Parita funkce

V matematiky je parita z funkce jednoho skutečného , komplexní nebo vektorové proměnné je vlastnost, která nejprve vyžaduje symetrii z oblasti definice vzhledem k původu , pak je vyjádřena jednoho nebo druhého z následujících vztahů:

sudá funkce : pro všechna x definiční domény $f (- x ) = f ( x )$ ;
lichá funkce : pro všechna x definiční domény $f (- x ) = - f ( x )$ .

Ve skutečné analýze jsou sudými funkcemi funkce, jejichž reprezentativní křivka je symetrická vzhledem k ose y, jako jsou konstantní funkce , čtvercová funkce a obecněji výkonové funkce se sudými exponenty , kosinová a hyperbolická kosinová funkce ... Zvláštní funkce jsou ty, jejichž reprezentativní křivka je symetrická s ohledem na počátek, jako je identita , krychle a obecněji výkonové funkce s lichými exponentními , inverzními , sinusovými , tangensovými , hyperbolickými sinusovými a hyperbolickými tangentními funkcemi a jejich vzájemnými hodnotami .

Jedinými funkcemi, které jsou sudé i liché, jsou nulové funkce v symetrické doméně.

Nespecifikovaná funkce není obecně ani sudá, ani lichá, i když je její doména definice symetrická ve srovnání s počátkem. Jakákoli funkce definovaná v takové doméně je naopak napsána jedinečným způsobem jako součet sudé funkce a liché funkce.

Demonstrace parity funkce reálné proměnné (ať už je sudá nebo lichá) umožňuje zejména omezit její studium na pozitivní reálné.

použití

Parita funkcí se používá například ke studiu funkcí pouze na polovině jejich definičního intervalu, přičemž druhá polovina je odvozena symetrií. Všimněte si, že lichá funkce, definovaná na 0, je v tomto bodě nula (ve skutečnosti, protože je lichá, pro všechno , a proto ; tedy . $F$ $f (-x) = - f (x)$ $X$ $f (0) = - f (0)$ $f (0) = 0$

Můžeme také zjednodušit integrální výpočet v případě sudé nebo liché funkce, protože pro sudé se rovná , což lze vidět při grafickém znázornění oblasti pod křivkou, respektive pro liché se rovná . Ve skutečnosti tam bude stejně velký pozitivní oblasti pro jak tam je negativní oblast na . $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x$ $F$ ${\ displaystyle 2 \ times \ int _ {0} ^ {n} f (x) dx \,}$ $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x,$ $F$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ $ne$ $-ne$ ${\ displaystyle 0}$

Tuto definici parity a nerovnosti lze také explicitně vyjádřit pojmem symetrizace funkce: symetrizovanou funkcí funkce s je funkce š, která se sdružuje s danou funkcí, a například s je, i když se rovná jejímu symetrizovaný. ${\ displaystyle s (-x)}$ $X$

Sudá a lichá část funkce

Pokud je podmnožinou symetrickou s ohledem na 0 (tj. Pokud patří do pak patří ), může se libovolná funkce jednoznačně rozložit jako součet sudé funkce a liché funkce: $E$ $\ mathbb {R}$ $X$ $E$ $-X$ $E$ $f: E \ to \ mathbb {R}$

{\ displaystyle f (x) = f _ {\ text {p}} (x) + f _ {\ text {i}} (x)}

, kde je sudá funkce

{\ displaystyle f _ {\ text {p}} (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2}}}

a lichá funkce je

{\ displaystyle f _ {\ text {i}} (x) = {\ frac {f (x) -f (-x)} {2}}}

Vskutku, vektor podprostor sudých funkcí a lichých funkcí jsou navíc v prostoru funkcí v . $E$ $\ mathbb {R}$

Proto můžeme mluvit o sudé části a její liché části. Například, exponenciální funkce je součet funkce hyperbolický kosinus , a hyperbolický sinus , . $F$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} + \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} - \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$

Grafické znázornění

Dovolit je funkce definovaná na a jejím grafu v souřadném systému osy . $F$ $E$ $(C_ {f})$ $(Ox), (Oy)$

$F$ je sudá funkce, právě když je symetrická kolem osy , rovnoběžně s osou . $(C_ {f})$ $(Oy)$ $(Vůl)$
$F$ je lichá funkce právě tehdy, pokud je symetrická s počátkem . $(C_ {f})$ $Ó$

Funkce je sudá. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {4}}$
Funkce je lichá. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {3} -3x}$

Ale funkce, jejíž reprezentativní křivka má osu nebo střed symetrie, nemusí být nutně sudá nebo lichá: je nutné, aby střed byl nebo osa byla . $Ó$ $(Oy)$

Některé vlastnosti

Každá konstantní funkce je sudá.
Jakákoli sudá a monotónní funkce přes definovanou množinu je konstantní.
Jedinou funkcí, která je sudá i lichá, je funkce null (konstantní funkce rovná nule).
Obecně platí, že součet sudé funkce a liché funkce není ani sudý, ani lichý; příklad: 1 + x .
Součet nebo rozdíl dvou sudých funkcí je sudý.
Součet nebo rozdíl dvou lichých funkcí je lichý.
Parity vyplývá, pro výrobek nebo kvocientu , The pravidlo značek : všechna výrobku nebo kvocient dvou sudých funkcí je sudá funkce, jakýkoliv produkt nebo kvocient dvou lichých funkcí je sudá funkce, jakýkoliv produkt nebo podíl na i funkce lichou funkcí je lichá funkce.
Derivát sudého funkce je zvláštní funkce; derivace liché funkce je sudá funkce.
Primitivní z lichého funkce na E není nutně ani, pokud E je interval.
Primitiv sudé funkce na E nemusí být nutně lichý, s výjimkou případů, kdy E je interval a pokud je navíc považován za primitivní ten, který zmizí v 0.
Sloučenina dvou lichých funkcí je lichá; sloučenina g ∘ f sudé funkce g s lichou funkcí f je sudá funkce.
Sloučenina g ∘ f libovolné funkce g se sudou funkcí f je sudá funkce.

Podívejte se také

Poznámky a odkazy

Což je pravděpodobně jedním z důvodů této volby slovní zásoby.
Důkaz analýzou-syntéza je klasická a je jen zvláštní případ diagonalizaci symetrie : viz např X. Oudot a pan Allano Chevalier Mathematics HPIC - PTSI 1 st rok: vše v jednom , Hatchet ,2008( číst online ) , kap. 11 („Vektorové prostory“), s. 203a toto cvičení bylo opraveno na Wikiversity .