Harmonická analýza na konečné abelianské skupině

V matematiky je harmonická analýza na konečné abelian skupiny je zvláštní případ harmonické analýzy odpovídá případě, že skupina je abelian a konečný .

Harmonická analýza umožňuje definovat pojem Fourierovy transformace nebo konvolučního produktu . Je to rámec mnoha teorémů, jako je Plancherel , rovnost Parseval nebo dualita Pontryagin .

V případě, že skupina je abelian a konečná je nejjednodušší z teorie, Fourierova transformace je omezena na konečný součet a duální skupina je izomorfní s původní skupinou.

Harmonická analýza na konečné abelianské skupině má mnoho aplikací, zejména v modulární aritmetice a v teorii informací .

Kontext

V tomto článku, G znamená abelian skupinu objednávky g , označený aditivně a ℂ na pole z komplexních čísel  ; pokud z označuje komplexní číslo, z označuje jeho konjugát .

Prostor aplikací G v ℂ

Soubor ℂ G map G v ℂ je vybaven několika strukturami:

• je to komplexní vektorový prostor dimenze g s kanonickým základem (δ s ) s ∈ G , kde δ s označuje Kroneckerův symbol  : δ s ( t ) se rovná 1 pro t = s a rovná se 0 pro jiní t ∈ G . Souřadnice v této základně mapy f jsou komplexní čísla f ( s ), také známá f s  ;
• tento vektorový prostor je kanonicky obdařen hermitovským součinem definovaným:⟨⋅|⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle}∀F,h∈VSG,⟨F|h⟩=1G∑s∈GF(s)¯h(s).{\ displaystyle \ forall f, h \ in \ mathbb {C} ^ {G}, \ quad \ langle f | h \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ suma _ {s \ v G} { \ overline {f (s)}} h (s).}Tento Hermitovské uděluje výrobek na une G Hermitian prostor konstrukce , známý ( 2 ( G );
• tento vektorový prostor je také vybaven konvolučním produktem ∗, definovaným: ∀(nas)s∈G,(bt)t∈G∈VSG(∑s∈Gnasδs)∗(∑t∈Gbtδt)=∑s,t∈Gnasbtδs+t{\ displaystyle \ forall (a_ {s}) _ {s \ v G}, (b_ {t}) _ {t \ v G} \ v \ mathbb {C} ^ {G} \ quad \ left (\ sum _ {s \ in G} a_ {s} \ delta _ {s} \ right) * \ left (\ sum _ {t \ in G} b_ {t} \ delta _ {t} \ right) = \ sum _ {s, t \ in G} a_ {s} b_ {t} \ delta _ {s + t}}.Toto vnitřní násobení rozšiřuje zákon skupiny G  : δ s ∗ δ t = δ s + t . Dává ℂ g na strukturu ℂ-algebry , nazvaný konečná skupina algebry G a uvést ℂ [ G ]. Dokazujeme (ale v tomto článku to nebude použito), že pro jakoukoli konečnou skupinu G (abelian nebo ne) ℂ [ G ] je polo-jednoduchý kruh .

Duální skupina

Dual skupina z G , označil G , se skládá z postav G , to znamená, že z morphisms z G v multiplikativní skupině ℂ *.

Tvoří multiplikativní skupiny izomorfní (není canonically) pro aditivní skupiny G .

Je součástí ℂ G a tvoří orthonormal bázi pásmy 2 ( G ), která opravňuje dodatečně se vybere Hermitovské produkt na ℂ G .

Jakákoli konečná abelianská skupina je kanonicky izomorfní se svým dvojním (duálním duálním). Tato vlastnost je zobecněna pod názvem Pontryagin dualita .

Teorie harmonické analýzy

Bessel-Parseval rovnost

Případ rovnosti Besselovy nerovnosti v hermitovském prostoru ukazuje, že jakýkoli prvek

na=∑s∈Gnasδs∈ℓ2(G){\ displaystyle a = \ sum _ {s \ in G} a_ {s} \ delta _ {s} \ in \ ell ^ {2} (G)}

se rozpadá na ortonormálním základě ø v následující podobě:

všímat sinaχ=⟨χ∣na⟩=1G∑s∈Gχ(s)¯ nas,my mámena=∑χ∈G^naχχproto‖na‖2=∑χ∈G^|naχ|2{\ displaystyle {\ text {noting}} \ quad a _ {\ chi} = \ langle \ chi \ mid a \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ v G} {\ overline {\ chi (s)}} ~ a_ {s}, \ quad {\ text {na a}} \ quad a = \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {G}}} a _ {\ chi } \ chi \ quad {\ text {proto}} \ quad \ | a \ | ^ {2} = \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {G}}} | a _ {\ chi} | ^ { 2}}.

