Filmový moment
Filmový moment
Gyroskop předení na hřebík.
V klasické mechanice je moment hybnosti (nebo hybnosti podle Anglicism ) z materiálu bodu M vzhledem k bodu O je moment na hybnosti vzhledem k bodu O, to jest produkt kříže :
p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
LÓ→=ÓM→∧p→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} \ wedge {\ vec {p}}}.
Moment hybnosti hmotného systému je součtem úhlových momentů (vzhledem ke stejnému bodu O) hmotných bodů tvořících systém:
LÓ→=∑iÓMi→∧p→i{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = \ sum _ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} _ {i}}} \ klín {\ vec {p}} _ {i}}.
Tato veličina, uvažovaná v galileovském referenčním rámci , závisí na volbě počátku O, v důsledku toho není obecně možné kombinovat úhlové momenty mající různé počátky. Jeho jednotka je kg m 2 s -1 . Kromě toho jde o ekviprojektivní pole , tedy o torzory .
Moment hybnosti hraje v případě rotace roli analogickou roli hybnosti pro translaci (srov. Analogii mezi rotací a translací ): pokud je zachování hybnosti pro izolovaný systém spojeno s invariancí translací v prostor (vlastnost homogenity prostoru), zachování momentu hybnosti souvisí s izotropií prostoru. Souvislost mezi momentem hybnosti a rotací je ještě jasnější v analytické mechanice a zejména v kvantové mechanice (srov. Moment hybnosti v kvantové mechanice ), kde je tento koncept obohacen, s výskytem momentu hybnosti bez klasického ekvivalentu (srov. Pojem spin ).
U hmotného bodu je časová variace momentu hybnosti dána součtem momentů sil působících v tomto bodě. Tento výsledek, který lze zobecnit na bodový systém, představuje teorém o momentu hybnosti a je analogií základního vztahu dynamiky , který spojuje časovou variabilitu hybnosti a součet aplikovaných sil.
Jedná se o operátor v kvantové mechanice , a tensor ve speciální teorii relativity .
Definice a obecné vlastnosti momentu hybnosti
Chcete-li jednoduše definovat pojem momentu hybnosti, je užitečné nejprve vzít jednoduchý případ hmotného bodu (nebo tělesa bodu ), který odpovídá idealizaci, kde jsou rozměry systému považovány za malé ve srovnání s charakteristickými vzdálenostmi studovaný pohyb (ujetá vzdálenost, poloměr oběžné dráhy atd.). Systém je poté modelován jednoduchým geometrickým bodem (označeným M ), se kterým je spojena jeho hmotnost m . Potom je možné zobecnit aditivitou představu momentu hybnosti na jakýkoli systém, který je považován za soubor hmotných bodů.
Případ hmotného bodu
Pro hmotný bod M v pohybu vzhledem k danému referenčnímu rámci , s pozičním vektorem , je úhlový (nebo úhlový) moment vzhledem k bodu O zvolenému jako počátek definován:
r→=ÓM→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}LÓ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}}
LÓ→=ÓM→∧p→=r→∧p→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} \ wedge {\ vec {p}} = {\ vec {r}} \ wedge { \ vec {p}}},
kde je hybnost částice. Moment hybnosti je tedy momentem druhého vzhledem k O. Samozřejmě záleží na bodě O i na studijním referenčním rámci.
p→=mproti→{\ displaystyle {\ vec {p}} = m \, {\ vec {v}}}
Je zřejmé, že pokud je pohyb hmotného bodu vzhledem k uvažovanému referenčnímu rámci přímočarý a bod O je na trajektorii, budou vektory polohy a hybnosti kolineární a moment hybnosti bude nulový. Na druhou stranu, pro bod O mimo trajektorii, z pohledu kterého se směr „otáčí“ ve vztahu k směru , již nebude platit a moment hybnosti již nebude nulový ani konstantní na to přijde. To nám intuitivně umožňuje vidět, že to nějakým způsobem souvisí s „rotací“ hmotného bodu M kolem počátku O.
p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}LÓ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}}
Toto intuitivní vidění je možné přeložit obecně a kvantitativně vytvořením vztahu mezi jeho časovou variací (derivací) momentu hybnosti a součtem momentů vnějších sil aplikovaných na systém: toto je věta o momentu hybnosti .
Věta o momentu hybnosti pro hmotný bod
Derivace končetiny od končetiny k vyjádření momentu hybnosti umožňuje získat (O se předpokládá, že je fixováno v referenčním rámci studie (R) ):
dLÓ→dt=dr→dt∧p→+r→∧dp→dt=r→∧dp→dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t}} \ wedge {\ vec {p}} + {\ vec {r}} \ wedge {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ vec {r}} \ klín {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}}},
protože a jsou kolineární.
dr→dt(=proti→){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t}} \; (= {\ vec {v}}) \,}p→(=mproti→){\ displaystyle \, {\ vec {p}} \; (= m \, {\ vec {v}})}
Pro materiální bod je napsán základní vztah dynamiky :
dp→dt=∑iFi→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = \ součet _ {i} {\ overrightarrow {F_ {i}}}},
Pravá strana předchozí rovnice představuje součet sil (skutečných nebo setrvačných ) působících na tělo.
