Pytagorova dohoda

V západní hudební teorii je Pythagorova akord je akord postaven výhradně na intervalech z čistých pětiny . Je charakterizován jeho třetím , nazývaným Pythagorean, s poměrem 81/64. Běžně se tomu říká „  Pythagorova stupnice  “.

Během starověku byl čistý pátý interval považován za nejvíce souhlásky po oktávě , kvůli jeho jednoduchému číselnému poměru (2/3) k monochordu . Metoda superponování pětiny umožňuje konstrukci chromatické stupnice  ; jedná se tedy o nejstarší způsob ladění pevných zvukových nástrojů. Používal se až do konce středověku . Od té doby je měřítkem používaným v západní hudbě hlavně měřítko temperované . Tato stupnice je praktičtější z hlediska hudební skladby než stupnice Pythagorova.

Dějiny

Dohoda je pojmenované po filozof a matematik řecké Pythagoras , jehož objev byl přisuzován středověkých textů, ačkoli brzy texty popisující použití podobných dohod se datuje do Babyloňané , na druhé th  tisíciletí před naším letopočtem. AD . Pytagorova škola teoretizovala heptatonickou stupnici v harmonii sfér pomocí nejjednodušších celočíselných poměrů na monochordu  : oktáva (poměr 1/2, akord je rozdělen na dvě části), pátý (poměr 2/3, struna vibruje na jeho dvou třetinách) a čtvrtém (poměr 3/4). Tyto intervaly jsou pak považovány za jediné souhlásky .

Žádný text z Pythagoras k nám nepřišel, ale u Platóna najdeme podmínky poměru leimmy, konkrétně 256/243. Nejstarší známý text zabývající se Pythagorovským systémem je od Henriho Arnaulta de Zwolle , napsaného kolem roku 1450 .

Platón ve svém Timaeovi (34 b - 37 a) popisuje, jak Demiurge utváří Duši světa . Jean-François Mattéi shrnuje tuto pasáž z Platóna takto:

"Demirge vyvodí ze svého konečného složení sugestivní harmonickou strukturu, jejíž výpočty svědčí o Pythagorově vlivu." Skládá se z dvojitého geometrického postupu důvodu 2 (1, 2, 4, 8) a důvodu 3 (1, 3, 9, 27), které je vhodné mít na diagramu ve formě velkého lambda (Λ), podle diagramu nalezeného v Proclus . Tento obrázek ukazuje na každé straně úhlu příslušná čísla sudých řad a lichých řad. Poslední z těchto čísel (27) se rovná součtu předchozích šesti (1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9 = 27) ... Postup podle faktoru 2 dává oktávám postupným zdvojnásobením intervalů ( 1, 2, 4, 8 = C1, C2, C3, C4 ...), zatímco postup podle faktoru 3 tvoří správné dvanáctiny (1 = C, 3 = G, 9 = D, 27 = A, 81 = E, 243 = Pokud ...). Potom můžeme vyplnit dvojité nebo trojité hudební intervaly a vytvořit tak kompletní stupnici pomocí dvou spojitých nebo „ zprostředkovaných “  proporcí  , jedné aritmetické (typ 1, 2, 3), druhé harmonické (typ 3, 4, 6), dobře známé Pytagorejcům, zejména Archytasům . Interval čísel od 1 do 2 bude složen z čísel 1 (Tonic), 4/3 (Quarte), 3/2 (Fifth) a 2 (Octave); tón, jehož hodnota je 9/8, je mezi čtvrtým a pátým, protože 3/2: 4/3 = 9/8. Duše světa se tedy skládá z pěti stejných hlavních tónů, mezi nimiž je vložen „zbytek“, leimma , interval 256/243 (= 1,053), míra diatonického půltónu přirozené škály Pythagoras , což je o něco nižší než náš temperovaný půltón (16/15 = 1,066) "

-  Jean-François Mattéi , Platón .

Pytagorova stupnice byla ve středověku postupně opuštěna, když jsme začali považovat třetí interval za souhlásku. Zejména s Gioseffo Zarlino který dává novou definici třetí v jeho Istitutioni Harmoniche v roce 1558.

Newton (1704) byl přesvědčen, že musí existovat dokonalá shoda mezi různými barvami a tóny stupnice .