Fourierova transformace

Fourierova transformace tohoto prvku z litrů, 2 ( G ) je mapana{\ displaystyle a}

na^:G^→VS{\ displaystyle {\ widehat {a}}: {\ widehat {G}} \ to \ mathbb {C}}

definován:

na^(χ)=Gnaχ=∑s∈Gχ(s)¯nas{\ displaystyle {\ widehat {a}} (\ chi) = ga _ {\ chi} = \ součet _ {s \ v G} {\ overline {\ chi (s)}} a_ {s}}.

To definuje lineární mapy, Fourierova transformace ^: ℓ 2 ( G ) → ℂ G , jehož hlavní vlastnosti jsou podrobně popsány níže, který však již můžeme všimnout, že je bijective, protože obě místa mají rozměr g a že Bessel -Parvelova rovnost, přepsaná v následující formě zvané Plancherelův inverze , zajišťuje injektivitu:

∀na∈ℓ2(G)na=1G∑χ∈G^na^(χ)χ{\ displaystyle \ forall a \ in \ ell ^ {2} (G) \ quad a = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {G}}} {\ widehat {a}} (\ chi) \ chi}.

Konvoluční produkt

Výše uvedený výběr násobení od v definici Fourierovy transformace zajišťuje jeho kompatibilitu s konvoluce produktu *, jsou definovány v části „Space map G v ℂ“ ( viz výše ): naχ{\ displaystyle a _ {\ chi}}G{\ displaystyle g}

Nechť a a b jsou dva prvky algebry skupiny G , Fourierova transformace a ∗ b je součinem a a b  :

∀na,b∈VS[G]na∗b^=na^b^{\ displaystyle \ forall a, b \ in \ mathbb {C} [G] \ quad {\ widehat {a * b}} = {\ hat {a}} \, {\ hat {b}}}. Demonstrace

∀χ∈G^na∗b^(χ)=∑u∈Gχ(u)¯(na∗b)(u)=∑u∈Gχ(u)¯(∑s,t∈G,s+t=unasbt)=∑s,t∈Gχ(s+t)¯nasbt=(∑s∈Gχ(s)¯nas)(∑t∈Gχ(t)¯bt)=na^(χ)b^(χ).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ forall \ chi \ in {\ widehat {G}} \ qquad {\ widehat {a * b}} (\ chi) & = \ sum _ {u \ in G} {\ overline {\ chi (u)}} (a * b) (u) \\ & = \ sum _ {u \ in G} {\ overline {\ chi (u)}} \ left (\ sum _ {s, t \ v G, s + t = u} a_ {s} b_ {t} \ vpravo) \\ & = \ sum _ {s, t \ v G} {\ overline {\ chi (s + t)}} a_ {s} b_ {t} \\ & = \ left (\ sum _ {s \ in G} {\ overline {\ chi (s)}} a_ {s} \ right) \ left (\ sum _ {t \ in G} {\ overline {\ chi (t)}} b_ {t} \ right) \\ & = {\ hat {a}} (\ chi) {\ hat {b}} (\ chi). \ konec {zarovnáno}}}

Parseval rovnost

Tvorba lineární bijection ^: litrů, 2 ( G ) → ℂ g izomorfismus z hermitovských prostory částek na výběr na ℂ g jedinečnou Hermitovské produkt, pro které je základem ( g ó × ) χ∈ g (Fourierova transformace ortonormální báze G ) je ortonormální. Ptáme se proto:

∀F,h∈VSG^⟨F∣h⟩=1G2∑χ∈G^F(χ)¯h(χ){\ displaystyle \ forall f, h \ in \ mathbb {C} ^ {\ widehat {G}} \ quad \ langle f \ mid h \ rangle = {\ frac {1} {g ^ {2}}} \ součet _ {\ chi \ in {\ widehat {G}}} {\ overline {f (\ chi)}} h (\ chi)}.