Fi→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {i}}}}
Vezmeme-li to v úvahu při vyjádření derivace momentu hybnosti, přichází následující rovnice, známá jako věta o momentu hybnosti :
dLÓ→dt=r→∧∑iFi→=∑iMÓ→(Fi→){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ vec {r}} \ klín \ součet _ {i} {\ overrightarrow {F_ {i}}} = \ sum _ {i} {\ overrightarrow {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {O}}}} \ vlevo ({\ overrightarrow {F_ { i}}} \ vpravo)},
kde je moment síly vzhledem k bodu O, který je považován za fixovaný v referenčním rámci. Tato veličina (nazývaná v angličtině točivý moment ) proto odpovídá variaci momentu hybnosti v O, která generuje působení síly .
MÓ→(Fi→)=r→∧Fi→{\ displaystyle {\ overrightarrow {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {O}}}} \ left ({\ overrightarrow {F_ {i}}} \ right) = {\ vec {r}} \ klín {\ overrightarrow {F_ {i}}}} Fi→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {i}}}}Fi→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {i}}}}
Je tedy zřejmé, že v případě, že výsledný moment je nulový, pak je točivý moment je hlavním integrální v pohybu.
∑iMÓ→(Fi→){\ displaystyle \ sum _ {i} {\ overrightarrow {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {O}}}} \ left ({\ overrightarrow {F_ {i}}} \ right)}LÓ→=Cte→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = {\ overrightarrow {\ text {Cte}}}}
Fyzikální interpretace: Věta o momentu hybnosti má podobnou formu jako základní vztah dynamiky. Pokud posledně jmenovaný spojuje síly působící na hmotný bod a variaci jeho hybnosti, vztahuje se věta o momentu hybnosti na součet momentů těchto sil vzhledem k danému bodu a variaci momentu hybnosti vzhledem ke stejnému bodu. Nicméně, moment síly vzhledem k bodu překládá způsobem na „sklon“ této síly, aby se systém „otočení“ kolem tohoto bodu. Věta o momentu hybnosti je intuitivně jakýmsi ekvivalentem základního vztahu dynamiky vzhledem k rotaci bodu M vzhledem k O. Avšak ve formalizmu analytické mechaniky je vztah úzký mezi momentem hybnosti a prostorovým rotace je mnohem jasnější.
Příklady použití
Jednoduchým příkladem je částice popisující kruh se středem a poloměrem : je směrována podél osy disku a má hodnotu . Význam vektoru momentu hybnosti nepokrývá fyzickou realitu, ale je konvencí; je to axiální vektor .Ó{\ displaystyle O}r{\ displaystyle r}LÓ→{\ displaystyle {\ vec {L_ {O}}}}LÓ→=k→⋅mprotir{\ displaystyle {\ vec {L_ {O}}} = {\ vec {k}} \ cdot mvr}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
Na opačném obrázku je možné určit vztahy mezi různými fyzikálními veličinami.
Analogicky s hybností definuje moment hybnosti analog hmoty: moment setrvačnosti . Vskutku
Já{\ displaystyle I}
LÓ→=r→∧p→=mr→∧proti→=mr2θ˙k→=Jáθ˙k→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = {\ vec {r}} \ klín {\ vec {p}} = m {\ vec {r}} \ klín {\ vec { v}} = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ vec {k}} = I {\ dot {\ theta}} {\ vec {k}}},
( je úhlová rychlost bodu ) a . Pojem moment setrvačnosti je podrobně popsán dále v části věnované definování momentu hybnosti pro hmotný systém.
θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}M{\ displaystyle M}Já=mr2{\ displaystyle I = mr ^ {2}}
Tím, že axiální vektor , známý jako vektor rotace, odpovídá úhlové rychlosti materiálového bodu , se v tomto případě konečně zapíše moment hybnosti:
θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}} ω→=θ˙k→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ dot {\ theta}} \, {\ vec {k}}}
LÓ→=Jáω→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = já \, {\ vec {\ omega}}}.
V případě tělesa moment hybnosti a vektor okamžité rotace obecně nejsou kolineární, vztah mezi a pak zahrnuje tenzor, nazývaný setrvačnost, zobecňující předchozí představu.
LÓ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}}ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
Případ hardwarového systému
Definice
Pojem moment hybnosti lze bez obtíží zobecnit aditivitou k hmotnému systému, to znamená k tělu, které nelze asimilovat do jednoduchého geometrického bodu. Celkový moment hybnosti se získá sečtením nebo integrací momentu hybnosti každé z jeho složek. Je také možné umístit se do limitu kontinuálních médií k popisu určitých mechanických systémů ( zejména pevných látek ).
V závislosti na tom, zda přijmeme diskrétní nebo spojitý model, se zapíše moment hybnosti systému (S) vzhledem k bodu O :
LÓ→=∑iÓMi→∧pi→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = \ sum _ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} _ {i}}} \ klín {\ vec {p_ {i} }} \ quad} nebo LÓ→=∫(S)ÓM→∧ρ(M)protiM→dτ{\ displaystyle \ quad {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = \ int _ {(S)} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} \ wedge \ rho (\ mathrm {M} ) \, {\ vec {v _ {\ mathrm {M}}}} \, \ mathrm {d} \ tau}
Tyto obecné výrazy jsou těžko použitelné přímo. Věta Koenig na hybnosti pomáhá dát více srozumitelné podobě fyzicky.
