Möbiova páska

V topologii je Möbioův pás (nazývaný také Möbioův pás nebo Möbiova smyčka ) kompaktní povrch, jehož hrana je homeomorfní vůči kruhu . Jinými slovy, má pouze jednu stranu na rozdíl od běžné pásky, která má dvě. Povrch má tu zvláštnost, že je regulovaný a neorientovatelný . Nezávisle ji popsali v roce 1858 matematici August Ferdinand Möbius (1790-1868) a Johann Benedict Listing (1808-1882). Název prvního zůstal zachován díky diplomové práci předložené Akademii věd v Paříži . Najdeme také jména „kapely“, „prstenu“ nebo „opasku“ Möbiova a někdy píšeme „Mœbius“ nebo „Moebius“.

Vizualizace pásu Möbius ve vesmíru je snadná: jednoduchý model se vyrobí zkroucením dlouhého pruhu papíru o půl otáčky a následným slepením obou konců, čímž vznikne nekonečná stuha, která nemá ani interiér, ani exteriér.

Definice kroucením pásma ve vesmíru

Plán montáže pásu karet
Výroba pásky.
Schéma sestavy: přilepte obě šipky zpět k sobě s ohledem na směr.

Klasická páska Möbius

Möbiovu pásku lze generovat otočným segmentem, jehož střed popisuje pevnou kružnici. Odpovídající nastavení je

{\ begin {cases} x = (1 + {\ frac {t} {2}} \ cos {\ frac {v} {2}}) \ cos v \\ y = (1 + {\ frac {t} {2}} \ cos {\ frac {v} {2}}) \ sin v \\ z = {\ frac {t} {2}} \ sin {\ frac {v} {2}} \ end {případy }} \ qquad {\ begin {matrix} -1 \ leq t \ leq 1 \\ 0 <v \ leq 2 \ pi \ end {matrix}}

nebo soubor řešení následující rovnice:

{\ displaystyle x ^ {2} y + yz ^ {2} + y ^ {3} -y-2xz-2x ^ {2} z-2y ^ {2} z = 0.}

Křivky v = v 0 , t samostatně se měnící, jsou skutečně segmenty, spojující rovnoměrnou rychlostí bod v = v 0 , t = –1 a bod v = v 0 , t = 1. Tento segment má tedy délku 2.

Křivka t = 0 je kruh o průměru 2 v horizontální rovině; představuje trajektorii středu segmentů. Úhel, který segment dělá s vodorovným směrem, je v 0 . Když střed provedl úplné otočení na vodorovném kruhu (přidání π do proměnné v ), segment provedl pouze otočení o U. To způsobí spojení například bodu t = 1, v = π s t = –1, v = 0.

Okraj pásky je dán křivkou t = 1 nebo t = –1. Je to ale stejná křivka: hrana Möbiova pásu je z jednoho kusu ( spojena ).

Můžeme také vidět výše uvedenou animaci ve stereoskopickém vidění :

Křížová stereoskopická animace:
Paralelní stereoskopická animace stejné pásky:

Další údaje získané krutem

Varianty konvenční pásky lze získat podrobením papírového pásu lichému počtu dopředných nebo zpětných polovičních otáček. Jediné, co musíte udělat, je upravit předchozí nastavení:

{\ začátek {případů} x = (2 + t \ cos kv) \ cos 2v \\ y = (2 + t \ cos kv) \ sin 2v \\ z = t \ sin kv \ end {případů}} \ qquad {\ begin {matrix} -1 \ leq t \ leq 1 \\ 0 <v \ leq \ pi \ end {matrix}}

s k liché relativní celé číslo .

Údaje získané pro k a - k jsou enantiomorfní , to znamená zrcadlové obrazy navzájem.

Pokud přijmeme sudé hodnoty k, získáme pásky se dvěma, více či méně zkroucenými plochami.

Porovnání různých stužek

Může nás zajímat křivka tvořící hranu těchto stužek. Pro každou hodnotu k má jiný zlom . Twist se počítá například v projekci (pohled shora), spočítáním toho, kolikrát křivka prošla přes sebe. Jeden nemůže nepřetržitě deformovat (tj. Homotopií ) jeden typ pásky na jiný v trojrozměrném prostoru.

Různé pásky jsou však homeomorfní vůči klasickému Möbiovi pásu, to znamená, že mezi nimi není žádný vnitřní rozdíl. To souvisí se způsobem, jakým jsou ponořeni do trojrozměrného prostoru.

Möbiovu pásku o půl otáčky lze také považovat za součást Möbiovy plochy.

Odvozené objekty

Pokud slepíme dvě Möbiovy pásky podél jejich okraje, dostaneme Kleinovu láhev . Toho lze dosáhnout pouze roztržením pásky (nebo použitím čtvrté dimenze), protože Kleinova láhev se neponoří do obvyklého prostoru.

