V matematice je K- algebraická teorie důležitým odvětvím homologické algebry . Jejím cílem je definovat a použít sekvenci z funktorů K n z kategorie kroužků k tomu abelovských skupin . Z historických důvodů jsou K 0 a K 1 koncipovány v pojmech trochu odlišných od K n pro n ≥ 2. Tyto dvě K-skupiny jsou skutečně přístupnější a mají více aplikací než ty s vyššími indexy. Teorie druhé jde mnohem hlouběji a jsou mnohem obtížnější vypočítat, i když jen na kroužku z celých čísel .
Skupina abelian K 0 ( ) zobecňuje stavbu skupiny ideálních tříd jednoho kruhu A, za použití A - projektivní moduly . Byl vyvinut v šedesátých a sedmdesátých letech - ve kterých se „ domněnka o Serre “ o projektivních modulech stala teorémem Quillen-Suslin (in) - a byl spojen s mnoha dalšími klasickými algebraickými problémy. Podobně skupina K 1 ( A ) je modifikací skupiny jednotek pomocí elementárních matic ; to je důležité v topologii , zvláště když A je skupinový kruh , protože kvocientová skupina , Whiteheadova skupina (en) , obsahuje Whiteheadovu torzi (en) , používanou v jednoduché teorii homotopy a chirurgii . Skupina K 0 ( A ) obsahuje také další invarianty , jako je konečný invariant . Od 80. let má algebraická teorie K stále více aplikací v algebraické geometrii . Například motivická kohomologie je s ní úzce spjata.
Alexandre Grothendieck objevil K- teorii v polovině padesátých let jako rámec pro založení jeho dalekosáhlé generalizace Riemann-Rochovy věty . O několik let později považovali Michael Atiyah a Friedrich Hirzebruch za podobnou, K topologickou teorii (in) .
Od roku 1960 byly objeveny aplikace K- skupin, zejména v mnohočetné chirurgii , a mnoho dalších odkazů na klasické algebraické problémy.
O něco později byla vyvinuta větev teorie operátorových algeber se ziskem, která vedla ke K- teorii operátorů (en) a KK- teorii (of) . Rovněž vyšlo najevo, že K- teorie musí hrát roli v algebraické geometrii, v teorii cyklů (Gerstenova domněnka): skupiny vyšších K- teorií tam byly spojeny s jevy ve vyšších dimenzích , ty těžší pochopitelné.
Problém nastal v rozmanitosti definic K- teorie, na první pohled ne ekvivalentních. Použití Steinberg práci na univerzálních centrálních rozšíření z klasických algebraických skupin , John Milnor rozhodne definovat skupinu K 2 ( A ) kruhu A jako centra , izomorfní na H 2 (E ( A ), ℤ) , univerzálního centrálního prodloužení ze skupiny E ( A ), generované nekonečnou základní matice A . Existuje přirozená bilineární mapa od K 1 ( A ) × K 1 ( A ) do K 2 ( A ). V konkrétním případě pole k je skupina K 1 (k) isomorfní s multiplikativní skupinou GL (1, k ) a výpočty Hideya Matsumoto ukázaly, že K 2 ( k ) je izomorfní se skupinou generovanou K 1 ( k ) × K 1 ( k ) modulo soubor snadno popsatelných vztahů .
Těch základních obtíže byly nakonec vyřešeny (zanechává hluboký a těžký teorie) od Daniel Quillen , který dal několik definic K n ( A ) všech přirozených čísel n , prostřednictvím svého a navíc konstrukce a jeho Q konstrukce .
K -skupiny indexu 0 a 1 jako první, aby se objevil, v různých ad hoc popisy , které zůstávají použitelné. V následujícím bude A označovat jalový prsten .
Všechny třídy isomorfismu z A - projektivní moduly konečných typu , vybaveného přímým součtu tvoří monoid . Definujeme K 0 ( A ) jako jeho Grothendieckovu skupinu .
Libovolný prstencový morfismus A → B dává mapu K 0 ( A ) → K 0 ( B ), která posílá (třídu) jakýkoli A- modul M (projektivní a konečného typu) na M ⊗ A B , což činí K 0 kovariantní funktor.
V případě, že kruh je komutativní , můžeme definovat v K 0 ( A ) v podskupině
nebo
je aplikace, která (třídě) M sdružuje hodnost A P - bezplatný modul M P (tento modul je skutečně zdarma, protože se jedná o projektivní modul v místním kruhu ). Tato podskupina se nazývá K snížena -Teorie index 0 z A .