Königova věta (Koenig) pro moment hybnosti
Pokud C je střed setrvačnosti systému a M celková hmotnost tohoto systému, pak je možné ukázat, že pro jakýkoli hmotný systém:
LÓ→=ÓVS→∧MprotiVS→+L→∗{\ displaystyle {\ vec {L_ {O}}} = {\ vec {OC}} \ klín M {\ vec {v_ {C}}} + {\ vec {L}} ^ {*}},
L→∗=∑iVSM→i∧(miproti→i∗){\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*} = \ součet _ {i} {\ overrightarrow {CM}} _ {i} \ klín (m_ {i} {\ vec {v}} _ {i} ^ {*})}je správný moment hybnosti systému, tj. ten, který je vyhodnocen v barycentrickém referenčním rámci (R * ) spojeném s (R) , což je referenční rámec spojený s C, jehož osy jsou v překladu vzhledem k osám (R) . Použitím vlastnosti centra setrvačnosti C je možné ukázat, že správný úhlový moment však není závislá na bodu O , kde je vyhodnocen, a je takové, že .
L→∗=L→VS{\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*} = {\ vec {L}} _ {C}}
Fyzicky Königova věta vyjadřuje skutečnost, že pro hmotný systém je moment hybnosti vzhledem k bodu součtem momentu středu setrvačnosti ovlivněného celkovou hmotou systému a správným momentem hybnosti systému. Je proto možné oddělit pohyb středu setrvačnosti od správného pohybu systému.
Oddělení dvou typů momentu hybnosti teorémem je zcela intuitivní: pro Zemi je tedy v heliocentrickém referenčním rámci snadné vidět, že moment hybnosti se rozpadá na „orbitální“ moment hybnosti spojený s jejím pohybem revoluce kolem Slunce a „správný“ moment hybnosti spojený s jeho vlastní rotací kolem osy pólů.
Případ tělesa: tenzor setrvačnosti
V konkrétním případě je ideální pevné látky, je možné dát obecné vyjádření řádného momentu hybnosti v závislosti na správné rotace vektoru pevné (S), s ohledem na studie referenčního rámce (R) , je uvedeno .
L→∗{\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*}}ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
Ve skutečnosti, v případě, že je ideální pevné látky (S) , rychlost libovolného bodu M i je uveden v barycentrické referenčního rámce (R * ) u rychlostního pole .
proti→i∗=ω→∧VSM→i{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {i} ^ {*} = {\ vec {\ omega}} \ klín {\ overrightarrow {CM}} _ {i}}
V důsledku toho je správná moment hybnosti tělesa (S) dána vztahem:
L→∗{\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*}}
L→∗=∑imiVSM→i∧(ω→∧VSM→i)=∑imi((VSMi2ω→-VSM→i(VSM→i⋅ω→)){\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*} = \ součet _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {CM}} _ {i} \ klín \ vlevo ({\ vec {\ omega}} \ klín {\ overrightarrow {CM}} _ {i} \ right) = \ sum _ {i} m_ {i} \ left ((CM_ {i} ^ {2} {\ vec {\ omega}} - {\ overrightarrow {CM}} _ {i} ({\ overrightarrow {CM}} _ {i} \ cdot {\ vec {\ omega}}) \ right)},
pózováním v kartézských souřadnicích a přichází pro různé komponenty :
ω→=(ωX,ωy,ωz){\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = (\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z})}VSM→i=(Xi,yi,zi){\ displaystyle {\ overrightarrow {CM}} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}L→∗{\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*}}
{LX∗=ωX(∑imi(yi2+zi2))-ωy(∑imiXiyi)-ωz(∑imiXizi)Ly∗=-ωX(∑imiXiyi)+ωy(∑imi(Xi2+zi2))-ωz(∑imiyizi)Lz∗=-ωX(∑imiXizi)-ωy(∑imiyizi)+ωz(∑imi(Xi2+yi2)){\ displaystyle {\ begin {cases} L_ {x} ^ {*} = \ omega _ {x} \ left (\ sum _ {i} m_ {i} (y_ {i} ^ {2} + z_ {i } ^ {2}) \ right) - \ omega _ {y} \ left (\ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} y_ {i} \ right) - \ omega _ {z} \ left ( \ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} \ right) \\ L_ {y} ^ {*} = - \ omega _ {x} \ left (\ sum _ {i} m_ { i} x_ {i} y_ {i} \ vpravo) + \ omega _ {y} \ vlevo (\ sum _ {i} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2 }) \ right) - \ omega _ {z} \ left (\ sum _ {i} m_ {i} y_ {i} z_ {i} \ right) \\ L_ {z} ^ {*} = - \ omega _ {x} \ left (\ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} \ right) - \ omega _ {y} \ left (\ sum _ {i} m_ {i} y_ { i} z_ {i} \ right) + \ omega _ {z} \ left (\ sum _ {i} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2}) \ right ) \ end {případů}}},
který lze také napsat ve vlastní podobě:
L→∗=Jᯯω→{\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*} = {\ bar {\ bar {I}}} {\ vec {\ omega}}},
s tenzorem setrvačnosti pevné látky (S) , daným vztahem:
Jᯯ{\ displaystyle {\ bar {\ bar {I}}}}
Jᯯ=[∑imi(yi2+zi2)-∑imiXiyi-∑imiXizi-∑imiXiyi∑imi(Xi2+zi2)-∑imiyizi-∑imiXizi-∑imiyizi∑imi(Xi2+yi2)]{\ displaystyle {\ bar {\ bar {I}}} = {\ begin {bmatrix} \ sum _ {i} m_ {i} (y_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2}) & - \ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} y_ {i} & - \ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} \\ - \ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} y_ {i} & \ sum _ {i} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2}) & - \ sum _ {i} m_ {i} y_ {i} z_ {i} \\ - \ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} & - \ sum _ {i} m_ {i} y_ {i} z_ { i} & \ sum _ {i} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2}) \ end {bmatrix}}},
V důsledku toho, obecně správný moment hybnosti pevné látky se není kolineární s jeho rotace vektoru v (R) .