Pokud nalepíme disk na Möbiovu pásku podél jejich společné hrany, získáme skutečnou projektivní rovinu ; opět to není možné provést fyzicky bez roztržení pásky.

Pokusíme-li se to rozřezat na tři, tj. Sledováním osy třetiny šířky jednoho z okrajů, získáme dvě prokládané stužky: Möbioův pás třetiny šířky, odpovídající středu počátečního stuha a oboustranná stuha jedna třetina široká, shodující se s okrajem výchozí stuhy, zdvojnásobená na délku a zkroucená o jednu celou otáčku.

Viděli jsme, že pokud odstřihneme Möbiovu pásku podél její střední osy, získáme oboustrannou pásku, zkroucenou a dvojitou délku. Pokud tuto pásku rozřízneme podélně, dostaneme dva odlišné kroužky, zkroucené a propletené.

Nakonec, pokud začneme s Möbiovou páskou získanou třemi půlotáčky před lepením (jako je ta v logu níže ) a ořízneme ji podél střední osy, získáme jednu pásku, ale svázanou (v trojlístkovém uzlu ).

Volba délky pásky

Möbiovu pásku lze vyrobit například pružnou páskou z listu papíru o hmotnosti 70 g / m 2 . Chcete-li získat stuhu bez náhlého skládání, je nutné, aby pro šířku pásky rovnou 1 byla délka větší než 1,732 - to znamená druhá odmocnina 3. Je možné jít směrem k menší délce, dokud nedosáhnete setkat, se šroubovicovým obrácením, opačné strany čtverce, ale ohyby budou náhlé.

Užitečnost pásky

Zatímco Mobius se mohou objevit pouze jako matematický zvědavosti nebo umělecké stavby, toto ustanovení se často používá v průmyslovém světě z XIX -tého století, kdy stroje byly v provozu od pásů. Pásy byly na křižovatce zkřížené, aby se opotřebovaly „obě strany“ pásu současně. Popis pásky Möbius ve skutečnosti ukáže, že pás měl pouze jednu stranu.

Definice abstraktní identifikací

Výše uvedená konstrukce (lepením pásu po kroucení o půl otáčky) je formována tvrzením, že Möbioův pás je torusové mapování homeomorfismu [–1, 1] → [–1, 1], x ↦ - x , tj. produkt prostor [-1, 1] x [0, 1] quotiented podle ekvivalence ( x , 1) ~ (- x , 0). Tím získáme svazek vláken [–1, 1] na kružnici S 1 .

Pro srovnání „normální“ pás (kmen válce) odpovídá homeomorfismu identity [–1, 1], a tedy triviálnímu svazku , produktu [–1, 1] × S 1 .

To vám umožní matematicky vidět, co se stane, když oříznete pásku: pokud p : [–1, 1] × [0, 1] → ([–1, 1] × [0, 1]) / ∼ označuje použití přechod do kvocientu, p ({0} × [0, 1]) je kruh, jehož doplněk je spojen .

Möbiovu pásku můžeme také realizovat jako doplněk disku otevřeného ve skutečné projektivní rovině .

Umělecká znázornění

Páska Möbius se objevuje v mnoha uměleckých produkcích.

Logo

Schematická verze pásu Möbius se používá jako symbol pro recyklaci od prvního dne Země v roce 1970 . Smyčka Möbius označuje, že produkt lze recyklovat nebo že byl vyroben z recyklovaných materiálů. Je to ve skutečnosti stuha se třemi polootočeními.
Verze pásu karet Möbius se používá jako logo pro Visual Studio , vývojový nástroj IT společnosti Microsoft .
Stalo se také logem pro Google Drive , službu online ukládání dat Google .
Je také symbolem skupiny K-pop Infinite .
Logo Léman Express , regionální expresní sítě regionu Franco-Valdo-Geneva , má tuto stuhu jako logo, které zde představuje Ženevské jezero .
Logo značky Renault je inspirováno stuhou Möbius.