Všimněte si, že tento Hermitovské odpovídá produktu na opatření Haar o g hmotnosti 1 / g , zatímco s cílem vymezit litrů, 2 ( G ) odpovídal mírou Haara na G hmoty 1. Budeme se však poznamenat, ne 2 ( g ) prostor Provided Ø dodáván s výše uvedeným hermitovským produktem. Získáváme tak:

S výše uvedenou definicí ℓ 2 ( ø ), Fourierova transformace

^:ℓ2(G)→ℓ2(G^){\ displaystyle {\ widehat {}}: \ ell ^ {2} (G) \ to \ ell ^ {2} ({\ widehat {G}})}

je izomorfismus hermitovských prostorů. Zejména kontroluje následující rovnost, známou jako Parseval  :

∀na,b∈ℓ2(G)⟨na^|b^⟩ℓ2(G^)=⟨na|b⟩ℓ2(G){\ displaystyle \ forall a, b \ in \ ell ^ {2} (G) \ quad \ langle {\ hat {a}} | {\ hat {b}} \ rangle _ {\ ell ^ {2} ({ \ hat {G}})} = \ langle a | b \ rangle _ {\ ell ^ {2} (G)}}.

Ortogonální podskupiny

Je H podskupina G , budeme nazývat ortogonální skupiny z H , a značí H ⊥ , podskupinu G skládající se z postav, jejichž jádro obsahuje H .

Podle věty o izomorfismu  :

• H ⊥ je izomorfní s dvojí z kvocientu skupiny G / H .Ve skutečnosti, H ⊥ je množina znaků G, který je vynásobených činiteli podle G / H , takže se jedná o obraz z kanonického zakotvení dvojí z G / H v tom, že z G . To poskytuje první důkazy, že H ⊥ je podskupina G , a také ukazuje, že jeho objednávka je roven podílu v řádu G o to H .
• Skupina kvocientů Ĝ / H ⊥ je izomorfní s Ĥ .Ve skutečnosti, H ⊥ je jádro z kanonického omezení morfismu, od G do H , který poskytuje injekční aplikaci morphism z G / H ⊥ do H , a to je také morfismus surjektivní o mohutnosti argumentem.

Obě Výše uvedené údaje se mohou také odvodit z správnosti sekvence , vzhledem k injektivitě části na dělitelné skupiny ℂ * . 0→G/H^→G^→H^→0{\ displaystyle 0 \ to {\ widehat {G / H}} \ to {\ widehat {G}} \ to {\ widehat {H}} \ to 0}

Poissonův součtový vzorec

Je H podskupina objednávky h o G . Libovolný prvek ℓ 2 ( G ) splňuje následující Poissonův součtový vzorec : na{\ displaystyle a}

G∑t∈Hnat=h∑χ∈H⊥na^(χ){\ displaystyle g \ sum _ {t \ v H} a_ {t} = h \ sum _ {\ chi \ v H ^ {\ perp}} {\ hat {a}} (\ chi)}. Demonstrace G∑t∈Hnat=G2⟨∑t∈Hδt∣na⟩ℓ2(G)=∑t∈HG2⟨δt^∣na^⟩ℓ2(G^)=∑t∈H,χ∈G^δt^(χ)¯na^(χ)=∑χ∈G^vs.χna^(χ){\ displaystyle g \ sum _ {t \ v H} a_ {t} = g ^ {2} \ langle \ sum _ {t \ v H} \ delta _ {t} \ uprostřed \ rangle _ {\ ell ^ {2} (G)} = \ sum _ {t \ v H} g ^ {2} \ langle {\ widehat {\ delta _ {t}}} \ mid {\ hat {a}} \ rangle _ {\ ell ^ {2} ({\ hat {G}})} = \ sum _ {t \ v H, \ chi \ v {\ widehat {G}}} {\ overline {{\ widehat {\ delta _ {t }}} (\ chi)}} {\ hat {a}} (\ chi) = \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {G}}} c _ {\ chi} {\ hat {a}} (\ chi)}

s

vs.χ=∑t∈Hχ(t)=h⟨1∣χ|H⟩ℓ2(H)={h-liχ|H=10Pokud ne.{\ displaystyle c _ {\ chi} = \ součet _ {t \ v H} \ chi (t) = h \ langle 1 \ mid \ chi _ {| H} \ rangle _ {\ ell ^ {2} (H )} = {\ begin {cases} h \ quad {\ text {si}} \ quad \ chi _ {| H} = 1 \\ 0 \ quad {\ text {jinak.}} \ end {cases}}}

Omezení χ na H se však rovná znaku 1 nad H právě tehdy, když χ patří do ortogonálu H , který končí důkaz.