L→∗{\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*}}ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
Setrvačnost tensor je zvláštní vlastností pevné (S) , a poskytuje rozdělení hmoty v něm. Jde o symetrický tenzor. Jeho diagonální prvky jsou tvořeny momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k osám (Ox) , (Oy) a (Oz) a jeho ne diagonální prvky se rovnají opaku momentů setrvačnosti s ohledem na do rovin (xOy) , (xOz) a (yOz) .
Vzhledem k jeho symetrickému charakteru je vždy možné diagonalizovat tento tenzor uvážlivým výběrem os, které se pak nazývají hlavní osy setrvačnosti.
Moment hybnosti a izotropie
Pojem izotropie prostoru překládá ekvivalenci všech směrů v něm: říci, že prostor je izotropní, tedy také znamená, že je neměnný libovolnou prostorovou rotací kolem libovolného bodu. Tato vlastnost platí zejména pro takzvaný izolovaný systém , to znamená, který nepodléhá žádné vnější akci.
V Hamiltonově formalizmu to znamená, že Hamiltonova funkce jakéhokoli izolovaného systému n hmotných bodů je neměnná jakoukoli globální rotací systému kolem počátku O (libovolná). Zejména to bude platit pro libovolné elementární otáčení vektoru , takže variace vektoru polohy je dána vztahem .
H(r→1,...,r→ne;p→1,...,p→ne){\ displaystyle H \ left ({\ vec {r}} _ {1}, \ ldots, {\ vec {r}} _ {n}; {\ vec {p}} _ {1}, \ ldots, { \ vec {p}} _ {n} \ vpravo)}δϕ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ delta \ phi}}}r→i{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}δr→i=δϕ→∧r→i{\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} _ {i} = {\ overrightarrow {\ delta \ phi}} \ klín {\ vec {r}} _ {i}}
V kartézských souřadnicích a v nepřítomnosti elektromagnetického pole (nebo u nenabité částice) se generalizované impulsy shodují s množstvím pohybu různých materiálových bodů M i . Následně a Hamiltonovy kanonické rovnice jsou dány do vektorové formy:
p→i{\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i}}δp→i=δϕ→∧p→i{\ displaystyle \ delta {\ vec {p}} _ {i} = {\ overrightarrow {\ delta \ phi}} \ klín {\ vec {p}} _ {i}}
{r→˙i=∇→p→iHp→˙i=-∇→r→iH{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ vec {r}}} _ {i} = {\ vec {\ nabla}} _ {{\ vec {p}} _ {i}} H \\ {\ dot {\ vec {p}}} _ {i} = - {\ vec {\ nabla}} _ {{\ vec {r}} _ {i}} H \ end {případů}}}.
Odpovídající variace Hamiltonian H vyplývající z elementární rotace vektoru lze vyjádřit pomocí:
δϕ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ delta \ phi}}}
δH=∑i=1ne(∇→r→iH⋅(δr→i)+∇→p→iH⋅(δp→i)){\ displaystyle \ delta H = \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ vec {\ nabla}} _ {{\ vec {r}} _ {i}} H \ cdot (\ delta {\ vec {r}} _ {i}) + {\ vec {\ nabla}} _ {{\ vec {p}} _ {i}} H \ cdot (\ delta {\ vec {p}} _ { i}) \ vpravo)},
buď s přihlédnutím k Hamiltonovým rovnicím:
δH=∑i=1ne(-p→˙i⋅(δϕ→∧r→i)+r→˙i⋅(δϕ→∧p→i))=-δϕ→⋅[∑i=1ne(r→i∧p→˙i+r→˙i∧p→i)]{\ displaystyle \ delta H = \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ left (- {\ dot {\ vec {p}}} _ {i} \ cdot ({\ overrightarrow {\ delta \ phi} } \ wedge {\ vec {r}} _ {i}) + {\ dot {\ vec {r}}} _ {i} \ cdot ({\ overrightarrow {\ delta \ phi}} \ wedge {\ vec { p}} _ {i}) \ right) = - {\ overrightarrow {\ delta \ phi}} \ cdot \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ vec {r}} _ {i} \ wedge {\ dot {\ vec {p}}} _ {i} + {\ dot {\ vec {r}}} _ {i} \ wedge {\ vec {p}} _ {i} \ dobře dobře]},
který má okamžitě podobu:
δH=-δϕ→⋅[ddt(∑i=1ner→i∧p→i)]{\ displaystyle \ delta H = - {\ overrightarrow {\ delta \ phi}} \ cdot \ left [{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {r}} _ {i} \ klín {\ vec {p}} _ {i} \ doprava) \ doprava]}.