Voltaire, Newton's Elements of Philosophy (1738), část 2, kap. XIV , shrnuje výsledky:

"Větší refrangibility fialové odpovídá d; větší refrangibility fialové reaguje na mi. Fialová / d, fialová / mi, modrá / fa, zelená / sol, žlutá / a, oranžová / si, červená / do (c). Voltaire dodává: „Tato tajná analogie mezi světlem a zvukem vyvolává podezření, že všechny věci v přírodě mají skryté vztahy, které snad někdy objevíme.“ "

-  Pierre Thuillier , Pomsta čarodějnic.

Konstrukce

Čistý pátý interval odpovídá v hudební akustice frekvenčnímu poměru 3/2. Pokud tedy začneme od noty s frekvencí 200  Hz , získáme interval čisté pětiny dělením akordu na 2/3, tedy vynásobením této frekvence 3/2: druhá nota bude mít frekvenci 300  Hz , třetí nota 450  Hz , čtvrtá nota 675  Hz atd. Podobně pomocí monochordu sestrojíme čistý pátý interval z kořenové noty tak, že vezmeme dvě třetiny akordu.

Tento poměr 3/2 je fyzicky vysvětlen třetí harmonickou produkovanou při produkci harmonického zvuku: frekvence třetí harmonické je dvojnásobkem frekvence dokonalé pětiny. Současné hraní noty a její páté je tedy harmonické .

Z této nové noty na páté vezmeme znovu dvě třetiny řetězce, což dává druhou pětinu. Pokračuje dál, spadneme zpátky do 12 th  rovně na úzké poznámku odchodu (bere v úvahu zásada rovnocennosti oktáv ).

Matematicky se ukázalo, že pokud opakujeme pasáž na pátou dvanáctkrát, překročili jsme téměř sedm oktáv ( ) a vrátíme se téměř přesně k původní notě. Tento frekvenční poměr 3/2 je ve skutečnosti „jednoduchým“ multiplikativním poměrem (ve smyslu pokračujících zlomků ) poměru 2/1 oktávy: (nebo přesněji 7,01955… / 12). Tento matematický fakt je původem prakticky celé hudební teorie: rozdělení oktávy na dvanáct půltónů a prvotní role pátého v hudebních akordech.

Abychom vytvořili hudební stupnici s těmito notami, přivedeme je zpět do stejné oktávy, tj. V intervalu poměru 2 ( princip ekvivalence oktáv ), a pro dokončení smyčky ignorujeme rozdíl mezi a (nazývaný Pythagorova čárka ). V předchozím příkladu si můžeme vybrat oktávu mezi 200  Hz a 400  Hz  : je nutné dělit výkonem 2 frekvence nad 400  Hz , což dá například pro 675  Hz výsledek 337,5  Hz (675 / 2 1 ). Poslední pětina je zkrácena na aproximaci horní oktávy.

12 po sobě jdoucích čistých pětin
Pátý 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Zprávy 1 3/2 3 2 /2 2 3 3 /2 3 3 4 /2 4 3 5 /2 5 3 6 /2 6 3 7 /2 7 3 8 /2 8 3 9 /2 9 3 10 /2 10 3 11 /2 11 3 12 /2 12
Mezitím podané zprávy [1; 2] 1 3/2 3 2 /2 3 3 3 /2 4 3 4 /2 6 3 5 /2 7 3 6 /2 9 3 7 /2 11 3 8 /2 12 3 9 /2 14 3 10 /2 15 3 11 /2 17 3 12 /2 18
1 1.5 ≈ 1,13 ≈ 1,69 ≈ 1,27 ≈ 1,90 ≈ 1,42 ≈ 1,07 ≈ 1,60 ≈ 1,20 ≈ 1,80 ≈ 1,35 ≈ 2,03

Pátiny jsou řazeny podle vzrůstajícího řádu poměrů přivedených do intervalu [1; 2]. Poslední pětina je zkrácena o oktávu výše.