Definici K 0 můžeme rozšířit na nutně unifikovaný kruh B tím, že vezmeme v úvahu jeho unitarizovaný A = B 1 a kanonický morfismus sjednocených kruhů A → ℤ. Potom definujeme K 0 ( B ) jako jádro odpovídajícího K 0 ( A ) → K 0 (ℤ) = ℤ morfismu .
PříkladyBuď jsem ideál of A . Definujeme související „double“, jak ukazuje následující sub-kroužek z produktu kruhu x A :
pak relativní K -skupina:
kde je aplikace indukována projekcí na první faktor.
Tento příbuzného se k -skupinu K 0 ( , I ), je izomorfní K 0 ( I ), kde I je považována za unitless kruhu. Skutečnost, že je nezávislá na A, je analogií věty o excizi v homologii.
Prsten K 0V případě, že kruh je komutativní je tensor produkt dvou projektivní modulů je stále projektivní, která vyvolává násobení tvorby K 0 komutativní prsten, s třídou [ A ] jako multiplikativní neutrální. Podobně externí produkt indukuje strukturu λ-kruhu (en) . Picardova skupina se ponoří do skupiny jednotek K 0 ( A ).
Hyman Bass dal následující definici, která zobecňuje definici skupiny jednotek prstenu: K 1 ( A ) je abelianizovaná z obecné lineární nekonečné skupiny :
Podle Whiteheadova lematu se odvozená skupina [GL ( A ), GL ( A )] shoduje s dokonalou podskupinou E ( A ) generovanou elementárními maticemi. Skupina GL ( ) / E ( ), poprvé identifikován a studoval Whitehead, se nazývá skupina Whitehead kroužku A .
K 1 relativníThe příbuzného se k -skupinu K 1 ( , I ) je definován, pokud jde o " double ":
Hodí se do přesné sekvence :
Komutativní prsteny
V případě, že kruh je komutativní, můžeme definovat morphism určující , GL ( A ) ze skupiny A × jednotek A . Tato mapa zmizí na E ( A ), proto přechází na kvocient a definuje morfismus det: K 1 ( A ) → A × , jehož jádro je speciální skupina Whitehead SK 1 ( A ): = SL ( A ) / E ( A ). Dokonce máme krátkou přesnou sekvenci rozdělenou vpravo kvocient toho, jehož řez A × → GL ( A ) je dán zahrnutím A × = GL (1, A ) do GL ( A ).
Tak, K 1 ( ) rozkládá do přímého součtu skupiny jednotek a zvláštní skupiny Whitehead: K 1 ( ) ≃ x ⊕ SK 1 ( ).
Pokud A je euklidovský kruh (např. Komutativní pole nebo kruh celých čísel) nebo pololokální , pak je skupina SK 1 ( A ) triviální a determinantem je izomorfismus z K 1 ( A ) do A × . To je špatné pro jakýkoli hlavní prsten , který poskytuje jednu ze vzácných vlastností euklidovských prstenů, které se nezobecňují na hlavní prsteny. Z proti-příklady byly dány Bass v roce 1972 a od ISCHEBECK v roce 1980.
SK 1 ( A ) je také triviální, pokud A je Dedekind podřetězec číselného pole .
Trivialitu SK 1 lze interpretovat tak, že K 1 je generován obrazem GL 1 . Pokud tomu tak není, můžeme zjistit, zda je K 1 generován obrazem GL 2 . To platí pro Dedekind kruhu K 1 je potom generuje obrazy GL 1 a SL 2 . Můžeme studovat podskupinu SK 1 generovanou SL 2 pomocí symbolů Mennicke (en) . Pro Dedekind kruh, ve kterém všechny kvocienty podle maximální ideál jsou konečné , SK 1 je torzní skupina .
Pro nekomutativní kruh není určující morfismus obecně definován, ale jeho náhradou je mapa GL ( A ) → K 1 ( A ).
Jednoduché centrální algebryPokud A je jednoduchá centrální algebra nad polem F , redukovaná norma poskytuje zevšeobecnění determinantu, což dává mapu K 1 ( A ) → F *, a můžeme definovat SK 1 ( A ) jako jeho jádro. Shianghao Wang (en) prokázala, že v případě, že míra z A je prvočíslo pak SK 1 ( ) je triviální, a to se vztahuje na případ, kdy je stupeň je squareless . Wang také dokázal, že SK 1 je triviální pro jakoukoli jednoduchou centrální algebru nad číselným polem. Vladimir Platonov uvedl příklady algeber stupně p 2, jejichž SK 1 není triviální , pro jakékoli prvočíslo p .