Protože tento výsledek platí pro libovolnou elementární rotaci, izotropie prostoru pro izolovaný systém pak znamená, že veličina , nazývaná moment hybnosti systému vzhledem k počátku O , je pohybová konstanta . Je zřejmé, že pro jeden podstatný bod je skutečně totožný s výše uvedenou definicí.
L→Ó≡∑i=1ner→i∧p→i{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O} \ ekviv \ součet _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {r}} _ {i} \ klín {\ vec {p}} _ { já}}L→Ó{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O}}
Navíc tím, že vždy postupujeme v kartézských souřadnicích a bereme v úvahu skutečnost, že v důsledku sil působících na hmotný bod M i je možné odvodit větu o momentu hybnosti:
p→˙i=-∇→r→iH=F→i{\ displaystyle {\ dot {\ vec {p}}} _ {i} = - {\ vec {\ nabla}} _ {{\ vec {r}} _ {i}} H = {\ vec {F} } _ {i}}
ddtL→Ó=∑i=1ne(r→i∧p→˙i+r→˙i∧p→i)=∑i=1ner→i∧F→i=∑i=1neM→Ó(F→i)=VS→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {L}} _ {O} = \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ vlevo ({ \ vec {r}} _ {i} \ wedge {\ dot {\ vec {p}}} _ {i} + {\ dot {\ vec {r}}} _ {i} \ wedge {\ vec {p }} _ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {r}} _ {i} \ wedge {\ vec {F}} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {M}} _ {O} ({\ vec {F}} _ {i}) = {\ vec {C}}}, Je výsledkem momentu sil kyslíku .
VS→{\ displaystyle {\ vec {C}}}Zachování momentu hybnosti vzhledem k bodu O je proto přímo spojeno s invariancí rotací hamiltonovského (nebo lagraniánského) systému: to platí zejména pro neizolovaný systém, ale vystavený vnějšímu poli mající rotační invariance kolem o . Tento druh velmi důležité oblasti fyziky je v poli centrální síly , síla centrum O : jeho pohyb se pak vyznačuje tím, zachování momentu hybnosti systému vzhledem k O .
Podobně invariance rotací kolem dané osy hamiltoniánu systému (axiální symetrie) bude znamenat zachování složky momentu hybnosti systému vzhledem k této ose, od té doby pro jakoukoli elementární rotaci kolem této osy . Výsledný moment sil použity O , takže derivát momentu hybnosti na stejném místě, je sama o sobě přímo souvisí s variací hamiltoniánem v elementární rotace systému o úhel δφ kolem O .
δH=0{\ displaystyle \ delta H = 0}VS→{\ displaystyle {\ vec {C}}}
Nakonec je možné pomocí Poissonových závorek ukázat následující vztah mezi kartézskými složkami momentu hybnosti a to pózováním :
LÓi{\ displaystyle L_ {Oi}}LÓ1=LX,LÓ2=Ly,LÓ3=Lz{\ displaystyle L_ {O1} = L_ {x}, \, L_ {O2} = L_ {y}, \, L_ {O3} = L_ {z}}
{LÓi,LÓj}=εijkLÓk{\ displaystyle \ {L_ {Oi}, L_ {Oj} \} = \ varepsilon _ {ijk} L_ {Ok}}, který je
symbolem Levi-Civita .
εijk{\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}Tento vztah má podobu velmi podobnou spínacímu vztahu operátorů momentové hybnosti v kvantové mechanice :
[L^i,L^j]=iℏεijkL^k.{\ displaystyle \ left [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {L}} _ {j} \ right] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {L}} _ {k}.}
Obecný případ
Koncept centrální síly
Velmi důležitým konkrétním případem použití momentu hybnosti je pohyb centrální síly , pro který moment hybnosti zůstává zachován.
Pojem centrální síly je podle autorů definován různými způsoby:
- buď jako síla , jejíž směr prochází pevným bodem v (R) , s názvem centra síly , tedy ze strany, představující tak, že v každém okamžiku, F je NS : Jedná se tedy o otázku čistě geometrické definice;
F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}r→=ÓM→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ overrightarrow {OM}}}F→=Fr→r{\ displaystyle {\ vec {F}} = F {\ frac {\ vec {r}} {r}}}
- nebo jako síla, jejíž směr nejen kdykoli prochází pevným bodem O , ale která pochází z potenciálu závislého pouze na vzdálenosti od středu síly: jedná se tedy o sílu, která je také konzervativní .