Aplikace

Modulární aritmetika

První historické použití znaků bylo pro aritmetiku. Symbol Legendrova je příkladem znaku na multiplikativní skupiny konečného pole F p = ℤ / p ℤ kde ℤ označuje kruh relativních celých čísel a p liché prvočíslo .

Používá se pro výpočet Gaussových součtů nebo Gaussových období . Tento znak je základem důkazu zákona kvadratické reciprocity .

Legendární symbol

V tomto odstavci p označuje liché prvočíslo. G je zde skupina ℤ / p ℤ. Symbol Legendre označuje funkci, která k celému číslu a přidruží 0, pokud a je násobkem p , přidruží 1, pokud je třída a ve F p nenulový čtverec, a přidruží -1 jinak.

Obrázek funkce symbolu Legendre na multiplikativní skupině F p odpovídá znaku s hodnotami v množině {-1, 1}.

Symbol Legendre je definován na ℤ. Tato funkce je konstantní na celočíselných třídách modulo p  ; je tedy definován na multiplikativní skupině F p . V této skupině má symbol Legendre své hodnoty v množině {-1, 1} a je morfismem skupin, protože symbol Legendre je charakterem Dirichlet .

Demonstrace jsou uvedeny v přidruženém článku.

Gaussova suma

Ve zbytku článku je p liché prvočíslo.

Nechť ψ je znak skupiny aditiv ( F p , +) a χ znak multiplikativní skupiny ( F p * ,. ), Pak Gaussův součet spojený s χ a ψ je komplexní číslo, zde je uvedeno G (χ , ψ) a definováno:

G(χ,ψ)=∑X∈Fp∗χ(X)ψ(X){\ displaystyle G (\ chi, \ psi) = \ součet _ {x \ ve F_ {p} ^ {*}} \ chi (x) \ psi (x)}.

Z hlediska Fourierovy transformace můžeme mapu, která χ sdružuje G (χ, ψ ), považovat za Fourierovu transformaci prodloužení χ na F p rovností χ (0) = 0 v aditivní skupině pole a mapa, která ψ sdružuje G ( χ , ψ) jako Fourierovu transformaci omezení z ψ na F p * v multiplikativní skupině pole.

Gaussovské sumy jsou široce používány v aritmetice, například pro výpočet Gaussových období . Umožňují zejména určit součet hodnot skupiny kvadratických zbytků p -tých kořenů jednotky a obecněji určit kořeny cyklotomického polynomu indexu p .

Kvadratický zákon o vzájemnosti

Gaussovy částky mají důležité historické uplatnění: kvadratický zákon vzájemnosti, který je vyjádřen následovně:

Pokud p a q jsou dvě odlišná lichá prvočísla, pak

(pq)(qp)=(-1)(p-1)(q-1)4{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}}.

Tato věta je demonstrována v článku Gaussian Sum .

Dirichletova postava

Aby demonstroval teorém aritmetické progrese a tvrdil, že jakákoli invertibilní třída prstenu ℤ / n ℤ obsahuje nekonečno prvočísel, Dirichlet zobecňuje Gaussovu práci a systematicky studuje skupinu znaků skupiny invertiblů takového kruhu.

Použití Fourierovy transformace je klíčovým krokem důkazu. Znaky Dirichlet mají důležitou roli v analytické teorie čísel zejména analyzovat kořeny z funkce £ z Rieman .

Zvláštní případ: konečný vektorový prostor

Konkrétním případem jsou vektorové prostory v konečném poli . Vlastnosti konečných polí umožňují stanovit výsledky teorie v mírně odlišné formě. Tento případ se používá například v teorii informací prostřednictvím studia booleovských funkcí , což odpovídá případu, kdy tělo obsahuje dva prvky. Tato teorie se používá k řešení kryptologických otázek, zejména pro S-boxy , stejně jako pro proudové šifry . Harmonická analýza konečného vektorového prostoru také zasahuje v kontextu teorie kódu, zejména u lineárních kódů , například za účelem zjištění identity MacWilliams .