Název vzestupné noty stupnice
Pátý 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 12
Mezitím podané zprávy [1; 2] 1 3 7 /2 11 3 2 /2 3 3 9 /2 14 3 4 /2 6 3 11 /2 17 3 6 /2 9 3/2 3 8 /2 12 3 3 /2 4 3 10 /2 15 3 5 /2 7 2
Jména dělat dělat♯ re d střední mi♯ fa♯ přízemní sol♯ the tam -li dělat
Odchylky 3 7 /2 11 apotome 2 8 /3 5 leimma 3 7 /2 11 apotome 2 8 /3 5 leimma 3 7 /2 11 apotome 2 8 /3 5 leimma 2 8 /3 5 leimma 3 7 /2 11 apotome 2 8 /3 5 leimma 3 7 /2 11 apotome 2 8 /3 5 leimma 2 8 /3 5 leimma

Získaný rozsah má poměrně pravidelné intervaly. Například, rozdíl mezi 1 st a 2 e Poznámka (3 7 /2 11 ), je velmi blízko k rozdílu mezi 2 e a 3 e (3 2 /2 3 /3 7 /2, 11 ). Může tedy sloužit jako reference pro ladění hudebních nástrojů.

Vlčí pátý je zde v intervalu E # - C , ale je obvykle umístěn v měřítku v intervalu G # - mi ♭ , protože je to nejméně používaná dokonalá pátá.

Charakteristické intervaly

Řada Pythagorean zahrnuje:

Pytagorova čárka

Pythagorovská čárka představuje rozdíl mezi 7 oktávami a 12 čistými pětinami. Jeho frekvenční poměr je:

Přímo z vlka

Interval 12 čistých pětin představuje rozsah o něco větší než 7 oktáv, poslední pětina je zkrácena (z Pythagorovy čárky), aby celek měl rozsah přesně 7 oktáv: tvoří tzv. „ Vlčí  “ pátou, protože je velmi disonantní („křičí“). Tato pátá část ztěžuje provedení. To je jedna z nevýhod vzniku hledání nových temperamentů .

V praxi hudebníci, kteří dávají přednost čistým oktávám, ladí své nástroje na Pythagorově stupnici tím, že přenesou vlčí kvintu na málo používaný interval, obvykle G # - E ♭ . Intervaly zahrnující vlčí pětinu budou také vyzvánět rozladěně, takže tomu je třeba se opatrně vyhnout.

Poměr vlčí pětiny se vypočítá odečtením 11 dokonalých pětin k 7 uvažovaným oktávám:

, pro srovnání s 1,5 pro perfektní postupku.

Pythagorejský Tierce

Hlavní tercie, která má hodnotu dvou po sobě jdoucích čistých tónů, má poměr 9/8 × 9/8 = 81/64 v Pythagorově stupnici. Mírně se liší od čisté třetiny poměru 5/4 = 80/64. Rozdíl mezi těmito dvěma třetinami je syntonická čárka .

Váš Pytagorejec

Čistý Pythagorovský tón, nazývaný epogdoon , má poměr 9/8: dvě po sobě jdoucí pětiny tvoří devátý, což je dvojnásobná sekunda. Devátá redukovaná na oktávu dává poměr: (3/2 × 3/2) / 2 = 9/8.

Půltóny

Konstrukce akordu odhaluje dvě hodnoty půltónů  :

Produkt těchto dvou intervalů je tón Pythagorova: (3 7 /2 11 ) x (2 8 /3 5 ) = 3 2 /2 3 = 9/8.

Kvocient z těchto dvou intervalů hodnotě přesně Pythagorova čárka: (3 7 /2 11 ) / (2 8 /3 5 ) = 3 12 /2 19 .

Hodnota oktávy je: 5 tónů + 2 leimmy, leimma je tedy ekvivalentem v pythagorovské stupnici diatonického půltónu.

Tyto dva půltóny nejsou stejné, takže je obtížné provést (přehrát stejnou skladbu s jinou tonickou notou ) nebo modulovat (změnit, i dočasně, v tónině během stejné skladby) v tomto měřítku.

Apotome

Apotome je interval mezi notou a jejím náhodným. To má stále stejný rozsah a poměr 3 až 7 /2, 11 .

Leimma

Leimma (z řeckého λεῖμμα , „zbytek“), v blízkosti půl tónu, je rozdíl mezi čistým čtvrté, referenčního intervalu pro Řeků a dvou celých tónů. Proto se počítá odečtením dvou tónů (9/8) od intervalu čtvrtého (4/3), tj.:

.