John Milnor definováno K 2 ( A ) jako středu na skupiny Steinberg St ( A ) z A . Je to také jádro morfismu φ: St ( A ) → GL ( A ) a Schurův multiplikátor skupiny E ( A ) generovaný elementárními maticemi.
K 2 (ℤ) = ℤ / 2ℤ a obecněji na K 2 v kruhu celých čísel jednoho těla čísel je konečný.
K 2 (ℤ / n ℤ) je stále ℤ / 2ℤ, pokud n je dělitelné 4, ale jinak je triviální.
Matsumotova větaK 2 z pole je určena symboly Steinberg :
Matsumotova věta - Pro libovolné komutativní pole k ,Můžeme snadno odvodit, že K 2 jakéhokoli konečného pole je triviální.
Výpočet K 2 ( ℚ ) je trochu komplikovanější. John Tate to dokázal
tím, že poznamená, že důkaz následoval stejný plán jako první důkaz podle Gauss o práva kvadratické vzájemnosti .
Jestliže F je lokální pole než Archimédova , jeho K 2 je přímý součet cyklické skupiny hotové ℤ / m ℤ a dělitelný skupinu K 2 ( F ) m , kde m je počet kořenů jednoty v F .
Dlouhé přesné sekvencePokud je A prsten Dedekinda a F jeho pole zlomků , máme dlouhou přesnou sekvenci
kde P běh přes všech primárních ideálů nenulová of A .
Na druhou stranu je pro všechny A a I (ideální A ) prodloužena přesná sekvence, která přináší do hry relativní K 1 a K 0 :
Spojka
K dispozici je spojka na K 1 hodnot K 2 : daný dojíždění matice X a Y na A , jsou x a y na pozadí ve skupině Steinberg . Spínač XYX -1 y -1 je prvek K 2 . Tato aplikace není vždy surjektivní .
Nad exprese v K 2 komutativního pole k vedla Milnor k definici „vyšší“ K -skupiny, jako složky, v každém stupni , v podílu na tensor algebry části na abelian skupiny k x dva od l‘ - oboustranný ideální generované pomocí a ⊗ (1 - a ) pro a ? 0, 1:
Pro n = 0, 1 nebo 2, tyto K M n skupiny se shodují s K n skupin definovaných níže , ale pro n ≥ 3, jsou obecně různé. Například pro jakékoli konečné pole k je K M n ( k ) triviální pro všechna n ≥ 2, zatímco K n ( k ) je triviální pouze v případě, že n je sudé.
Obraz v K M n ( k ) prvku 1 ⊗ ... ⊗ n se nazývá symbol, a označuje { s 1 , ..., z n }. Pokud m je invertibilní celé číslo v k , existuje aplikace
kde μ m značí skupiny m -tý kořeny jednoty v oddělitelné rozšíření o k . Zasahuje do aplikace
který kontroluje vztahy definující K- skupiny Milnora. Mapa ∂ n , takto definovaná na K M n ( k ), se nazývá „Galoisův symbol“.
Vztah mezi étale (nebo Galoisovou ) kohomologií těla a jeho K- teorií Milnor modulo 2 je Milnorova domněnka , kterou prokázal Vladimir Voevodsky . Analogickým tvrzením pro lichá prvočísla je Bloch-Kato domněnka (en) , kterou prokázali Voevodsky, Rost (de) a další.
Po několika letech, během nichž byly pro K- skupiny vyšších indexů navrženy různé nekompatibilní definice, byl přijat ten, který dal Quillen. Úkolem bylo najít definice K ( R ) a K ( R , I ) z hlediska klasifikace prostorů (en) , takže R ↦ K ( R ) a ( R , I ) ↦ K ( R , I ) jsou funktory s hodnotami v homotopické kategorii (v) z mezery , a že dlouho přesné sekvence pro relativní k -skupiny je prostě dlouho přesný homotopy sekvence z fibration k ( R , i ) → k ( R ) → k ( R / I ).
Quillen dal dvě konstrukce, „konstrukci plus“ a „konstrukci Q “, která byla následně různými způsoby upravena. Obě konstrukce dávají stejné K-skupiny .