Filmy a seriály

Moebius , argentinský sci-fi film Gustava Mosquery R., vydaný v roce 1996.
Thru the Moebius Strip , 80minutový plně digitální film režírovaný Frankem Fosterem v Global Digital Productions (Hong Kong). Film byl propuštěn ve Spojených státech v roce 2005 .
Möbiova stuha byla použita také v epizodě Křeslo zapomnění karikatury Ulysses 31, kde se děti hlavního hrdiny ocitly odsouzeny na nekonečnou procházku po stuze.
Moebius je také název dvojité finální epizody sezóny 8 Stargate SG-1 .
Lost Highway of David Lynch je často přirovnáván k Möbius pás. Na začátku spiknutí přijme Fred Madison zevnitř svého domu hovor z interkomu. A nakonec je to on sám, kdo zvnějšku domu mluví do interkomu, přesněji pro Timecrimes .
V seriálu Awake je mysl detektiva Michaela Brittena jedním z psychoanalytiků považována za Möbiovu stuhu.
V roce 2013 byl špionážní film režírovaný Ericem Rochantem ( Les Patriotes ) s Jeanem Dujardinem a Cécile de France pod názvem Möbius .
V epizodě Futurama , D r Farnsworth dělal běh proti Leela na Mobius tvaru dráhy.
V 22 -tého splátky filmového Marvel vesmíru , Avengers: Endgame , která se zabývá problematikou cestování v čase . Poté, co Tony Stark pochopil, že se druhý chová jako smyčka, používá k řešení problému průzkumu času pásku Moebius jako matematickou postavu.
V 21 st epizodě Sakura, karta Hunter, vidíme Karta „zvětšovací sklo“ představované Möbius pás, který mu umožňuje měnit požadované místo v uzavřeném a nekonečné okruhu.

Videohry

„Mobius 1“ je krycí jméno ( kódové označení ) pilota ovládaného ve hře Ace Combat 4: Distant Thunder . Jeho osobním odznakem je Möbiova stuha.
„Mobius Ring“ je závod her F-Zero AX a F-Zero GX vydaných v Arcade a na Gamecube .
„Möbius bludiště“ je jedním z osmi skrytých míst v RPG hře Light of Oblivion vydaných pro PlayStation a PC .
„Möbius“ bylo to, co si mnozí mysleli, že je světovým jménem Sonic v Evropě a ve Spojených státech před vydáním hry Sonic Adventure v roce 1999. Byla to vlastně chyba překladu během rozhovoru s Yuji Naka (spolutvůrcem Sonic), který hovořil přesně na motiv spirálové dekorace, který popsal jako „Möbiovu stuhu“. Chyba byla tak dobře přijata, že v Archieho komiksu najdeme jméno Möbius označující planetu, kde Sonic žije.
Ve hře Sonic Riders: Zero Gravity má finální závod tvar Möbiova pásu a nese jeho anglický název Mobius Strip.
Ve hře STALKER: Clear Sky na PC se hrdina zmiňuje o Möbiově pásu, aby ilustroval účinek „abnormální bubliny“, která neúnavně přivádí ty, kteří do ní vstupují, zpět do výchozího bodu.
Ve StarCraftu 2 najdeme „Möbiovu nadaci“, záhadnou skupinu při hledání protossských artefaktů.
V seriálu Legacy of Kain je Moëbius strážcem času.
V Mario Kart 8 na Wii U má dráha Mario Circuit tvar Möbiova pásu, stejně jako „8“ v logu hry.
V Makoto Mobius používá hlavní postava Möbioův pás k návratu v čase.

Sběratelské karetní hry

V Magic: The Gathering je karta zvaná „Ribbon of Boesium“ ( přesmyčka Moebius), která vám umožní znovu použít některá kouzla ze hřbitova. Jeho ilustrace představuje jednostrannou kovovou stuhu.

Romány

V roce 2010: Odyssey dva je behaviorální aberace počítače HAL 9000 označována jako „smyčka Hofstadter- Möbius“.
V Hyperionu od Dana Simmonse obsahuje Cube Mobius energii produkovanou ergy.
V L'Anneau de Moebius , 2008, autor Franck Thilliez , je prsten vlastně obrysem příběhu ... (Musíte si ho přečíst, abyste pochopili.)
In Angels and Demons , autor Dan Brown , bod 31.
V seriálu nekroskopem of Brian Lumley , Harry Keogh, hrdina, zobrazuje často Mobius otevřít dveře k navigaci časoprostor.
V Trap on Zarkass , 1958, od Stéfana Wula, autor zakládá přístup do podprostoru prostřednictvím tří Möbiových pásů vnořených dohromady.
V Cités de Mémoire , 2002, autorem Hervé Le Tellier , má město Suibeom ( palindrom „Moebius“) strukturu Möbiova pásu.