Leimma odpovídá intervalu mezi pozměněnou notou a jejím sousedem, který nenese stejné jméno (například D♯ a E nebo E a D).

Hodnocení

Použitím názvu not z hudební teorie je možné vytvořit řadu pětin (vytvořením cyklu pětin ) a pojmenovat noty Pythagorovy stupnice.

V temperované stupnici se rozsah dokonalé pětiny rovná třem a půl tónům: na klavíru postupuje od páté k páté, přičemž se pohybuje vždy o 7 kláves (včetně černých kláves). Počínaje dělat dostaneme následující:

do - sol - re - la - mi - si - fa♯ - do♯ - sol♯ - re♯ - la♯ - mi♯ - si♯ …

Podle konvence je ostrá použita pro pozměněné noty v řadě vzestupných pětin a plochá v řadě sestupných pětin.

Posloupnost sestupných pětin začíná vždy od C :

do - fa - si ♭ - mi ♭ - la ♭ - re ♭ - sol ♭ - do ♭ - fa ♭ - si ♭♭ - mi ♭♭ - la ♭♭ - re ♭♭ ...

Není zde žádná harmonie, protože tato stupnice není temperována: do♯ proto nemá stejnou frekvenci jako D ♭. Dva půltóny, které jsou shodné v temperované stupnici, jsou pojmenovány v Pythagorově stupnici:

Tyto intervaly jsou uspořádány následovně:

V Pythagorově stupnici jsou zploštělé noty o Pythagorovu čárku nižší než jejich společné poznámky o dietách, odvozujeme následující pořadí: do - re ♭ - do♯ - re .

Rozsahy

Překrytí 5 rovin ( do - půdy - D - A - E ) dává po redukci na oktávu pentatonickou stupnici: re - Mid - půdy - to - do .

Překrytí 7 pětin ( fa - do - půdy - D - A - E - if ) poskytuje řadu heptatonických diatonic: re - mi - fa - půdy - pokud - dělá .

Superpozice 12 pětin dává chromatickou stupnici.

Major Pythagorova stupnice

Ze série 12 čistých pětin určíme noty chromatické stupnice získané následujícími jmény:

mi ♭ - si ♭ - fa - do - sol - re - la - mi - si - fa♯ - do♯ - sol♯

Vlčí pátý bude umístěn v nejméně využívaném intervalu, často sol♯ - mi♭ . V závislosti na volbě počáteční noty získáme různé režimy pro sedm základních not. Hlavní stupnice je definována podle následujících poměrů:

Major Pythagorova stupnice
Poznámka dělat re střední fa přízemní the -li dělat
Zpráva 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2/1
Odchylky 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243

Tuto konkrétní stupnici lze také definovat jejími odchylkami (plus nebo mínus) od stejného temperamentu , vyjádřenými v centech  :

Poznámka Dělat Dělat♯ Re Mi ♭ Střední Fa Fa♯ Přízemní Sol♯ The Pokud ♭ Ano
Odchylky 0 +9,78 –3,91 +5,87 –7,82 +1,96 ± 11,73 –1,96 +7,82 –5,87 +3,91 –9,78

Konstrukce

Hlavní Pythagorova stupnice obsahuje čistou čtvrtinu (poměr 4/3). Je třeba poznamenat, v rozsahu dříve konstruován, že nahrazením rozsah nejblíže ke čtvrté (jedné z 11 pětin poměru 3 11 /2, 17 ), čtvrtým takovým zahrnují apotomes a limmas:

Hlavní stupnice (včetně dokonalé čtvrtiny)
Pátý 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 12
Zprávy 1 3 7 /2 11 3 2 /2 3 3 9 /2 14 3 4 /2 6 4/3 3 6 /2 9 3/2 3 8 /2 12 3 3 /2 4 3 10 /2 15 3 5 /2 7 2
Odchylky apo. lim. apo. lim. lim. apo. lim. apo. lim. apo. lim. lim.
Jména dělat dělat♯ re d střední fa fa♯ přízemní sol♯ the tam -li dělat

Tato substituční posuny pátý WOLF v rozmezí la♯ - fa , která je vhodnější hudebního hlediska (má (4/3) / (3 10 /2 15 ) = 2 17 /3 11 a vynásobením dvěma abychom se dostali zpět do oktávy [1; 2], najdeme hodnotu vlčí pětiny). Všimli jsme si, že navíc interval fa-do získá svou původní odchylku 3/2.