Pro n > 0 Quillen definuje n - tou K- skupinu R jako n - tou homotopickou skupinu prostoru získanou aplikací její plus (de) konstrukce na klasifikátor B GL ( R ) nekonečné lineární skupiny GL ( R ):
K rozšíření této definice na případ n = 0 stačí nastavit
protože B GL ( R ) + je spojen oblouky a K 0 ( R ) je diskrétní .
Budova Q (v) dává stejné výsledky jako budování více, ale platí i pro obecnější situace. Kromě toho je přímější v tom smyslu, že skupiny K , které produkuje, jsou podle definice funktoriální, zatímco tato skutečnost není v konstrukci plus bezprostřední.
K jakékoli přesné kategorii P přiřadíme kategorii Q P, jejíž objekty jsou objekty P a jejíž morfizmy od M do M ' jsou třídy izomorfismů diagramů v P tvaru
kde první šipka je přípustný epimorfismus a druhá přípustný monomorfismus .
N -té K -skupinu přesného kategorie P je pak definována
kde 0 je objekt s pevnou hodnotou null a BQ P je klasifikační prostor kategorie Q P , to znamená geometrická realizace (ne) jeho nervu . Zejména, K 0 ( P ) je skupina Grothendieck z P .
Vezmeme-li pro P kategorii projektivních R- modulů konečného typu, najdeme stejné skupiny jako K n ( R ) definované plusovou konstrukcí. Obecněji řečeno, K -skupiny ze schématu X, jsou definovány jako ty v kategorii (přesně) ze koherentní zdroje lokálně zdarma na X .
Používáme také následující variantu: místo projektivních R- modulů konečného typu (tj. Lokálně volných) vezmeme všechny R- moduly konečného typu. Běžně označíme G n ( R ) K K -skupiny takto získaného. Pokud R je pravidelný noetherovských kruh , jeho G - a K - teorie shodují. Opravdu, globální rozměr z R je konečný, to znamená, že každý R -module z konečného typu M připouští (v) projektivní rozlišením P * → M , a jednoduché tvrzení umožňuje vyvodit, že kanonický morfismus K 0 ( R ) → G 0 ( R ) je bijektivní , s [ M ] = Σ ± [ P n ]. Ukazujeme, že morfismus mezi vyššími K- skupinami je také bijektivní.
Třetí konstrukcí K- skupin je stavba S k Waldhausenu (en) . Platí pro kategorie s kofibracemi (nazývané kategorie Waldhausen (v) ), obecnější než přesné kategorie.
Zatímco Quillenova algebraická teorie K pomohla důkladně porozumět různým aspektům algebraické geometrie a topologie , ukázalo se , že skupiny K jsou obzvláště obtížně vypočítatelné, s výjimkou několika izolovaných, ale zajímavých případů.
Tento první výpočet K - horních skupin prstenu - a jedné z nejdůležitějších - provedl sám Quillen: konečné pole s prvky q označenými F q máme:
Quillen prokázáno, že K -skupiny z O F kruhu celých čísel jednoho pole čísel F jsou z konečného typu . Armand Borel použil k výpočtu K i ( O F ) a K i ( F ) modulo torzní . Například pro F = ℚ Borel dokázal, že pro všechna i > 1 je K i (ℤ) modulo torze ℤ, pokud i je shodné s 1 modulo 4 a 0 jinak.
Nedávno jsme zjistili, torzních podskupiny K 2 i 1 (ℤ) a pořadí na konečných abelovská skupin K 4 k 2 (ℤ), ale otázky na cykličnosti z druhé a triviality části K 4 K (ℤ ) závisí na Vandiver domněnky o skupině tříd z cyclotomic celých čísel . Podrobnosti najdete v článku „ Hádej Quillen-Lichtenbaum (ne) “.
Skupiny K- algebraické teorie zasahovat do hypotéz na zvláštních hodnot (en) z L funkcí , formulace hlavního domněnky (en) v nekomutativní teorie Iwasawa a výstavba vyšších regulátorů (en) .
Domněnka Parshin (en) stanoví, že pro jakýkoliv odrůda hladkému průběhu konečného pole je K vyšší-skupiny jsou torzní .
To Bass (en) předpovídá, že pro jakýkoli konečný typ ℤ-algebry A jsou všechny skupiny G n ( A ) konečného typu.