Dualita Pontryaginu

Pro každý místně kompaktní abelian skupina G je kanonický injective morfismus z G na jeho bidual je bijective. Pokud G je konečná abelianská skupina, existují dokonce (nekanonické) izomorfismy G v jeho dvojí . V konkrétním případě, kdy G je aditivní skupina konečného vektorového prostoru, tj. Elementární abelianská skupina (en) , lze některé z těchto izomorfismů sestrojit následovně.  

Základní izomorfismus

Na libovolném konečném dimenzionálním vektorovém prostoru V je bilineární forma〈| > Je to zvrhlé tehdy a jen tehdy, pokud Model: Bilineární forma of V. v jeho dvojí prostor V *.

V tomto článku označuje V vektorový prostor konečné dimenze n nad konečným polem F q kardinála q . Symbol označuje dvojí skupiny z V , χ 0 netriviální charakter aditivní skupiny F q a <| > Bilineární nedegenerovaného forma na V . PROTI^{\ displaystyle {\ hat {V}}}

Když vezmeme v úvahu pouze jeho aditivní skupinu vektorového prostoru V *, máme:

Morfismus skupin je izomorfismus . PROTI∗→PROTI^,F↦χ0∘F{\ displaystyle V ^ {*} \ to {\ hat {V}}, f \ mapsto \ chi _ {0} \ circ f}

Tento morfismus je ve skutečnosti injektivní, protože má triviální jádro , protože pokud f je nenulová lineární forma a proto surjektivní , pak je znak χ 0 ∘ f , stejně jako χ 0 , netriviální. Tyto dvě skupiny mají stejné pořadí q n , tento injektivní morfismus je bijektivní .

Podle složení odvodíme:

Morfismus skupin definovaných U:PROTI→PROTI^{\ displaystyle U: V \ až {\ hat {V}}}

∀X,y∈PROTIUX(y)=χ0(⟨X∣y⟩){\ displaystyle \ forall x, y \ in V \ quad U_ {x} (y) = \ chi _ {0} (\ langle x \ mid y \ rangle)}

je izomorfismus.

Ortogonalita ve vztahu k dualitě Pontryagin

Nechť S podmnožinu V . Stejně jako v obecném případě konečné abelian skupiny , kolmý S je podskupina S ⊥ z zadávané znaky, jejichž jádro obsahuje S . Rovněž definujeme ortogonální S relativně k Pontryagin dualita spojena s (χ 0 , <|>) jako podskupiny S °: = U -1 ( S ⊥ ) z V  : PROTI^{\ displaystyle {\ hat {V}}}

S∘={X∈PROTI∣∀y∈Sχ0(⟨X∣y⟩)=1}{\ displaystyle S ^ {\ circ} = \ {x \ ve V \ mid \ forall y \ in S \ quad \ chi _ {0} (\ langle x \ mid y \ rangle) = 1 \}}.

Všimli jsme si, že:

• kolmý na levé straně S vzhledem k formě bilineární je vektorový podprostor z V zahrnuty do podskupiny S °. Rovná se jí, jakmile je χ 0 injektivní - tedy jakmile je q prvočíslo - ale také jakmile S je vektorový podprostor;
• pokud je bilineární forma 〈| > Je symetrická nebo antisymetrická, S °° je podskupina generované pomocí S  ; tato podskupina H je skutečně zahrnuta v H °°, ale pořadí | H ° | = | H ⊥ | z H ° je rovna | V | / | H | a podobně | H °° | se rovná | V | / | H ° | proto do | H |, takže H = H °° = S °°.