Grafické znázornění

Je možné reprezentovat konkrétní Pythagorovu stupnici tak, že apotomy a limmy umístíme jeden po druhém podle získaných intervalů, přičemž limma (90 225 centů) je kratší než apotom (113 685 centů) čárky (23 460 centů).

Intervaly Pythagorovy stupnice.svg

Srovnání s mírným rozsahem

Zprávy, frekvence a centy Pythagorovy stupnice; rozdíly s mírnou stupnicí
Poznámka Hlášení s re Frekvence pro = 440  Hz Centů Centy mírného rozsahu Rozdíl
re 1/1 (1000) 293,33 0 0 0
mi ♭ 256/243 (1,053) 309,03 90,225 100 -9,775
d 2,187 / 2,048 (1068) 313,24 113 685 +13 685
fa ♭ 65 536/59 049 (1110) 325,56 180,450 200 -19 550
střední 9/8 (1,125) 330,00 203,910 +3,910
fa 32/27 (1185) 347,65 294,135 300 -5,865
mi♯ 19 683/16 384 (1201) 352,40 317 595 +17 595
zem ♭ 8 192/6561 (1249) 366,25 384,360 400 -15,640
fa♯ 81/64 (1266) 371,25 407 820 +7,820
přízemní 4/3 (1,333) 391.11 498,045 500 -1,955
fa♯♯ 177147/131072 (1352) 396,45 521,505 +21,505
♭ 1024/729 (1405) 412.03 588 270 600 -11,730
sol♯ 729/512 (1424) 417,66 611 730 +11 730
pokud ♭♭ 262 144/177 147 (1480) 434,08 678 495 700 -21,505
the 3/2 (1 500) 440,00 701,955 +1,955
pokud ♭ 128/81 (1580) 463,54 792 180 800 -7,820
tam 6,561 / 4096 (1602) 469,86 815 640 +15 640
dělat ♭ 32 768/19 683 (1,665) 488,34 882,405 900 -17 595
-li 27/16 (1688) 495,00 905 865 +5,865
dělat 16/9 (1778) 521,48 996090 1000 -3,910
pokud♯ 59 049/32 768 (1802) 528,60 1019 550 +19,550
d ♭ 4096/2 187 (1873) 549,38 1086,315 1100 -13,865
dělat♯ 243/128 (1898) 556,88 1109,775 +9,775
re 2/1 (2 000) 586,67 1200 1200 0


Poznámky a odkazy

Poznámky

Reference

  1. Abromont 2001 , str.  299.
  2. (fr) Frédéric Platzer, Abrégé de Musique , Ellipses, 1998, ( ISBN  2-7298-5855-5 ) , str. 63-65.
  3. (fr) Ulrich Michels, Ilustrovaný průvodce hudbou , Fayard, 1988, ( ISBN  2-213-02189-9 ) , s. 89.
  4. (in) ML West , „  Babylonian Musical Notation and the Hurrian Melodic Texts  ' , Music & Letters , sv.  75, n O  2Květen 1994, str.  161-179 ( číst online ).
  5. Platón , Timaeus [ detail vydání ] [ číst online ] , 36 b.
  6. Pierre-Yves Asselin , „Pytagorův systém“ , Hudba a temperament , Paříž, Jobert,2000( ISBN  2905335009 ) , s.  139.
  7. Jean-François Mattéi , Platón , PUF, kol.  "Co já vím? ",2005, str.  73-74.
  8. Pierre Thuillier , Pomsta čarodějnic: Iracionální a vědecké myšlení , Belin,1997, str.  62.
  9. Pierre-Yves Asselin, Hudba a temperament , Jobert, Paříž, 2000 ( ISBN  2905335009 ) , Pytagorův systém ( str.  69 )
  10. Chailley 1979 , str.  29.

Dodatky

Související články

externí odkazy

Online aplikace, která poslouchá Pythagorovu stupnici a porovnává ji s ostatními stupnicemi

Bibliografie