kapitoly 1 až 3 , Paříž,1970, str. I.29.
Definice v souladu s Bourbaki , str. I.49.
Zákon o skupině je obecně známý multiplikativně. Aditivní notace je vyhrazena pro abelianské skupiny . V tomto případě je rovnice a m = e nahrazena ma = 0.
Viz například problém 5, v odkazu níže na cvičení opravená na Wikiversity .
(in) Joseph Gallian, Contemporary Abstract Algebra , Cengage Learning ,2012( číst online ) , s. 85.