Sochy a grafika

Max Bill vytesal několik Möbiových stuh, z nichž jedna je vystavena v muzeu Middelheim Open Air Sculpture Museum v parku stejného jména v belgických Antverpách . Jeden z jeho žulových nekonečných prstenů můžete také vidět v Centre Pompidou v Paříži .
Wim Delvoye , belgický současný umělec, vystavil v muzeu v Louvru sérii zkroucených kovových křížů v bytech Napoleona III.
Maurits Cornelis Escher , holandský rytec a kreslíř (1898-1972), provedl řadu studií o Möbiově stuze.
K 20. výročí nahrávací společnosti Warp Records vytvořilo Studio YES sérii snímků s Möbiově stužkami s fotografem Danem Holdsworthem. Některé z nich byly použity jako ilustrace pro kompilace .
Alice Pilastre vytvořila dílo Mobius Gymnopedy , skládající se z hudební skříňky, ve které má kovová stuha, která nese partituru, tvar Mobiusovy stuhy. Tato páska obsahuje první tóny prvních Gymnopédies z Erik Satie . Když rolujete páskou, uslyšíte tyto noty, pak ty samé s inverzí výšky tónu .
Obrovský Möbiový prsten je znázorněn v podobě sochy v Lille ve čtvrti Wazemmes . Tato socha, kterou vytvořil Marco Slinckaert, zaujímá střed kruhového objezdu před CPAM . To je také nazýváno hadem pro jeho velkou podobnost. Další socha se nachází na univerzitě v Rennes I v areálu Beaulieu .
Keizo Ushio vyřezává Möbiovy pásky vyříznuté podél jejich středové čáry.
Ellen Heck, rytecka, používá motiv Möbiovy pásky ve své sérii Fascinátoři : portréty mladých dívek, které nosí Möbiovu stuhu, vyjadřující abstraktní otázky spojené s ženskostí.
Návrhář Jean Giraud , alias Mœbius, převzal svůj pseudonym z uvedené pásky

V Lacanu

Ve slovníku Jacquesa Lacana : „1962/63 - úzkost - 1. 9. 63 - Čím se zrcadlový obraz odlišuje od toho, co představuje? je to proto, že pravice se stává levou a naopak. - Jednostranný povrch nelze převrátit. - Takže Moebiusův proužek, pokud jeden na sebe otočíte, bude vždy stejný jako on. Tomu říkám, že nemám zrcadlový obraz. "

Z matematického hlediska je Lacanovo předchozí tvrzení chybné: v předchozích částech jsme viděli, že zrcadlový obraz Möbiovyho pásu odpovídá obrácení (před lepením) o půl otáčky v opačném směru, a proto není identické s počáteční páskou (obecněji, pokud lze zrcadlový obraz postavy na něj překrýt posunem, je to proto, že obrazec má rovinu symetrie) .

U Patricka Torta

V epistemologii Patricka Torta topologická metafora Möbiovyho pásu ilustruje to, co nazývá reverzním účinkem evoluce v Darwinu : přirozený výběr, zrozený z boje o existenci, vybírá sociální instinkty, jejichž vývoj v „civilizaci“ je stále více oponován. k boji o existenci, a tedy k přirozenému výběru.

Obrázek Möbiova pásu se používá k vysvětlení reverzní operace. Skládá se z pruhu (2 strany) uzavřeného po otočení o půl otáčky, nyní má pouze jednu stranu a pouze jeden okraj. Pokud pojmenujeme dvě původně protichůdné tváře „příroda“ a „civilizace“, vidíme, že přecházíme na půli cesty z jedné do druhé, aniž bychom skákali nebo lámali (v rámci „genealogické“ kontinuity, která zde zůstává zásadní, nemůže existovat žádná). Darwinovský kontinuismus v antropologii není jednoduchý, ale reverzní. Hnutí příroda → kultura neprodukuje prasknutí, ale přesto ukládá hmatatelné důkazy o „prasklém efektu“, protože jsme postupně přešli „na druhou stranu“.

Poznámky a odkazy

(in) [video] Tadashi Tokieda, Geometry & Topology - Reading 01 Part 01/02 on YouTube .
Möbiový kruh a recyklace .
(in) „ Počítačová grafika je v Číně stále považována za novou technologii pro zábavu “ , 8. března 2006.
La Minute du geek vysíláno na televizním kanálu Nolife od 20. května 2009 (pro online sledování je vyžadováno předplatné) .
http://www.drunkenboat.com/db8/oulipo/feature-oulipo/oulipo/texts/le_tellier/sighted_fr.html#Suibeom .
Alice Pilastre na webu Kikk Festival 2013.
(in) [PDF] Zpravodaj Mezinárodní společnosti pro umění, matematiku a architekturu , září 2006.

Dodatky

Bibliografie

(en) Udo Hertrich-Jeromin , Úvod do Möbiovy diferenciální geometrie , CUP ,2003
(en) Jonathan D. Amith , The Möbius Strip: A Spatial History of Colonial Society in Guerrero, Mexico , Stanford University Press ,2005
S. Wane , Africanity and Africanization of the West , Le Publieur,2012
(en) Chen Nanxian , Mobiüsova inverze ve fyzice , World Scientific ,2010
Frank Thilliez , Prsten Moebius , Průchod ,2008

Související články

externí odkazy

Matematika

Pragmatický

„Realizace pásky, zvláštnosti a vlastnosti řezů“ (v internetovém archivu )

Hudba

Animace canon cancrizans od JS Bacha na Möbiově kazetě , výňatek z Hudební nabídky