PROTI=PROTI(r){\ displaystyle V = V (r)}
Pokud se v praxi případy pohybu s centrální silou nejčastěji omezují na konzervativní síly (například gravitace), je užitečné rozlišovat dva pojmy centrální síla a konzervativní síla . Síla bude také považována za centrální, pokud kdykoli její směr prochází pevným bodem O , ať je nebo není konzervativní .
To umožňuje rozlišit v důsledcích „ústředního“ charakteru síly, která je spojena s geometrickým aspektem ( vždy je v kolmém kontaktu s ), od toho, co souvisí s možným konzervativním charakterem, tedy skutečnost, že mechanická energie materiální bod je zachován.
F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
Pokud je tedy jakákoli síla odvozená ze skalárního potenciálu závislá pouze na vzdálenosti r v počátečním bodě, nekonzervativní síla a priori jako napětí drátu jednoduchého kyvadla, které v každém okamžiku směřuje k bodu fixace kyvadlo, bude s touto definicí také považováno za ústřední sílu
Zachování momentu hybnosti a rovinnosti trajektorie
Pohyb hmotného bodu M pod jediným účinkem centrální síly je příkladem pohybu, u kterého je zachován moment hybnosti vzhledem ke středu síly. Věta o momentu hybnosti ve skutečnosti vezme jako svůj počátek střed síly O a dává:
dLÓ→dt=ÓM→∧F→=0→{\ displaystyle {\ frac {\ vec {\ mathrm {d} L_ {O}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ overrightarrow {OM}} \ klín {\ vec {F}} = {\ s {0}}}, protože a jsou vždy kolineární, pokud je síla centrální.
ÓM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}V důsledku toho moment hybnosti je hlavním integrální v pohybu, a tudíž poloha vektoru a hybnost tělesa je vždy kolmý na vektor stálého směru: trajektorie je proto rovina , celá obsažena v rovině kolmé k (dále jen index "0" označuje počáteční hodnoty veličin).
LÓ→=r→∧p→=vs.tE→{\ displaystyle {\ vec {L_ {O}}} = {\ vec {r}} \ klín {\ vec {p}} = {\ vec {cte}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}LÓ→=r0→∧p0→{\ displaystyle {\ vec {L_ {O}}} = {\ vec {r_ {0}}} \ klín {\ vec {p_ {0}}}}
Pohyb, který má pouze dva stupně volnosti , je možné umístit do polárních souřadnic (r, θ) v rovině trajektorie . Přichází to takto
, s konstantou .
LÓ→=LEz→{\ displaystyle {\ vec {L_ {O}}} = L {\ vec {e_ {z}}}}L≡mr2θ˙{\ displaystyle L \ equiv mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}}
Zákon oblastí a Binetův vzorec
Zachování momentu hybnosti vzhledem ke středu síly O lze fyzicky interpretovat tím, že nejen trajektorie je rovina, ale také to, že vektor polohy hmotného bodu „zametá stejné oblasti ve stejných časech“ , jinými slovy že pohyb ověřuje zákon oblastí , zvýrazněný Keplerem v roce 1609 v případě pohybu planet (srov Keplerův zákon ).
Ve skutečnosti nastavením (= konstanta) se zapíše elementární oblast, která byla zametena během trvání dt . V důsledku toho je rychlost variace této zametané oblasti, nazývaná oblastní rychlost, skutečně konstantní, veličině C se často říká konstanta oblastí .
VS=r2θ˙{\ displaystyle C = r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}dNA{\ displaystyle d {\ mathcal {A}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}dNA=12r2dθ=12VSdt{\ displaystyle d {\ mathcal {A}} = {\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} d \ theta = {\ tfrac {1} {2}} Cdt} dNAdt=VS/2{\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} {\ mathcal {A}}} {\ mathrm {d} t}} = C / 2}
Navíc skutečnost, že jde o konstantu pohybu, umožňuje vyjádřit ve tvaru s u = 1 / r . Lze pak eliminovat v kinematických vzorcích udávajících rychlost a zrychlení hmotného bodu v polárních souřadnicích, což vede ke stanovení dvou vzorců Binet . Zejména je možné prokázat, že zrychlení hmotného bodu je pak ve formě:
VS=r2θ˙{\ displaystyle C = r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}θ˙=u2VS{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = u ^ {2} C}θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}
na→M=-u2VS2[d2udθ2+u]E→r{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {M} = - u ^ {2} C ^ {2} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right] {\ vec {e}} _ {r}}, ( 2 nd z Binet formule).
Tento vzorec samozřejmě jasně ukazuje, že zrychlení směřuje ke středu síly, protože síla je, jak předpovídá základní vztah dynamiky . Je užitečné zdůraznit, že zákon oblastí jako vzorce Binet jsou důsledky jediného centrálního charakteru síly a neznamená, že je konzervativní.