Fourierova transformace

Algebry z konečného skupiny je označen ℂ [ G ]. Fourierova transformace , z ℂ [ G ] do ℂ [ G ] je lineární bijection definovaný: . Plancherel vzorec je a je-li (,), G označuje Hermitovské kanonický produkt komplexního vektorového prostoru ℂ [ G ], v Parseval identita může být napsán . na^(χ): =∑y∈Gχ(y)¯na(y){\ displaystyle {\ widehat {a}} (\ chi): = \ součet _ {y \ v G} {\ overline {\ chi (y)}} a (y)}na=1G∑χ∈G^na^(χ)χ{\ displaystyle a = {\ frac {1} {g}} \ součet _ {\ chi \ v {\ widehat {G}}} {\ widehat {a}} (\ chi) \ chi}(na^|b^)G^=|G| (na|b)G{\ displaystyle ({\ hat {a}} | {\ hat {b}}) _ {\ widehat {G}} = | G | ~ (a | b) _ {G}}

V případě, že G = V , izomorfismus U výše , z V v jeho dvojité skupině, umožňuje transportovat tuto Fourierovu transformaci do mapy ℂ [ V ] v ℂ [ V ], nazývané také Fourierova transformace a opět poznamenaná ^  :

∀na∈VS[PROTI]∀X∈PROTIna^(X): =na^(U(X))=∑y∈PROTIna(y)χ0(-⟨X∣y⟩){\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {C} [V] \ quad \ forall x \ ve V \ quad {\ hat {a}} (x): = {\ hat {a}} (U (x) ) = \ sum _ {y \ in V} a (y) \ chi _ {0} (- \ langle x \ mid y \ rangle)}.

Rovnost Parsevala je poté přepsána:

∀na,b∈VS[PROTI](na^∣b^)=qne(na∣b){\ displaystyle \ forall a, b \ in \ mathbb {C} [V] \ quad ({\ hat {a}} \ mid {\ hat {b}}) = q ^ {n} (a \ mid b) }

a Plancherelův vzorec:

∀na∈VS[PROTI]∀y∈PROTIna(y)=1qne∑X∈PROTIna^(X)χ0(⟨X∣y⟩){\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {C} [V] \ quad \ forall y \ ve V \ quad a (y) = {\ frac {1} {q ^ {n}}} \ součet _ {x \ ve V} {\ widehat {a}} (x) \ chi _ {0} (\ langle x \ mid y \ rangle)}.

Poissonův součtový vzorec

Pokud W je podskupina V a prvek ℂ [ V ], má Poissonův součtový vzorec následující podobu: na{\ displaystyle a}

∑w∈Žna(w)=1|Ž∘|∑w∘∈Ž∘na^(w∘){\ displaystyle \ sum _ {w \ in W} a (w) = {\ frac {1} {| W ^ {\ circ} |}} \ sum _ {w ^ {\ circ} \ ve W ^ {\ cirkus}} {\ hat {a}} (w ^ {\ circ})}.

Aplikace

Booleovská funkce

Existuje speciální případ, že kde je vektorový prostor binární, to znamená na poli se dvěma prvky F 2 . V této souvislosti existuje pouze jeden netriviální znak, který spojuje –1 s jednotou. Fourierova transformace má potom jednoduchou formu a nese název Walshova transformace .

Má mnoho aplikací v teorii kódu . Používá se například v kryptografii k zajištění bezpečnosti zprávy pomocí S-boxu v případě algoritmů pro šifrování symetrické .

MacWilliams Identity

Harmonická analýza na konečných vektorových prostorech se také používá pro korekční kódy , zejména v souvislosti s lineárními kódy .

Jedním příkladem je identita MacWilliams; spojuje enumerátorový polynom váh, to znamená rozdělení Hammingových vah , lineárního kódu a jeho duálního. Používá se ke studiu kódů, jako je Hamming .

Podívejte se také

• Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku s názvem „  Harmonická analýza v konečném vektorovém prostoru  “ (viz seznam autorů ) .

Související články

• Diskrétní Fourierova transformace
• Nekomutativní harmonická analýza

Externí odkaz

• C. Bachoc, diskrétní matematika Fourierovy transformace , University of Bordeaux I.
• A. Bechata, „  Harmonická analýza komutativních konečných skupin  “ , s.  10-11
• Anthony Carbery, „  Harmonická analýza na vektorových prostorech nad konečnými poli  “ , s.  4-5.

Funguje

• Michel Demazure , Kurz algebry: primitivita, dělitelnost, kódy [ detail vydání ]
• André Warusfel , Konečné algebraické struktury , Hachette, 1971
• Gabriel Peyré, Diskrétní algebra Fourierovy transformace , Elipsy , 2004

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">