Radiačně-úhlová separace kinetické energie a odstředivé bariéry
S ohledem na skutečnost, že v polárních souřadnicích se kinetická energie hmotného bodu může v případě pohybu s centrální silou rozdělit na takzvanou radiální část a takzvanou úhlovou část . Ve skutečnosti to přijde okamžitě:
proti2=r˙2+r2θ˙2{\ displaystyle v ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}}
Ek=12mr˙2+L22mr2{\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {r}} ^ {2} + {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}},
první člen je totožný s tím, který by měla kinetická energie hmotného bodu, kdyby se pohybovala rychlostí podél směru , a proto odpovídá radiální kinetické energii. Druhý člen, uvedený úhlově svým spojením s ortoradiálním pohybem, odpovídá spíše potenciální energii „odpudivé“ v 1 / r ^ 2 , pokud je L konstantní, pro hmotný bod považovaný za jednodimenzionální pohyb podle radiálního směru . Tento termín se často označuje jako odstředivá bariéra .
proti=r˙{\ displaystyle v = {\ dot {r}}}E→r{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {r}}
Pokud je zde opět radiálně-úhlová separace kinetické energie pouze důsledkem ústředního charakteru síly a nevyžaduje, aby tato byla konzervativní, má v druhém případě zvláštní význam, protože je pak možné přijít až k jednorozměrnému pohybu.
Pokud centrální síla pochází z potenciální energie je mechanická energie tělesa má podobu: s , efektivní potenciální energie .
F→{\ displaystyle {\ vec {F}}} PROTI(r){\ displaystyle V (r)}Em=12mr˙2+Ueff(r){\ displaystyle E_ {m} = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {r}} ^ {2} + U _ {\ text {eff}} (r)}Ueff(r)≡PROTI(r)+L22mr2{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) \ equiv V (r) + {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}}
Problém se pak sníží na jednorozměrný pohyb fiktivní částice v potenciálu . Ueff(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r)}Termín je pozitivní a zvyšuje se na krátkou vzdálenost a působí jako „ odstředivá potenciální bariéra “. Povaha možných pohybů pak závisí na potenciálu V (r) i na celkové mechanické energii materiálového bodu.
L22mr2{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}}
Obecně platí, že trajektorie získané pro všechny potenciální energie V (r) tak nejsou uzavřené křivky: pouze atraktivní Coulombova potenciálu ( K konstanta) a harmonické potenciální jim (dát Bertrand teorém ) (viz problém dvě těla ).
PROTI(r)=-K.r{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {K} {r}}} PROTI(r)=αr2{\ displaystyle V (r) = \ alfa r ^ {2}}
Relativistická momentová hybnost
Pojem moment hybnosti lze definovat v rámci speciální teorie relativity ve formě antisymetrického tenzoru .
V relativistické oblasti není možné uvažovat o souřadnicích prostoru nezávisle na čase a vektorům polohy a hybnosti newtonovské mechaniky odpovídají dva kvadrivektory :
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} p→=mproti→{\ displaystyle {\ vec {p}} = m {\ vec {v}}}
- poloha čase quadrivector, poznamenat , s ;X{\ displaystyle \ mathbf {X}}X=(vs.t,r→){\ displaystyle \ mathbf {X} = (ct, {\ vec {r}})}
- impulsní energie quadrivector , označený , s , kde a příslušně odpovídají relativistické energie a hybnosti částice. Impulsní energie quadrivector je v podstatě dána , pokud je rychlost quadrivector, definovaný , přičemž částečky „obyčejné“ vektor rychlosti, a přírodní čas .P{\ displaystyle \ mathbf {P}}P=(Evs.,p)=(ymvs.,ymproti→){\ displaystyle \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, \ mathbf {p} \ right) = (\ gamma mc, \ gamma m {\ vec {v}})}E=ymvs.2{\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2}}p=ymproti→{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma m {\ vec {v}}}P=mU{\ displaystyle \ mathbf {P} = m \ mathbf {U}}U{\ displaystyle \ mathbf {U}}U=dXdτ=ydXdt=(yvs.,yproti→){\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {X}} {\ mathrm {d} \ tau}} = \ gamma {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {X }} {\ mathrm {d} t}} = (\ gamma c, \ gamma {\ vec {v}})}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}τ{\ displaystyle \ tau}
Složky těchto dvou quadrivectors je uvedeno i s α = 0,1,2,3 , je možné definovat druhého řádu antisymetrická kontravariantní (quadri) tensor nazývá moment hybnosti (quadri) tenzor, jejichž součásti jsou dány:
Xα{\ displaystyle X ^ {\ alpha}}Pα{\ displaystyle P ^ {\ alpha}}M{\ displaystyle \ mathbf {M}}
Mαβ=XαPβ-XβPα{\ displaystyle M ^ {\ alpha \ beta} = X ^ {\ alpha} P ^ {\ beta} -X ^ {\ beta} P ^ {\ alpha}},
díky své antisymetrické povaze má tento tenzor ve skutečnosti pouze 6 nezávislých komponent, tři smíšené ( M 01 , M 02 a M 03 ) a tři další vesmírného typu ( M 12 , M 23 a M 13 ). Vysvětlením těchto posledních, to přijde okamžitě:
{M12=ym(Xprotiy-protiXy)=yLzM13=ym(Xprotiz-protiXz)=-yLyM23=ym(yprotiz-protiyz)=yLX{\ displaystyle {\ begin {cases} M ^ {12} = \ gamma m \ left (xv_ {y} -v_ {x} y \ right) = \ gamma L_ {z} \\ M ^ {13} = \ gamma m \ left (xv_ {z} -v_ {x} z \ right) = - \ gamma L_ {y} \\ M ^ {23} = \ gamma m \ left (yv_ {z} -v_ {y} z \ right) = \ gamma L_ {x} \ end {cases}}},
kde představují karteziánské složky nerelativistického momentu hybnosti. V limitu nízkých rychlostí před c se γ → 1 a tři nezávislé prostorové složky tenzoru shodují, kromě znaménka, s „obyčejným“ momentem hybnosti.
LX,Ly,Lz{\ displaystyle L_ {x}, L_ {y}, L_ {z}}
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Je důležité zdůraznit, že momentová hybnost sady bodů se obecně nerovná momentu její celkové hybnosti.
-
Zápis se týká křížového produktu .∧{\ displaystyle \ klín}
-
jde o pohyblivý bod O v (R) , je napsána věta o momentu hybnosti :, jediný rozdíl pochází z přidání doplňkového členu na levé straně předchozí relace.dLÓ→dt+protiÓ→∧p→=∑iMÓ→(Fi→){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}} {\ mathrm {d} t}} + {\ overrightarrow {v _ {\ mathrm {O} }}} \ wedge {\ vec {p}} = \ sum _ {i} {\ overrightarrow {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {O}}}} \ left ({\ overrightarrow {F_ {i }}} \ vpravo)}protiÓ→∧p→{\ displaystyle {\ overrightarrow {v _ {\ mathrm {O}}}} \ klín {\ vec {p}}}
-
Přísněji musíme uvažovat osu Δ O procházející O a kolmou k rovině tvořené jednotkovým vektorem . V okamžiku, kdy se vzhledem k ose Δ O je pak dána , s t Vstup úhlu a , d ó bytí vzdálenost mezi osou Δ O a opěrnou linii (či ramena páky). Toto množství odráží účinek s ohledem na otáčení kolem osy M Δ O .(F→,r→){\ displaystyle ({\ vec {F}}, {\ vec {r}})}EΔ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e _ {\ Delta}}}}MΔÓ=EΔ→⋅(r→∧F→)=F→⋅(E→Δ∧r→)=rF→⋅(E→Δ∧r→r)=(rcosθ)F=dΔF{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ Delta _ {\ mathrm {O}}} = {\ overrightarrow {e _ {\ Delta}}} \ cdot \ left ({\ vec {r}} \ klín {\ vec {F}} \ right) = {\ vec {F}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {e}} _ {\ Delta} \ wedge {\ vec {r}} \ right) = r { \ vec {F}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {e}} _ {\ Delta} \ wedge {\ vec {r}} _ {r} \ right) = (r \ cos \ theta) F = d_ {\ Delta} F}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}
-
Jednoduchým způsobem tento vektor převádí rotaci souřadného systému pevně spojeného s tělesem vzhledem k (R) . Jedná se také o správný rotační vektor ve srovnání s (R * ), protože podle definice je tento referenční rámec v překladu relativně k (R) .
-
Tento vztah přímo souvisí se skutečností, že se předpokládá, že vzdálenost mezi libovolnými dvěma hmotnými body je neměnná.
-
Důkaz se provádí stejným způsobem v Lagrangeově formalizmu, s přihlédnutím ke skutečnosti, že z definice .pi=∂L∂qi˙{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ tečka {q_ {i}}}}}}
-
V přítomnosti elektromagnetického pole a na kartézských souřadnicích je konjugovaný moment pro nabitou částici dán vztahem .qi{\ displaystyle q_ {i}}pi→=miprotii→+qiNA→{\ displaystyle {\ vec {p_ {i}}} = m_ {i} {\ vec {v_ {i}}} + q_ {i} {\ vec {A}}}
-
V této situaci se však přidá hmotnost závaží připojeného k niti, což je necentrální síla
-
Nejdůležitějším (a „historickým“) příkladem pohybu centrální síly je problém dvou těles , pro který uvažujeme dva hmotné body v gravitační interakci. Jak je naznačeno v článku, který je jí věnován, omezuje se ve skutečnosti na problém s pouze jedním tělem (fiktivní částice) vystaveným centrální síle, a to i se zájmem předpokládanou situací.
-
Kepler demonstroval tuto vlastnost výpočtem, aniž by ji dokázal vysvětlit. Je to Newton v roce 1687, který vysvětlí původ tohoto „zákona“.
-
Vyplývá to z existence dalšího potenciálního integrálu (pro Coulombův potenciál je to Runge-Lenzův vektor ), spojeného s další symetrií (transformací skupiny O (4) ).
-
K této části srov. Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. a John L. Safko, Classical Mechanics [ detail vydání ]a Lev Landau a Evgueni Lifchits , teoretická fyzika , t. 2: Field theory [ detail of editions ], Kapitola 2.
Podívejte se také
Související články
Bibliografie
- Lev Landau a Evgueni Lifchits , teoretická fyzika , t. 1: Mechanika [ detail vydání ]
- Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. a John L. Safko, Classical Mechanics [ detail vydání ]
- Perez, fyzika kurzy: mechanické - 6 th edition, Masson, Paříž, 2001.
- Jo-jo, kulečník, bumerang, fyzika rotujících předmětů, ed Belin, 2001, ( ISBN 2 84245016 7 )
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">